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1  Matemática / Triángulos / Re: ¿Cómo resolver estos dos problemas con geometría? : 29/01/2020, 08:40:43
Gracias por toda la ayuda Ignacio Larrosa.

PD: En la imagen hay un pequeño error, debería decir: <BDC = <ADA' = <A'AC = <ACB = 3α

Tienes razón, fue un gazapo. Aquí tienes otra demostración geométrica sencilla:



Saludos,
2  Matemática / Triángulos / Re: ¿Cómo resolver estos dos problemas con geometría? : 28/01/2020, 13:24:50
Una solución puramente geométrica:



Y otra trigonométrica muy sencilla:

[texx]CD=a·\sec \alpha \\
\triangle ACD\rightarrow{} \frac{a·\sec \alpha}{\sen(90^\circ -3\alpha)}=\frac{2a}{\sen(2 \alpha)}\Rightarrow{\sen(\alpha)=\sen(90^\circ - 3\alpha)}\\
0<\alpha, 3\alpha<90^\circ\Rightarrow{}\alpha=90^\circ-3\alpha\Rightarrow{}\alpha=22.5^\circ[/texx]

Ambas debidas a fatih sağlam en https://twitter.com/delireis_1453/status/1222105086836559872?s=20

Saludos,
3  Matemática / Triángulos / Re: ¿Cómo resolver estos dos problemas con geometría? : 26/01/2020, 18:21:23
De momento va el primero. La respuesta es [texx]\arctg 3\approx{}71.5651^\circ{}[/texx]


Saludos,
4  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Problema 2.5. LVI Olimpiada Matemática Gallega (2020). : 26/01/2020, 14:11:39
Sea [texx]ABC[/texx] un triángulo con [texx]AB<AC[/texx] y sea [texx]I[/texx] su incentro. El incírculo es tangente al lado [texx]BC[/texx] en el punto [texx]D[/texx]. Sea [texx]E[/texx] el único punto que satisface que [texx]D[/texx] es el punto medio del segmento [texx]BE[/texx]. La recta perpendicular a [texx]BC[/texx] que pasa por [texx]E[/texx] corta a [texx]CI[/texx] en el punto [texx]P[/texx]. Demostrar que [texx]BP[/texx] es perpendicular a [texx]AD[/texx].

Observación: El incírculo de [texx]ABC[/texx] es el círculo que es tangente a los tres lados del triángulo. El incentro es el centro de dicho círculo.
No se de nadie que lo hay resuelto, ninguno de los participantes en la fase Gallega lo hizo. La figura del spoiler sintetiza lo que conseguí con él, e
s decir,  nada ... Pero la incluto por si a alguien le ilumina.

Saludos,
5  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Función no integrable : 26/09/2019, 10:28:12

Diverge a partir de k = 1 justamente. Para k < 1:

[texx]\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\displaystyle\int_{a}^{1}\displaystyle\frac{1}{x^k}dx}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\left |{\displaystyle\frac{x^{-k+1}}{-k+1}}\right |_a^1}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\dfrac{1}{1-k}-\dfrac{a^{1-k}}{1-k}}=\dfrac{1}{1-k}[/texx]

Pero cuando [texx]k\rightarrow{}1^-,\dfrac{1}{1-k}\rightarrow{+\infty}[/texx]

Saludos,

Te adelantaste a la corrección. Gracias por el apunte. No consigo verlo todavía pero hace pensar. La intuición me dice que esto sucede para todo    [texx]x\in{(0,b]}[/texx]   [texx]b\neq{+\infty}[/texx]    pero en estos temas la intuición es traidora. 

Yo diría que diverge por que el extremo inferior del intervalo de integración tiende a cero. No porque    [texx]b[/texx],    ([texx]k[/texx]    en tu caso),    sea mayor o menor que uno.

Las funciones en    [texx]x=1[/texx]    están definidas, son continuas y para cualquier intervalo    [texx](u,v)\subset{(0,b)}[/texx],     [texx]b\neq{+\infty}[/texx]    están acotadas, así que son integrables Riemann propias. Yo diría que en ese caso convergen.

Basta tomar    [texx]\displaystyle\lim_{t \to{1/2}}{\displaystyle\int_{t}^{1}}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}\;dx[/texx].

Saludos.

Te has liado con la [texx]a[/texx] y la [texx]k[/texx], creo. La integral [texx]\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{x^k}dx[/texx] converge para [texx]k < 1[/texx] y diverge para [texx]k \geq{} 1[/texx], en el extremo del 0, naturalmente.

Saludos,
6  Matemática / Geometría y Topología / Re: Teorema de Newton? : 26/09/2019, 09:06:51
Hola buenas tardes, actualmente estoy intentando resolver el siguiente problema:

Un círculo está inscrito en un cuadrilátero ABCD, tocando los lados [texx]\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DA} [/texx]en los puntos E,F,G,H, respectivamente. Entonces las líneas [texx]\overline{AC},\overline{EG},\overline{BD},\overline{FH}[/texx] concurren.


 Me sugirieron que utilice el teorema de Pascal sobre puntos colineales pero me está complicando más entender el de Pascal y como lo podría aplicar al mío. Alguna sugerencia ?

PD: Teorema de Pascal: Sea A,B,C,D,E,F puntos sobre una circunferencia. Sean P,Q,R los puntos de intersección de AB con DE , BC con EF, y CD con FA respectivamente entonces los puntos P,Q,R son colineales



Como te han comentado, no se trata del Teorema de Newton, aunque está relacionado, y puede considerarse un corolario del Teorema de Brianchon. Pero también puede demostrarse de forma más elemental utilizando el Teorema del seno, como puedes ver en la figura adjunta o mejor en el applet Concurrencia en los cuadriláteros circunscriptibles.



El Teorema de Newton lo que afirma es que el centro de la circunferencia inscrita está situado en la recta de Newton del cuadrilátero, que es la que pasa por los puntos medios de las diagonales, incluida la que une los puntos de intersección de los pares de lados opuestos, considerando el cuadrilátero completo.

Saludos,
7  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Función no integrable : 26/09/2019, 08:29:39
Hola

¿Sabrías explicar porqué difieren tanto las áreas bajo sus curvas si sus gráficas
son prácticamente idénticas?

Es que eso de que son prácticamente idénticas.. ¡es más que discutible!.

Para [texx]x[/texx] muy pequeños los valores de las funciones son bien distintos.

Por ejemplo si [texx]x=1/10000[/texx] se tiene que:

[texx]h(x)=\dfrac{1}{x}=10000[/texx]

[texx]g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=100[/texx]

Saludos.

Ya. Lo que cabría esperar es que las áreas fuesen también muy diferentes en magnitud. Pero que una diverja y la otra no hace estallar la cabeza.

Además. Si se construyen funciones    [texx]f_k[/texx]    cuyas gráficas se vayan aproximando cada vez más a    [texx]\displaystyle\frac{1}{x}[/texx]    de tal forma que

[texx]\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}<f_1(x)<f_2(x)<\ldots<f_n(x)<\displaystyle\frac{1}{x}[/texx],       para todo    [texx]x\in{(0,1]}[/texx]

y sus primitivas    [texx]F_1,F_2\ldots F_k[/texx]    verifiquen

[texx]2=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}\;dx<F_1(x)<F_2(x)<\ldots<F_n(x)<\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{x}\;dx=+\infty[/texx],       para todo    [texx]x\in{[0,1]}[/texx]

¿Para que    [texx]k[/texx]    comienza a ser divergente la integral? Es claro que debe existir ese    [texx]k[/texx].

 Gracias.

EDITADO.

Creo que ya he caído en la cuenta.

 :cara_de_queso: :cara_de_queso: :cara_de_queso:

Esas integrales no son otra cosa que una sucesión divergente de números reales

Diverge a partir de k = 1 justamente. Para k < 1:

[texx]\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\displaystyle\int_{a}^{1}\displaystyle\frac{1}{x^k}dx}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\left |{\displaystyle\frac{x^{-k+1}}{-k+1}}\right |_a^1}=\displaystyle\lim_{a \to{}0^+}{\dfrac{1}{1-k}-\dfrac{a^{1-k}}{1-k}}=\dfrac{1}{1-k}[/texx]

Pero cuando [texx]k\rightarrow{}1^-,\dfrac{1}{1-k}\rightarrow{+\infty}[/texx]

Saludos,
8  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Duda límite infinito menos infinito : 24/09/2019, 15:30:31
Buenas, tengo una duda respecto a éste límite:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt[ ]{x+\sqrt[ ]{x}}-\sqrt[ ]{x-\sqrt[ ]{x}}}[/texx].

Se puede inferir que lo más probable es que si evaluamos el límite en infinito resulte en una indeterminación infinito-infinito, pero me queda esta expresión:

[texx]\infty-\sqrt[ ]{\infty-\infty}[/texx]

Sé que para quitar la indeterminación la estrategia es multiplicar por el conjugado de la expresión, pero me incómoda la expresión resultante si reemplazo el límite por infinito. ¿La expresión en sí está mal o estoy cometiendo algún error?. Saludos.

Claramente es
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt[ ]{x-\sqrt[ ]{x}}}=+\infty[/texx]

Entonces, multiplicando y dividiendo por la suma de los radicales, queda

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{\left(\sqrt[ ]{x+\sqrt[ ]{x}}-\sqrt[ ]{x-\sqrt[ ]{x}}\right)\left(\sqrt[ ]{x+\sqrt[ ]{x}}+\sqrt[ ]{x-\sqrt[ ]{x}}\right)}{\sqrt[ ]{x+\sqrt[ ]{x}}+\sqrt[ ]{x-\sqrt[ ]{x}}}}[/texx]
[texx]=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{2\sqrt[ ]{x}}{\sqrt[ ]{x+\sqrt[ ]{x}}+\sqrt[ ]{x-\sqrt[ ]{x}}}}=[/texx].
[texx]=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{2}{\sqrt[ ]{1+\dfrac{1}{\sqrt[ ]{x}}}+\sqrt[ ]{1-\dfrac{1}{\sqrt[ ]{x}}}}}=1[/texx]

Saludos,
9  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Demostrar que converge\(\sum_{n=1}^\infty \frac{Cos\,n}{n(n+1)}\) : 22/09/2019, 20:44:55
Mil gracias Juan por la observación, cometí un error es:

[texx] \displaystyle\sum_{n=1}^\infty  \frac{Cos\,n}{n(n+1)}[/texx]

como la puedo demostrar ?
¿[texx]\left |{cos(n)}\right |\le 1[/texx]?
10  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Justifica \(\dfrac{1}{6}<\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{dx}{10+x}<\dfrac{1}{5}\) : 22/09/2019, 18:52:58


Para un caso general lo único que se me ocurre es utilizar la teoría de la medida, y haciendo eso se puede demostrar que si [texx]h[/texx] es una función Lebesgue integrable y no negativa, y [texx]A[/texx] tiene medida positiva entonces [texx]\int_{A} h=0[/texx] si y sólo si [texx]h=0[/texx] casi en todas partes. Como toda función Riemann integrable es también Lebesgue integrable y el valor de las integrales coincide entonces finalmente podemos deducir que es cierto que si [texx]h[/texx] es Riemann integrable y positiva en [texx][a,b][/texx], con [texx]a<b[/texx], entonces [texx]\int_{a}^b h>0[/texx]. En tu caso basta con tomar [texx]h:=g-1/6[/texx], y hacer algo similar para la otra cota.

Una demostración de por qué [texx]\int_{A}h=0 \Leftrightarrow h=0 \text{ c.t.p. }[/texx] se puede consultar, por ejemplo, aquí. Desconozco si se puede demostrar lo mismo por medios elementales, seguramente sí.



Esto se sale del temario que estoy siguiendo. La integral de Lebesgue sólo se menciona. Se estudia la integral Riemann.

La vía más sencilla es descomponer el intervalo de integración sin duda.

Saludos,
11  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Cálculo de limites con variable compleja : 22/09/2019, 14:59:43
Encontrar
[texx]\lim_{z \to{m\pi i}}{(z-m\pi i)\displaystyle\frac{e^z}{sen(z)}},

z\in{\mathbb{C}}\\[/texx]
Usando la regla de L'hopital

¿Cómo evalúo una función trigonométrica con un número imaginario?

¿El enunciado pide hallar el límite utilizando la regla de L'Hôpital? Porque no se cumplen las hipótesis que permitirían aplicarla:   [texx]sin(m\pi i)=i·sinh(m\pi)\neq{}0\textrm{ si }m \neq{}0[/texx]...

Saludos,
12  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Con estas premisas se podrá concluir este limite? : 22/09/2019, 14:42:24
¿no se puede usar la propiedad?
[texx]\displaystyle\lim_{n \to \infty}{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\lim_{n \to\infty}{a_{n+1}}}[/texx]
y

[texx]\displaystyle\lim_{n \to\infty}{a_{n+1}}=\lim_{n \to \infty}{a_n}=a[/texx]

entonces:
[texx]\frac{\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\lim_{n \to\infty}{a_{n+1}}}=\frac{a}{a}=1[/texx]

no estoy seguro si eso está bien

¿Pero [texx]\displaystyle\frac{a}{a}=1\qquad \huge {\forall{}a}[/texx]?

Saludos,
13  Matemática / Teoría de números / Re: Ecuacion en Z/pZ : 22/09/2019, 10:34:23
Resolver la siguiente ecuacion en [texx]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/texx] con [texx]p[/texx] primo:

[texx]x^p=[4]_p[/texx].

Si [texx]p>2, x\neq{}[0]_p[/texx]

Por el Teorema de Fermat, [texx]x^{p-1}=[1]_p[/texx]. Entonces,

[texx] x^p=x^{p-1}·x=x=[4]_p [/texx]

Si p = 2, es obvio.


Saludos,
14  Matemática / Teoría de números / Re: Ecuacion modulo un primo : 21/09/2019, 16:01:34
Hola

Resolver la siguiente ecuacion: [texx]12x=3[/texx] en [texx]\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}.[/texx]

La ecuación equivale a:

[texx]12x+13y=3[/texx]

ya que [texx]12x=3[/texx] mod [texx]13[/texx] si se diferencian en un entero.

Ahora tienes aquí explicado como se resuelven ese tipo de ecuaciones diofánticas:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=26781.0

Saludos.

Muchas Gracias, me queda lo siguiente:

[texx]12x\equiv 3\mod 13 \iff 4x\equiv 1\mod 13[/texx], lo que equivale a [texx]4x+13y=1.[/texx] Por el algoritmo de Euclides se tiene que

[texx]13=4\cdot 3+1[/texx]
[texx]3=1\cdot 3+0[/texx]

Luego, [texx]mcd(4,13)=1=4(-3)+13(1).[/texx] Asi, [texx](x_0,y_0)=(-3,1).[/texx] Por tanto,

[texx](x,y)=(x_0,y_0)+k\left(\dfrac{b}{\text{mcd}(a,b)},\dfrac{-a}{\text{mcd}(a,b)}\right)[/texx]

[texx](x,y)=(-3,1)+k(13,-4)[/texx]

[texx](x,y)=(-3,1)+(13k,-4k)[/texx]

[texx](x,y)=(-3+13k,1-4k)[/texx]

[texx]\implies x=-3+13k, y=1-4k, k\in \mathbb{Z}.[/texx]

¿Es correcto?  :sonrisa:

Si, pero tienes que dar la respuesta en [texx]\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}: \qquad x\equiv{}-3 + 13k\equiv{}10 \textrm{ (mod 13)}[/texx]

Saludos,
15  Matemática / Teoría de números / Re: Ecuacion modulo un primo : 21/09/2019, 15:57:23
Hola

Resolver la siguiente ecuacion: [texx]12x=3[/texx] en [texx]\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}.[/texx]

La ecuación equivale a:

[texx]12x+13y=3[/texx]

ya que [texx]12x=3[/texx] mod [texx]13[/texx] si se diferencian en un entero.

Ahora tienes aquí explicado como se resuelven ese tipo de ecuaciones diofánticas:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=26781.0

Saludos.

En este caso, podrías abreviar un poco teniendo en cuenta que en [texx]\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}, 12 = -1[/texx]:

[texx]12x=3\textrm{ (mod 13) }\Leftrightarrow{}-x=3\textrm{ (mod 13)}\Leftrightarrow{}x=10\textrm{ (mod 13)}[/texx]

Saludos,
16  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Prueba \(\;\;\;\sen x\leq x,\;\;\;\forall x\in[0,1]\). : 21/09/2019, 15:38:03
Hola

 ¿Exactamente qué puedes usar? Una opción es considerar [texx]f(x)=x-sin(x)[/texx] y ver que es creciente en [texx][0,1][/texx] usando su derivada.

Saludos.

Derivadas y anterior

Vale, gracias.

   
[texx]0\leq{}\cos x\leq{1}\Rightarrow{}1-\cos x\geq{0}[/texx]    para todo    [texx]x\in{[0,1]}[/texx]

su derivada es positiva en todo el intervalo, luego la función crece en él.

Saludos.


Sin utilizar derivadas, precisamente para demostrar la derivada de [texx]sen(x)[/texx], se puede ver en el gráfico y las dos primeras líneas:


Saludos,
17  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Justifica \(\;\dfrac{e^x\sen x}{x}\;\) integrable en \(\;[0,1]\). : 21/09/2019, 15:27:39


Lo mismo te ocurre si tienes un número finito de puntos en los que la función esté definida de forma arbitraria. El valor de la integral no depende de los valores finitos de la función en un número finito de puntos.


¿y para las funciones monótonas con infinitas discontinuidades?

Si se trata de discontinuidades aisladas, en un entorno perforado de las cuales la función es continua, no hay ningún problema. Fíjate que esto implica que el intervalo sea infinito. Si las discontinuidades no son aisladas, no puede asegurarse que la función sea integrable. Por ejemplo, una función que tome un valor constante en los irracionales y otro distinto en los racionales en un intervalo finito, no es integrable en el sentido de Riemann.

Saludos,
18  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Convergencia y límite de sin(sin(...sin(1))) : 21/09/2019, 15:17:44
Muy buenas tardes tengo dudas para realizar este ejercicio por favor me pueden ayudar:

[texx]\displaystyle
an= Sin\,Sin .... Sin\,1\,(\,n\,cantidad\,de\,Sin)
[/texx]

Podemos escribir la sucesión en la forma:

[texx]a_n=sin(a_{n-1}),\quad a_0=1[/texx]

Tenemos que [texx]1 < \pi[/texx] y sabemos que [texx]sin(x)<x \quad \forall{x>0}[/texx], por tanto [texx]a_n<a_{n-1}\quad \forall{n}[/texx]. Por tanto, la sucesión es estrictamente decreciente y acotada inferiormente por cero, por lo que tienen límite. Sea este [texx]L[/texx]. Tenemos entonces que, dada la continuidad de la función seno,

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{sin(a_{n-1})}\Rightarrow{}L=sin(L)\Rightarrow{}L=0[/texx]

Saludos,
19  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Justifica \(\;\dfrac{e^x\sen x}{x}\;\) integrable en \(\;[0,1]\). : 21/09/2019, 15:02:18
Para la primera no deja de sorprenderme el resultado.

Tomando    [texx]f(0)=1[/texx]    la función es continua en    [texx][0,1][/texx].    Usando el Teorema  de Integrabilidad Riemann es condición suficiente para que sea integrable en dicho intervalo.


Sin embargo también es integrable Riemann si se toma cualquier valor real para    [texx]f(0)[/texx]    distinto de    [texx]\pm{\infty}[/texx].    Para cualquier elección sigue siendo una función acotada con un número finito de discontinuidades, (una discontinuidad), que es también condición suficiente de integrabilidad Riemann.

¿Como es posible que tomando un número muy grande distinto de    [texx]+\infty[/texx]    para    [texx]f(0)[/texx]    se verifique que

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{e^x\sen x}{x}\;dx=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n{}\displaystyle\frac{e^{x_k}\sen x_k}{x_k}}\cdot{\displaystyle\frac{1}{n}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left[\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{e^{x_k}\sen x_k}{x_k}\cdot{\displaystyle\frac{1}{n}}}\right]}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left[\displaystyle\frac{e^0\sen 0}{0}\cdot{\displaystyle\frac{1}{n}}+\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{e^{x_k}\sen x_k}{x_k}\cdot{\displaystyle\frac{1}{n}}}\right]}[/texx],
Veamos...  Una  definición de integral de Riemann es
[texx]\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n{}f(x_k)}\cdot{\displaystyle\frac{1}{n}}, \quad x_k\in{\left[a+(k-1)\frac{b-a}{n},a+k\frac{b-a}{n}\right]}[/texx]

Si este límite existe, sea cual sea el valor de [texx]x_k[/texx] elegido en cada subintervalo, se dice que la función es integrable Riemann. En tu caso, haciendo f(0) = M cualquiera, se puede poner:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{e^x\sen x}{x}\;dx=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{M}{n}+\displaystyle\sum_{k=2}^n{}\displaystyle\frac{e^{x_k}\sen x_k}{x_k}}\cdot{\displaystyle\frac{1}{n}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=2}^n{}\displaystyle\frac{e^{x_k}\sen x_k}{x_k}}\cdot{\displaystyle\frac{1}{n}}[/texx]

y el límite del primer sumando es evidentemente nulo valga lo que valga [texx]M[/texx].

Lo mismo te ocurre si tienes un número finito de puntos en los que la función esté definida de forma arbitraria. El valor de la integral no depende de los valores finitos de la función en un número finito de puntos.

Saludos,
20  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Trigonometric Sum : 21/09/2019, 09:09:51
[texx]\displaystyle 4\sin \frac{\pi}{7}-\tan \frac{3\pi}{7}=[/texx]

It's not a proof, just some ideas:
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