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Noticias: Homenaje a aladan
 
 
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1  Matemática / Topología (general) / Re: Contención de bolas : 04/08/2017, 12:37:55 am
Primero observa que para un [texx]0<r\leq 1[/texx], [texx]B_{\bar{d}}(x,r)=\{y\in X:\bar{d}(x,y)<r\}=\{y\in X:d(x,y)<r\}=B_{d}(x,r)[/texx]
Por lo tanto, en el caso en que [texx]\varepsilon\leq 1[/texx], basta tomar [texx]\delta=\varepsilon[/texx].
En el caso en que [texx]\varepsilon>1[/texx], tenemos que [texx]B_{\bar{d}}(x,1)=B_{d}(x,1)\subseteq B_{d}(x,\varepsilon)[/texx]

O sea, la observación clave es que las bolas abiertas de radio menor o igual a 1 respecto a ambas métricas son las mismas.
2  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Discusiones semi-públicas / Corrección equivalencia semántica: Al Sr Guido Trípodi : 17/07/2017, 08:17:48 pm
[texx]\neg((\alpha\rightarrow\beta)\rightarrow \neg\alpha)\equiv \neg (\neg (\neg \alpha\vee\beta)\vee\neg\alpha)\equiv \neg ((\alpha\wedge \neg\beta)\vee\neg\alpha)\equiv (\neg \alpha\vee\beta)\wedge \alpha\equiv (\alpha\wedge\neg \alpha)\vee (\alpha\wedge \beta)\equiv \alpha\wedge\beta[/texx]
3  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: ¿Qué importancia tienen los elementos idempotentes en un Anillo? : 23/08/2016, 11:57:45 am
[texx]A[/texx] denotará un anillo conmutativo con unidad. Las siglas [A-M] corresponden al libro Introduction to Commutative Algebra de Atiyah-Mcdonald

- Si todo elemento de [texx]A[/texx] es idempotente, [texx]A[/texx] se dice booleano.

-[A-M] Un anillo local no contiene elementos idempotentes distintos de [texx]0[/texx] y [texx]1[/texx].

- Un ideal finitamente generado [texx]I[/texx] de [texx]A[/texx] que es idempotente (es decir, [texx]I^{2}=I[/texx]) está generado por un elemento idempotente (sugerencia para la demostración: Lema de Nakayama. Este ejercicio está en el libro de Matsumura)

-[A-M] Para un anillo [texx]A[/texx], son equivalentes:
                  (i)  [texx]Spec(A)[/texx] es disconexo.
                  (ii) [texx]A[/texx] es isomorfo como anillo a un producto directo de dos anillos no triviales.
                  (iii) [texx]A[/texx] contiene un idempotente distinto de [texx]0[/texx] y [texx]1[/texx]

Todos los ejercicios que marqué con las siglas [A-M] están en el capítulo 1 del correspondiente libro (y ahí seguro hay más ejercicios sobre idempotentes)
4  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Anillos conmutativos : 06/04/2016, 12:16:14 am
Llamemos [texx]D[/texx] al conjunto de divisores de cero (junto con el cero) de [texx]R[/texx].

Considera [texx]\Sigma=\{I\subseteq R\mbox{ ideal}:I\subseteq D\}[/texx]

El ejercicio 14 del capítulo 1 del libro de Atiyah-Macdonald consiste en probar que [texx]\Sigma[/texx] tiene un elemento maximal, y cada elemento maximal de [texx]\Sigma[/texx] es un ideal primo.
5  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Función de densidad de probabilidad : 27/12/2015, 09:45:10 pm
En el caso [texx]m\leq 0[/texx], tenemos [texx]L-m>0[/texx] y así [texx]|L-m|=L-m[/texx]

Veamos el caso [texx]m>0[/texx]:

Nota que para [texx]c>m[/texx], [texx]F(m-c)=0[/texx]

Por lo tanto, [texx]g(c)=2(e^{-2(c+m)}+e^{-2(m-c)}\mathbb{I}_{c\leq m})[/texx] (nota que erróneamente escribiste [texx]c-m[/texx] en el exponente)

Al integrar, tenemos [texx]\displaystyle\int_{0}^{\infty}g(c)\;dc=2(\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-2(c+m)}\;dc+\displaystyle\int_{0}^{m}e^{-2(m-c)}\;dc)=2(\dfrac{e^{-2m}}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{e^{-2m}}{2})=1[/texx]
6  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: El elemento identidad del anillo es generado finitamente : 26/12/2015, 05:36:20 pm
Un elemento genérico de  [texx]<f_{i}:i\in I>[/texx] es una combinación lineal finita de los [texx]f_{i}[/texx]'s, con coeficientes en [texx]A[/texx], así que si ese ideal es todo el anillo, el elemento identidad es una combinación lineal finita de los [texx]f_{i}[/texx]'s
7  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: El elemento identidad del anillo es generado finitamente : 26/12/2015, 12:39:50 pm
En un anillo conmutativo, todo ideal propio [texx]I[/texx] está contenido en un ideal maximal (en particular, primo). Esto se prueba con el Lema de Zorn, considerando el conjunto de ideales propios que contienen a [texx]I[/texx], con el orden parcial de la contención. Una cadena [texx]\{I_{i}\}[/texx] tiene como cota superior a [texx]\bigcup\limits_{i\in I}I_{i}[/texx]. Así que existe un ideal maximal que contiene a [texx]I[/texx].
8  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: subgrupo finito generado y finitud implica finito generado : 25/12/2015, 09:26:23 pm
Como [texx]G/H[/texx] es finito, existen [texx]g_{1},\ldots,g_{n}\in G[/texx] tal que [texx]G/H=\{g_{1}H,...,g_{n}H\}[/texx].

Así, cada elemento de [texx]G[/texx] es de la forma [texx]g_{i}h[/texx] para algún [texx]1\leq i\leq n[/texx] y [texx]h\in H[/texx]. Como [texx]H[/texx] es finitamente generado, concluimos que [texx]G[/texx] es finitamente generado.
9  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Diferenciabilidad de una función : 25/12/2015, 07:04:16 pm
La función [texx]f(x,y)=\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}[/texx] también es continua en [texx]\mathbb{R}^{2}-\{\vec{0}\}[/texx] y no se extiende continuamente a [texx]\vec{0}[/texx] (los límites a lo largo de las curvas [texx](t,t)[/texx] y [texx](t,t^{2})[/texx] son distintos), y su expresión en coordenadas polares es [texx]g(r,\theta):=f(r\cos(\theta),r\sin(\theta))=\cos(\theta)\sin(\theta)[/texx] que es continua para todo [texx](r,\theta)[/texx].

Llamemos [texx]T:[0,\infty)\times [0,2\pi)\longrightarrow \mathbb{R}^{2}[/texx] a la transformación de coordenadas polares.

En general, si [texx]f:\mathbb{R}^{2}-\{\vec{0}\}\longrightarrow \mathbb{R}[/texx] es una función continua, y [texx]f\circ T[/texx] es continua en [texx][0,\infty)\times [0,2\pi)[/texx], esto no implica que [texx]f[/texx] se pueda extender continuamente a [texx]\vec{0}[/texx]. (el ejemplo anterior lo muestra)

La razón de fondo es que [texx]T[/texx] no tiene inversa continua (sí la tiene  en un entorno de cada punto [texx](r,\theta)[/texx], con [texx]r>0[/texx], por el teorema de la función inversa).

Para ver que tu [texx]f[/texx] no es continua en [texx]\vec{0}[/texx], has de tomar otra curva: considera [texx](t,\sqrt[3]{t})[/texx] (como notó Juan Pablo).
10  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Factorización única en anillo : 22/12/2015, 05:28:46 pm
Llamemos [texx]\mu=\dfrac{1+\sqrt{-3}}{2}[/texx] (es una unidad). Observa que [texx]2\mu=1+\sqrt{-3}[/texx] ( y [texx]2\overline{\mu}=1-\sqrt{-3}[/texx]). En consecuencia, las dos factorizaciones en (ii) son asociadas.





11  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Cuerpos finitos : 27/10/2015, 03:58:54 pm
Si [texx]K[/texx] es un cuerpo finito, entonces tiene un subcuerpo isomorfo a [texx]\mathbb{Z}_{p}[/texx], con [texx]p[/texx] primo.

De ese modo, tenemos una estructura natural de [texx]\mathbb{Z}_{p}[/texx]-espacio vectorial para [texx]K[/texx]. Así, si [texx]n=dim_{\mathbb{Z}_{p}}(K)[/texx], resulta que [texx]K[/texx] y [texx]\mathbb{Z}_{p}^{n}[/texx] son isomorfos como [texx]\mathbb{Z}_{p}[/texx]-espacios vectoriales, y en particular [texx]|K|=|\mathbb{Z}_{p}^{n}|=p^{n}[/texx].
12  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Pruebas de ideales maximales : 15/10/2015, 11:07:26 pm
La observación clave es que [texx]Ker(f)\subseteq f^{-1}(M)[/texx].
13  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Pruebas de ideales maximales : 11/10/2015, 05:40:20 pm
Para ver que es maximal, has de ver que si [texx]I[/texx] es un ideal de [texx]R[/texx] tal que [texx]f^{-1}(M)\subseteq I[/texx], entonces [texx]I=f^{-1}(M)[/texx] o [texx]I=R[/texx].

Ahora como [texx]f^{-1}(M)\subseteq I[/texx], aplicando [texx]f[/texx], obtenemos [texx]M\subseteq f(I)[/texx] (porque si [texx]f[/texx] es sobreyectiva, vale que [texx]f(f^{-1}(A))=A[/texx] para todo subconjunto [texx]A[/texx] del codominio). Como [texx]f[/texx] es sobre, la imagen de un ideal es un ideal, así que [texx]f(I)[/texx] es un ideal que contiene a [texx]M[/texx], y, por maximalidad de éste, resulta que [texx]f(I)=M[/texx] o [texx]f(I)=S[/texx]. Así que, tomando preimagen, resulta que [texx]f^{-1}(M)=f^{-1}(f(I))[/texx] o [texx]f^{-1}(f(I))=f^{-1}(S)=R[/texx].

Por lo tanto, lo que faltaría ver ahora es que [texx]f^{-1}(f(I))=I[/texx], para lo cual solo resta ver que [texx]f^{-1}(f(I))\subseteq I[/texx] (la otra contención es clara). Por supuesto, esto no siempre vale, así que has de usar alguna propiedad del ideal [texx]I[/texx].

Si [texx]x\in f^{-1}(f(I))[/texx], eso significa que [texx]f(x)=f(i)[/texx] con [texx]i\in I[/texx], equivalentemente, [texx]f(x-i)=0[/texx], es decir, [texx]x-i\in Ker(f)[/texx] (nosotros queremos ver que [texx]x\in I[/texx]). Te dejo continuar desde aquí (Has de usar que [texx]I[/texx] contiene a la preimagen de un ideal).

Como contraejemplo, podrías tomar la inclusión [texx]\mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{Q}[/texx]. El codominio es un cuerpo, así que el único ideal maximal es [texx]\{0\}[/texx]. Tenemos [texx]f^{-1}(\{0\})=\{0\}[/texx], que no es ideal maximal de [texx]\mathbb{Z}[/texx].



14  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Ejercicios sobre radicales : 04/10/2015, 06:34:14 pm
Por definición de las operaciones en el cociente, tienes que [texx]
  • ^{n}=[x^{n}][/tex]. Que esto sea igual a la clase del cero en el cociente [texx]R/Nil(R)[/texx] significa que [texx]x^{n}\in Nil(R)[/texx], es decir, existe [texx]m[/texx] tal que [texx](x^{n})^{m}=x^{nm}=0[/texx]; así que en particular [texx]x\in Nil(R)[/texx], y entonces [texx]
    • =0[/tex] en el cociente.
    [/texx]
[/texx]
15  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Ejercicios sobre radicales : 04/10/2015, 01:11:40 pm
Tomas un elemento [texx]
  • [/tex] en el nilradical del cociente (con [texx]x\in R[/texx]), es decir, existe [texx]n\in\mathbb{N}[/texx] tal que [texx]
    • ^{n}=0[/tex], es decir, [texx]x^{n}\in Nil(R)[/texx]. Pero esto último en particular dice que [texx]x\in Nil(R)[/texx], entonces [texx]
      • =0[/tex].

        Para la segunda parte, un ideal [texx]I[/texx] se dice nilpotente si existe [texx]n\in\mathbb{N}[/texx] tal que [texx]I^{n}=0[/texx]. Se dice finitamente generado si existen [texx]x_{1},\ldots,x_{n}\in I[/texx] de tal modo que [texx]I=<x_{1},\ldots,x_{n}>[/texx] (o sea cualquier elemento de [texx]I[/texx] es una combinación lineal de los [texx]x_{i}[/texx] con coeficientes en [texx]R[/texx])
      [/texx]
    [/texx]
[/texx]
16  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: DEMOSTRACION : 02/10/2015, 02:22:03 pm
Si [texx]f[/texx] es una función siempre no negativa, simplemente escribes [texx]f(x)=f(x)-0[/texx]. Si [texx]f[/texx] es una función siempre no positiva, entonces [texx]-f[/texx] es siempre no negativa, así que [texx]-f(x)=-f(x)-0[/texx] y entonces [texx]f(x)=0-(-f(x))[/texx].

En el caso general, lo que basta hallar entonces son dos funciones [texx]g,h[/texx] continuas de tal manera que [texx]g(x)=f(x)[/texx] cuando [texx]f(x)\geq 0[/texx] y cero en el otro caso y [texx]h(x)=-f(x)[/texx] si [texx]f(x)\leq 0[/texx] y cero en el otro caso.

Observar que ya estamos diciendo como están definidas tales funciones: [texx]g(x)=max\{f(x),0\}[/texx] y [texx]h(x)=-min\{f(x),0\}[/texx]
17  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Discusiones semi-públicas / Medidas invariantes y desigualdad integral. : 27/08/2015, 11:44:08 am
Tenemos que [texx]|\displaystyle\int_{0}^{u}\mu S(t)f\;dt|\leq \displaystyle\int_{0}^{u}|\mu S(t)f|\;dt[/texx] (1)

Ahora, por definición, se tiene que [texx]|\mu S(t)f|=|\displaystyle\int_{X}S(t)f(\eta)\;d\mu(\eta)|\leq \displaystyle\int_{X}|S(t)f(\eta)|d\mu(\eta)[/texx].

Ahora de la definición de [texx]S(t)f[/texx], es claro que [texx]|S(t)f|\leq \|f\|_{\infty}[/texx]. Por lo tanto [texx]|\mu S(t)f|\leq \|f\|_{\infty}[/texx] (porque [texx]\displaystyle\int_{X}d\mu(\eta)=1[/texx]).

En consecuencia, retornando a (1), se tiene [texx]|\displaystyle\int_{0}^{u}\mu S(t)f\;dt|\leq \|f\|_{\infty}u[/texx].

Por la misma razón [texx]|\displaystyle\int_{n}^{n+u}\mu S(t)f\;dt|\leq \|f\|_{\infty}((n+u)-n)=\|f\|_{\infty}u[/texx]
18  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Criterio de la raíz : 20/08/2015, 12:09:08 pm
Hay una manera de exhibir un contraejemplo en el caso general: sea [texx](V,\|.\|)[/texx] un espacio vectorial normado que no es completo, y sea [texx](x_{n})_{n}[/texx] una sucesión de Cauchy en [texx]V[/texx] que no es convergente. Podemos elegir una subsucesión [texx](x_{n_{k}})_{k}[/texx] de tal manera que [texx]\|x_{n_{k+1}}-x_{n_{k}}\|<\dfrac{1}{k^{2}}[/texx] para todo [texx]k\in\mathbb{N}[/texx] (y por supuesto, es de Cauchy pero no es convergente, porque una sucesión de Cauchy que tiene una subsucesión convergente es convergente). Llamemos [texx]y_{k}=x_{n_{k}}[/texx]

Tenemos que [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\|y_{i+1}-y_{i}\|<\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{1}{i^{2}}<\infty[/texx], pero [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}(y_{i+1}-y_{i})[/texx] no converge.

19  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Criterio de la raíz : 19/08/2015, 03:46:57 am
Sí, solo se usa la completitud para asegurar que convergencia de la serie de las normas implica la convergencia de la serie (criterio familiarmente conocido como convergencia absoluta implica convergencia).

Para el contraejemplo, tomamos [texx]V[/texx] el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales vistos como funciones del intervalo [texx][0,1][/texx] a [texx]\mathbb{R}[/texx], con la norma del supremo. Recordando la identidad [texx]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}=e^{x}[/texx] (la convergencia es uniforme en [texx][0,1][/texx]), tomamos la sucesión [texx](p_{n})[/texx] definida por [texx]p_{n}(x)=\dfrac{x^{n}}{n!}[/texx].

Tenemos que [texx]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\|p_{n}\|_{\infty}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}<\infty[/texx], pero [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}[/texx] no converge en [texx]V[/texx].
20  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Criterio de la raíz : 18/08/2015, 10:46:23 pm
El contraejemplo no tiene mucha gracia  :sonrisa_amplia:, ya que debería ser un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales o los complejos. Para un contraejemplo habría que pensar en un espacio de dimensión infinita no completo (por ejemplo el espacio de los polinomios con coeficientes reales)
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