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1  Matemática / Probabilidad / Variables exponenciales y sus estadísticos : 03 Junio, 2016, 04:36
Tengo una serie de problemas que mencionan algo que se llama "estadísitico de orden...", buscando en internet solo me confunde más (se puede interpretar como la función mínimo?). Uno de los problemas dice: Sean [texx]X_1,X_2,X_3[/texx] variables independientes con distribución  exponencial y mismo parámetro [texx]\lambda=1[/texx], y sean [texx]X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}[/texx] los estadísticos de orden correspondientes a [texx]X_1,X_2,X_3[/texx]. Encuentra a) [texx]P[X_{(1)}>\frac12,X_{(2)}<2][/texx] y [texx]P[X_{(2)}<1,X_{(3)}>1][/texx], b)\dots Los demás incisos son parecidos, pero no tengo ni idea de cómo se haga este tipo de ejercicio
2  Matemática / Probabilidad / Suma de distribución normal es normal : 03 Junio, 2016, 04:17
En clase se usa mucho que si [texx]X[/texx] se distribuye normal con parámetros [texx]\mu_1[/texx] y [texx]\sigma_1[/texx] y si [texx]Y[/texx] se distribuye normal con parámetros [texx]\mu_2[/texx] y [texx]\sigma_2[/texx] , entonces la suma [texx]X+Y[/texx] es normal con parámetros [texx]\mu_1+\mu_2[/texx] y [texx]\sigma_1 +\sigma_2[/texx]. Generalmente se usa esto, pero no se demuestra,  entonces buscando una explicación en el internet veo que nadie la demuestra y lo más que encontré fue este pdf: https://www.uv.es/ceaces/pdf/normal.pdf que obvio no es malo, pero me preguntaba si se puede hacer sin las funciones generatrices de momentos, como le hacen ahí. Lo intenté hacer yo, pero me hice un poco líos.

Tomé la definición de la función densidad: [texx]f_X(x)=\frac1{\sigma_1\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac12(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1})^2)[/texx] y la análoga [texx]f_Y(y)=\frac1{\sigma_2\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac12(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2})^2)[/texx]. Queremos encontrar [texx]U=X+Y[/texx], tomamos [texx]X=U-Y[/texx], pero no estoy segura de qué hacer después... generalmente estas preguntas vienen en pares, es decir, piden encontrar distribuciones conjuntas. No sé cómo se haría.
3  Matemática / Probabilidad / Demostrar que las variables tienen distribución normal estándar : 03 Junio, 2016, 03:40
Tengo un ejercicio que pusieron en clase, y aparentemente es "muy fácil", pero a mí me está rompiendo la cabeza.
Sean [texx]X[/texx] y [texx]Y[/texx] variables independientes con distribución uniforme en el [texx](0,1)[/texx]. Muestra que las variables [texx]A= \sqrt{-2 lnX}(\cos2\pi Y)[/texx] y [texx]B= \sqrt{-2 lnX}(\sin2\pi Y)[/texx] son independientes y que ambas tienen distribución normal estándar.

Primero, veo que para sacar la independencia de [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx], necesito las funciones de distribución de cada uno, y para ello lo que más conviene es tener la función de densidad, que sale de saber qué tipo de distribución tiene. En primer lugar, tengo muchos problemas para lograr concluir que sí es normal estándar; pero si supusiera que ya lo es ¿cuáles serían los parámetros?
4  Matemática / Probabilidad / Función de densidad de un valor absoluto : 05 Mayo, 2016, 11:51
Tengo dos variables aleatorias independientes con distribución geométrica de parámetro [texx]p[/texx] (las dos). Tengo que encontrar la densidad de [texx]|X-Y|[/texx].

El problema que tengo es que no me sale lo que supuestamente debería obtener.
Llamo [texx]Z=|X-Y|[/texx], entonces [texx]P[Z=z]=P[|X-Y|=z]=P[0\leq X-Y=z]+P[0< Y-X=z][/texx], no se si hasta estoy bien.
Después continuo: [texx]P[X-Y=z]=\sum_x P[X=x,Y=x+z][/texx], supongo que lo que sigue es aplicar la densidad de la geométrica, que en clase vimos que es [texx]f_x(x)=p(1-p)^x[/texx], si la [texx]x\in\left\{{1,2,3,\dots}\right\}[/texx] entonces [texx]P[X-Y=z]=\sum_x P[X=x,Y=x+z]=\\ \sum_x p(1-p)^{x+z}[/texx]
¿Eso está bien?
5  Matemática / Probabilidad / Re: Función de densidad en un área. : 05 Mayo, 2016, 11:39

Pero el cálculo de [texx]f(x)[/texx] está mal. Te indiqué que debes de distinguir casos según el intervalo donde esté [texx]x[/texx].

- Si [texx]x\in [1,2][/texx] entonces dentro de la región [texx]R[/texx], y está limitado por [texx]\dfrac{1}{x}\leq y\leq x[/texx] y así:

[texx]f(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy=\displaystyle\int_{1/x}^{x}\dfrac{10}{49}dy=\dfrac{10}{49}(x-\dfrac{1}{x})[/texx]

- Si [texx]x\in [2,3][/texx] entonces dentro de la región [texx]R[/texx], y está limitado por [texx]\dfrac{1}{x}\leq y\leq 2[/texx] y así... continúa...

aahhh... se me pasó completamente hacer eso, y pareciera de lo más obvio...

el_manco, muchas gracias por su paciencia. :sonrisa:
6  Matemática / Probabilidad / Re: Función de densidad en un área. : 04 Mayo, 2016, 14:09
Ya obtuve [texx]area(R)\approx{4.9}[/texx]. Sin embargo, no me queda claro que la fórmula de [texx]f(x,y)[/texx] sean constantes, porque según yo todo quedaría así:
[texx]f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{10}{49} & \text{si}& (x,y)\in R\\0 & \text{si}& (x,y)\not \in R\end{cases}[/texx], entonces [texx]f(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy=\displaystyle\int_{1/3}^{2}f(x,y)dy=\displaystyle\int_{1/3}^{2}\frac{10}{49}dy\approx{0.34}[/texx] lo cual sigue siendo una constante, pero entonces no cumpliría la propiedad [texx]\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1[/texx], no daría [texx]1[/texx], sino infinito.
7  Matemática / Probabilidad / Re: Encontrar funciones de densidad de suma de variables : 04 Mayo, 2016, 12:13

De manera precisa:

[texx]P(X_1+X_2=k)=P(n-X_3=k)=P(X_3=n-k)=\displaystyle\binom{n}{n-k}p_3^{n-k}(1-p_3)^k[/texx]

Pero ¿cuál es la duda?. Fíjate que no debes de quedarte sólo con lo que tu has dicho  "puedo usar la formulita...". Lo importante es como relacionamos la distribución de [texx]X_1+X_2[/texx] con la de [texx]X_3[/texx], es decir, cómo deducimos que todo se reduce al final a la "formulita".


Bueno, mi duda solo era que si me aplicaba la fórmulita así no más, pero ahora ya me hice bolas.
[texx]P(X_1+X_2=k)\stackrel{(a)}=P(n-X_3=k)\stackrel{(b)}=P(X_3=n-k)[/texx]
Lo que dices es que se pueda explicar bien de dónde salen las igualdades [texx](a),\,(b)[/texx]? [texx](a)[/texx] sale de la hipótesis de que [texx]p_3=1-p_1-p_2\Rightarrow p_1+p_2=1-p_3[/texx]
8  Matemática / Probabilidad / Encontrar nuevas densidades a partir de una dada : 04 Mayo, 2016, 03:31
Nos dan la siguiente densidad conjunta de [texx]X,Y[/texx]:
[texx]f(x,y)=\begin{cases} \frac34 (y+1) & 0\text{si } 0<x<y<2\\ & \text{en otro caso}\end{cases}[/texx]
Piden encontrar [texx]U=Y-X[/texx] y [texx]V=\frac YX[/texx]

Para [texx]U[/texx], según yo la regla no cambia, solo el dominio [texx]f(u)=P(Y-X=u)=P(Y=u-X)[/texx], y de aquí quería ver si se valía usar [texx]P(Y=u-X)=\displaystyle\sum_y{f(u-x,y)}[/texx], lo cual devuelve la misma función para cualquier [texx]x[/texx], no?
9  Matemática / Probabilidad / Densidad conjunta : 03 Mayo, 2016, 22:51
Tenemos la densidad conjunta para [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] dada por:
[texx]f(x,y)=\begin{cases} c(y-x) & \text{si } y^2-4<x<y\\0 & \text{en otro caso}\end{cases}[/texx]
Encuentra el valor [texx]c[/texx] y [texx]P[2X<Y<1][/texx].

Se que la gráfica de [texx]f[/texx] está en el espacio, y que donde no se anula es un área, y que [texx]c(y-x)[/texx] terminaría siendo un plano, pero no entiendo muy bien cuál es el problema con [texx]c[/texx], ¿cómo se puede determinar? ¿no se necesitan más datos para poder determinarlo?

Para encontrar [texx]P[2X<Y<1][/texx] se necesita saber los dominios de [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx], pero eso depende de [texx]c[/texx]?
10  Matemática / Probabilidad / Función de densidad en un área. : 03 Mayo, 2016, 22:22
Hay que seleccionar al azar un punto de una área delimitada por [texx]y=\frac1x , y=x , y=\frac59 x-\frac43 , y=2[/texx]. Sea [texx]X[/texx] la abscisa y sea [texx]Y[/texx] la ordenada del punto. Encuentra la densidad de [texx]X[/texx].

Primero que nada, cuando hago el dibujo para encontrar el área, no me queda claro cuál es.

El área coloreada no toma en cuenta la recta [texx]y=2[/texx]


Además de que no me queda claro cómo expresar a [texx]X[/texx], supongo que por cuadrantes, pero no me queda de manera que se cumpla toda la definición de función de densidad.
11  Matemática / Probabilidad / Re: Encontrar funciones de densidad de suma de variables : 03 Mayo, 2016, 22:06
Gracias por tu respuesta.

La densidad para una variable discreta es [texx]P(X_1+X_2=k)[/texx], es decir, la probabilidad de que en [texx]n[/texx] tiradas se obtengan exactamente [texx]k[/texx] tiradas con unos o doses.

Ahora ten en cuenta que:

[texx]P(X_1+X_2=k)=P(n-X_3=k)=P(X_3=n-k)[/texx]

y cada [texx]X_i[/texx] es una binomial [texx]B(n,p_i)[/texx].


Entonces puedo usar la formulita [texx]\displaystyle\binom{n}{k} p_3^k(1-p_3)^{n-k}[/texx] así directamente? y eso es lo que buscamos?
12  Matemática / Probabilidad / Encontrar funciones de densidad de suma de variables : 02 Mayo, 2016, 04:45
Se tiene un dado "injusto" de tres caras con probabilidad de obtener el [texx]1[/texx] igual a [texx]p_1[/texx], de obtener el [texx]2[/texx] es [texx]p_2[/texx] y de obtener el [texx]3[/texx] es [texx]p_3=1-p_2-p_1[/texx]. Tomamos el experimento de tirar el dado, en forma independiente, [texx]n[/texx] veces. Tomemos [texx]X_i[/texx] el número de veces que se obtiene el número [texx]i[/texx], donde [texx]i\in\left\{{1,2,3}\right\}[/texx].
a)Encuentra la función de densidad de [texx]X_1+X_2[/texx].
b)Encuentra la función de densidad de [texx]P [X_2 = y | X_1 + X_2 = z][/texx] donde [texx]z\in\left\{{0,\dots,n}\right\}[/texx] y [texx]y\in\left\{{0,\dots,z}\right\}[/texx].

Para a), al tirar el dado tenemos que las [texx]X_i's[/texx] son independientes y me imagino que discretas, pero no me queda claro si hay que encontrar [texx]P[X_1+X_2=k][/texx] o [texx]P[X_1+X_2\leq{k}][/texx] o [texx]P[m\leq{}X_1+X_2\leq{k}][/texx]. Además me imagino que

Para b),  no le entiendo... le he puesto valores a [texx]z,n,y[/texx] pero me termino haciendo líos.
13  Matemática / Circunferencias / Encontrar parametrización desplazando y reflejando : 28 Abril, 2016, 23:19
Se da una curva C [texx]\mathbb{\mathbb{R}}^2[/texx] parametrizada por [texx]\sigma(t)=(\sigma_1(t),\sigma_2(t))[/texx] y se pide lo que sigue, pongo lo que he hecho, quiero saber si todo está bien:

C desplazada sobre la horizontal, hacia la derecha, una cantidad c > 0.
[texx]\sigma(t)=(\sigma_1(t)+c, \sigma_2(t))[/texx]
ii) C desplazada en la dirección de un vector fijo, no nulo (a, b).
[texx]\sigma(t)=(\sigma_1(t)+a, \sigma_2(t)+b)[/texx]
iii) C reflejada respecto al eje X.
[texx]\sigma(t)=(-\sigma_1(t), \sigma_2(t))[/texx]
iv) C reflejada respecto al eje Y.
[texx]\sigma(t)=(\sigma_1(t), -\sigma_2(t))[/texx]
v) C reflejada respecto a la identidad.
[texx]\sigma(t)=(\sigma_2(t), \sigma_1(t))[/texx]
vi) C reflejada respecto al origen.
[texx]\sigma(t)=(-\sigma_1(t), -\sigma_2(t))[/texx]

¿están bien?
14  Matemática / Probabilidad / Re: Maximizar la esperanza. : 19 Abril, 2016, 14:02
Eres muy amable, ya me ha quedado claro  :sonrisa_amplia: :cara_de_queso:
15  Matemática / Probabilidad / Re: Maximizar la esperanza. : 19 Abril, 2016, 13:13
El enunciado es claro: nos dice que [texx]x[/texx] kilos vendidos dan [texx]\alpha x[/texx] de ganancia.

También nos dice que [texx]x[/texx] kilos no vendidos nos dan [texx]\beta x[/texx] de pérdida. En nuestro caso no hemos vendido [texx]\alpha-x[/texx] kilos que nos darán [texx]\beta(\alpha-x)[/texx] de pérdida.

En conjunto restamos la pérdida a la ganancia:

[texx]\alpha x-\beta(\alpha-x)[/texx]


Entonces el [texx]\alpha[/texx] que tú escribiste no es la misma que dice el enunciado? o la [texx]a[/texx] y el [texx]\alpha[/texx] son intercambiables? Más o menos entiendo, que [texx]\beta(\alpha-x)[/texx] sea la pérdida, pero por qué se hace esta resta:[texx]\alpha x-\beta(\alpha-x)[/texx]?


[texx]Y=\begin{cases} f(x)& \text{si}& x\in [a,b]\\h(x)\alpha & \text{si}& x\in (b,c]\end{cases}[/texx]

entonces:

[texx]E[Y ]=E[F(x)|X\in[a,b]]P[X\in [a,b]]+E[H(x)|X\in (b,c]]P[X\in (b,c]][/texx]

Entonces de lo que escribiste, ¿[texx]H(x)=\alpha h(x)[/texx]?
16  Matemática / Probabilidad / Fórmula para E[X^2] : 19 Abril, 2016, 13:06
En un ejercicio dan la siguiente función de distribución: [texx]f(x)=\begin{cases} 0 & x\in(-\infty,-1)\\\frac{x+2}{16} & x\in[-1,0)\\\frac3{16} & x\in[0,1)\\\frac{x+3}{16} & x\in[1,2)\\\frac58 & x\in[2,3)\\1-\frac{1}{2^k} & x\in[k,k-1)\,\textrm{para }k\in\left\{{3,4\dots}\right\}\end{cases}[/texx]
Piden calcular la varianza. Para esto, se que hay que encontrar [texx]E[X][/texx] y [texx]E[X^2][/texx]. En la solución del problema usan lo siguiente: [texx]E[X]=\displaystyle\int_{0}^{\infty}1-F_X(x)dx-\displaystyle\int_{-1}^{0}F_X(x)dx[/texx] y [texx]E[X^2]=\displaystyle\int_{0}^{\infty}2x(1-F_X(x))dx-\displaystyle\int_{-1}^{0}2xF_X(x)dx[/texx].

¿Estas fórmulas son válidas siempre, o si solo valen para este ejemplo particular? y ¿por qué las segundas integrales tienen esos límites de integración?
17  Matemática / Probabilidad / Interpretar parte discreta y parte continua : 18 Abril, 2016, 19:05
Hola,

Nos dieron las siguientes definiciones de parte discreta y parte continua de una función de distribución, y no me queda muy claro.
Si [texx]F_X[/texx] es la distribución de [texx]X[/texx], entonces la parte discreta se define por: [texx]F_X^d(x):=\displaystyle\sum_{\left\{{y\in\mathbb{R}:\,y\leq{x}\,\wedge\,P[X=y]>0}\right\}}{P[X=y]}[/texx], y la parte continua se define por [texx]F_X^c=F_X-F_X^d[/texx].
La que más conflictos me provoca es [texx]F_X^d[/texx]. Por ejemplo, si [texx]F_X(x)=\begin{cases} 0 & x\in(-\infty,0)\\1-e^{-x} & x\in[0,1)\\\frac7{10} & x\in[1,2)\\\frac{x+6}{10} & x\in[2,3)\\1 & x\in[3,\infty)\end{cases}[/texx], y yo quiero encontrar la parte discreta, no entiendo cómo hacerlo, si en dos de los intervalos, la función es continua.

Esto es lo que se supone que debería de salir:
[texx]F_X^d(x)=\begin{cases} 0 & x\in(-\infty,0)\\0 & x\in[0,1)\\-\frac{3}{10}+e^{-1} & x\in[1,2)\\-\frac{2}{10}+e^{-1} & x\in[2,3)\\-\frac{1}{10}+e^{-1} & x\in[3,\infty)\end{cases}[/texx]
18  Matemática / Probabilidad / Re: Maximizar la esperanza. : 18 Abril, 2016, 18:06

Ahora fijado [texx]\alpha[/texx] la variable ganancia es:

[texx]Y=\begin{cases} ax-(\alpha-x)b & \text{si}& x\in (0,\alpha]\\a\alpha & \text{si}& x>\alpha\end{cases}[/texx]


Uhm... no me queda claro lo que pasa cuando [texx]x\in(0,\alpha][/texx], no debería ser [texx](\alpha - x)(a+b)[/texx], yo lo leo como lo que no se vendió por lo que costó comprarlo. Es que por más que lo intento no me sale lo mismo que a ti. ¿No quedaría que la variable [texx]Y[/texx] es realmente una función de [texx]X[/texx]? o sea,  que [texx]Y=g(X)[/texx].

¿Es lo mismo ganancia que demanda?


La esperanza puedes ver que es:

[texx]E[Y]=a\alpha P(X>\alpha)-(\alpha b +(a+b)E[X|x\in (0,\alpha]])P(X\leq \alpha)[/texx]


No me queda claro cómo salió esta fórmula. ¿Es [texx]Y[/texx] continua o discreta?
19  Matemática / Probabilidad / Maximizar la esperanza. : 15 Abril, 2016, 12:28
Tengo un problema que pide maximizar la esperanza (valor esperado), pero siempre tengo problemas con  este tipo de preguntas. Sé que cuando piden maximizar en cálculo, hay que derivar y ver el signo, pero aquí en proba me hace ruido.

"Se compran semillas para vender, la demanda está dada por la variable aleatoria continua [texx]X[/texx] con función de distribución [texx]F_X[/texx] (la cual no tiene porque ser absolutamente continua). La venta de [texx]x[/texx] kilos del producto produce una ganancia de [texx]ax[/texx] dólares mientras que [texx]x[/texx] kilos no vendidos producen una pérdida de [texx]bx[/texx] dólares. Demuestra que el valor esperado de la ganancia se maximiza comprando, para su venta, [texx]\alpha[/texx] kilos del producto, en donde [texx]\alpha[/texx] es tal que [texx]F_X(\alpha)=\frac{a}{a+b}[/texx]"

Creo que se puede asumir sin problemas que todos los valores ([texx]x,\alpha,a,b,[/texx]etc.) son positivos. Lo que yo entiendo por demanda es la cantidad de producto que se compra, es decir, si compramos [texx]10[/texx] kilos de semillas y se venden [texx]6[/texx] kilos, la demanda son los [texx]6[/texx] kilos, lo cual quiere decir que [texx]6x[/texx] es la ganancia y [texx]4x[/texx] es la pérdida. No se si lo estoy interpretando todo mal y por eso no me sale esto.
20  Matemática / Probabilidad / Re: Interpretar correctamente la variable aleatoria : 15 Abril, 2016, 12:10
¡Ya veo!
Muchas gracias a los dos, ya me quedó muy claro :cara_de_queso:
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