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1  Matemática / Álgebra / Re: ¿Es B invertible? : 17/09/2016, 11:44:56 am
¡Cielos, es cierto! Qué despiste mas horroroso  :BangHead:. Muchísimas gracias.
2  Matemática / Álgebra / Re: ¿Es B invertible? : 17/09/2016, 10:25:08 am
Gracias por contestar. Sí, el determinante es precisamente la expresión que comentas.

Entonces, ¿calculo también los adjuntos para la matriz nxn? Para finalmente aplicar la expresión de la inversa digo.
3  Matemática / Álgebra / ¿Es B invertible? : 17/09/2016, 09:28:03 am
Buenas, llevo bastante tiempo dándole vueltas a la siguiente cuestión y no termino de resolverla.

Sean [texx]A = (a_{ij})[/texx] una matriz cuadrada de orden [texx]n[/texx] tal que [texx]a_{ij} = 1[/texx] para cualquier [texx]i[/texx] y cualquier [texx]j[/texx], y [texx]\lambda \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}[/texx]. Demuestre que la matriz [texx]B = A + \lambda I_n[/texx] es una matriz inversible.

Como no era capaz de resolverlo pensando directamente en una dimensión n teórica, ataqué el problema para matrices de dimensión 3x3. Simplemente calculé la inversa de B mediante la fórmula [texx]\displaystyle\frac{1}{\left |{B}\right |} (B^d)^t[/texx].

La cosa es que me parece demasiado engorroso para hacerlo en dimensión [texx]n[/texx], así que... ¿quizás tenga que usar inducción de alguna manera? ¿o me estoy olvidando de alguna propiedad que me haría la cuestión teórica mucho más fácil de resolver?

Gracias y un saludo.
4  Matemática / Estadística / Test. Bondad del test. : 05/09/2015, 11:45:51 am
Buenas, tengo problemas con el siguiente ejercicio. Mis apuntes son demasiados teóricos y me cuesta aplicar las cosas.

Sea [texx]X_1, ... X_n[/texx] una m.a.s procedente de [texx]X \sim{\chi_v}^2[/texx] donde v es desconocido. Para contrastar el siguiente test:

[texx]H_0 : v = 5[/texx]
[texx]H_1 : v = 7[/texx]

consideramos la siguiente regla intuitiva: se rechaza la hipótesis nula si el promedio muestral es mayor que un valor crítico c; en caso contrario aceptamos.
a) Para una muestra de tamaño 50 calcule c para que el test anterior tenga nivel de significación [texx]\alpha = 0.05[/texx]
b) Para el test anterior calcule el error de tipo II y discuta la bondad del test


¿No he de encontrar antes el test UMP para poder calcular el nivel de significación? Lo mismo para el apartado b).

Espero que me podáis dar alguna indicación al menos.  :avergonzado: Gracias y un saludo.
5  Matemática / Estadística / Intervalo de confianza asintótico. : 05/09/2015, 11:38:30 am
Buenas, tengo problemas con el siguiente ejercicio. Mis apuntes son demasiados teóricos y me cuesta aplicar las cosas.

Sea [texx]X_1, .. X_n[/texx] una m.a.s procedente de una distribución [texx]X \sim{ U(0, \theta)}[/texx]

a) Sea [texx]\bar{X}[/texx] la media muestral, demuestre que

[texx]\displaystyle\frac{2\bar{X} - \theta}{\theta}\sqrt{3 n}\rightarrow{} N(0,1)[/texx] para n[texx]\rightarrow{\infty}[/texx]
b) Utilice el resultado anterior para obtener un intervalo de confianza asintótico 1 - [texx]\alpha[/texx] por reparto proporcional, para el parámetro [texx]\theta[/texx]

¿Alguna indicación aunque sea para el apartado a)? Muchas gracias.
6  Matemática / Estadística / Método de reparto proporcional - Intervalo de confianza : 05/09/2015, 11:32:15 am
Buenas, estoy muy pegada en esto de los intervalos de confianza y no sé como meterle mano a este ejercicio.  :BangHead:

A partir de un pivote adecuado, deduzca por el método del reparto proporcional el intervalo de confianza para el cociente de varianzas de poblaciones normales con medias desconocidas y con una confianza 1-[texx]\alpha[/texx]

Considerando el mismo tamaño muestral n=m para ambas muestras y tomando [texx]\alpha = 0.05[/texx] determine dicho tamaño muestral para que el extremo superior dle intervalo sea como máximo el doble que el extremo inferior.


¿Alguna indicación al menos para comenzar?

Gracias y un saludo.
7  Matemática / Estadística / Re: T suficiente. (Demostrar corolario) : 27/11/2014, 12:11:56 pm
¡Vaya! Muchas gracias. Ya lo veo claro.  :sonrisa:
8  Matemática / Estadística / Re: T suficiente. (Demostrar corolario) : 26/11/2014, 15:31:57 pm
La definición con la que trabajo es:

Sea [texx]\hat{X} = (X_1, X_2, ..., X_n)[/texx] una muestra aleatoria simple procedente de una población [texx]X[/texx] cuya función de distribución pertenece a la familia [texx]\hat{F} = \{F(x, \theta \in \Theta\} [/texx].
Un estadístico T diremos que es suficiente para la familia [texx]\hat{F}[/texx] o para el parámetro [texx]\theta[/texx] si la distribución condicionada de la muestra a cualquier valor del estadístico, es decir, [texx](X_1, ... X_n) | T(\hat{X}) = t[/texx] es independiente de [texx]\theta[/texx] para todo t.

Observación:
Siempre existe un estadístico suficiente: la propia muestra.

Corolario: Sea T un estadístico suficiente y g una función medible y biyectiva, entonces g(T) es suficiente.

Teorema 1:
Sea [texx]f(\hat{x}|\theta)[/texx] la función de densidad o masa de probabilidad del vector aleatorio [texx]\hat{X}[/texx]
Sea [texx]f_T(t|\theta)[/texx] la función de densidad o masa de probabilidad del estadístico [texx]T(\hat{X})[/texx]

Entonces [texx]T(\hat{X})[/texx] es suficiente para [texx]\theta[/texx] si y sólo si para cada realización muestral [texx]\hat{x}[/texx] el cociente [texx]\displaystyle\frac{f(\hat{x}|\theta)}{f_T(\hat{x}|\theta)}[/texx] no depende de [texx]\theta[/texx].

Teorema 2 (Criterio de Factorización de Fisher-Neyman)

[texx]X_1, X_2, .... X_n[/texx] muestra aleatoria simple
[texx]f(\hat{x}|\theta)[/texx] función de densidad o masa de probabilidad del vector aleatorio [texx]\hat{X}[/texx]

Entonces el estadístico T es suficiente para [texx]\theta[/texx] si y sólo si podemos expresar

[texx] f(\hat{x}|\theta) = g_{\theta}(T(\hat{x}))h(\hat{x})[/texx] donde

h es una función no negativa que no depende de [texx]\theta[/texx]
[texx]g_{\theta}[/texx] es una función no negativa que depende del parámetro y del estadístico.



Tras este teorema viene el corolario en cuestión, que trato de demostrar en el caso discreto.

Gracias por su respuesta. Espero que esta sea la información que necesitaba.
Saludos.
9  Matemática / Estadística / T suficiente. (Demostrar corolario) : 25/11/2014, 19:19:38 pm
Hola, buenas. Tengo que demostrar el siguiente corolario:

Notación: [texx] \hat{X} [/texx] será vector aleatorio y [texx] \hat{x} [/texx] la muestra.

Un estadístico [texx]T (\hat{X}) [/texx] es suficiente si y sólo si la distribución condicionada [texx] R(\hat{X}) | T(\hat{X}) = t] [/texx] no depende del parámetro, [texx]\theta[/texx], para cualquier estadístico [texx] R(\hat{X})[/texx].

La implicación hacia la izquierda es trivial, ya que puedo tomar como cualquier estadístico la muestra.

Tengo problemas en la implicación restante:

Supongamos que [texx]  T(\hat{X})[/texx] es suficiente:

[texx] Prob (R(\hat{X})| T(\hat{X}) = t)[/texx] será 0 si [texx]T(\hat{X}) \neq t[/texx], y por tanto no depende de [texx]\theta[/texx], o, en caso contrario, vale:

[texx]\displaystyle\frac{Prob(R(\hat{X}) = R(\hat{x}); T(\hat{X}) = T(\hat{x}))}{P(T(\hat{X}) = T(\hat{x})))}[/texx]

¿Cómo puedo continuar para ver que esta expresión no depende del parámetro?

Gracias y saludos.

10  Matemática / Álgebra / Composición sobreyectiva : 24/11/2014, 16:52:32 pm
Hola, buenas. Tengo el siguiente ejercicio:

Sean [texx]f: A\rightarrow{B}, g: B \rightarrow{C}[/texx] dos aplicaciones:

a) Si [texx]g\circ{f}[/texx] es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.
b) Si [texx]g\circ{f}[/texx] es inyectiva. ¿Es necesariamente g inyectiva?

a) Lo primero que hago es escribir la definición de sobreyectividad.

Al ser [texx]g\circ{f}[/texx] sobreyectiva tengo que, para todo elemento [texx]c\in C[/texx] existe [texx]a \in A[/texx] tal que [texx]g\circ{f} (a) = g ( f(a)) = c[/texx].

Para que g sea sobreyectiva, ha de cumplirse que para todo elemento [texx]c \in C[/texx] exista un elemento [texx]b \in B[/texx] tal que [texx]g(b) = c[/texx]

¿Puedo asegurar que es sobreyectiva, simplemente diciendo que [texx]b = f(a)[/texx].?

b) Al ser [texx]g\circ{f}[/texx] inyectiva tengo que, para [texx]a_1 \neq a_2[/texx] (del conjunto A) entonces [texx] g \circ (f (a_1)) \neq g\circ (f (a_2))[/texx].

¿Cómo podría avanzar?

Gracias y saludos.
11  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / La gráfica de una función diferenciable es una variedad diferenciable. : 12/10/2014, 15:59:41 pm
Hola, buenas. Espero que me podáis ayudar. Estoy intentando comprender esta demostración, pero hay una línea que no entiendo.

La proposición es:

Sea [texx]f : V \subset{} \mathbb{R} ^k \rightarrow{} \mathbb{R}^s[/texx] una función de clase [texx]C^p(V)[/texx], [texx]p\geq{1}[/texx], siendo V un conjunto abierto. La gráfica de [texx]f, S = Gr(f) \subset{} \mathbb{R}^{k+s}[/texx], es una variedad diferenciable de dimensión k y de clase [texx]C^p[/texx] en [texx]\mathbb{R}^{k+s}[/texx]

Demostración.

La idea básica está basada en que si la ecuación de S es [texx]y = f(x)[/texx] con [texx]x \in{} V \subset{} \mathbb{R}^k[/texx] e [texx]y\in{\mathbb{R}^s}[/texx], entonces dicha ecuación puede ser escrita como [texx]y - f(x) = 0[/texx]. El primer modelo de esta igualdad servirá de modelo para la construcción de [texx]\Phi[/texx] (Estamos buscando una representación implícita local.)

Sea [texx](x_0, f(x_0))[/texx] un punto arbirario de S y tomemos el abierto [texx]U = V \times \mathbb{R}^s \subset{} \mathbb{R}^{k+s}[/texx] y la función [texx]\Phi : U \rightarrow{} \mathbb{R}^s[/texx] definida por

[texx]\Phi(x^1, ..., x^k,x^{k+1}, ..., x^{k+s}) = (x^{k+1} - f^1(x^1, ...., x^k), ...., x^{k+s} - f^s (x^1, ... x^k)).[/texx]

No entiendo de donde sale la expresión derecha de la igualdad.

Luego verifica las propiedades para comprobar si es variedad diferencial (que no tengo ningún problema) y se llega a que S es una variedad de dimensión k en [texx]\mathbb{R}^{k+s}[/texx]



Gracias por vuestra ayuda.
Saludos.  :sonrisa:
12  Matemática / Álgebra / Re: Estudiando las raíces del polinomio : 01/04/2014, 13:44:23 pm
De acuerdo, muchísimas gracias por contestar y ayudar. Ya está todo aclarado. :sonrisa:

Saludos.
13  Matemática / Álgebra / Re: Estudiando las raíces del polinomio : 31/03/2014, 17:10:13 pm
¿Entonces cuánto es el producto? ¿Cómo estudio sus raíces sin resolverlo?

Gracias por contestar y saludos.
14  Matemática / Álgebra / Estudiando las raíces del polinomio : 31/03/2014, 16:15:27 pm
Buenas, tengo un problema con el siguiente ejercicio:

Tengo la matriz:

[texx]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\
0 &1 & 3 \\
1 & -1 & 0\end{bmatrix}[/texx]

a la que le calculo el polinomio característico.

[texx] p( \lambda ) = 10 - 5 \lambda + 2 \lambda ^2 - \lambda ^3[/texx]

Voy a partir sabiendo que el término independiente, cambiado de signo, es el producto de las tres raíces. Y el término, cambiado de signo, de [texx] \lambda ^2[/texx] es la suma de las raíces.

La regla de Descartes me dice que el cambio de signos entre los coeficientes es una cota superior del número de raíces reales positivas, y si no, difiere de ella un múltiplo de dos.

Tenemos tres cambios de signo, por lo tanto puede haber tres raíces positivas, o una raíz positiva (reales).

Como el producto de las raíces es [texx]-10[/texx], no pueden ser las tres raíces positivas, por lo tanto, al menos hay una raíz negativa.

Volviendo al Criterio de Descartes nos queda la opción de que hay una raíz real positiva.

Y mi profesor me pregunta: ¿Qué pasa con la raíz restante? Ha dicho que lo siga pensando pero es que no lo veo y no dejo de darle vueltas.

Espero que me podáis ayudar, y muchas gracias.
Saludos.
15  Matemática / Álgebra / Re: Dudas demostración Regla de Descartes. : 31/03/2014, 15:53:30 pm
Muchas gracias, ya me quedó todo claro.  :sonrisa:

Saludos.
16  Matemática / Topología Algebraica / Re: Ejercicio resuelto de aplicación no recubridora : 31/03/2014, 15:51:54 pm
Muchas gracias, ya me quedó todo claro.  :sonrisa:

Saludos.
17  Matemática / Topología Algebraica / Ejercicio resuelto de aplicación no recubridora : 27/03/2014, 16:42:06 pm
Tengo el siguiente ejercicio resuelto:

Sea [texx]Y = (0,2)[/texx] y la aplicación [texx] f: Y \rightarrow S^1[/texx] dada por [texx]f(x) = exp(x)[/texx]. [texx]f[/texx]es un homeomorfismo local por ser la restricción de la aplicación exponencial, que es una aplicación recubridora, y es claramente sobreyectiva. Pero, no se trata de una aplicación recubridora, pues el punto [texx]1 \in S^1[/texx] no posee ningún entorno abierto distinguido.

Mis dudas son: ¿Se trata de la exponencial compleja? ¿Cómo puedo ver que el punto no posee ningún entorno?

Gracias y saludos.

18  Matemática / Álgebra / Dudas demostración Regla de Descartes. : 27/03/2014, 14:34:13 pm
Buenas, tengo una serie de dudas en la demostración de la Regla de Descartes. A ver si me podéis ayudar:

La Regla de Descartes dice que los cambios de signo entre coeficientes de un polinomio son una cota superior del número de raíces positivas de dicha ecuación. Además, sabemos que si la cota no se alcanza, el número de raíces positivas de la ecuación difiere de ella un múltiplo de dos.

- Demostración -


Consideremos un polinomio [texx]p(x)[/texx] de grado [texx]n[/texx], con coeficiente líder uno. (Suponiendo esto no perdemos generalidad).

Supondremos además que [texx]p(0) \neq 0 [/texx], ya que si lo fuera podríamos sacar factor común un término de la forma [texx]x^k[/texx] que después se puede eliminar.

Vamos a probar esta regla por inducción en n:

- Para n=1, esto es, para polinomios de grado uno, el resultado es inmediato ya que:

Si la ecuación es [texx]x-a=0[/texx] con [texx]a>0[/texx] (un cambio de signo) la única solución es [texx]x = a[/texx] (una solución positiva).
Si la ecuación es [texx] x + a = 0[/texx] con [texx] a>0[/texx] (ningún cambio de signo), la única solución es [texx]x = -a[/texx](ninguna solución positiva).

- Supongamos ahora que [texx]p(x)[/texx] es un polinomio de grado [texx]n>1[/texx] con coeficiente líder igual a uno y con [texx] p(0) \neq 0[/texx]. Distinguimos dos casos:

[texx]\circ{}[/texx] Si [texx]p(0) < 0[/texx] , el número de cambios de signos debe ser impar ya que comenzamos en un número positivo. Veamos que el número de raíces positivas de la ecuación tmbién es impar.

Como el grado del polinomio es n, [texx]x^n[/texx] es el término que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x.

De hecho, para algún valor grande y positivo, digamos [texx]x_0[/texx] se tiene que [texx]p(x_0)[/texx] es positivo, por lo que aplicando el Tª de Bolzano a [texx]p(x)[/texx] en el intervalo [texx][0, x_0][/texx] tenemos que existe al menos una raíz de [texx]p(x)[/texx] en el intervalo [texx](0, x_0)[/texx], esto es, positiva.

Si llamamos k a esa raíz, se tiene que:

[texx] p(x) = (x-k) q(x)[/texx] con grado de [texx]q(x), n-1[/texx] y [texx] q(0) = \frac{p(0)}{-k}[/texx] positivo.

Aplicando la hipótesis de inducción a [texx]q(x)[/texx] obtenemos que ese polinomio tiene un número par de raíces positivas, por lo que p(x) tiene un número impar de soluciones positivas (todas las de q, junto con k).

¿Por qué q(x) tiene un número par de raíces positivas? ¿Cuál es la hipótesis de inducción exactamente?


[texx]\circ{}[/texx] Ahora sea [texx] p(0) > 0[/texx].

Si la ecuación no tiene soluciones positivas, entonces la condición que queremos comprobar se cumple ya que cero es un número par. ¿Se refiere a que no tenga cambios de signo?

En el caso de que la ecuación tenga alguna solución positiva, llamemos k a alguna de ellas. como antes tenemos:

[texx] p(x) = (x-k) q(x)[/texx] con grado de [texx]q(x), n-1[/texx] tal que [texx] q(0) = \frac{p(0)}{-K}[/texx] es negativo.

Podemos aplicar la hipótesis de inducción a [texx]q(x)[/texx], lo que nos dice que ese polinomio tiene un número impar de raíces positivas. ¿Por qué?. En consecuencia p(x) tiene un número par de raíces positivas (las de q junto con k).

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Lo que nos dice todo esto es que el número de cambios de signo y el número de raíces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares). Es decir, que esos dos números son iguales o difieren en un múltiplo de 2.

Nos queda probar que hay más cambios de signos que raíces positivas, es decir, que el número de cambios de signo es una cota superior del número de raíces positivas.
Lo vemos:

Si hubiera más raíces positivas que cambios de signo en los coeficientes de [texx]p(x)[/texx], entonces debería haber al menos 2 raíces positivas más que el número de cambios de signo (por lo que hemos probado antes). Al menos debería haber [texx]C(p) + 2[/texx] raíces positivas.

Por otra parte, [texx] p'(x) [/texx] tiene al menos una raíz entre cada dos raíces de [texx] p(x) [/texx]¿Por qué?. Por tanto, habría al menos [texx] C(p) + 1[/texx] raíces de [texx]p'(x)[/texx]

Pero [texx]p'(x)[/texx] tiene como mucho tantos cambios de signo como [texx]p(x)[/texx], es decir, [texx]C(p)[/texx] cambios a lo sumo, y además su grado es n-1. En estas condiciones, la hipótesis de inducción nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos, es decir, cumple que tiene más cambios de signo que raíces positivas. ¿Por qué?

Llegamos entonces a una contradicción, provocada por la suposición inicial. Por tanto hay más cambios de signo que raíces positivas.

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Espero que me podáis ayudar con mis dudas  :avergonzado:. Muchas gracias y saludos.
19  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de computación / Re: Mathematica: Obtener 2 factores primos. : 19/03/2014, 12:02:57 pm
Dios, que paciencia. Muchas gracias de nuevo.  :sonrisa:
20  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de computación / Re: Mathematica: Obtener 2 factores primos. : 19/03/2014, 11:26:53 am
¡¡Muchísimas gracias a todos!! Por fin he podido descomprimir el archivo  :cara_de_queso: :cara_de_queso: :cara_de_queso:

Pero me gustaría saber si has usado algo que no sea FactorInteger[] por si me vuelve a ocurrir, saberlo hacer yo sola.

Gracias y saludos.  :cara_de_queso:
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