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1  Matemática / Topología (general) / Espacio compacto y cubrimiento por cerrados : 10 Julio, 2014, 22:01
Sea [texx]K\subset X,[/texx] entonces [texx]K[/texx] es compacto ssi para toda familia de abiertos [texx]\{A_i\}_{i\in I}[/texx] de abiertos en [texx]X[/texx] tal que [texx]K\subset\cup_{i\in I}A_i[/texx] existe una subfamilia finita [texx]A_1,\ldots,A_n[/texx] tal que [texx]K\subset \cup_{i=1}^n A_i.[/texx]

Esta es la versión con abiertos, se cumple la versión si cambio la familia de abiertos por cerrados?
2  Matemática / Topología (general) / Re: Espacio compacto y localmente conexo : 09 Julio, 2014, 23:14
Hola gracias, ¿cómo veo eso de que las componentes conexas son abiertas? (Cuando el espacio es localmente conexo.)
Gracias!
3  Matemática / Topología (general) / Espacio compacto y localmente conexo : 09 Julio, 2014, 16:10
Sea [texx](X,\mathcal T)[/texx] un espacio topológico compacto y localmente conexo. ¿Es el conjunto de las componentes conexas finito?

Tengo dudas con esta afirmación. He visto la versión donde hay vecindades. ¿Se cumple acá?
4  Matemática / Topología (general) / Espacios topológicos infinitos : 09 Julio, 2014, 16:01
Hallar ejemplos de espacios topológicos infinitos en donde los únicos compactos son los conjuntos finitos.

No entiendo bien a qué se refiere con "espacio topológico infinito." ¿Por qué los compactos vendrían siendo los finitos?
5  Matemática / Topología (general) / Espacio compacto y puntos adherentes : 09 Julio, 2014, 15:59
Sea [texx](X,\mathcal T)[/texx] es un espacio topológico, entonces toda sucesión unida a sus puntos adherentes es un conjunto compacto.

Es cierta esta afirmación?
6  Matemática / Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) / Re: Límite y continuidad uniforme : 17 Junio, 2014, 17:00
Bien, me faltan algunas cosas para entender totalmente la demostración.

Tomas [texx]x,y\in A_a[/texx] porque en realidad tenemos que [texx][0,\infty)=[0,a]\cup[a,\infty),[/texx] entonces estás probando la continuidad uniforme en [texx]t\in A_a,[/texx] por tanto [texx]|f(x)-f(y)|\le|f(x)|+f(y)|<\dfrac\epsilon2.[/texx] Luego ocupas [texx]x,y\in[0,a][/texx] para probar la continuidad uniforme en [texx][0,a],[/texx] pero lo que no entiendo, por qué tomas [texx]y>a[/texx] y [texx]x<a,[/texx] y por ahí sale el [texx]f(a),[/texx] entonces no entiendo cómo usas estos últimos hechos para terminar el ejercicio.

Gracias!
7  Matemática / Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) / Re: Límite y continuidad uniforme : 17 Junio, 2014, 16:21
[texx] |f(x) - f(y)| = |f'(\delta)|\cdot |x-y| \leq M_a \cdot |x-y| \leq M_a \cdot \dfrac{\epsilon}{M_a +2} < \dfrac{\epsilon}{2} [/texx].

Tengo una duda acá, usas el TVM?
8  Matemática / Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) / Límite y continuidad uniforme : 17 Junio, 2014, 13:35
Sea [texx]f:[0,\infty)\to\mathbb R[/texx] una función diferenciable tal que para todo [texx]a>0[/texx] existe una constante [texx]M_a[/texx] tal que [texx]|f'(t)|\le M_a[/texx] para todo [texx]t\in[0,a][/texx] y [texx]f(t)\xrightarrow[t\to\infty]{}0[/texx]. Mostrar que [texx]f[/texx] es uniformemente continua.

Tengo que probar que [texx]f[/texx] es uniformemente continua para todo [texx]t\ge0,[/texx] sé que [texx]f[/texx] es uniformemente continua para [texx]t\in[0,a][/texx] pues [texx]f'[/texx] tiene derivada acotada ahí, pero cómo uso el dato del límite para demostrar la continuidad uniforme en todo [texx]t\ge0[/texx]? O sea es para demostrar en buenas cuentas que [texx]f[/texx] tiene derivada acotada para todo [texx]t\ge0.[/texx]
9  Matemática / Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) / Re: Derivada y continuidad uniforme : 17 Junio, 2014, 13:27
Gracias, pensé que no se podía!
10  Matemática / Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) / Re: Derivada y continuidad uniforme : 16 Junio, 2014, 23:08
Se supone que debiese ser menor que [texx]C|x-y|[/texx] donde [texx]C[/texx] es una constante pero no logro verlo.
No puedo aplicar el TVM para los puntos [texx]x,y\in[0,\infty)[/texx] ? Por el tema de que [texx]f[/texx] fue definida en [texx][0,\infty)[/texx] ?
11  Matemática / Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) / Derivada y continuidad uniforme : 16 Junio, 2014, 20:07
Sea [texx]f:[0,\infty)\to\mathbb R[/texx] una función derivable tal que [texx]|f'(t)|\le M[/texx] para todo [texx]t\ge0.[/texx] Muestre que [texx]f[/texx] es uniformemente continua.

Tengo una idea usando el TVM, pero sé que el TVM aplica cuando el intervalo es de la forma [texx][a,b],[/texx] cómo lo hago en el caso donde [texx]I=[0,\infty)[/texx]?
12  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Aditividad y continuidad : 05 Junio, 2014, 01:11
Gracias, me faltó manipular mejor. :cara_de_queso:
13  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Teorema del Valor Intermedio : 04 Junio, 2014, 21:55
Oh, cómo no lo vi! Gracias!
14  Matemática / Cálculo 1 variable / Ecuación con constantes y TVI : 04 Junio, 2014, 21:44
Demostrar que la ecuación [texx]x=a+b\sen(x)[/texx] donde [texx]0<b<1,[/texx] [texx]a>0[/texx] tiene por lo menos una raíz positiva no mayor que [texx]a+b.[/texx]

Tomo [texx]f(x)=x-a-b\sen(x)[/texx] pero no veo qué intervalo considerar. :triste:
15  Matemática / Cálculo 1 variable / Teorema del Valor Intermedio : 04 Junio, 2014, 21:40
Sea [texx]a>1.[/texx] Mostrar que la ecuación [texx]x+e^{-x}=a[/texx] tiene al menos una raíz positiva y otra negativa.

Tengo que usar el TVI, para ello tomo [texx]f(x)=x+e^{-x}-a,[/texx] pero el problema es que no sé qué intervalo usar para aplicar el TVI. Primero pensé en tomar [texx][0,1][/texx] entonces [texx]f(0)=1-a<0,[/texx] y luego [texx]f(1)=1+\frac1e-a,[/texx] pero [texx]f(1)\not>0.[/texx]
Algún truco?

Gracias.
16  Matemática / Cálculo 1 variable / Aditividad y continuidad : 04 Junio, 2014, 21:33
Sea [texx]f:\mathbb R\to\mathbb R[/texx] aditiva, o sea [texx]f(x+y)=f(x)+f(y)[/texx] para todo [texx]x,y\in\mathbb R.[/texx] Muestre que si [texx]f[/texx] es aditiva y continua en un punto [texx]x_0\in\mathbb R,[/texx] entonces es continua en todo punto [texx]x\in\mathbb R.[/texx]

La continuidad de [texx]f[/texx] en [texx]x_0[/texx] establece que [texx]f(t)\to f(x_0)[/texx] cuando [texx]t\to x_0.[/texx] Debemos ver que [texx]\displaystyle\lim_{t\to 0}f(t+x)=f(x)[/texx] para todo punto [texx]x\in\mathbb R.[/texx] Tenemos que [texx]f(t+x)=f(t)+f(x),[/texx] tomando límites queda [texx]\displaystyle\lim_{t\to 0}f(t+x)=\displaystyle\lim_{t\to 0}(f(t)+f(x))=(\lim_{t\to0} f(t))+f(x).[/texx] Supongamos que [texx]f[/texx] es continua en el punto [texx]x_0=0,[/texx] esto implica entonces que [texx]f(t)\to f(0)[/texx] cuando [texx]t\to0,[/texx] pero como [texx]f[/texx] es aditiva, tenemos [texx]f(0+0)=f(0)+f(0)\implies f(0)=2f(0),[/texx] luego [texx]f(0)=0,[/texx] y por tanto [texx]\displaystyle\lim_{t\to 0}f(t+x)=\displaystyle\lim_{t\to 0}(f(t)+f(x))=f(0)+f(x)=0+f(x)=f(x),[/texx] luego [texx]f[/texx] es continua en todo [texx]x\in\mathbb R.[/texx]

Está bien esto?
17  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Continuidad : 04 Junio, 2014, 19:59
Sí, gracias!
18  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Continuidad : 04 Junio, 2014, 19:39
Hola gracias, ¿se puede hacer de esta forma?

Hay que probar que [texx]f(x)\to f(a)[/texx] cuando [texx]x\to a,[/texx] y esto es lo mismo que poner [texx]f(x+a)\to f(a)[/texx] cuando [texx]x\to0,[/texx] entonces [texx]f(x+a)=f(x)f(a),[/texx] luego tomando límites y usando la continuidad de [texx]f[/texx] en cero queda [texx]\displaystyle\lim_{x\to0}f(x+a)=f(0)f(a),[/texx] entonces hay que probar que [texx]f(0)=1.[/texx] Como [texx]f(x+y)=f(x)f(y)[/texx] para todo [texx]x,y\in\mathbb R[/texx] poniendo [texx]x=y=0[/texx] queda [texx]f(0)=0[/texx] o [texx]f(0)=1,[/texx] entonces como [texx]f(x)\ne0[/texx] (porque el caso [texx]f(x)=0[/texx] se cumple), tenemos que [texx]f(0)=1[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{x\to0}f(x+a)=1\cdot f(a)=f(a).[/texx]
19  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Continuidad : 04 Junio, 2014, 18:36
Muy bueno, me di cuenta que cometí un error poniendo que [texx]f(0)=0.[/texx]
Gracias por la ayuda!
20  Matemática / Cálculo 1 variable / Continuidad : 04 Junio, 2014, 16:16
Si [texx]f[/texx] es una función con dominio en [texx]\mathbb R[/texx] tal que [texx]f[/texx] es continua en [texx]a=0,[/texx] y [texx]f(x+y)=f(x)f(y)[/texx] para todo [texx]x,y\in\mathbb R,[/texx] demostrar que [texx]f[/texx] es continua para cualquier punto [texx]a\in\mathbb R.[/texx]

Lo que se me ocurre: como [texx]f[/texx] es continua en [texx]0,[/texx] de la definición de continuidad tenemos que [texx]\forall\epsilon>0,[/texx] existe [texx]\delta>0[/texx] tal que [texx]|x-0|<\delta\implies |f(x)-f(0)|<\epsilon,[/texx] o sea [texx]|x|<\delta\implies|f(x)-f(0)|<\epsilon.[/texx] Como [texx]f(x+y)=f(x)f(y)[/texx] hacemos [texx]x=y=0[/texx] y se tiene que [texx]f(0)=f(0)^2,[/texx] o sea [texx]f(0)=0,[/texx] luego para [texx]|x|<\delta\implies |f(x)|<\epsilon.[/texx]

Acá no sé cómo seguir, ahora tengo que demostrar que se sigue que dado [texx]|x-a|<\delta\implies |f(x)-f(a)|<\epsilon,[/texx] que es para demostrar la continuidad de [texx]f[/texx] en todo punto [texx]a\in\mathbb R.[/texx] Utilizando lo anterior tengo que [texx]|f(x)-f(a)|\le |f(x)|+|f(a)|<\epsilon+|f(a)|,[/texx] pero de ahí no sé cómo seguir. :triste:
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