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Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
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1  Matemática / Números complejos / Re: Si los afijos son vértices de un triángulo equilátero entonces su suma es cero : 16/11/2017, 01:50:37 pm
Hola

¡Vale! Muchas gracias. Me estaba volviendo loco.

No encontraba por donde fallaba. Gracias de nuevo

No sé si quedó claro que la solución que pusiste en el Spoiler está MAL. Allí se gira sólo [texx]60[/texx] grados en lugar de [texx]120[/texx]. Si giramos un punto respecto al origen, dos veces sucesivas [texx]60[/texx] grados lo que se obtiene NO es un triángulo equilátero, sino uno isósceles de ángulos [texx]30,30,120[/texx].

Saludos.

Hola.

Gracias Luis. Me quedó claro con la explicación de robinlambada tenían que girar [texx]120º[/texx].

Voy a editar el spoiler con la solución correcta.

Saludos a todos y muchas gracias.
2  Matemática / Números complejos / Re: Si los afijos son vértices de un triángulo equilátero entonces su suma es cero : 15/11/2017, 05:04:18 pm
Hola.

¡Vale! Muchas gracias. Me estaba volviendo loco.

No encontraba por donde fallaba. Gracias de nuevo

Saludos!!
3  Matemática / Números complejos / Si los afijos son vértices de un triángulo equilátero entonces su suma es cero : 15/11/2017, 03:45:41 pm
 Hola a todos,

Demostrar que si [texx]z_1[/texx], [texx]z_2[/texx] y [texx]z_3[/texx] son los vértices de un triángulo equilátero y [texx]\left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=1[/texx], entonces se cumple que [texx]z_1+z_2+z_3=0[/texx]

Resolviendo este problema me encontré con la solución que pongo en el spoiler a continuación y la duda que me surge:

Editado con la solución correcta.


Gracias a todos y saludos.
4  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Problema 5. Galicia 2017. Probabilidad : 28/09/2017, 04:07:24 pm
Hola.

Problema 5: Oposiciones Secundaria Galicia 2017

Se realiza un juego entre dos jugadores [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx], en cada partida la probabilidad de que gane el juego el jugador [texx]A[/texx] es [texx]p[/texx], la probabilidad de que gane el jugador [texx]B[/texx] es [texx]q[/texx], y la probabilidad de que queden en tablas (empate) es [texx]r[/texx]. Gana el juego el jugador que gana dos partidas. Calcule la probabilidad de que gane el juego el jugador [texx]A[/texx]

Gracias y saludos.
5  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Problema 4. Galicia 2017. Complejos : 28/09/2017, 04:01:08 pm
Hola.

Problema 4: Galicia 2017

Los vértices de un triángulo equilátero [texx]ABC[/texx] son los afijos de los complejos: [texx]z_A=1[/texx] ; [texx]z_B=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/texx] ; [texx]z_C=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/texx]

a) Dadas las relaciones [texx]z+z_1=2z_A[/texx] ; [texx]z_1+z_2=2z_B[/texx] ; [texx]z_2+z_3=2z_C[/texx]. Hallar las trasformaciones geométricas [texx]M\rightarrow{}M_1[/texx] ; [texx]M\rightarrow{}M_2[/texx] ; [texx]M\rightarrow{}M_3[/texx] ; siendo [texx]M_1[/texx], [texx]M_2[/texx], [texx]M_3[/texx] y [texx]M[/texx] los afijos de [texx]z_1[/texx], [texx]z_2[/texx], [texx]z_3[/texx] y [texx]z[/texx].

b) Cuando el punto [texx]M[/texx] describe la circunferencia circunscrita al triángulo [texx]ABC[/texx], determinar la linea descrita por el afijo [texx]z_4[/texx] dado por la siguiente relación: [texx]z_4=z+\dfrac{a^2}{z}[/texx] siendo [texx]a[/texx] un número real dado.
Especificar, en particular, el caso en que [texx]a[/texx] es el radio de la circunferencia.


Muchas gracias y saludos.
6  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Problema 3. Galicia 2017. Hallar el lugar geométrico : 28/09/2017, 03:47:09 pm
Hola de nuevo.

Problema 3: Galicia 2017

Una circunferencia variable [texx]C[/texx] es tangente al eje de abscisas en el punto[texx] A(-1,0)[/texx]. Sea [texx]r[/texx] la recta tangente a [texx]C[/texx] en el punto diametralmente opuesto a [texx]A[/texx], y [texx]s[/texx] la tangente a [texx]C[/texx] distinta de [texx]OX[/texx] que pasa por [texx]B(1,0)[/texx]. Hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de [texx]r[/texx] y [texx]s[/texx] .

Nota: Este mismo ejercicio se propuso también en Canarias en 1989

Un saludo y muchas gracias.
7  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Galicia 2017. Oposiciones Secundaria. Límite. Problema 1 : 28/09/2017, 03:32:40 pm
Hola.

Gracias Ignacio y saludos.
8  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Problema 2. Galicia 2017. Demostrar que es topología. : 28/09/2017, 01:21:14 pm
Hola.

Problema 2 , Oposiciones secundaria Galicia 2017

Sea [texx]\mathbb{R}[/texx] la recta real y [texx]T [/texx] la familia formada por el [texx]\emptyset[/texx] y todos los subconjuntos de [texx]\mathbb{R}[/texx] que son complementarios de conjuntos finitos. Demostrar:
a) [texx]T[/texx] es una topología en [texx]\mathbb{}[/texx].
b)  [texx]\{ \mathbb{R},T \}[/texx] no es un espacio de Hausdorff.
c)  [texx]\{ \mathbb{R},T \}[/texx] es un espacio compacto.

Gracias y saludos para todos.
9  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Galicia 2017. Oposiciones Secundaria. Límite. Problema 1 : 28/09/2017, 12:54:56 pm
Hola a todos.

Han caído en mis manos los enunciados de algunos de los problemas de las oposiciones de secundaria de Galicia 2017, así que, tal y como he hecho en otras ocasiones los voy a compartir con todos vosotros, y el que quiera resolverlos, pues ya sabe... para ser sincero con todos vosotros yo hasta el momento no lo he intentado. Pero bueno...

Creo recordar que fueron al menos 8 problemas, yo solamente tengo hasta el momento 5 enunciados de esos 8. Si consigo más, los pondré.

Este límite no fue el problema 1, pero como desconozco el orden real y eso tampoco importa nada, pues he decidido llamarlo así.

Problema 1: Oposiciones Secundaria Galicia 2017
Resuelva el siguiente límite:

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{n}\sqrt[n ]{(a+\sqrt[ ]{n^2+a^2})(2a+\sqrt[ ]{n^2+4a^2})\ldots(na+\sqrt[ ]{n^2+n^2a^2}}[/texx]

Gracias y saludos.
10  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Problema oposición - igualdad 'óptica' entre segmentos en un triángulo : 20/05/2017, 09:27:45 am
Hola.

Gracias el_manco. Las coordenadas baricéntricas es un recurso que nunca utilizo y recuerdo que ya me las habías sugerido para resolver otro problema que había planteado por aquí.

Gracias de nuevo y saludos.
11  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Problema oposición - igualdad 'óptica' entre segmentos en un triángulo : 18/05/2017, 03:40:33 pm
Hola,

He intentado de todo y no llego a ningún sitio. No encuentro ninguna semejanza, por Pitágoras tampoco veo que llegue a nada...

¿Alguna sugerencia para seguir?

Saludos!
12  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Oposiciones secundaria - Aragón 2004 - Derivada n-ésima : 22/02/2017, 06:15:24 pm
Hola a todos.

Acaba de caer en mis manos el siguiente problema de Aragón 2004. Aquí os lo dejo para el que quiera intentarlo...

Sea la función [texx]f(x)=L(1+x)^2- arctg \  x[/texx]. Demostrar que:

[texx]f^{(n}(x)=\dfrac{P_n(x)}{(1+x^2)^n}[/texx]

donde [texx]P_n(x)[/texx] representa un polinomio de grado [texx]n[/texx] con [texx]n[/texx] ceros reales diferentes.


Creo que debe ser más bién:  [texx]f(x)=\log (1+x^2)- \arctg  x[/texx]


Tiene que ser así seguro. Lo dejo con spoiler por si alguien quiere disfrutarlo.
 



Hola.

Perdón. Tienes toda la razón. Lo copié mal, ya lo corrijo.

Un saludo y gracias por la corrección.
13  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Oposiciones secundaria - Aragón 2004 - Derivada n-ésima : 22/02/2017, 03:46:20 pm
Hola a todos.

Acaba de caer en mis manos el siguiente problema de Aragón 2004. Aquí os lo dejo para el que quiera intentarlo...

Sea la función [texx]f(x)=L(1+x\textcolor{red}{^2})- arctg \  x[/texx]. Demostrar que:

[texx]f^{(n}(x)=\dfrac{P_n(x)}{(1+x^2)^n}[/texx]

donde [texx]P_n(x)[/texx] representa un polinomio de grado [texx]n[/texx] con [texx]n[/texx] ceros reales diferentes.



Un saludo.

Editado: Corrección de fórmula
14  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / LIII Olimpiada Matemática Española- Sesión 2 - Problema 3- Núm. Máx de raíces : 17/01/2017, 05:22:06 pm
Hola.

Sesión 2 - Problema 3:

Calcula el número máximo de raíces reales distintas que puede tener un polinomio [texx]P[/texx] que verifique la siguiente propiedad: el producto de dos raíces distintas de [texx]P[/texx] sigue siendo una raíz de [texx]P[/texx]


¿Alguna sugerencia?

Saludos!
15  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / LIII Olimpiada Matemática Española- Sesión 2 - Problema 2- Perímetro : 17/01/2017, 04:36:14 pm
Hola.

Ya que ha caído en mis manos el ejercicio de la Olimpiada, lo comparto con todos vosotros.

Sesión 2 - Ejercicio 2:

Calcular el perímetro de una circunferencia circunscrita a un decágono regular de lado [texx]l[/texx].

Nota: No se puede usar la calculadora, por tanto, se pide expresar el resultado en función de la razón aurea [texx]\phi[/texx]

A mí me a dado:


Saludos.
16  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / LIII Olimpiada Matemática Española- Sesión 2 - Problema 1- Soluciones enteras : 17/01/2017, 03:24:38 pm
Hola.

Os propongo uno de la olimpiada Matemática Española celebrada el pasado 13 de enero del 2017:

Describir todas las soluciones enteras positivas [texx](m,n)[/texx] de la ecuación [texx]8m-7=n^2[/texx] y dar el primer valor de [texx]m[/texx] (si existe) mayor de 1959.

Nota: No está permitido el uso de calculadoras.


Saludos!
17  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: ejercicio ruffini : 11/01/2017, 04:25:04 pm
Hola.

El enunciado del ejercicio está bien.

Utilizando la regla de Ruffini se puede hallar el valor de un polinomio en un punto sin necesidad de evaluarlo.

El resto de la división del polinomio entre [texx]x-a[/texx] es igual al valor del polinomio en [texx]x=a[/texx], es decir, a [texx]P(a)[/texx].

En este vídeo lo explica:
https://www.youtube.com/watch?v=sBfEjAY6ZEI

Saludos.
18  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Problema Comunidad Valencia 2004 : 16/12/2016, 03:21:40 pm
Hola y gracias.

Ahora sí, me quedó claro, de aquí:

[texx]2a(5-a)=2c^2+2ac-c[/texx]

Si [texx]a[/texx] es par [texx]2a[/texx] es múltiplo de 4.
Si [texx]a[/texx] es impar entonces [texx](5-a)[/texx] será par y por lo tanto [texx]2a(5-a)[/texx] será múltiplo de 4.

Y después tal y como mencionas, por ser también múltiplos de 4, [texx]2c^2[/texx] y [texx]2ac[/texx], pues tendrá que ser [texx]c[/texx] múltiplo de 4.

Muchas gracias por la aclaración y saludos
19  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Problema Comunidad Valencia 2004 : 16/12/2016, 02:57:20 pm
Hola el_manco,

Aquí hay una cosa que no entiendo:


 Simplificando queda:

[texx] 10a+c=2a^2+2c^2+2ac[/texx]

 De ahí es inmediato que [texx]c[/texx] es par, y teniendo en cuenta que [texx]10a+2a^2=2a(5+a)[/texx], se ve que [texx]c[/texx] es de hecho múltiplo de [texx]4[/texx]. Si [texx]c=0[/texx], se obtiene [texx]a=5[/texx] y [texx]b=0+5=5[/texx]. Tenemos una solución: 550.

 

¿Cómo deduces que [texx]c[/texx] es múltiplo de 4? veo claramente que [texx]c[/texx] es par, pero no que sea múltiplo de 4, o al menos no lo veo de forma inmediata.

Es que esto: [texx]10a+2a^2=2a(5+a)[/texx], no veo a cuenta de que viene... partiendo de aquí [texx] 10a+c=2a^2+2c^2+2ac[/texx].

Gracias y saludos.
20  Matemática / Construcciones / Re: Dividir un arco : 10/11/2016, 03:54:26 pm
Hola michel

Entiendo tu razonamiento y construcción.

Pero lo que no sé es por qué la mía no esta bien. Utilizando tu dibujo, he hecho la mía encima y no me sale el mismo punto, lo cuál implica que algo tengo mal, pero no sé lo que es, ya que creo que lo hice bien.

Seguiré pensando en ello...

Saludos!
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