Hola camisilva:

Primero piensa que el intervalo [0…1] de los reales es no-numerable según el proceso diagonal de G. Cantor y por tal demostración
se nos presentaría imposible encontrar una aplicación que sea inyectiva y suprayectiva a la vez.

Al pedir una biyección de los binarios sobre un segmento de los reales intuyo que tendrá que ver con algo de computación o sobre la
definición de A. Turing de números computables, que dice que un numero es computable, si su expresión decimal puede ser escrita
por una máquina. Atendiendo al enunciado de Turing podemos intentar codificar cada digito que utilizan los reales y también codificar
la coma de la siguiente manera:

 10001 = 0
 10010 = 1
 10011 = 2
 10100 = 3
 10101 = 4
 10110 = 5
 10111 = 6
 11000 = 7
 11001 = 8
 11010 = 9
 11011 = ,

Ahora por cada real solo tenemos que cambiarlo por su correspondiente codificado en binario, entonces tendremos una lista
inyectiva infinita, como la siguiente:

 0,000… = 10001 11011 10001 10001 10001 … …
 0,005… = 10001 11011 10001 10001 10110 … …
 0,200… = 10001 11011 10011 10001 10001 … …
 0,999… = 10001 11011 11010 11010 11010 … …
          1 = 10010

No es biyectiva por que no es suprayectiva.
Un ejemplo de numero no computable es la constante de Chaitin, de forma mas general, todo número que presente el problema
de la parada es no computable, pero existen no computables que son definibles.

Espero que esto te sirva.

Saludos.

Hola feriva:
No encuentro “elemento generador”, lo máximo que encuentro son “sistemas generadores”.
Lo he buscado en Internet, en Calculus de Apostol, Lecciones de Álgebra Moderna de Dubreil, en el articulo de Continuidad y Números iracionales de Dedekind y
en algunas enciclopedias de matemáticas que tengo. ¿Podrías desarrollar un poco mas el tema de elemento generador?  Yo también estudie en la UNED, pero
no matemáticas, estudie Informática de Sistemas y no profundizaron tanto en Álgebra y Análisis como se profundiza en Matemáticas.
Estoy interesado en el tema.
Gracias.

Saludos.

Hola Jabato:

Esas preguntas que haces son las mismas que nos hacemos todos (consciente o inconscientemente), y creo que es aquí donde radica todo el problema, en la fundamentación.
Ahora mismo estoy buscando las propiedades del sistema Unario (o Monario) para intentar derivar todos los demás sistemas. Utilizo dos símbolos extras de dirección, el '-' para
los números negativos o numeración de huecos del conjunto y el '.' para la numeración de su profundidad, o distancia entre dos puntos unarios y así intentar hacer un isomorfismo
con la recta, no se si funcionara. Existen varios problemas, uno es el de la representación del cero (conjunto vacio) mediante un solo simbolo, otro problema importante es la traducción
a otros sistemas mas compactados o que dan mas información con menor representación a costa de utilizar mas simbología. Utilizo la resta como la exclusión del conjunto intersección
siendo el resultado el conjunto restante. La división entera es la misma que utilizaba Euclides, división mediante restas. En la división decimal reduzco a fracciones de la unidad para
tener la parte entera a la izquierda de la coma y la parte fraccionada a la derecha, pero aun así existen redundancias y tiene la misma expresividad que . Por contra se aclaran algunas
dudas con el infinito, gracias a la claridad del sistema, pero aparecen otras. Si encontramos unos axiomas que nos definan con exactitud todos los sistemas de numeración y representación
creo que encontraremos la piedra filosofal. Creo que lo que se puede es definir un sistema simple y por carencias en el sistema ir definiendo sistemas mas potentes que suplan esas carencias.

Saludos.

Hola feriva:

Yo también pienso que un punto no puede ocupar, pero también veo que los puntos infinitesimales tienen que existir, si no la recta tangente al
confundirse con la curva pasaría por mas de un punto y no sabríamos cual de ellos es el máximo. A lo mejor todo esto no es mas que una paradoja.

Saludos.

Hola LuaLuna:

Ahora creo que lo acabo de entender, supongo que la generación de todas las secuencias binarias infinitas que empiezan con 0 son el recorrido en profundidad de todas ramas,
siempre empezando por cero ¿No?

Según la rama que escojamos en cada nivel tendremos 0 ó 1 concatenados a la cadena conseguida en el recorrido, y por lo tanto, para conseguir el 1 tendremos que recorrer
en profundidad por la izquierda todo el árbol binario exceptuando el ultimo nivel que nos iremos a la derecha. El ultimo nivel corresponderá a nodos
que es la cardinalidad del continuo y tendremos a la izquierda una cantidad de 0´s no-numerable.

¿Podríamos hacer lo mismo con un árbol denario? Comenzamos por el nodo 0, de el colgamos 10 nodos etiquetados con los símbolos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y de cada nodo volvemos
a generar 10 nodos con los mismos símbolos. Con este árbol conseguimos generar todos los números reales entre [0..1] a falta unicamente de la coma, pero también puedo generar
todos los números naturales ¿No?

Seguiré pensando sobre el árbol, me ha gustado.

Los bucles tipo for() son un tipo de bucle que en algunos pseudocodigos lo traducen como repetir(), repiten el proceso un numero determinado de veces, por lo tanto
tienen un indice que nos indica la iteracion en la que esta el bucle en un momento determinado. Por eso pensé en como se quedaría la variable indice en la ultima rama del árbol binario
y por eso pensé en el problema de la parada de la maquina de Turing, dado que se necesita un estado de finalizacion del algoritmo. Creo que necesito pensarlo un poco mas.

De todas maneras tenéis que perdonarme el tardar tanto en escribir, aun no he asimilado un mensaje y ya hay 3 mas que asimilar mas luego entre el trabajo y los hijos no me queda
mucho tiempo.

Saludos.

Hola:
No creo que el problema sea el coger un segmento finito o infinito, dado que r puedes cogerlo del tamaño del continuo
siempre tendremos un punto común que por definición no podemos partir siendo este la piedra angular de una linea con
centro y que sus extremos distan de el el mismo valor absoluto. Creo que el error es decir que un punto es algo indivisible
pero por el contrario hay pruebas como el calculo infinitesimal que nos dice que los puntos son único.

Saludos.

Hola Jabato:

En la respuesta #39 has puesto algo que opino igual que tu, dices:

“para que dos conjuntos infinitos tengan la misma cardinalidad solo hace falta que sean biyectivos
podría ser erróneo, podría ocurrir que fuera necesaria alguna otra condición que hasta el momento nadie ha enunciado. “

Yo antes de aplicar la biyeccion aplico la eliminación de la intersección de los dos conjuntos y después aplico la biyeccion con los elementos restantes.

Saludos.

Hola LauLuna:

No entiendo bien la generación del árbol.
¿La secuencia de nodos de izquierda a derecha por niveles del árbol son 0; 01; 0101;01010101;....?

Supongamos que cada nivel del árbol se genera en una sola instrucción y que lo hacemos por medio de un bucle tipo for()
entonces podemos pensar mas que nada en la variable indice del bucle que en el algoritmo de generación de los Naturales ¿No?

Por ultimo, suponemos que no existe aquí el problema de la parada ¿No?

Saludos.

Hola a todos:

Entiendo que sea denso, continuo, cerrado y que el conjunto de puntos sea infinito no-enumerable, pero aun así me surge la misma pregunta.
Si tengo un circulo de radio r y lo quiero doblar en dos mitades exactas ¿en que lado de las dos mitades se queda el centro? ¿Tiene que existir por fuerza una frontera común?

Saludos.

Hola CristianC:

Tienes razón, esta mal explicado.
Tomemos un radio de tamaño 1 con centro en el eje de coordenadas y tracemos una circunferencia de diámetro 2 con centro en el mismo eje de coordenadas.
Evidentemente los extremos de ese diámetro serán 1 y -1. Tracemos ahora todos los círculos concentricos con diámetro menor que 1 y que su centro se encuentra en el eje de coordenadas.
Tomemos ahora como conjuntos de un solo elemento todos los puntos que existen en ese diámetro y establezcamos la función valor absoluto entre todos los puntos del diámetro. Una vez
acabada la función, el punto central solo lo podremos biyectar con sigo mismo.
Esta manera de explicarlo es mas engorrosa aunque se entiende mejor (eso creo). Es mas engorrosa, por que he tenido que etiquetar cada punto y establecer una biyección mediante la
funcion valor absoluto.

Podría explicarse de otra manera a lo mejor algo mas sencilla.

Cojamos las bolas de un billar bola 8 menos la blanca, pongamos la bola negra en el centro y pongamos a cada lado de la bola negra las bolas de cada jugador quedándose las bolas en linea.
Con esta configuración tendremos las bolas lisas a un lado de la bola negra y al otro lado las bolas ralladas formando todas ellas una linea de bolas. Si emparejamos cada bola rallada con una
y solo una bola lisa, al final nos queda la bola negra que también es lisa sin poder emparejarla con ninguna.

No se si con estos ejemplos queda un poco mas claro.

Saludos.

Hola:

Tengo algo curioso acerca de si la linea es un conjunto de puntos o no.

Aceptemos que la linea es un conjunto denso de puntos, como aceptan la mayoría de las disciplinas. Tomemos un segmento finito de tamaño r y tracemos una circunferencia de diámetro 2r.
Tomemos un diámetro cualquiera de la circunferencia. Tomemos ahora los dos puntos extremos de la recta llamada diámetro y biyectemoslos. Cojamos los siguientes dos puntos extremos
del diámetro y biyectemoslos también. Si continuamos este proceso con todos los puntos del diámetro vemos que al finalizar nos queda un punto central que no podemos biyectar con
ningún otro punto.
¿Podemos partir un circulo en dos partes iguales con este modelo de la recta?

Observaciones:
1.- He supuesto un infinito actual (puntos del diámetro) mezclado con un infinito potencial (biyeccion) de la misma manera que Cantor utilizo un infinito actual (lista de números) con un
     infinito potencial (transformación diagonal).
2.- He utilizado el proceso de cortaduras de Dedekind mezclándolo con el principio del palomar (cajas, pichonera, etc.) de Dirichlet, aplicándolo a un solo punto, el centro.
3.- He utilizado los axiomas de Euclides sobre puntos, linea y extremos de una linea, dado que en los textos de Matemática moderna todos intentan evitar estas definiciones y en los textos
antiguos se salen bien poco de estos axiomas.

Con este modelo de la recta damos con la palabra denso un conjunto inagotable de puntos pero al ser puntos, estamos discretizándola. ¿No?
¿Es la recta realmente un conjunto denso de puntos? Si no es así ¿Que es?

Saludos.

Hola:

"Cómo entender y hacer demostraciones matematicas", Daniel Solow, ED.Limusa
"Fundamentos de Algoritmia", G.Brassard y P. Bratley, ED. Prentice Hall.

Saludos.

Hola feriva:

Ya esta, me estaba obcecando.
En , por que es la inversa de la mitad de la base ya que , y como dije los números no son mas que etiquetas.
Esto no quiere decir que no existan periodos, en , en y en general .
Esto funciona así dado que para todo racional, con mcd(c,d)=1 y con d distinto de la base, sera periódico, con un máximo de (d-1) dígitos en su periodo, al traducirlo a .
Veamos por que. Podemos coger cualquier racional y reordenarlo así, , entonces la parte fraccionada sera producto del numerador.
Vemos con esto que los restos son cíclicos hasta que a=b, que se cierra el ciclo.
Ahora nos falta ver que es periódico. Si tomamos el algoritmo clásico de la división de en ,vemos que los únicos restos posibles
son (b-1), por lo tanto aparecerá después de (b-1) el resto 1, que hace comenzar de nuevo los restos ya obtenidos y haciendo que el cociente se repita a partir de la coma.
Si dividimos obtenemos los restos 1,3,2,6,4 y 5, en ese orden y con un cociente de . El 7 es un numero curioso dado que permuta sus cifras.
Veamos:










Con esto vemos que la aparición de un periodo nos indica la imposibilidad de dividir c, en d partes iguales.
Todo esto parece indicar que la base que no tiene periodos es aquella que tiene el producto de todos los números primos, y esto es imposible para un sistema de etiquetado infinito.

Saludos.

Hola feriva:

Evidentemente no existe, dado que por el algoritmo clásico de la multiplicación no tenemos ningún ultimo dígito distinto de cero que al multiplicarlo por si mismo nos de cero
basta con inspeccionar la tabla de multiplicar y ver que el primer numero que elevado al cuadrado nos da cero es el 10, y cualquier numero que a partir de la coma decimal
tenga 10, se puede traducir a 1 , de lo que vemos que , no hemos conseguido un cero. Así como en los enteros el
cero a la izquierda lo podemos eliminar, en los reales también podemos eliminar el cero de la derecha a partir de la coma.

“La radiación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por si mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado”, (sacado de una enciclopedia electrónica).
Entonces parece que es imposible de encontrar un numero, con coma decimal no nula, ya sea finito o infinito, que multiplicado por si mismo nos de un cuadrado perfecto.
Por esto creo que no podemos encontrar la raíz de cualquier numero que no sea cuadrado perfecto, y en los reales, este conjunto de elementos son un subconjunto del
conjunto de reales con coma decimal nula. A veces me levanto por la mañana pensando que es un problema de codificación y me acuesto pensando que es un problema
de los algoritmos que utilizamos y durante el día pienso que no es ninguna de las 2. De momento sigo buscando en el teorema de Cantor, que junto a Dedekind son los
únicos que se acercan a una verdadera fundamentalmente de números, o eso creo yo.

Por cierto, sigo probando números periódicos con bases diferentes.

Saludos.

Hola feriva

Me ha gustado el hilo que me pones, yo siempre he pensado que el decimal no era el mejor sistema de numeración.
Cambien pienso que muchos de los problemas que existen en matemáticas son culpa de los algoritmos que utilizamos.
Busca un numero real con coma decimal no nula que al ser multiplicado por si mismo nos de coma decimal nula.

Voy a probar mas números periódicos en base 6.

Saludos.

Hola Cristian.

Lo que intente con mi argumento es una inducción matemática sobre si es una matriz cuadrada o no cuando el numero de columnas es infinito y bajo un sistema codificado.
Lo curioso del tema es que Cantor no cambio todos los dígitos, el cero y la coma los deja intactos y de la misma manera que desprecia el cero y la coma en su transformación,
nosotros también podríamos hacerlo con todos los números de la lista, convirtiendo la matriz en una matriz de naturales.
También podemos suponer que antes de Cantor no existían diferencia entre los infinitos, todos los infinitos eran del mismo tamaño, entonces, una vez demostrado el teorema
Cantor podría haber visto que delante de esa matriz que había construido tenia dos infinitos distintos que hacían que su vector característico no fuera tan característico.
Hay que decir también que el método diagonal de Cantor no es la demostración que mas le gustaba, existe otra demostración que nunca he visto la cual demuestra lo mismo
pero de forma mas robusta. Por eso creo que existe algo en el teorema que no entiendo bien.

Saludos.

Yo pienso que los números son simples etiquetas, y como las etiquetas existen de muchos tipos.
Creo que el infinito es mas grande o mas pequeño siempre según el uso que le demos.
Por ejemplo, si divido por el algoritmo clásico de la división obtengo siendo , si divido
por el algoritmo clásico de la división obtengo que , viendo que puedo hacer que
y por lo tanto dado que:








Consiguiendo así con el mismo numero de operaciones, infinitos números mas pequeños.
Aquí, el infinito, atiende a la cantidad de operaciones que hacemos o hasta donde se cansa nuestra imaginación, lo que influye en que el numero obtenido sea mas o menos preciso.
Haciendo el mismo numero de pasos una operación consigue un valor de y la otra un valor de .
Lo mismo pasa con los naturales y los reales, mientras que los naturales pueden representar elementos, los reales gracias a la coma pueden representar
tomando n casillas a la derecha y a la izquierda de la coma decimal.

La diagonal de Cantor prueba una cosa en la que no creo, que existan mas etiquetas entre [0..1] que en todo , yo creo que existen las mismas, pero si que creo en lo que dice
Cantor de ordenes distintos de infinitos, no de la manera que lo dice, no creo en un cambio brusco de los ordenes de infinitud pero si en un orden creciente y paulatino.
Por todo esto no creo que Cantor estuviera equivocado en sus ideas, si no que hay algo que Cantor vio y yo no veo.

Saludos.

Buenas...
Siento mi torpeza del mensaje anterior dado que a lo mejor lo envié muy rápido y poco claro, mas mi inexperiencia con LaTex no
ayudo mucho.

Mi duda esta basada en la segunda demostración de Cantor sobre el etiquetado de los números reales comprendidos entre [0..1].
Cantor primero construye una lista infinita, pero completa, de todos los números reales posibles entre [0..1].
Esta lista esta compuesta de filas de números reales como las que siguen:

            0 . 1 2 7 0 3 5 7 3 5 ...
            0 . 0 4 7 2 6 8 4 2 1 ...
            0 . 3 3 1 3 3 3 3 3 3 ...
            0 . 6 8 4 5 3 4 8 7 2 ...
            0 . 2 5 0 0 9 4 0 6 7 ...
            0 . 6 6 6 6 6 2 6 6 6 ...
            0 . 5 4 7 9 2 5 6 6 9 ...
            0 . 2 4 7 8 4 7 3 5 5 ... 
            
Todas estas filas están indexadas por la lista completa de números naturales suponiendo así que existen 2 listas completas
las de los reales entre [0..1] y la de los naturales que indexan esas filas. Después Cantor coge la diagonal que comienza en
la casilla a11 y mediante una operación a cada dígito de la diagonal construye un numero que no esta en la lista
y así demuestra que existen mas números de los que hay en la lista, y por lo tanto no puede numerarlo con los naturales.

Pues bien, mi duda es que si yo construyo una lista de números reales comprendidos entre [0..1] que solo tengan un dígito
a partir de la coma, la lista tendrá 10 filas, que es la siguiente lista:

            0 . 0
            0 . 1
            0 . 2
            0 . 3
            0 . 4
            0 . 5
            0 . 6
            0 . 7
            0 . 8
            0 . 9

Si construyo otra lista con los números reales comprendidos entre [0..1] que solo tengan 2 dígitos a partir de la coma, la
lista tendrá 100 filas y tendrá la misma estructura que la siguiente lista:

            0 . 00
            0 . 01
            0 . 02
            . . .
            . . .
            0 . 97
            0 . 98
            0 . 99
            
Si construyo otra lista con los números reales comprendidos entre [0..1] que solo tengan 3 dígitos a partir de la coma, la
lista tendrá 1000 filas y tendrá la misma estructura que la siguiente lista:

            0 . 000
            0 . 001
            0 . 002
            . . .
            . . .
            0 . 997
            0 . 998
            0 . 999
            
Este proceso se puede extender hasta el infinito sin que exista nada que me diga que el proceso cambiara inesperadamente en un
momento dado. Pues bien, si construyo una lista de números reales con infinitos dígitos, obtendré
pero este infinito a la derecha de la igualdad sera mayor que el infinito del exponente, y por lo tanto existirán mas filas que columnas en la
lista construida, de lo cual al coger la diagonal como la coge Cantor, no estoy cogiendo nada característico de toda la matriz
si no de una parte de ella, y por el tipo de infinito que esta a la derecha del igual, la parte es muy poco significativa dado que

       y   
   
De todas maneras si cogemos la diagonal de un numero decimal comprendido entre [0..1] con 5 cifras decimales, solo podremos
obtener un numero de 5 cifras, pero el numero de elementos de esa lista sera de , por lo tanto si la lista esta completa
seguro que el numero transformado esta en alguna fila distinta a esas 5.

He intentado también obtener una vertical de la lista, en cualquier posición, que realmente es un numero que no sale en la lista
y encima de pertenecer a un numero natural (la vertical escogida), lo único que demuestra es que el conjunto es infinito.

Esta es la duda que tengo acerca del proceso diagonal de Cantor, no se si es que hay algo que no veo, o lo estoy enfocando de
forma equivocada.

Gracias por vuestra paciencia.

Oswaldo.

Hola....

Mi duda es, como Cantor demuestra que existen mas numeros (o etiquetas) en [0,1] que en los naturales.
Los dos sistemas son codificados (reales y naturales) y por lo tanto el numero de columnas es menor que el numero de filas. Si creamos una matriz de reales comprendidos entre el cero y el uno con la peculiaridad de que tengan una cifra a partir de la coma, obtendremos 10 elementos, si es con dos cifras, 100 elementos y asi sucesivamente, por lo tanto para infinitos elementos tendremos 10\infty \longrightarrow{10\infty>\infty}.

Oswaldo