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1  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Demostrar la igualdad. : 16/06/2017, 15:25:28
Hola.

Gracias, el_manco.

Como siempre, tus soluciones son las más elegantes  :risa:

Saludos.
2  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: \([(a_1+b_1=a_2+b_2)\wedge(a_1-b_1=a_2-b_2)]\Rightarrow[a_1=a_2\wedge b_1=b_2]\) : 16/06/2017, 08:02:46
Hola.

Sumas y restas ambas ecuaciones.

Sumando obtienes:

[texx]2a_1 = 2a_2 \Rightarrow{} a_1 = a_2[/texx]

Y restando:

[texx]2b_1 = 2b_2 \Longrightarrow{} b_1 = b_2[/texx]

Saludos.
3  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Demostrar la igualdad. : 16/06/2017, 06:36:31
Hola.

Siento el doble post, pero considero que es mejor este nuevo mensaje que no editar el anterior, puesto que no tienen mucho que ver.

He intentado tu idea Gustavo, sin embargo, no llego y no sé donde patino:

De la primera igualdad:


[texx]\displaystyle \sum_{i=0}^{n-3}(i-1)\binom{n-i}{3}=\binom{n+2}{5} -2\sum_{i=0}^{n-3}\binom{n-i}{3} [/texx]

Y entonces:

[texx]\displaystyle \sum_{i=2}^{n-3}(i-1)\binom{n-i}{3} = \displaystyle \binom{n}{3}+\sum_{i=0}^{n-3}(i-1)\binom{n-i}{3} =  \displaystyle \binom{n}{3} + \binom{n+2}{5} - 2\sum_{i=0}^{n-3}\binom{n-i}{3} =^{**}\\ = \displaystyle \binom{n}{3} + \binom{n+2}{5} - 2\sum_{i=3}^{n-3}\binom{i}{3} = \displaystyle \binom{n}{3} + \binom{n+2}{5} - 2\binom{n-2}{4}
 [/texx]

Nota:
** Esto creo que está bien hecho, es el paso en el que tengo más dudas. Sé que los binomios tienen simetría y que sumar cuando va hacia arriba y cuando va hacia abajo sale lo mismo, aunque no sé si lo he hecho bien. Luego tras esto, no es más que aplicar la identidad de Hockey-Stick.

Ahora, esto que he obtenido, lo divido entre [texx]\displaystyle\binom{n}{3}[/texx] y llego a:

[texx]1+\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{n+2}{3}}{\displaystyle\binom{n}{3}} - 2 \displaystyle\frac{\displaystyle\binom{n-2}{4}}{\displaystyle\binom{n}{3}} = 1 + \displaystyle\frac{(n+2)(n+1)}{20} - 2\displaystyle\frac{(n-3)(n-4)(n-5)}{4n(n-1)}[/texx]

Y no es lo que quiero. La idea parece funcionar y me elimina los sumatorios bastante fácil y lo convierte todo en binomios con los que se puede trabajar, pero debo patinar en algún sitio y no sé en cuál.

Saludos y gracias por la ayuda.

EDITO:

Ya vi el patinazo, y es donde me temía.
[texx]\displaystyle\sum_{i=0}^{n-3}\binom{n-i}{3} = \sum_{i=3}^{n-3}\binom{i}{3} [/texx]

Esto está mal, en verdad es:

[texx]\displaystyle\sum_{i=0}^{n-3}\binom{n-i}{3} = \sum_{i=3}^{n}\binom{i}{3} [/texx]

Quedando al final:
[texx]1+\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{n+2}{3}}{\displaystyle\binom{n}{3}} - 2 \displaystyle\frac{\displaystyle\binom{n+1}{4}}{\displaystyle\binom{n}{3}} = 1 + \displaystyle\frac{(n+2)(n+1)}{20} - 2\displaystyle\frac{n+1}{4} = \frac{n^2+3n+22}{20} - \frac{10n+10}{20} = \frac{n^2-7n+12}{20}[/texx]

Que es lo que buscaba.

Gracias!
4  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Demostrar la igualdad. : 16/06/2017, 05:57:59
Hola.

Gracias, seguiré ese camino, Gustavo.

Y en cuanto al cambio del -1 al -3 debió ser que se me fundió algún fusible o algo, porque no se por qué cambia o deja de cambiar. Intentaré de nuevo, a ver si lo saco.

Saludos.
5  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Demostrar la igualdad. : 15/06/2017, 13:47:20
Hola.

Sí, venía a editarlo. En verdad es:

[texx]\displaystyle\sum_{i=2}^{n-3}(i-1)\frac{\binom{n-i}{3}}{\binom{n}{3}} = \frac{(n-8)(n+1)}{20} + 1[/texx]

Se me había olvidado el [texx]+1[/texx]

De igual forma, no logro llegar tampoco a [texx]\frac{(n-3)(n-4)}{20}[/texx]

He probado con Wolframalpha y sí, me confirma lo que quiero, que es llegar ahí, pero no veo el camino.

He probado también a hacer:

[texx]\displaystyle\sum_{i=2}^{n-3}(i-1)\frac{\binom{n-i}{3}}{\binom{n}{3}} = \sum_{i=2}^{n-3}\frac{(i-1)(n-i)(n-i-1)(n-i-2)}{n(n-1)(n-2)}[/texx]

Pero de ahí tampoco logro pasar.

¿Podrías darme alguna pista de cómo lo sacas?

Saludos.
6  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Demostrar la igualdad. : 15/06/2017, 12:14:09
Hola.

Tengo que demostrar la siguiente igualdad:

[texx] \displaystyle\sum_{i=2}^{n-3}{}(i-1)\frac{\binom{n-i}{3}}{\binom{n}{3}} = \frac{(n-8)(n+1)}{20} [/texx][texx]+1[/texx]

He intentado utilizar la igualdad:

[texx]\displaystyle\sum^{n-3}_{i=0}(i+1)\binom{n-i}{3} = \binom{n+2}{5}[/texx]

Pero no consigo ajustarlo del todo para que se parezca. También he intentado a golpe de definición, llegando en dos caminos distintos a:

Sacamos el [texx]\binom{n}{3}[/texx] del denominador, que no depende de la suma, y continuamos desarrollando.

[texx]\displaystyle\sum_{i=2}^{n-3}{}(i-1)\binom{n-i}{3}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-3}{}(i-1)\binom{n-i}{3} - 2\binom{n-1}{3}-3\binom{n}{3}[/texx]

Continuamos con [texx]\displaystyle\sum_{i=0}^{n-3}{}(i-1)\binom{n-i}{3}[/texx] y luego metemos lo otro.

[texx]\displaystyle\sum_{i=0}^{n-3}{}(i-1)\binom{n-i}{3} = \sum_{i=0}^{n-3}\frac{(i-3)(n-i)!}{3!(n-i-3)!}= \sum_{i=0}^{n-3}\frac{[(n-2) - (n-i+1)](n-i)!}{3!(n-i-3)!}=(n-2)\sum_{i=0}^{n-3}\frac{(n-i)!}{3!(n-i-3)!} - \sum_{i=0}^{n-3}\frac{(n-i+1)!}{3!(n-j-3)!}= \\= (n-2)\displaystyle\sum_{i=0}^{n-3}\binom{n-i}{3} - \sum_{i=0}^{n-3}\frac{4!(n-i+1)!}{4!3!(n-i-3)!} = (n-2)\sum_{i=3}^{n}\binom{i}{3}-4\sum_{i=0}^{n-3}\binom{(n-i+1}{4} = (n-2)\binom{n+1}{4}-4\binom{n+2}{5}[/texx]

Y ahí llego, junto con todo lo otro que he ido dejando detrás y no logro que me quede lo que me tiene que quedar.

Por otro lado, he intentado:

[texx]\displaystyle\sum_{i=2}^{n-3}{}(i-1)\binom{n-i}{3} = \sum_{i=2}^{n-3}\frac{(i-3)(n-i)!}{3!(n-i-3)!}= \sum_{i=2}^{n-3}\frac{[(n-2) - (n-i+1)](n-i)!}{3!(n-i-3)!}=(n-2)\sum_{i=2}^{n-3}\frac{(n-i)!}{3!(n-i-3)!} - \sum_{i=2}^{n-3}\frac{(n-i+1)!}{3!(n-j-3)!}= \\ = (n-2) \displaystyle\sum_{i=2}^{n-3}\binom{n-i}{3}-4\sum_{i=2}^{n-3}\binom{n-i+1}{4}[/texx]


Y de ahí ya no logro seguir.

A ver si me pueden ayudar.

Saludos.
7  Matemática / Teoría de grafos / Ayuda buscando información. : 10/01/2017, 12:13:08
Hola.

Necesito encontrar información acerca de los siguientes teoremas pero no encuentro exactamente lo que busco.

*Triangulaciones de la esfera = complejo simplicial homomorfo a la esfera.
*Teorema de Tutte: Cuántas triangulaciones de la esfera hay con n vértices.
*Toda triangulación de la esfera tiene 3n-6 vértices. Además, todo grafo plano con 3n-6 vértices es una triangulación de la esfera.
*Teorema de Steinitz: Toda triangulación de la esfera es el grafo de un poliedro.

Me vendría bien algo de ayuda para encontrar esto.

Saludos.
8  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Ecuación diferencial parcial : 23/06/2016, 06:06:12
Hola.

Mira por aquí:

http://personales.unican.es/lafernandez/Intro-EDP.pdf

Saludos.
9  Matemática / Números complejos / Re: Demostración : 17/06/2016, 08:06:47
Hola.

Yo entiendo que es esto:

[texx]|z|\leq{}\sqrt{2}\cdot{}max\{|x|,|y|\}[/texx]

Y en efecto:

Si [texx]|x|\geq{}|y|[/texx]
[texx]|z|=\sqrt[ ]{|x|^2+|y|^2}=\sqrt[ ]{|x|^2\left(1+\left(\displaystyle\frac{|y|}{|x|}\right)^2\right)}\leq{}|x|\sqrt[ ]{1+1}\leq{}\sqrt[ ]{2}max\{|x|,|y|\}[/texx]

Análogamente si [texx]|y|\geq{}|x|[/texx].

Saludos.
10  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Dudas sistema de calificaciones : 12/06/2016, 15:56:10
Hola.

Pues si es así, no tienes un 4.6

Si es un 1 sobre 10, significa que no va a sumarte a la nota final (Como bien ha apuntado Carlos). Y si el 4 es sobre 10, tendrás un 3.6 de nota final.

Saludos.

PD: Mi consejo. En futuras asignaturas, si haciendo trabajos puedes conseguir nota sin necesidad de ir a un examen final, aprovecha la oportunidad.
11  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Dudas sistema de calificaciones : 11/06/2016, 16:09:22
Hola.

¿Un 1 sobre 10? ¿O te refieres a que has obtenido el punto completo?

Si no dices sobre cuánto es la nota no te podemos asegurar nada.

Si es un 1 de que la prueba online la tienes perfecta, y no ha habido otra prueba de continua, deduzco que el examen final debe contar un 90% de la asignatura. Si el 4 que tienes es sobre 9 puntos, has aprobado. Si el 4 que tienes es de un examen sobre 10 puntos (es bastante probable) tendrás un 4.6 de nota final.

Si ha habido trabajos y no nos dices la nota que tienes (o tienes un 0) la nota cambiará bastante. Hace falta que concretes un poco más, sobretodo cuando unas pocas décimas significan la diferencia entre aprobar y suspender.

Saludos.

EDITO:

Si el 4 y el 1 están puntuados sobre 10 y no has hecho trabajos, yo diría que un 3.6.

De ser así yo creo que sería un 3.7.
[texx]4*0.9+1*0.1[/texx]
12  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Comportamiento de la suma de la cuadrada y la cúbica : 11/06/2016, 05:31:23
Hola.

No entiendo tu pregunta. Si tienes [texx]f(x)=x^2+x[/texx] ¿Cómo justificas que es una parábola y no una recta?

No hay justificación para eso, se define como cúbica cualquier expresión polinómica de grado 3 (que no necesariamente tiene que ser en una variable).

Saludos.
13  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Mostrar que es Grupo : 08/06/2016, 15:37:28
Hola.

Para ver que es grupo tienes que probar que es cerrado para el producto, que es asociativo, que existe elemento neutro e inverso.

Primero, cerrado para el producto. Es una comprobación trivial, puedes comprobarlo uno a uno.

Asociativo. Si, porque no es más que el producto usual en [texx]C[/texx] y sabemos que ese lo es.

Elemento neutro, el 1. Por el mismo motivo que antes.

Elemento inverso. El del 1 es el 1, el del -1 es el -1. El de [texx]i[/texx] es [texx]-i[/texx] y el de [texx]-i[/texx] es [texx]i[/texx].

Además, como es el producto de [texx]C[/texx], es conmutativo, luego es abeliano.

Saludos.
14  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Aplicados a la vida diaria / Re: Presión que ejerce un liquido en el fondo de un tanque : 04/06/2016, 15:37:18
Hola.

¿El depósito está abierto por arriba?

Saludos.
15  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de computación / Re: Fotografías digitales finitas : 02/06/2016, 07:30:19
Hola.

En cuanto a pensamientos finitos tengo duda ahora de qué se está hablando. ¿Hablamos de la cantidad de pensamientos que se pueden hacer o la "variedad" de pensamientos? No es lo mismo. Yo puedo pensar en el nº 1, en el 2, en el 3... Y puedo pensar en el número que me de la gana que siempre podré pensar en uno distinto. Ahora bien, nunca voy a ser capaz de pensar todos porque me moriré antes.

Saludos.
16  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de computación / Re: Fotografías digitales finitas : 01/06/2016, 18:37:42
Hola.

No, los pensamientos no son finitos. O eso es lo que yo creo. Las posibles combinaciones no tienen por qué ser finitas. Date cuenta que el cerebro ocupa un espacio en el cual hay infinitos puntos y por tanto infinitas posibles conexiones distintas. Y aún así, mismas conexiones podrían generar pensamientos distintos. Simplemente el hecho de decirle a alguien "piensa un número" y que tenga infinitos números distintos en los que pensar es suficiente (en mi opinión) para afirmar que los pensamientos son infinitos.

Saludos.
17  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de computación / Re: Fotografías digitales finitas : 01/06/2016, 13:54:37
Hola.

Estoy de acuerdo. No podemos captar todos los matices y hay cosas que nos parecen iguales que en verdad no lo son.

En cuanto a tu otra cuestión, quizás lo mejor sea abrir un nuevo hilo. No tiene absolutamente nada que ver con las fotografías digitales ni con temas de computación  :risa:

Saludos.
18  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de computación / Re: Fotografías digitales finitas : 01/06/2016, 11:22:17
Hola.

Matemáticamente hablando, estoy de acuerdo contigo. Una fotografía tiene un número finito de píxeles. Los píxeles tienen un número finito de colores que pueden tomar. Luego hay una cantidad finita de posibles imágenes distintas, que son todas las combinaciones de colores de los píxeles. Si suponemos que un píxel puede tomar 3 colores (no sé, por poner un número), hay unas [texx]3^{400^2}[/texx] imágenes distintas. Esas son muchas fotos (muchas, muchas). Y si los píxeles pueden tomar más colores o hay más píxeles por imagen pues son muchas más. Así que teóricamente sí, hay una cantidad finita de posibles imágenes distintas que podemos tomar. Pero como cada vez la tecnología permite que haya más píxeles por imagen, o incluso que tomen más colores, ese número va creciendo tanto que prácticamente es infinito.

Saludos.

PD: En relación a tu último mensaje. Que dos paisajes (por ejemplo) tengan la misma representación pictórica implica que esa aplicación no es lo suficientemente "fina", y por tanto los paisajes tienen que ser MUY parecidos, tanto que la precisión de la fotografía sea incapaz de distinguirlos. Por ejemplo. Coge una pared lisa. Píntala de blanco. Saca una foto a una zona de la pared y otra a otra zona. Van a ser distintas. Pero todos los píxeles van a ser blancos, luego las imágenes son iguales, a pesar de ser distintos trozos de pared, y si nos acercamos lo suficiente veríamos que son distintas, pero en la imagen no se aprecia.
19  Matemática / Análisis Matemático / Re: Límites : 01/06/2016, 09:24:23
Hola.

Cuando [texx]x\rightarrow{}\infty[/texx] ese límite es del estilo [texx]1^{\infty}[/texx]. ¿Recuerdas como se calculaban?

Era lo de [texx]exp\left({lim_{x\rightarrow \infty} 2x^2\left(1+\displaystyle\frac{a}{x^2+6}-1\right)}\right)[/texx]

Simplemente calcula y ajusta la [texx]a[/texx].

Saludos.
20  Matemática / Teoría de la Medida - Fractales / Re: Medida de lebesgue con Borel. : 26/05/2016, 06:43:55
Hola.

Pero los conjuntos de medida nula en lebesgue son los contables, y todo conjunto contable es unión de puntos, que son elementos de la Sigma álgebra de Borel ¿no?

¿o hay conjuntos contables que no son Borel?

Saludos.
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