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1  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Suma de Riemann y Stolz : 08/11/2019, 23:01:18 pm
El problema es la última igualdad aquí:

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[n ]{x_n}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(n+3)(n+5)(n+7)...(3n+1)(3n+3)}{(n+1)^{n+1}}}{\displaystyle\frac{(n+2)(n+4)(n+6)...(3n)}{n^n}}=\displaystyle\frac{3}{e}[/texx]

Ahí afirmas que [texx]\displaystyle \lim_{n\to \infty} \prod_{k=1}^n \frac{n+2k+1}{n+2k}=1[/texx], imagino usando que "el límite de un producto es el producto de los límites", pero aquí no aplica.

2  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: ¿Casos en donde la derivada de una función no constante sea nula? : 01/08/2019, 23:02:38 pm
Hola,

El teorema del valor medio dice que la función es necesariamente constante.
3  Matemática / Teoría de números / Re: Número entero : 26/07/2019, 17:37:57 pm
Acabo de notar que has modificado tu mensaje inicial borrando todo el problema. Por favor NO hagas eso.

Como he citado tu mensaje, incluiré de nuevo el problema.
4  Matemática / Teoría de números / Re: Número entero : 26/07/2019, 17:32:34 pm
Hola,

La siguiente expresión, es un número entero?.
Tengo que hacerlo usando cosas de teoría de números, sin sacar factores comunes, salvo en los factoriales fuera del paréntesis, claro.

[texx]\displaystyle\frac{5300!}{100!(53!)^{100}}[/texx]

No estoy seguro de qué cuenta como "teoría de números".

Una forma de ver que es un entero es notar que

[texx]\displaystyle \frac{5300!}{(53!)^{100}}= \binom{5300}{53,53,\ldots,53}[/texx]

cuenta de cuántas formas puedes repartir 5300 objetos distintos en 100 cajas distintas con 53 objetos cada una.

Si las cajas fuesen indistinguibles, tienes [texx]\displaystyle\frac{1}{100!}\binom{5300}{53,53,\ldots,53}[/texx] posibilidades.
5  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Planos sencillos : 11/07/2019, 10:44:21 am
Hola,

x=y es una famila de planos, si fuera con z=0, sería análogo a lo de antes, el eje X,Y pegado al origen. Pero como no obliga a z a valer nada son todos los planos paralelos X,Y, todos los “tabiques”.

Del mismo modo para el plano y=-z, otra familia de planos. La cuestión es que no se dice nada de “x” y, por tanto, los x se quedan fijos dando lugar a planos Y,Z. Da igual si los vectores, dentro del plano, miran para allá o para acá, son vectores “pegados” al plano (cualesquiera linealmente independientes formarán una base) no cambian respecto de la “altura” de x. 

Eso no es correcto.

La ecuación [texx]x=y[/texx] en [texx]\mathbf R^3[/texx] define un (unico) plano. Cualquier elemento [texx](x,y,z)[/texx] de ese plano es de la forma [texx](x,x,z)[/texx] para algunos [texx]x,z\in \mathbf R[/texx]. A su vez puedes reescribir [texx](x,x,z)=x(1,1,0)+z(0,0,1)[/texx], así que el plano está generado por los vectores [texx](1,1,0)[/texx] y [texx](0,0,1)[/texx]. Otra forma de describirlo es como el plano perpendicular al vector [texx](1,-1,0)[/texx] que pasa por el origen.

Si también tenemos la ecuación [texx]z=0[/texx], sería una recta (la intersección de los planos [texx]x=y[/texx] y [texx]z=0[/texx]).

Algo análogo para [texx]y=-z[/texx]: esa ecuación define un único plano.
6  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Derivadas direccionales- Cálculo varias variables : 10/07/2019, 00:13:42 am
Hola,

La cuestión es que estás hablando de pendientes y vectores directores con respecto a bases distintas. Llamemos [texx]P[/texx] al plano (perpendicular al plano [texx]x[/texx]-[texx]y[/texx]) generado por [texx]u[/texx] y por [texx]w=(0,0,1)[/texx].

 - Cuando calculas la derivada direccional en la dirección de [texx]u[/texx] obtienes [texx]1[/texx], así que te queda la recta [texx]L[/texx] en [texx]P[/texx] con vector director [texx]v[/texx] que tiene coordenadas [texx](1,1)[/texx] en la base [texx]C=\{u,w\}[/texx].

 - Cuando calculas la derivada direccional en la dirección de [texx]-u[/texx] obtienes [texx]-1[/texx], así que te queda la recta [texx]L'[/texx] en [texx]P[/texx] con vector director [texx]v'[/texx] que tiene coordenadas [texx](1,-1)[/texx] en la base [texx]C'=\{-u,w\}[/texx].

Las dos rectas [texx]L[/texx] y [texx]L'[/texx] son la misma. Puedes calcular la matriz de cambio de coordenadas de [texx]C[/texx] en [texx]C'[/texx] y ver que [texx]v=-v'[/texx], por lo que la rectas generadas son la misma. (En general las lineas [texx]L[/texx] y [texx]L'[/texx] pueden no ser la misma pues la función no tiene que ser diferenciable, aunque sí lo es acá.)

PD: Por favor no olvides leer las reglas del foro y usar [texx]\LaTeX[/texx] cuando sea apropiado.
7  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to{+}\infty}{\sen\sqrt[ ]{1+x}-\sen\sqrt[ ]{x}}\) : 09/07/2019, 13:46:53 pm
Hola,

Usa que [texx]\displaystyle\sin(x)-\sin(y)=2\cos\left( \dfrac{x+y}{2} \right)\sin\left( \dfrac{x-y}{2} \right)[/texx]. Calcula el límite del segundo factor y concluye sabiendo que coseno es una función acotada.
8  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: limit with summation : 09/07/2019, 13:44:41 pm
Hello,

For any [texx]x>0[/texx], the function [texx]f(t):=\dfrac{1}{t^2x+t}[/texx] is decreasing on [texx][1,\infty)[/texx]. Hence, using the bounds from the integral test, we get

[texx]\displaystyle\int_1^\infty f(t)dt \le \sum_{n=1}^\infty f(n) \le f(1)+\int_1^\infty f(t)dt[/texx]

Integrating and multiplying by [texx]\dfrac{1}{\ln x}[/texx] for [texx]x \in (0,1)[/texx] we get

[texx]\displaystyle\dfrac{1}{(x+1)\ln x}+\dfrac{\ln(x+1)}{\ln(x)}-1 \le \dfrac{1}{\ln(x)}\sum_{n=1}^\infty f(n) \le \dfrac{\ln(x+1)}{\ln(x)}-1.[/texx]

Letting [texx]x\to 0^+[/texx] we get that the desired limit is -1.
9  Matemática / Topología (general) / Re: ¿Es el toro una superficie irreducible? : 28/06/2019, 12:23:14 pm
Puedes descomponer la variedad como suma conexa de primas. Como [texx]\pi_1[/texx] de una suma conexa es el producto libre de los factores, puedes entonces primero considerar el caso de variedades primas y simplemente conexas. Pruebas que necesariamente son [texx]S^3[/texx] y vuelves a tu descomposición inicial. Como cada uno de los factores es [texx]S^3[/texx], la variedad completa lo es.
10  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Ecuación funcional. : 26/06/2019, 21:16:50 pm
Hola,

Por continuidad, necesariamente [texx]f(\mathbf R)[/texx] es un intervalo. Nota que la ecuación dada implica que [texx]f(z)=1/z[/texx] para cualquier [texx]z \in f(\mathbf R)[/texx]. Como mostraste, 2019 y 1/2019 están en [texx]f(\mathbf R)[/texx], así que 2018 está en [texx]f(\mathbf R)[/texx].
11  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Re: Cero elevado a cero : 25/06/2019, 18:11:19 pm
Potencialmente relevante: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=57593.0
12  Matemática / Topología (general) / Re: Proposición sucesiones en espacios métricos : 19/06/2019, 11:31:11 am
Me parece que el "onto" al final significa que [texx]f[/texx] es además sobreyectiva y en ese caso tu prueba funciona. Si no se pidiera que [texx]f(X)[/texx] sea todo el codominio, imagino se debería poner "into".
13  Matemática / Topología (general) / Re: Proposición sucesiones en espacios métricos : 19/06/2019, 09:15:37 am
Hola,

No estoy seguro de que se pueda lograr.

Toma [texx](X,d)=(\mathbf Q \cap [0,1],d_u)[/texx], [texx](M,d_2)=([0,1],d_u)[/texx] siendo [texx]d_u[/texx] la métrica usual, y [texx]f[/texx] como la inclusión.

Supongamos que encontramos una métrica [texx]d_1[/texx] que hace [texx](X,d_1)[/texx] compacto, y por tanto completo. Como [texx](X,d_1)[/texx] es contable, debe tener un punto aislado (teorema de Baire) que podemos llamar [texx]z[/texx]. En [texx](X,d)[/texx] podemos encontrar una sucesión [texx](a_n)[/texx] de términos distintos que converge a [texx]z[/texx]. Esta sucesión debe converger para [texx]d_1[/texx] también, pero las únicas sucesiones que convergen a [texx]z[/texx] con esa métrica son las eventualmente constantes. Contradicción(?).
14  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Demostración del teorema de Cauchy Kovalevskaya (Ecuaciones derivadas parciales) : 15/06/2019, 14:13:10 pm
Hola,

Lo que quieres mostrar se sigue de que [texx]1/x[/texx] es analítica en [texx]\mathbf R\smallsetminus 0[/texx], y que la composición de funciones analíticas es analítica. Además de que primitivas de analíticas también son analíticas (integrando cada término de las series).
15  Matemática / Esquemas de demostración - Inducción / Re: Divisibilidad : 13/06/2019, 16:26:50 pm
Hola,

Otra opción, también por inducción, es notar que [texx]F_n=F_{n-1}+F_{n-2}=\cdots = \color{red} 5 \color{black}  F_{n-4}+3 F_{n-5}[/texx].

Editado. (Gracias, Luis)
16  Matemática / Topología (general) / Re: [texx]\left\{f\left[B\right]:B\:\in \:\mathbb{B}\right\}[/texx] es base? : 27/05/2019, 23:27:15 pm
Aquí tengo los datos que por hipótesis el problema me entrega: Es una función abierta y sobreyectiva, esto ultimo me
garantiza que para todo abierto [texx]U\subset{Y}[/texx] siempre obtendré preimágenes, es decir, [texx]f^{{-1}}\left(U\right)=A\:[/texx]
donde [texx]A[/texx] es un abierto en [texx]X[/texx].

Eso no se tiene a partir de que [texx]f[/texx] sea abierta y sobreyectiva. Revisa de nuevo (por separado) cada definición.

Cita
Luego la otra que tenemos a disposición es que la función antes dada (en el problema)
es una base de [texx]T[/texx], esto implica que para cada elemento [texx]x\in{A}[/texx][texx]\subset{X}[/texx] , existe un[texx]B\in{\mathbb{B}}[/texx] tal que  [texx]x\in{B}[/texx][texx]\subset{A}[/texx].

Ahí en vez de "función" supongo que querías poner "familia" o "colección" de conjuntos (o sea, [texx]\mathbb B[/texx]).

------------

Una vez revises las definiciones, comprueba que esas condiciones que te dan no implican que [texx]\left\{f\left[B\right]:B\:\in \:\mathbb{B}\right\}[/texx] es base: Piensa en la topología indiscreta en [texx]X[/texx].
17  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Problemas y Desafíos / Re: limit : 27/05/2019, 19:13:26 pm
Hello,

The limit is not defined for all [texx]a>0[/texx] (for example, what if [texx]\sin a<0[/texx]?). Whenever it is defined it seems that [texx]0\le \sin^a a<a^{\sin a}[/texx], but I didn't check this carefully. Assuming this...

Let [texx]\alpha\ge 0[/texx] and [texx]\varepsilon>0[/texx]. The given limit is of the form [texx]\displaystyle \lim_n \prod_{i=1}^n \dfrac{\alpha+i}{\alpha+\epsilon+i}[/texx].

The convergence of the product is equivalent to the convergence of the sum

[texx]\displaystyle \sum_i^n \log\left( \dfrac{\alpha+i}{\alpha+\varepsilon+i} \right) = \sum_i^n \log \left( 1-\dfrac{\varepsilon}{\alpha+\varepsilon+i} \right),[/texx]

which is divergent by the comparison test with [texx]\displaystyle-\sum_i \dfrac{\varepsilon}{\alpha+\varepsilon+i}, [/texx] a harmonic series.

Moreover, [texx]\displaystyle \sum_i^n \log\left( 1-\dfrac{\varepsilon}{\alpha+\varepsilon+i} \right) \to -\infty[/texx]   so   [texx]\displaystyle\prod_{i=1}^n \dfrac{\alpha+i}{\alpha+\epsilon+i}\to 0.[/texx]
18  Matemática / Topología (general) / Re: Continuidad: Demostrar que X es un espacio discreto : 27/05/2019, 00:55:25 am
Hola,

Sí, está bien: una vez sabes que todos los conjuntos unitarios son abiertos, se sigue que el espacio tiene la topología discreta.
19  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Relación de orden : 26/05/2019, 00:19:07 am
Es decir, ¿[texx] a+d \leq{c+b}[/texx] entonces [texx](a,b)\leq{(c,d)}[/texx]?

Sí, eso es por el "si y sólo si" de la definición.
20  Matemática / Topología (general) / Re: Continuidad: Demostrar que X es un espacio discreto : 26/05/2019, 00:09:22 am
Para ver que [texx]X[/texx] tiene la topología discreta tienes que mostrar que todo subconjunto [texx]U[/texx] de [texx]X[/texx] es abierto. Como te dicen que cualquier función [texx]f:X\to \mathbf R[/texx] es continua, para ver que [texx]U[/texx] es abierto es suficiente construir una función [texx]f[/texx] tal que [texx]U=f^{-1}(A)[/texx] para algún conjunto abierto [texx]A[/texx] de [texx]\mathbf R[/texx].

Intenta construir una función [texx]f[/texx] que haga eso. (Recuerda, cualquier función que definas de [texx]X[/texx] en [texx]\mathbf R[/texx] es continua por hipótesis.)
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