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1  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Polea ideal : Ayer a las 23:46:46


En este ejercicio las ecuaciones que planteo son:

Para el bloque [texx]M_2[/texx]:

[texx]M_2g-N_2=0[/texx]
[texx]f_k-T=M_2a_2[/texx]

Para el bloque [texx]M_1[/texx]:

[texx]M_1g-2T=-M_1a_2[/texx]

Me queda el sistema:

[texx]\left\{\begin{array}{l}
\mu_kM_2g-T=M_2a_2\\
M_1g-2T=-M_1a_2
\end{array}\right.[/texx]

Sin embargo, obtengo un resultado que no es ninguna de las opciones correctas.
2  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Sistema de poleas : Ayer a las 23:38:12

¿Por qué la distancia recorrida por [texx]m[/texx] es la mitad?

Tenés que analizar las longitudes de la cuerda en cada tramo.

Ah, analizando las longitudes queda más claro. Gracias.
3  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Sistema de poleas : Ayer a las 20:04:54
Muchas gracias.

¿Por qué la distancia recorrida por [texx]m[/texx] es la mitad?
4  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Ejercicio de estática de cuerpos rígidos : Ayer a las 18:43:36
Creo que nuestros planteos coinciden. Simplemente yo llamo [texx]\vec{F}[/texx] a lo que tú llamas [texx]\vec{N}_2[/texx].
5  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Ejercicio de estática de cuerpos rígidos : Ayer a las 18:22:14
[texx]F_x-Mg\sen\alpha=0[/texx]
[texx]N+F_y-Mg\cos\alpha=0[/texx]
[texx]F_x=\sqrt{3}F_y[/texx]

Habría ahora que calcular el máximo [texx]\alpha[/texx] para el cual las anteriores ecuaciones son ciertas...

A ver si este razonamiento está bien... En el [texx]\alpha[/texx] máximo, es decir, aquel a partir del cual la esfera deja de estar en equilibrio, la normal vale 0. Entonce se tiene que:

[texx]F_x-Mg\sen(\alpha_{\max})=0[/texx]
[texx]F_y-Mg\cos(\alpha_{\max})=0[/texx]
[texx]F_x=\sqrt{3}F_y[/texx]

Luego,

[texx]\dfrac{F_x}{F_y}=\tg(\alpha_\max)=\sqrt{3}[/texx]

entonces [texx]\alpha_\max=\dfrac{\pi}{3}[/texx]. ¿Estaría bien este argumento?

Saludos.
6  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Ejercicio de estática de cuerpos rígidos : Ayer a las 17:59:04
Tal vez sea porque me estoy equivocando en la dirección de [texx]\vec{F}[/texx]. Yo interpreté que la dirección es perpendicular a la superficie de la rampa cuando quizás sea radial (y tenga por tanto componente tanto en [texx]\hat{i}[/texx] como en [texx]\hat{j}[/texx]).

Creo que ése era un error importante que tenía. Interpretando así, o sea, que [texx]\vec{F}[/texx] (la fuerza que la cuña le hace a la esfera) es en la dirección de la recta que une el punto de contacto con el centro de la esfera, se tiene ahora que [texx]\vec{F}=F_x\hat{i}+F_y\hat{j}[/texx] entonces lo que había escrito antes,

[texx]F-Mg\sen\alpha=0[/texx] (en la componente [texx]\hat{i}[/texx])
[texx]N-Mg\cos\alpha=0[/texx] (en la componente [texx]\hat{j}[/texx])

se transforma en

[texx]F_x-Mg\sen\alpha=0[/texx] (en la componente [texx]\hat{i}[/texx])
[texx]N+F_y-Mg\cos\alpha=0[/texx] (en la componente [texx]\hat{j}[/texx])

Como el torque que realiza [texx]\vec{F}[/texx] tiene que ser nulo, se tiene que:

[texx]\begin{align*}
0&=\vec{r}\times (F_x\hat{i}+F_y\hat{j})\\
&=\vec{r}\times (F_x\hat{i})+\vec{r}\times (F_y\hat{j})\\
&=(r_x\hat{i}+r_y\hat{j})\times (F_x\hat{i})+(r_x\hat{i}+r_y\hat{j})\times (F_y\hat{j})\\
&=(r_y\hat{j})\times (F_x\hat{i})+(r_x\hat{i})\times (F_y\hat{j})\\
&=-\dfrac{1}2RF_x\hat{k}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}RF_y\hat{k}\\
\end{align*}[/texx]

De lo último, lo que se concluye es que [texx]F_x=\sqrt{3}F_y[/texx].



En resumida cuenta, he llegado a que para que la esfera esté en equilibrio estático, hace falta que:

[texx]F_x-Mg\sen\alpha=0[/texx]
[texx]N+F_y-Mg\cos\alpha=0[/texx]
[texx]F_x=\sqrt{3}F_y[/texx]

Habría ahora que calcular el máximo [texx]\alpha[/texx] para el cual las anteriores ecuaciones son ciertas...
7  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Ejercicio de estática de cuerpos rígidos : Ayer a las 16:35:13
Tienes que plantear la ecuaciones de la estática, sumatoria de fuerzas y momentos,

¿Cómo quedarían planteadas esas ecuaciones? Las fuerzas que actúan sobre la esfera son el peso [texx]M\vec{g}[/texx] (siendo [texx]M[/texx] la masa de la esfera), la normal [texx]\vec{N}[/texx] y la fuerza [texx]\vec{F}[/texx] que la cuña ejerce sobre la esfera.

Eligiendo un versor [texx]\hat{i}[/texx] en la dirección de la rampa (con sentido ascendente) y un versor [texx]\hat{j}[/texx] perpendicular a la superficie (hacia arriba), la sumatoria de fuerzas igualada a cero, conduciría a:

[texx]F-Mg\sen\alpha=0[/texx] (en la componente [texx]\hat{i}[/texx])
[texx]N-Mg\cos\alpha=0[/texx] (en la componente [texx]\hat{j}[/texx])

Luego para la sumatoria de los torques, primero hay que considerar un punto para tomar como origen para los vectores de posición. Alcanza con que la sumatoria de los torques sea cero en relación a este punto. Lo elijo como el centro de la esfera. Con esta elección, el torque del peso es 0 porque el peso está aplicado en el punto tomado como origen. La normal es colineal con el vector de posición así que también da cero su torque. La única fuerza que ejerce torque sería [texx]\vec{F}[/texx] y dicho torque sería igual a

[texx]\dfrac{R}2F\hat{k}[/texx]

siendo [texx]\vec{k}[/texx] un versor saliente del dibujo. Este torque nunca puede ser nulo a no ser que [texx]\vec{F}[/texx] sea nula...

Algo está mal en mi razonamiento. Tal vez sea porque me estoy equivocando en la dirección de [texx]\vec{F}[/texx]. Yo interpreté que la dirección es perpendicular a la superficie de la rampa cuando quizás sea radial (y tenga por tanto componente tanto en [texx]\hat{i}[/texx] como en [texx]\hat{j}[/texx]).

8  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Ejercicio de estática de cuerpos rígidos : Ayer a las 14:13:44
Me ha quedado claro.

Muchas gracias a ambos.
9  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Sistema de poleas : Ayer a las 14:11:38
¿Cómo se procedería en este ejercicio?



Gracias.
10  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Ejercicio de estática de cuerpos rígidos : Ayer a las 13:30:01
Hola,

No me queda claro cómo se resuelve este problema. Una sugerencia es que hay que determinar el "ángulo de la cuña", porque si [texx]\alpha[/texx] supera dicho ángulo, entonces la esfera se caería. ¿Cuál sería ese ángulo? Spuestamente para hallarlo es que es necesario imponer la condición de equilibrio estático de la esfera.



Saludos.
11  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Teoremas función implícita y condición suficiente de extremos : 11/01/2020, 15:04:18
Hola,

Tengo casi aprendidas sendas versiones de la demostración de los teoremas de la función implícita y de la condición suficiente de extremos. El documento de donde las he sacado está bien redactado en general, pero contiene algunos fallos. Comentarios aparte, he subrayado en amarillo dos cosas en ambas demostraciones que no me han quedado claras. La primera es acerca del término [texx]\Delta F[/texx], que debería ser no un incremento, sino un cociente de incrementos. Y la segunda es acerca de cómo probar que si la segunda diferencial es indefinida, se tienen entornos donde es negativa y entornos donde es positiva, lo cual no me ha quedado claro cómo lo hace.

Miré solo lo primero que dices. Pues sí, yo creo que debería ser:

[texx]F(x+\Delta x,y+\Delta y)=F(x+\theta \Delta x,y+\theta\Delta y)\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\end{pmatrix}[/texx]

O sea, hay un [texx]\Delta[/texx] que sobra. También unas líneas más arriba donde dice "Tenemos que [texx]f[/texx] es continua en [texx]I_y[/texx]", debería ser [texx]I_x[/texx], no [texx]I_y[/texx]. Coincido contigo en que el documento tiene algunas erratas.
12  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Pregunta sobre ecuación con valor absoluto : 07/01/2020, 01:16:42
El ejercicio lo coloque en wolfram alpha, y la grafica en wolfram alpha es como mas o menos me la imaginaba, pero solo llega hasta el punto x = 0, ¿por qué? ¿No tiene restricción para que llegue solo hasta al punto x = 0? yo me lo imaginaba con 2 rectas que se cruzaban en el punto x = 0, y el dominio seria el conjunto [texx]\mathbb{R}[/texx].

La ecuación [texx]2x+|y|=0[/texx] es equivalente a [texx]|y|=-2x[/texx]. Nota que si [texx]x>0[/texx] esta igualdad es falsa, ya que por un lado [texx]-2x<0[/texx] y por otro, [texx]|y|\geq 0[/texx] por eso todos los puntos [texx](x,y)[/texx] del plano que satisfacen [texx]2x+|y|=0[/texx] cumplen que [texx]x\leq 0[/texx]. Ése el motivo por el que las rectas en el gráfico de Wolfram Alpha están "interrumpidas".
13  Matemática / Autómatas y lenguajes formales / Re: Demostrar que no es regular : 07/01/2020, 01:02:03
Haz un razonamiento análogo al de acá.
14  Matemática / Autómatas y lenguajes formales / Re: Demostrar que no es regular 2 : 07/01/2020, 00:58:41
Hola, no lo he podido resolver... ¿Alguien me puede ayudar? Gracias.

Todos estos ejercicios son similares. Supón por absurdo que [texx]L_2[/texx] es regular, y llama [texx]n_0[/texx] a la constante del lema de bombeo. Considera [texx]w=a^{n_0}ba^{n_0}[/texx].

15  Matemática / Autómatas y lenguajes formales / Re: Lenguajes regulares 3 : 07/01/2020, 00:10:29
Sí, está bien.
16  Matemática / Autómatas y lenguajes formales / Re: Regularidad 4 : 07/01/2020, 00:03:28
Pruebe que si [texx]L[/texx] es regular, entonces [texx]L^R=\{w^R, w\in L\}[/texx] es regular, en donde [texx]w^R[/texx] es [texx]w[/texx] leido al reves.

Piensa en cómo construir un autómata para [texx]L^R[/texx] a partir de un autómata para [texx]L[/texx].
17  Matemática / Autómatas y lenguajes formales / Re: Lenguajes regulares : 25/12/2019, 23:21:35
Si [texx]L[/texx] es regular, entonces [texx]L=\mathbf{r}[/texx] para una cierta expresión regular [texx]\mathbf{r}[/texx].

Si [texx]\Sigma=\{a_1,\dots,a_n\}[/texx], entonces [texx]L'=(a_1|a_2|\cdots|a_n)^*\mathbf{r}[/texx].

Algunos podrían decir que una expresión regular para [texx]L'[/texx] es [texx]\Sigma^*\textbf{r}[/texx], o sea, sustituir [texx](a_1|a_2|\cdots|a_n)[/texx] por [texx]\Sigma[/texx]. En mi opnión, sería un abuso de notación pero me consta que tal vez sea la respuesta esperada por algunas personas... (lo digo por si aparece así en algún solucionario).

Digo que es un abuso de notación porque [texx]\Sigma=\{a_1,\dots,a_n\}[/texx] es un conjunto mientras que [texx](a_1|a_2|\cdots|a_n)[/texx] es una expresión regular para [texx]\Sigma[/texx].

En realidad, es el mismo abuso de notación empleado cuando escribo [texx]L=\mathbf{r}[/texx] como acá:

Si [texx]L[/texx] es regular, entonces [texx]L=\mathbf{r}[/texx] para una cierta expresión regular [texx]\mathbf{r}[/texx].

Estrictamente hablando, lo que está a la izquierda es el lenguaje [texx]L[/texx] y a la derecha está la expresión regular [texx]\textbf{r}[/texx], que son "objetos matemáticos" diferentes. En realidad, uno debería escribir:

[texx]L=L(\textbf{r})[/texx]

donde [texx]L(\textbf{r})[/texx] es el lenguaje representado por la expresión regular [texx]\textbf{r}[/texx]. Pero es un abuso de notación muy común.
18  Matemática / Métodos Numéricos / Re: Duda sobre rGCROT : 24/12/2019, 10:05:43
Acabo de entender la actualización de [texx]x_0[/texx]. O sea, arranca con una aproximación inicial [texx]\hat{x}[/texx] y un residuo inicial [texx]\hat{r}[/texx] cuya relación es

[texx]\hat{r}=b-A\hat{x}[/texx]

A continuación, modifica con cierto criterio [texx]\hat{r}[/texx] y lo transforma en [texx]r_0[/texx]. Bueno, entonces tiene que actualizar en forma acorde el estimador inicial. Llámese [texx]x_0[/texx] al valor actualizado de [texx]\hat{x}[/texx]. Es decir, debe hallarse [texx]x_0[/texx] tal que

[texx]b-Ax_0=r_0[/texx]

Observar que

[texx]\begin{align*}
    b-Ax_0&=r_0\\
    &=\hat{r}-CC^H\hat{r}\\
    &=(b-A\hat{x})-CC^H\hat{r}
\end{align*}[/texx]

luego

[texx]
Ax_0=A\hat{x}+CC^H\hat{r}
[/texx]

pero como [texx]AU=CR[/texx] entonces [texx]AUR^{-1}=C[/texx]. Sustituyendo,

[texx]\begin{align*}
    Ax_0&=A\hat{x}+AUR^{-1}C^H\hat{r}\\
    &=A(\hat{x}+UR^{-1}C^H\hat{r})
\end{align*}[/texx]

luego

[texx]x_0=\hat{x}+UR^{-1}C^H\hat{r}=\hat{x}+UR^{-1}\xi[/texx]

que es la fórmula que muestra el pseudocódigo.

Me faltaría entender por qué se toma [texx]x_m[/texx] como [texx]x_0+V_my+UR^{-1}z[/texx]...
19  Matemática / Métodos Numéricos / Duda sobre rGCROT : 23/12/2019, 20:20:04
Hola,

¿Alguien me podría decir por qué en la pág. 9 la forma de la solución es [texx]x_m=x_0+V_my+UR^{-1}z[/texx]?

Supongo que se deduce a partir de la relación de Arnoldi aumentada, pero hace tiempo lo estoy pensando y no lo veo claro.
20  Matemática / Autómatas y lenguajes formales / Re: Lenguajes regulares : 23/12/2019, 09:36:37
Muchas Gracias, pero no me queda claro aun la demostracion de que [texx]L'[/texx] es regular, podemos usar el Lema del Bombeo?

El lema de bombeo suele emplearse para demostrar que un lenguaje es NO regular. Para demostrar que un lenguaje es regular, basta proporcionar un AFD para él (o alguna de sus variantes equivalentes, como AFND y AFND-[texx]\epsilon[/texx]) o bien una expresión regular.

En este caso, estoy proporcionando una expresión regular para [texx]L'[/texx].
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