Está bien.


Es un tetraedro, limitado por los planos coordenados y el plano de la ecuación que te dan.


Parece que tienes una errata en el extremo inferior de la .


Has despejado mal la y has puesto los extremos de los intervalos al revés (el mayor primero y el menor después).


El integrando es . Al integrar sobre un recinto obtienes su área.

Es importante que pongas los diferenciales, y además en el orden correcto. Si no, no está claro a qué variable corresponde cada integral.


No. La condición equivale a . Queda




Aquí sí que has puesto bien las diferenciales.

Lo que dices es correcto. De hecho, es el simétrico del elemento neutro del producto. Si llamáramos a dicho neutro (que aquí es ) entonces es lo que normalmente llamaríamos . Los únicos elementos inversibles son los elementos que en cualquier anillo llamaríamos , que aquí son y .

Si te fijas, la aplicación dada por es un isomorfismo entre los dos anillos, es decir, que tu anillo no es más que "disfrazado", y tiene exactamente las mismas propiedades que .

Es como si le enseñas los números enteros a un niño, y le enseñas a sumarlos y multiplicarlos, pero en lugar de decirle que el cero se llama , le dices que se llama , y cuando "deberías" decirle , le dices , y así sucesivamente. Entonces el niño sumaría , y sumaría bien, pues su es en realidad un (porque tú le has enseñado a escribir siempre uno menos de "lo normal"), etc., por lo que lo que estaría diciendo (en "su lenguaje") es lo que cualquier niño "bien educado" escribiría así: . Lo mismo con el producto: la operación es la operación "en clave".

Sí.

Está bien.

Yo empezaría diciendo que deben recorrer la elipse , por lo que si haces variar , entonces recorre el intervalo que da la desigualdad anterior. Una vez fijados , la va desde hasta donde lo permite la ecuación entera.

Mira la figura:



Para recorrer todo el conjunto M, las coordenadas tienen que recorrer el círculo sobre el que se proyecta la intersección del cono y la esfera.

Lo que dices es cierto, pero sospecho que Gaussa está trabajando concretamente con la medida de Lebesgue en , y esa medida es completa: todo subconjunto de un conjunto nulo es medible y nulo.

Dibuja el círculo en el plano XY de centro (0,0) y radio . Fija un valor de . ¿De dónde a dónde puede variar la para no salirte del círculo?

No sé si preguntas eso o si no ves por qué varía en ese círculo. La proyección en vertical del conjunto M es ese círculo.

No entiendo qué me preguntas.


No, cuidado. Entre y .

La primera ecuación representa una esfera de centro y radio . Como tiene que ser , nos queda sólo media esfera. La segunda ecuación es la parte de abajo de un cono:

.

La figura muestra los ejes X (horizontal) y Z (vertical), el conjunto es el resultado de girar respecto del eje Z el pequeño arco bajo de la recta y encima de la circunferencia.



Vemos entonces que puede variar entre y el valor donde la recta corta a la circunferencia .

A su vez,  la y la pueden variar en el círculo de radio , luego, fijado un valor , la puede variar de hasta . A su vez, fijados , la puede variar entre el valor que determina la ecuación de la esfera hasta el que determina la ecuación del cono para dichos valores de .

También, y resulta mucho más corto, en efecto.

Deberías aclarar de qué podemos partir. Supongo que puedes partir del principio de inducción "básico", es decir:

.

Si es así, para probar 1), sólo tienes que aplicar el principio anterior a la propiedad

.


En efecto, suponemos y vamos a probar por inducción .

Para se cumple , porque, o bien , en cuyo caso la implicación es cierta trivialmente porque la hipótesis es falsa, o bien , en cuyo caso la implicación es cierta porque estamos suponiendo .

Supongamos ahora que se cumple , es decir, que y queremos probar

.

Para ello suponemos , y caben dos posibilidades: o bien o bien (en cuyo caso ). En el primer caso tenemos porque estamos suponiendo , y en el segundo caso, por la hipótesis de inducción tenemos y, por la hipótesis de 1) esto implica , luego en ambos casos tenemos la implicación deseada.

La conclusión es  o, lo que es lo mismo:

.

Tu demostración de 2) la veo confusa. Quiero decir que no me queda claro qué supones y a dónde llegas, aunque en esencia haces lo que hay que hacer. El planteamiento sería exactamente el mismo que el anterior, aplicado esta vez a (tienes una errata en el enunciado, dices cuando es ).

No necesitas distinguir si es cero o no. Prueba y, supuesto , prueba para todo , esencialmente con el mismo argumento que das.

Tu prueba de 3) también me resulta confusa. De hecho, el mismo enunciado cuesta de leer. La hipótesis es:

.

Partiendo de aquí, vamos a probar por inducción sobre que

.

Para se reduce a , que es trivialmente cierto, porque la hipótesis es imposible.

Supongamos y veamos .

Para ello suponemos , lo que nos da dos opciones: o .

En el primer caso por hipótesis de inducción. Supongamos . Vamos a probar

.

Lo probamos por inducción sobre .

Si la afirmación es trivial. Suponemos y vamos a probar .

Tomamos y caben dos posibilidades: o bien , en cuyo caso por hipótesis de inducción, o bien , en cuyo caso se cumple

.

Por la hipótesis de 3) esto implica , como queríamos probar.

Con esto tenemos que , luego .

A su vez, esto termina la prueba por inducción de que

.

Y esto implica

.

---

Hasta aquí las pruebas por inducción (bajo el supuesto de que eso es lo que querías). Si te da igual otro método, es mucho más corto usar la existencia de mínimo. Por ejemplo, la prueba de 3) se reduce a pocas líneas:

Queremos ver que . Supongamos que es falso, es decir, que .

Sea el mínimo natural tal que y sea el mínimo natural tal que .

Entonces, si se cumple , pues si no puede ser , ya que entonces , en contra de la minimalidad de , y si entonces contradiría la minimalidad de . Por la hipótesis de 3) se cumple , contradicción.


Igualmente se puede razonar 1): quieres probar que . Supón que no es cierto, es decir, . Toma el mínimo posible, (de modo que . Entonces, o bien , en cuyo caso , porque suponemos , y tenemos una contradicción, o bien , con lo que y por la minimalidad de tiene que cumplirse , pero entonces la hipótesis de 1) nos da y tenemos una contradicción.

Lo mismo vale para 2)

Ya lo he pensado. Si es derivable, entonces es derivable porque es el límite puntual de las funciones , cada una de ellas es medible porque es continua, y el límite puntual de funciones medibles es medible.

Sólo tienes que usar que , junto con que la suma, resta, producto y cociente son funciones continuas.

Define una función usando el teorema que citas, y luego define , donde son las proyecciones.

La definición usual de función medible es que una función es medible si las antiimágenes de los abiertos son medibles. No acabo de captar lo que significan esas E's que pones de vez en cuando, pero usa lo que más se ajuste a tus definiciones.


Varía en pero varía en , y si tomas un , todas las funciones valen cero, luego . En cambio, si , entonces , luego .

Sí, y cada es medible porque es continua.


Así es. Un límite uniforme de funciones continuas es continuo.


No. Te preguntan si puede suceder que una función sea derivable y su derivada no sea medible. Así a bote pronto no se me ocurre nada. Ya lo pensaré.


Cada es simple y medible, pues la antiimagen de un abierto es o , y todos ellos son conjuntos medibles.


No. El supremo es la función característica de , luego no es medible.

Pues supongo que lo que Einstein dibujaría sería algo parecido a esto:



Convenimos en representar la posición de una manecilla en el reloj por la hora a la que corresponde (entre 0 y 12) de modo que si la manecilla de las horas ocupa la posición , entonces señala horas, mientras que si es la de los minutos, señala minutos (entre 0 y 60).

Así, las líneas "empinadas" de la figura, las de pendiente 12, representan todas las posiciones de las agujas del reloj (eje horizontal horas, vertical minutos) durante medio día. Si cambiamos las manecillas, las posiciones posibles son las de pendiente , y cada punto de corte es una solución del problema. Vemos que hay 143 soluciones distintas cada 12 horas, porque la última coincidencia entre las 11 y las 12 (la esquina superior derecha de la figura) corresponde a las 12 en punto, la misma que la esquina inferior izquierda.

El cálculo de cada solución concreta es fácil, sin más que tener en cuenta que las rectas tienen pendiente 12 o . Por ejemplo, la primera solución válida después de las 12 en punto se obtiene cortando la recta con la recta , y es . Si la interpretamos como (hora, minutos), entonces multiplicamos la segunda componente por 5 y queda 5.03497, de modo que se trata de las 12 y 5.03497 minutos (o, si se prefiere, 12 horas, 5 minutos, 2.0979 segundos.

Si la interpretamos como (minutos, hora), entonces multiplicamos la primera componente por 5 y queda 0.41958, con lo que corresponde a la 1 y 0.41958 minutos o, si se prefiere, 1 hora y 25.1748 segundos.