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1  Matemática / Análisis Real - Integral de Lebesgue / Problema Sucesiones : 21 Febrero, 2013, 03:32
Hola! ¿Alguna idea para esta? Sea [texx]x_{n}[/texx] una sucesión de números reales no negativos tal que:
[texx]x_{n+1}\leq \displaystyle x_{n}+\frac{1}{n^{2}}[/texx]
Demostrar que la sucesión [texx]x_{n}[/texx] es convergente.
2  Matemática / Análisis Real - Integral de Lebesgue / Problema con Sucesión : 21 Febrero, 2013, 03:27
Hola! ¿Alguna idea para esta? Sea [texx]x_{n}[/texx] una sucesión de números reales no negativos tal que:
[texx]x_{n+1}\leq \displaystyle x_{n}+\frac{1}{n^{2}}[/texx]
Demostrar que la sucesión [texx]x_{n}[/texx] es convergente.
3  Matemática / Análisis Real - Integral de Lebesgue / Sucesiones : 20 Febrero, 2013, 23:20
Hola! ¿Alguna idea para este problema? Sea [texx]x_{n}[/texx] una sucesión definida recursivamente como [texx]x_{n+1}=x_{n}-x_{n}^{n+1}[/texx] en donde [texx]x_{1}\in (0,1)[/texx]. Demostrar que [texx]\liminf x_{n}>0[/texx].

Gracias a todos de antemano
4  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Críterio de Pringsheim para series. : 02 Febrero, 2013, 11:48
Hola. En realidad si el límite es negativo no ocurre nada especial, el criterio sigue funcionando igual. En efecto si [texx]L\leq 0[/texx] y
[texx]\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}n^{h}a_{n}=L[/texx]
Entonces es posible afirmar que:
[texx]\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}n^{h}(-a_{n})=-L\geq 0[/texx]
y basta con aplicar el criterio original a la sucesión [texx]-a_{n}[/texx] cuya convergencia o divergencia es equivalente a la convergecia o divergencia de [texx]a_{n}[/texx]
5  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Demostrar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones : 09 Noviembre, 2012, 00:59
¡Hola! Bienvenido al foro. Respecto a tus preguntas:
 a) Considera una sucesión monótona creciente cualquiera [texx](a_{n})[/texx]. ¿Cuando la multiplicas por cualquier número real ella sigue siendo monótona creciente? Puedes tratar de entenderlo con algunos ejemplos, toma por ejemplo [texx]a_{n}=n[/texx]. Puedes garantizar que [texx]a_{n}\geq a_{n-1}[/texx]. ¿Es ciertoque
[texx]ka_{n}\geq ka_{n-1}[/texx]
para todo valor de [texx]k[/texx]?, es decir ¿[texx](ka_{n})[/texx] es monótona creciente?

b) Es falso, para esto encuentra una sucesión monótona creciente y otra decreciente, y muestra que su suma no es monótona.

Espero sea de ayuda.

Saludos.
6  Matemática / Trigonometría y Geometría Analítica / Re: Formulas de adición: : 08 Noviembre, 2012, 22:31
Hola.

Puedes utilizar el hecho de que: [texx]240=180+60[/texx]. Luego de eso utilizas la fórmula de adición del coseno:
[texx]\cos (240)=\cos (180+60)=\cos (180)\cos (60)-\sin (180)\sin (60)[/texx]
.
Espero sea de ayuda.

Saludos
7  Matemática / Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Desarrollar unas expresiones matriciales : 26 Octubre, 2012, 19:42
¡Hola! Bueno uno a la vez:

1. En este ejercicio cometes un error. Cuando nosotros en números usuales distribuimos los exponentes en un producto en realidad hacemos es lo siguiente:
[texx](ab)^{2}=(ab)(ab)=(aa)(bb)=a^{2}b^{2}[/texx]
Un paso central del anterior procedimiento es que pudimos cambiar el orden de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] en el producto, puesto que este producto es conmutativo. En el caso de las matrices el producto usual no es conmutativo, y por esta razón no es válido distribuir los exponentes como lo hiciste aquí. Sin embargo puedes seguir un proceso similar al que acabé de describir para hallar la respuesta, observa que:
[texx](ABA^{-1})^{3}=(ABA^{-1})(ABA^{-1})(ABA^{-1})[/texx]
Intenta simplificar ese producto sin intercambiar el orden de los productos y verás a que expresión llegas.

2. En este pasa algo similar al del ejercicio anterior, la inversa no se distribuye como lo has hecho tu en este ejercicio. La propiedad de la inversión de matrices con el producto es en realidad:
[texx](AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/texx]
Así que en un caso de tres matrices:
[texx](ABC)^{-1}=(BC)^{-1}A^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}[/texx]
Utiliza este hecho para completar el ejercicio.

3. [texx](A-I) \cdot (A-3I)^2=(A-I)(A-3I)(A-3I)=(A-I)(A^{2}-6A+9I)[/texx]
Completa el producto anterior y obtendrás la respuesta. Ten presente que [texx]AI=IA=A[/texx].

Espero sea de ayuda. ¡Saludos!
8  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Formas bilineales antisimétricas : 26 Octubre, 2012, 18:59
Hola a todos, me enfrento al siguiente problema:
Sea [texx]E[/texx] un espacio vectorial real de dimensión finita [texx]n[/texx]. Sea
[texx]b:E\times E \longrightarrow \mathbb{R}[/texx]
una forma bilineal antisimétrica sobre [texx]E[/texx]. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
[texx]
\begin{enumerate}
\item Existen $f$ y $g$ en el espacio dual $E^{*}$ tales que, para todos $u,v\in E$:
\begin{center}
$b(u,v)=(f\wedge g)(u,v)=f(u)g(v)-f(v)g(u)$
\end{center}
\item Existe una base $\{e_{1},...,e_{n}\}$ de $E$ tal que $b(e_{i},e_{j})=0$ siempre que $\{i,j\}\neq\{1,2\}$.
\end{enumerate}
[/texx]

He conseguido demostrar la implicación [texx]2\Rightarrow 1[/texx]. De ser posible me gustaría una sugerencia sobre cómo conseguir la segunda implicación. Mi primer intento de conseguir dicha demostración fue considerar una base arbitraria del espacio vectorial e intentar "cuadrar" las expresiones con el fin de construir una base con la propiedad deseada, sin embargo no he logrado frutos de con ello hasta el momento.

¡Muchas gracias a todos por anticipado!

9  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Límite de un logaritmo : 18 Octubre, 2012, 21:48
Hola!
Sí. Para calcular el límite hacemos lo siguiente
[texx]\displaystyle\lim_{x\to0}(-x\ln x)=\lim_{x\to0}x\ln \left(\frac{1}{x}\right) * =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n} *[/texx]
Y este último límite es 0. Espero sea de ayuda.

(*) Justifica estos dos pasos :sonrisa:
10  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: desiigualdades racionales : 18 Octubre, 2012, 02:23
Puedes hacer también una tabla para los signos:
[texx]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hiline
Intervalo&Prueba&$5(y-1)$&$3-y$&$2+y$&Signo Cociente\\
\hiline
$(-\infty ,-2)$&$-3$&$-$&$+$&$-$&$+$\\
\hiline
$(-2 ,1)$&$0$&$+$&$+$&$-$&$-$\\
\hiline
$(1 ,3)$&$2$&$+$&$+$&$+$&$+$\\ 
\hiline
$(3 ,\infty)$&$4$&$+$&$-$&$+$&$-$
\hiline
\end{tabular}
[/texx]
Por lo tanto el conjunto solución es: [texx](-\infty ,-2)\cup (1,3)[/texx]

Espero sea de ayuda
11  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: desiigualdades racionales : 18 Octubre, 2012, 02:06
La desigualdad:
[texx]\displaystyle\frac{2}{3-y}>\displaystyle\frac{3}{2+y}[/texx]
es equivalente a la desigualdad:
[texx]\displaystyle\frac{2}{3-y}-\frac{3}{2+y}>0[/texx].
Algo de álgebra nos permite concluir que:
[texx]\displaystyle\frac{5(y-1)}{(3-y)(2+y)}>0[/texx].
Este cociente es positivo si y solamente si ocurre una de dos cosas:
1. [texx]y-1>0[/texx] y [texx](3-y)(2+y)>0[/texx] o
2. [texx]y-1<0[/texx] y [texx](3-y)(2+y)<0[/texx].

En el caso 1. tenemos:
[texx](3-y)(2+y)>0[/texx]
a) [texx]3-y>0[/texx] y [texx]2+y>0[/texx]  y por otro lado [texx]y-1>0[/texx] Luego [texx]1<y<3[/texx]  o
b) [texx]3-y<0[/texx] y [texx]2+y<0[/texx] en este caso no hay solución.
Por tanto en el caso 1. tenemos como conjunto solución el intervalo abierto [texx](1,3)[/texx].

Puedes imitar este proceso para hallar el conjunto aportado por el caso 2. Ten en cuenta que ahora debes considerar que
[texx](3-y)(2+y)<0[/texx] y  [texx]13-y<0[/texx] .
12  Matemática / Optimización (Máximos y Mínimos) / Re: No es minimizador global : 18 Octubre, 2012, 01:34
Cuidado. Evaluar en un punto no es suficiente para garantizar que el punto no es un mínimo local, sí que no es global, pero no para un mínimo local. La idea de ser mínimo local es que existe algún entorno alrededor del punto en el cual la imagen del punto es menor que todas dentro de ese entorno. Por tanto puede que haya funciones en las cuales al evaluar en un punto, [texx](0,-1)[/texx] por ejemplo, la imagen sea menor que la del punto [texx]x[/texx] que buscamos ver que es mínimo local, pero que aún así en algún entorno del punto [texx]x[/texx] él tenga imagen menor que la de todos dentro de ese entorno.
13  Matemática / Optimización (Máximos y Mínimos) / Re: No es minimizador global : 18 Octubre, 2012, 01:24
Exactamente. Entonces localmente siempre hay alguien con imagen menor que la imagen del [texx](0,0)[/texx].  :cara_de_queso:  Me alegra que la ayuda te haya servido.
14  Matemática / Optimización (Máximos y Mínimos) / Re: No es minimizador global : 18 Octubre, 2012, 01:09
La idea es encontrar un punto [texx](x*,y*)[/texx] dentro de cualquier entorno alrededor de [texx](0,0)[/texx] para el cual [texx]f(x*,y*)<f(0,0)=0[/texx]. Es decir dado un entorno (o una bola abierta alrededor del cero) debes hallar un punto en ese entorno cuya imagen a través de [texx]f[/texx] sea negativa. Sugerencia: Todos los entornos alrededor del [texx](0,0)[/texx] contienen puntos de la forma [texx](0,y)[/texx] con [texx]y\neq 0[/texx] utiliza este hecho. Espero sea de ayuda.
15  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: No se de qué tipo es : 17 Octubre, 2012, 21:53
La ecuación diferencial que propones es una ecuación diferencial lineal, puesto que tiene la forma
[texx]y'+a(t)y=c(t)[/texx].
 Puedes resolverla multiplicando por un factor integrante apropiado. Es decir por una función [texx]\mu[/texx] tal que [texx]\mu'(t)=a(t)\mu(t)[/texx].
16  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Propuestos por todos / Re: Hallar el valor de una expresión radical : 16 Octubre, 2012, 21:25
Puedes hacerlo así: Denominemos [texx]x=\sqrt[3 ]{10+6\sqrt{3}} [/texx]  y  [texx]y=\sqrt[3 ]{10-6\sqrt{3}} [/texx]. Buscamos determinar el valor de [texx]A=x+y[/texx]. Para esto usamos la identidad algebráica:
[texx]x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=(x+y)((x+y)^{2}-2xy-xy) =(x+y)((x+y)^{2}-3xy)=A(A^{2}-3xy) [/texx]
Puedes comprobar que:
[texx]x^{3}+y^{3}=20[/texx],
[texx]3xy=3(\sqrt[3 ]{(10+6\sqrt{3})(10-6\sqrt{3})})=-6[/texx] .
Por lo cual:
[texx]20=A(A^{2}+6)[/texx]
Es decir:
[texx]0=A^{3}+6A-20[/texx]
Observemos que [texx]A=2[/texx] es una solución a la ecuación anterior, por lo tanto tenemos:
[texx]0=(A-2)(A^{2}+2A+10)[/texx]
Por lo tanto las otras dos soluciones a la ecuación son:
[texx]\displaystyle\frac{-2+\sqrt{4-4(10)}}{2}[/texx] y
[texx]\displaystyle\frac{-2-\sqrt{4-4(10)}}{2}[/texx].
Las cuales no tienen sentido (Raíces de números negativos) por lo tanto la respuesta buscada es [texx]A=2[/texx].
17  Matemática / Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) / Re: Límite de una función : 13 Octubre, 2012, 04:35
Sí. En efecto, la expresión "NECESARIO Y SUFICIENTE" es equivalente a la expresión "Si y solamente si" o en este caso al conector lógico  [texx] \Longleftrightarrow{} [/texx]
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