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1  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Ejercicio de normalizador y subgrupos normales : 17/02/2019, 10:54:26 pm
Bueno en el punto a. No sé exactamente a qué se refiere, si bastaría con mostrar que [texx]H[/texx] es normal en [texx]N(H)[/texx] que yo sé como hacer ó mostrar que es el más grande subgrupo normal en [texx]N(H)[/texx], que es la parte que no sabría como realizar.

Tines que probar primero que [texx]H\subseteq N(H)[/texx], como son subgrupos de [texx]G[/texx] tendrás que [texx]H\leq N(H)[/texx], que es normal te debería resultar casi inmediato por la definición y lo mismo para ver que es el más grande: pero en rigor tienes que ver que si quitas un elemento ya no funciona.

b. [texx]N\triangleleft{H}\Longleftrightarrow{}N(H)=G[/texx]

¿Quién es [texx]N[/texx]? Debería poner [texx]H[/texx] es normal en [texx]G[/texx].

[texx]gH=Hg[/texx], luego [texx]N(H)=\left\{{g\in{G}:\ gH=Hg}\right\}=\left\{{g\in{G}: \ Hg=Hg}\right\}=\left\{{g\in{G}: \ Hgg^{-1}=He=H}\right\}=H[/texx]
 
La parte que me confunde es el final, porque llego a que [texx]N(H)=H[/texx] y no logro llegar a que [texx]N(H)=G[/texx] como lo indica el ejercico.

Tu última igualdad está mal. ¿Qué haces ahí?


Rectifico: Tu igualdad anterior también está mal. Ahí solo tienes una inclusión. [texx]H=H[/texx] es consecuencia de lo que tienes, pero no es equivalente a lo que tienes.

Una implicación es obvia (la de derecha a izquierda), por el resultado anterior. La otra es muy fácil.

2  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Re: ¿Existe algún lugar en el que se recopilen todas las demostraciones matemáticas? : 17/02/2019, 10:35:50 pm
Lo que pides es poco menos que imposible. Muchos resultados se pueden formalizar en muchas teorías y la mayoría de trabajos matemáticos no se preocupan por el aparato metamatemático que hay detrás (ni falta que hace). También hay muchos nuevos artículos. Para que esto fuera posible cada autor o cada revista debería preocuparse de hacer dicha contextualización y esto no pasará en la medida que muchos investigadores tienen otras preocupaciones distintas (y es razonable) de circunscribir lo que ha demostrado en una teoría axiomática. No pierdas de vista que también hay muchas construcciones válidas en cada teoría (sin salir siquiera de las matemáticas de la carrera universitaria). Es por ello que es muy difícil que pueda haber un registro de todo en base a los axiomas. También, siendo que los propios artículos no son de libre acceso, es muy complicado que algo mucho más trabajoso y que requiere mucho más esfuerzo fuera de libre acceso.

Aún así hay gente que intenta cosas difíciles pero razonables http://us.metamath.org/ como un control de los teoremas que sí tienen un impacto directo en una teoría particular.

3  Matemática / Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) / Re: Series, Demostraciones : 17/02/2019, 10:20:34 pm
Tienes que poner la etiqueta
Código:
[tex]
justo delante de cada fórmula y la etiqueta
Código:
[/tex]
justo detrás de cada fórmula, y darle a previsualizar antes de publicar para ver si las cosas están bien.

Querías escribir:

Cita
Hola, buenas, tengo este ejercicio de cálculo en el que hay que demostrar lo siguiente:

Sean[texx] \left\{{x}_n\right\}[/texx] e[texx] \left\{{y}_n\right\}[/texx] dos sucesiones de términos positivos tales que para todo [texx] {n}\geq{n_0}[/texx] natural se tiene que:
           
[texx]\displaystyle\frac{x_n+1}{x_n} \leq{\displaystyle\frac{y_n+1}{y_n}}[/texx]

Probar que si [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(y_n)[/texx] es convergente, entonces también es convergente [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(x_n)[/texx].

Si haces click izquierdo en cada ecuación puedes ver los códigos, aunque deberías leer el manual de [texx]\LaTeX[/texx] del foro.

Pero a mi me chirría, creo que querías poner el +1 también en el subíndice. Échale un vistazo al criterio de d'Alembert.

P.D.: El tema tampoco va aquí, sino en cálculo de 1 variable.
4  Matemática / Topología (general) / Re: Abiertos en la topología uniforme. : 17/02/2019, 10:05:56 pm
¿Te refieres a la topología que se define para las funciones [texx]I\to\mathbb{R}[/texx], donde [texx]I[/texx] es un conjunto cualquiera?
5  Matemática / Trigonometría y Geometría Analítica / Re: Proyeccion del vector posicion sobre los ejes OX y OY : 17/02/2019, 09:53:20 pm
Creo que debes plantear el problema aquí en el foro utilizando el lenguaje [texx]\LaTeX[/texx] en lugar de subir un documento.

No me queda nada claro tu documento, se parece muy poco a un problema bien escrito. Supongo que como tú estarás cursando alguna materia donde encaja ese problema sabrás algo más: ¿Qué vector tienes que proyectar? ¿Por qué pone que proyectes el vector de posición y luego aparece en la tabla el vector de velocidad? ¿Dónde estás trabajando? Parece que sea [texx]\mathbb{R}^2[/texx] al principio pero luego parece [texx]\mathbb{R}^3[/texx] porque aparece una tercera coordenada. ¿En tal caso, donde se supone que está la circunferencia?

¿Entiendes que el significado geométrico del seno y el coseno son las proyecciones de un vector unitario?
6  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Re: ¿Teoremas cuyo enunciado general sea más fácil de probar que uno particular? : 17/02/2019, 09:32:57 pm
Depende de lo que entendamos por general, pero si en sentido estricto tú quieres comprobar una propiedad [texx]\alpha[/texx] para todos los elementos de una clase [texx]A[/texx]:

Todo [texx]x[/texx] de [texx]A[/texx] cumple [texx]\alpha(x)[/texx].

Y tienes una prueba para un subconjunto [texx]B\subseteq A[/texx] honestamente más larga (que incluso añadiendo las pruebas de todos los teoremas previos que necesitas sigue siendo más larga) de que

Todo [texx]x[/texx] de [texx]B[/texx] cumple [texx]\alpha(x)[/texx].

Entonces también tendrás una prueba más corta reproduciendo la anterior.

Por otra parte, concepto de fácil o difícil no es muy preciso, pero aunque suele pasar que los casos generales son más abstractos, también puede pasar que te ayuden a entender mejor cosas que antes parecían casuales. Por ejemplo, a mí se me antoja que el concepto de diferencial se vuelve crucial en espacios reales de más de una dimensión pero es más difícil entender su utilidad en una dimensión, donde la derivada te funciona «igual de bien».

Edito: Ten cuidado de que la propiedad [texx]\alpha[/texx] realmente sea la misma. Podemos entender que [texx]\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}[/texx] y que no es cierto que que todos los elementos de [texx]\mathbb{Z}[/texx] menos el cero sean divisibles entre ellos aunque en [texx]\mathbb{R}[/texx] lo sea, porque una cosa es ser divisible en [texx]\mathbb{Z}[/texx] y otra distinta ser divisible en [texx]\mathbb{R}[/texx].
7  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: La aplicación de Hopf es una sumersión (problemas con la prueba) : 10/12/2015, 08:17:26 am
Sí, en efecto, ha sido un lapsus. Estoy tratando de ver que es sobreyectiva, en efecto, gracias.
8  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / La aplicación de Hopf es una sumersión (problemas con la prueba) : 10/12/2015, 07:53:46 am
Hola, ¡buenas!

Resulta que tengo que probar que la aplicación de Hopf [texx]\pi: S^3 \longrightarrow S^2[/texx] tal que

[texx]\pi(x_1,x_2,x_3,x_4)=\left(2(x_1x_3+x_2x_4),\, 2(x_1x_4-x_2x_3),\,x_3^2+x_4^2-x_1^2-x_2^2\right)[/texx]

es una sumersión. Estoy considerando los atlas de las esferas que vienen dados por las parametrizaciones de gráficas (Morge): para [texx]S^n[/texx] las aplicaciones [texx]\varphi_{k}^\pm: \ U_{k}^\pm\to \mathbb{R}^n[/texx], [texx]\varphi_{k}^\pm(x_1,\cdots,x_{n+1})=(x_1,\cdots,\widehat{x_k}, \cdots,x_{n+1})[/texx] (no sé si ese gorro es estándard, me refiero a quitar la cordenada en cuestión), donde
[texx]U^\pm_k = \bigl\{(z_1,\ldots,z_{n+1})\in S^n\ : \ \pm z_k>0\bigr\}.[/texx]

Razonando como sigue en el spoiler he probado que la aplicación de Hopf [texx]\pi[/texx] es una sumersión.


Mi problema viene al tratar de probar que [texx]\pi_{*p}[/texx] es inyectiva para todo punto [texx]p\in S^3[/texx]. Trato de hacerlo estudiando el rango de la matriz asociada a la diferencial de [texx]\psi \circ \pi \circ\varphi^{-1}[/texx], pero me estoy haciendo un jaleo distinguiendo casos y acabo «probando» que no es una sumersión y ¡sí debe serlo!

¿Hay algún modo de proceder más razonable? ¿Alguna sugerencia?

¡Muchas gracias!
9  Matemática / Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Re: "Clases" de clases : 07/08/2015, 11:55:18 am
Muchas gracias  :sonrisa:
10  Matemática / Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Re: "Clases" de clases : 07/08/2015, 09:58:08 am
Muchas gracias por la detallada explicación, en efecto me referia a eso.

Me queda una duda: entiendo que el argumento del cardinal fuertemente inaccesible lo podrías aplicar igualmente en ZFC que en NBG... ¿existe entonces alguna diferencia práctica real entre que en NBG las clases sean objetos primitivos y en ZFC no? Porque si aunque en NBG existan no puden usarse más allá del uso como notación que se le da en ZFC no veo gran diferencia (yo pensaba que del mismo modo que sirve hablar de clases propias en ZFC como notación, podría servir hablar de clases de clases propias como notación en NBG).

¡Un saludo!
11  Matemática / Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / "Clases" de clases : 07/08/2015, 04:02:58 am
¡Buenas!

Estaba pensando que, como en NBG el concepto primitivo son clases en lugar de conjuntos quizá tuviera sentido hablar de "clases de clases" en el sentido que se habla de clases de conjuntos en ZFC aunque estas no sean parte estricta de la teoría. Pero por otro lado el uso de las clases es más limitado que el de los conjuntos así que no sé hasta qué punto tiene sentido lo que estoy diciendo.

¡Un saludo y gracias!
12  Matemática / Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Re: Diagrama del universo de una teoría de conjuntos : 05/08/2015, 06:14:09 am
Te he arreglado la imagen. No puedes poner sólo el nombre de la imagen, sino que tienes que publicar el mensaje, copiar la dirección del enlace, editar el mensaje y pegarla.

¡Muchas gracias y perdona! Prometo que iba a arreglarlo, de hecho estaba mirando un hilo que explicaba como hacerlo y he vuelto en seguida, pero al editar me he llevado la sorpresa y me he quedado muy extrañado :sonrisa_amplia:

Nada coherente.

Perfecto, muchas gracias, he entendido muy bien tu explicación.

Tendría que pensarlo un poco, pero probablemente sí que necesitas el axioma de elección para probar que es el supremo.

Yo había pensado en el axioma de elección en el sentido que esto nos daría un criterio para siempre poder escoger un elemento, pero esto es falso porque estaba pensando erróneamente en máximos en lugar de supremos, además de que en caso de haber máximos podrían ser varios. No sé si será o no necesario, pero desde luego no va por donde yo pensaba...


No, no es cierto. La clase de todos los conjuntos de cardinal 1 es una clase propia, y todos sus elementos tienen cardinal 1.

Es otra manera de ver que no tienen mucho sentido las líneas horizontales con los cardinales...

Traducir "large" por "largo" suena a demonios.

Jajaja, ¡no estaba pensando en inglés! Lo he dicho símplemento porque son segmentos de recta, cada uno más largo que el anterior: quizá es que no procede que lo haya puesto entre comillas.

La figura en forma de cono sí que es habitual, en relación con la jerarquía de von Neumann. Lo que no tiene ningún sentido es tratar de relacionar sus niveles con cardinales.

Todo claro, ¡muchísimas gracias!

¿Es posible que la imagen sea salvable si el autor al hacerla pensara que una clase que "toca" las paredes del cono no está acotada? Como si fuera una compactificación o algo así, donde las rectas que conforman el cono son "el infinito". Así por ejemplo la clase de conjuntos finitos no sería un conjunto en el diagrama. Y la elección de cardinales en lugar de clases de von Neumann podría ser una elección didáctica para aprovechar una introdución divulgativa de los cardinales que se ha dado en el libro y se corresponde un poco con la idea de tamaño de un conjunto de modo que podría quizás tener sentido...

Por otra parte... ¿qué sentido tiene que el círculo esté a la vez en dos "regiones" diferentes?

13  Matemática / Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Diagrama del universo de una teoría de conjuntos : 05/08/2015, 04:38:32 am
Buenas, resulta que leyendo un libro de historia de las matemáticas me he encontrado un diagrama de este estilo:



Y viene acompañada de la apreciación de que A es un conjunto porque está acotado y B una clase propia porque no está acotada.

No entiendo demasiado bien el diagrama. ¿Tiene algo que ver con la definición de conjunto en NBG? En ese caso... ¿qué tienen que ver las líneas horizontales con los cardinales? Parece sugerir que el conjunto tenga un elemento de cardinal máximo, esto tiene sentido si se acepta el axioma de elección, ¿no? ¿Es cierto que las clases propias no tienen elemento de cardinal máximo? ¿Hay alguna otra interpretación más razonable? ¿Tiene algún sentido que esté dibujado en forma de "cono", más allá de que cada cardinal es más "largo" que el anterior?

¡Muchas gracias!
14  Matemática / Lógica / Re: El esquema de inferencia válido : 20/07/2015, 09:04:08 am
En los esquemas de inferencia válidos con la forma [texx]X \to Y[/texx] (donde "X" e "Y" son metavariables), ¿Por qué se dice que "X" implica "Y"? Quiero decir, ¿Si "X" es verdadero, "Y" debe ser necesariamente una consecuencia de "X"?

Gracias por la atención :sonrisa:

¿Esquemas de inferencia? ¿Qué quieres decir? Ahí Deaño está denotando dos cosas iguales de la misma manera. Como se te ha comentado las reglas de inferencia son cosas distintas al condicional o implicador.

Y no, si tienes que [texx]X \longrightarrow Y[/texx] es verdadero y [texx]X[/texx] es verdadero, entonces tienes que [texx]Y[/texx] es verdadero, ahora bien no tiene por qué ser una consecuencia en el sentido usual de la palabra. Ya te han puesto ejemplos en los cuales [texx]A[/texx] no tiene nada que ver con [texx]B[/texx].

¿Qué es lo que no entiendes?  :¿eh?:

El caso es que la lógica proposicional es menos potente y te permite hablar de una manera distinta, que no se aplica a la lógica de primer orden. En ese hilo que te he pasado Carlos me hacía un simil donde la lógica proposicional era una bicicleta y la lógica de primer orden un coche. Los coches y las bicicletas funcionan de manera diferente. Pero un coche es más sofisticado, cuando entiendas el funcionamiento del coche no te sorprenderá en absoluto el funcionamiento de una bicicleta, pero no puedes tratar de dilucidar cómo funciona un coche observando una bicicleta, que es lo que en cierto modo tratas de hacer.
15  Matemática / Lógica / Re: El esquema de inferencia válido : 19/07/2015, 08:07:20 pm
¡Esta duda me suena! Jajajaja. Cada vez estoy más convencido que estudiar la lógica superficialmente para "tener una idea", sólo sirve para no tener ni idea. Especialmente si se usa según qué material divulgativo.

Creo que tu problema viene porque estás mezclando la lógica proposicional con la de primer orden, Deaño, si no recuerdo mal, en la parte de lógica proposicional utiliza las reglas de inferencia a modo de implicación indistintamente y eso te está llevando a confusión. Creo que harías bien en pasar olímpicamente de ese libro: no creo que se adecua a tu propósito.

Cuando tú dices que "[texx]A[/texx] implica [texx]B[/texx]", o que "si [texx]A[/texx], entonces [texx]B[/texx]", o escribes "[texx]A\Longrightarrow B[/texx]" o "[texx]A\longrightarrow B[/texx]" (¡indistintamente!), estás diciendo que es cierto que "si es cierto [texx]A[/texx], se tiene que [texx]B[/texx] también": por eso, al decir que una cosa falsa implica una cosa verdadera no estás engañando a nadie.

En cambio, cuando tu hablas de una regla de inferencia, como es el caso del Modus Ponens:

De [texx]A \longrightarrow B[/texx] y [texx]A[/texx] se deduce [texx]B[/texx],

o lo que es lo mismo

[texx]A \longrightarrow B, A \vdash B[/texx]

o incluso

[texx]\begin{array}{l}A \longrightarrow B\\ A  \\  \hline B\end{array}[/texx]

lo que estás haciendo es una afirmación (como le gusta decir a Deaño) en un nivel de lenguaje diferente, porque tu no afirmas que que [texx]A\longrightarrow B[/texx] y [texx]A[/texx] implican [texx]B[/texx], tú estás diciendo que si tienes una afirmación de la forma [texx]A\longrightarrow B[/texx] (cierta) y también tienes la afirmación [texx]A[/texx] (cierta), entonces es correcto que tú puedas afirmar directamente [texx]B[/texx]: está dándote una regla que te permite afirmar, inferir algo nuevo a partir de dos afirmaciones: una regla de inferencia.

Nota que no es lo mismo decir que "entonces es correcto que tu puedas afirmar tal cosa" que decir "entonces tal cosa".

No sé por qué motivos en más sitios de los que me gustaría confunden los conceptos de implicación y de regla de inferencia, pero bueno.

He dicho que esta duda me sonaba, este es el motivo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=76367.msg304555#msg304555

Creo que sería una buena idea que leas ese hilo.

16  REGLAS, Herramientas, Tutoriales / Libros / Re: Iniciación a la lógica : 17/07/2015, 03:25:20 pm
Bueno, depende de lo que busques. Yo no sé mucho del tema pero creo es un libro que enfoca la materia más hacia el ámbito filosófico, que el matemático. Personalmente (sin poner en duda el valor de la labor de Deaño) se me hace muy denso y echo en falta temas importantes como los teoremas de compleción. Y en tanto a lo de un libro formal, yo buscaría un libro que te ayude a entender el intríngulis de lo que hay detrás, que aunque sea razonable, a veces puede ser un tanto confuso. Hay apuntes que son una amalgama de axiomas y resultados puramente formales, pero sin una base más informal te va a ser dificil seguirlos. Yo creo que el libro de Carlos Ivorra es muy adecuado para esa tarea, además de que profundiza mucho.



17  Matemática / Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Re: De la definición de propiedad : 08/07/2015, 06:23:00 pm
¿Pero has leído lo que ha dicho Carlos? Parece que no :triste:

No hay nada inconsistente en ello. Nos ha definido lo que es una propiedad en términos de objetos que están correctamente definidos: variables, fórmulas y fórmulas con variables libres.
18  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Base para un espacio P2 : 07/07/2015, 06:18:52 pm
...  :indeciso:

¿En qué habíamos quedado, Frnk? Te animo a leer las respuestas de los hilos que ya has publicado antes de publicar nuevos hilos de la misma manera.

Además en mi respuesta a tu hilo anterior está la respuesta a lo que planteas aquí.
19  Matemática / Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Re: De la definición de propiedad : 07/07/2015, 05:39:27 pm
Pues sentencias en las que interviene la variable [texx]x[/texx]. De todos modos al ser las sentencias fórmulas cerradas da un poco igual si interviene o deja de intervenir [texx]x[/texx].
20  Matemática / Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Re: De la definición de propiedad : 07/07/2015, 04:48:49 pm
Para mi propiedad es sinónimo de teorema. No entiendo muy bien lo que estás diciendo, pero un teorema es una fórmula verdadera. Una fórmula es un concepto que se puede definir sintácticamente de forma recursiva y hay unos patrones para determinar el valor de verdad de una fórmula en el modelo, que sigue una recursión similar a la de la definición de fórmula.

Cualquier cosa expresable respecto de [texx]x[/texx] para mi no es una propiedad (tampoco estoy muy seguro de entender esa frase). Estás confundiendo propiedad con definición. Y en efecto, más o menos a esa contradicción que esbozas puedes llegar, en ese caso.

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