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1  Matemática / Categorías / Re: Objeto universal de un funtor es único : 27/08/2019, 12:30:59 am
Muchas gracias Geòmetracat.

Podriamos  decir que este resultado  es una aplicaciòn del Lema de Yoneda a la teorìa de  categorìas?

El recìproco tambièn cumple o sea si F es representable entonces tiene objeto universal.

Para este caso tambièn se usa el lema de Yoneda? 

Muchas gracias.
2  Matemática / Categorías / Re: Objeto universal de un funtor es único : 26/08/2019, 04:39:13 am
Hola Geòmetracat, estuve viendo esto que comentaste:

 Si existe un objeto universal [texx](X,a)[/texx] para [texx]F[/texx], entonces [texx]F[/texx]  es representable por [texx]X[/texx]. Es decir, [texx]F≅h_X[/texx].

Dijiste para usar el lema de Yoneda.
Escribirè la prueba usando dicho lema.

Demostraciòn:

Por probar que existe una transformaciòn natural [texx]\tau:H_X\to  F[/texx] tal que para cada [texx]U\in C[/texx] se tiene que la flecha [texx]\tau_U:H_XU\to FU[/texx] en SET es un isomorfismo.

Usando el lema de Yoneda tenemos que existe una aplicaciòn biyectiva [texx]T:FX\to Nat(H_X,F)[/texx] tal que [texx]T(s)=\tau^s[/texx], en particular tenemos que  [texx]T(a)=\tau^a[/texx] pues [texx]a\in FX[/texx] luego existe [texx]\tau^a:H_X\to F[/texx].

Dado un [texx]U\in C[/texx] existe una ùnica flecha [texx]f_U:X\to U[/texx] tal que [texx]Ff_U(a)=b[/texx]

 ,pues [texx](X,a)[/texx] es objeto universal y por otro lado tambièn tenemos que [texx]\tau^a_U:H_XU\to FU[/texx] tal que [texx]\tau^a_U(g)=Fg(a)[/texx].  Tengo que probar que la flecha  [texx]\tau^a_U:H_XU\to FU[/texx] en Set tal que [texx]\tau^a_U(g)=Fg(a)[/texx] es biyectiva.  Espero alguna sugerencia.


Muchas gracias



3  Matemática / Categorías / Morfismos iguales en una categorìa : 24/08/2019, 01:31:46 pm
Sea [texx]C[/texx] categorìa.

Si [texx] f[/texx] y  [texx]g[/texx] son dos morfismos en [texx]C [/texx] tales que [texx]f=g [/texx] con [texx]f:A\to B[/texx] y [texx]g:C\to D[/texx] entonces [texx]A=C[/texx]  y [texx]B=D[/texx].

Èsto es una definiciòn o una consecuencia  de la definiciòn de categorìa?

Muchas gracias
4  Matemática / Categorías / Re: Definición de subobjeto : 24/08/2019, 01:25:05 pm
Entendì,  gracias Geòmetracat  :sonrisa:.
5  Matemática / Estructuras algebraicas / El teorema de Max Noether : 08/08/2019, 01:22:06 am
Hola,

Estuve leyendo el  pdf  https://arxiv.org/pdf/1211.2011.pdf  y en la
pàgina 4 menciona al teorema de Max Noether.
Querìa saber a que teorema se refiere ya que wikipedia menciona màs de uno.

Muchas gracias.
6  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Ejemplos de espacios localmente anillados : 08/08/2019, 12:38:52 am
Muchas gracias


saludos
7  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Ejemplos de espacios localmente anillados : 06/08/2019, 02:02:38 am
Muchas gracias Geòmetracat.

Mi curiosidad es sobre una palabra que colocas "CANÒNICO". Què significa dicha palabra en general?

La primera vez que la escuche fue en mi primer curso de ÀLGEBRA LINEAL (la famosa base canònica) nunca pregunte a mi profesor el significado , pero supuse que es sinònimo de Natural, luego pasò un tiempo y recuerdo haber leìdo unas notas que tenìa que ver con categorìas y justo ahì explicaban lo dicho.  Lamentablemente perdì esas notas, seguirè buscando y la comparto por aquì.

Saludos
8  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Ejemplos de espacios localmente anillados : 28/07/2019, 03:20:19 am
Gracias  geómetracat.

Este serà un espacio localmente anillado?

Sea [texx]X[/texx] cualquier espacio topològico y definimos [texx]O_X:Top(X)\longrightarrow{Set}[/texx] de modo que para cada abierto [texx]U\subseteq{X}[/texx] tenemos que [texx]O_X(U):=\left\{{f:U\to \mathbb{R}:f ,continua}\right\}[/texx] y para cada flecha [texx]U\to V[/texx] (inclusiòn) en [texx]Top(X)[/texx] tenemos que [texx]O_X(V)\to O_X(U)[/texx] es una flecha en [texx]Set[/texx] definida como [texx]f:V\to \mathbb{R}[/texx] a [texx]f/_U:U\to \mathbb{R}[/texx] (restricciòn).

De esa manera  [texx]O_X[/texx] es un haz sobre [texx]X[/texx].

Luego [texx](X,O_X)[/texx] es un espacio anillado.

Ahora veamos si es localmente anillado. 

Para cada [texx]p\in X[/texx], [texx]O_{X,p}[/texx] es un anillo local? No he definido el tallo como lìmite directo sino como clase.

Gracias

Saludos
9  Matemática / Estructuras algebraicas / Ejemplos de espacios localmente anillados : 22/07/2019, 02:13:05 am
Hola.

El  ejemplo màs conocido de un espacio localmente anillado es [texx](Spec(A),O_{Spec(A)})[/texx].

Otros ejemplos de espacios localmente anillados en geometrìa algebraica clàsica y en anàlisis complejo?

Gracias
10  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: La paradoja de Bertrand Russell : 09/06/2019, 03:25:02 pm
Muchas gracias a todos, disculpen la demora de darles las gracias. Bueno es por eso que publicar aquì en el rincòn matemàtico me encanta
porque siempre hay varias opiniones del punto de vista de cada uno y por lo general como en este caso dan màs informaciòn de las preguntas que uno hace.

Saludos
11  Matemática / Teoría de Conjuntos / La paradoja de Bertrand Russell : 27/05/2019, 11:58:58 am
Hola.

Alguien puede recomendarme algunos textos donde se comente y se explique que el conjunto de todos los conjuntos no es un conjunto (  la paradoja de Bertrand Russell o  paradoja del Barbero).

Muchas gracias.

Saludos

12  Matemática / Categorías / Definición de subobjeto : 25/03/2019, 03:16:04 am
Hola.

 Definición 1:

Sea [texx]C[/texx] una categoría y monomorfismos [texx]r: X_1\to X, s: X_2\to X[/texx]. Decimos que los
monomorfismos [texx]r, s[/texx] son equivalentes si existe un isomorfismo [texx] f:X_1\to  X_2[/texx] que hace que
el diagrama

[texx]\xymatrix{
& {X_1} \ar[ld] \ar[rd]^{r} & \\
{X_2} \ar[rr]_{s}& & {X}}[/texx]





sea conmutativo. Un subobjeto de [texx]X[/texx] es una clase de equivalencia de monomorfismos a [texx]X[/texx].
Si [texx]X, Y [/texx] son dos objetos, denotaremos [texx]X\subseteq Y[/texx] si [texx]X[/texx] es un subobjeto de [texx]Y[/texx].

Definición 2:

Sea [texx]A[/texx] una un objeto de una categoría [texx]C[/texx].  Se llama subobjeto de [texx]A[/texx] a un par [texx](X,l) [/texx] donde [texx]X[/texx] es un objeto de [texx]C[/texx] y [texx]l:X\to A [/texx] es un monomorfismo.


Encuentro estás definiciones en algunos textos.

Acaso son equivalentes?

Gracias

13  Matemática / Categorías / Re: El teorema de Cayley : 16/02/2019, 08:36:29 am
Hola.

Estuve haciendo las cuentas y no se consigue que T sea homomorfismo  :llorando: , tengo que considrear el funtor representable covariante, ya con eso consigo la prueba. Escribiré de nuevo todo.

Gracias
14  Matemática / Categorías / Re: El teorema de Cayley : 15/02/2019, 10:55:39 am
Hola.

Cuando dices: El hecho de que H es fiel implica que esta acción es efectiva, es decir, que hay un embedding de G en el grupo de las biyecciones de X. Esto prueba el teorema de Cayley.

Pero H es plenamente fiel, entonces hay una biyección entre G y las biyecciones de X, Lo que necesitamos nó sería una aplicación de G a las biyecciones de X pero que sea solo inyectiva? (Así obtengo un isomorfismo de G a un subgrupo de permutaciones)

La aplicación T que defino no puede ser esa inyección??

GRacias
15  Matemática / Categorías / Re: El teorema de Cayley : 09/02/2019, 12:41:26 pm
Hola Geómetracat.

[texx]<G,*>[/texx] un grupo y [texx]G [/texx] es visto  como  categoría denotada por [texx]C_G [/texx] que tiene un solo objeto, digamos "@".

[texx]H:C_G\to [C_G,Sets][/texx] es definido como:

En objetos:  [texx]@\in{C_G}[/texx] definimos un objeto   [texx]h_@[/texx] de [texx][C_G,Sets][/texx] de la siguiente manera: [texx]H_@:C_G\longrightarrow{Sets}[/texx]

[texx]  @  -------->H_@@=Mor_{C_G}(@,@)[/texx]

[texx]@\xrightarrow[s{}]\,{@} ------> h_@@\xrightarrow[H_@s]\,{h_@@}[/texx]       tal que     [texx]H_@s(t)=t*s  [/texx]     con [texx]t:@\longrightarrow{@}[/texx], definido
 
así [texx]H_@[/texx] es un funtor contravariante.

En flechas: Para cada [texx]f:@\longrightarrow{@}[/texx]    definimos una transformación natural [texx] H_f:H_@\longrightarrow{H_@}   [/texx].

Así definido [texx]H[/texx] es funtor covariante.

El embedding de Yoneda nos dice que H es plenamente fiel e inyectivo en objetos.

Denotemos por [texx]F[/texx] a la imagen del funtor [texx]H[/texx], entonces [texx] F=Im(H)[/texx].
Afirmación 1:
[texx]F:C_G\to Sets[/texx] es un funtor contravariante fiel.

[texx]F[/texx] es  fiel sí y solo si [texx]T[/texx] es inyectiva.
[texx]T[/texx] está definida como sigue:
la aplicación [texx]T:Mor_{C_G}(@,@)\to Mor_{Sets}(F_@,F_@)[/texx] definida como [texx]T(g):F_@\to F_@[/texx] tal que [texx]T(g)_@:F_@@\to F_@@[/texx] con [texx]T(g)_@(h)=h*g[/texx]. (Está definición de [texx]T [/texx] es por causa de como está definido [texx]H[/texx])

MI PREGUNTA ES LA SIGUIENTE:

Porqué cuando [texx]F[/texx] es la imagen de [texx]H[/texx] se tiene que [texx]F_@@=Mor_{C_G}(@,@)[/texx] ?

Veamos que [texx]T[/texx] es inyectiva:

Sean [texx]f,g\in Mor_{C_G}(@,@)[/texx] tal que [texx]T(g)=T(f)[/texx] (estoy igualando transformaciones naturales, esto tiene sentido?)

pienso que esa igualdad significa [texx]T(g)_@=T(f)_@[/texx], luego [texx]T(g)_@(h)=T(f)_@(h)[/texx] y esto es h*g=h*f y como estos son elementos del grupo entonces tomamos inversa de [texx]h[/texx], luego [texx]g=f[/texx]. Por lo tanto [texx]T [/texx] es inyectiva.

Ahora observemos los siguiente:

[texx]G=Mor_{C_G}(@,@) [/texx]  y [texx]Mor_{Sets}(F_@,F_@)=\left\{{G\to G}\right\}[/texx] es un grupo con la operación composición,  luego [texx]T:G\to \left\{{G\to G}\right\}[/texx].
 Falta ver que [texx]T[/texx] sea un homomorfismo (esto lo conseguí) y luego ya tengo un monomorfismo osea [texx]G[/texx] sería un subgrupo de [texx]\left\{{G\to G}\right\}[/texx].

Falta ver que  la colección de aplicaciones [texx]{G\to G}[/texx] son biyectivas , para esto último cúal es la idea?

Gracias















16  Matemática / Categorías / El teorema de Cayley : 22/01/2019, 11:30:58 pm
Hola.

Vamos a definir el funtor  [texx]h:C\longrightarrow{[C,Sets]}[/texx] de la siguiente manera:

En objetos: Para cada [texx]X\in{C}[/texx] definimos un objeto   [texx]h_X[/texx] de [texx][C,Sets][/texx] de la siguiente manera: [texx]h_X:C\longrightarrow{Sets}[/texx]

[texx]  U  -------->h_X(U)=Mor_C(U,X)[/texx]

[texx]U\xrightarrow[s{}]\,{V} ------> h_XV\xrightarrow[h_Xs]\,{h_XU}[/texx]       tal que     [texx]h_Xs(t)=t\circ{s}  [/texx]     con [texx]t:V\longrightarrow{X}[/texx], definido
 
así [texx]h_X[/texx] es un funtor contravariante.

En flechas: Para cada [texx]f:X\longrightarrow{Y}[/texx]    definimos una transformación natural [texx] h_f:h_X\longrightarrow{h_Y}   [/texx].

Sea [texx]F:C\longrightarrow{Sets}  [/texx]  un funtor contravariante, denotamos por [texx]Mor(h_X,F) [/texx]  el conjunto de transformaciones naturales

[texx]T:h_X\longrightarrow{F} [/texx].

Definimos  la aplicación [texx]L:FX\longrightarrow{Mor(h_X,F)}[/texx]     como:

Dado un [texx]A\in{FX} [/texx]   podemos definir [texx]T^A:h_X\longrightarrow{F}[/texx]  como sigue:

Dado  [texx]U\in{C}[/texx], un elemento de [texx]h_XU=Mor(U,X)  [/texx]    es una flecha    [texx]f:U\longrightarrow{X}[/texx], esta flecha induce la aplicación

[texx]Ff:FX\longrightarrow{FU} [/texx]. Definimos una aplicación [texx]T^A_U:h_XU\longrightarrow{FU}[/texx]  por   [texx]T^A_U(f)=FfA [/texx].

Así definido [texx]T^A[/texx]  es una transformación natural. 

[texx]Lema[/texx] [texx]de[/texx] [texx]Yoneda[/texx]._  Sea [texx]C[/texx] una categoría, [texx]F:C\longrightarrow{Sets}[/texx] un funtor contravariante y [texx]X\in{C}[/texx].

Entonces la aplicación     [texx]L:FX\longrightarrow{Mor(h_X,F)}[/texx] definida arriba es biyectiva. 



Estoy queriendo probar el teorema de Cayley que dice lo siguiente:

Todo grupo [texx]<G,+>[/texx] es isomorfo a un grupo de permutaciones.

Quiero demostrarlo pero considerando a [texx]G[/texx] como una categoría.

Sabemos que podemos ver a un grupo como una categoría  tal que tiene un solo objeto digamos [texx]*[/texx], las flechas son los elementos del grupo y la composición es la operación del grupo.

Quiero usar el lema de Yoneda, pero no tengo claro como deduzco que sea isomorfo  a un grupo de permutaciones.

Gracias.



17  Matemática / Categorías / Funtores contravariantes fieles, plenos, plenamente fieles y densos : 19/01/2019, 02:25:19 am
Hola.

Mi pregunta es la siguiente:

Podemos definir funtores contravariantes  fieles, plenos, plenamente fieles y densos?

Lo que pasa es que en los libros definen eso para funtores covariantes.

Gracias
18  Matemática / Categorías / Re: Objeto universal de un funtor es único : 12/01/2019, 03:50:57 pm
Espero se pueda descargar.

Gracias
19  Matemática / Categorías / Re: Objeto universal de un funtor es único : 12/01/2019, 01:52:24 pm
Falta una más.
20  Matemática / Categorías / Re: Objeto universal de un funtor es único : 12/01/2019, 01:51:28 pm
Hola.
Adjuntaré la prueba.
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