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18/06/2013, 01:41:00 am

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1	Matemática / Cálculo 1 variable / Ayuda ley de sumación de Euler	: 22/11/2010, 03:02:07 pm
Tengo este ejercicio pendiente y la verdad no he podido llegar a nada útil, de antemano muchas gracias al que me pueda ayudar $Sea\:$\varphi _{1}\left( x\right) =x-[x]-\dfrac{1}{2}$ si $x\neq entero,$ y sea $\varphi _{1}\left( x\right) =0$ si $x=entero.$ Sea tambi\'{e}n $\varphi _{2}\left( x\right) =\int\limits_{0}^{x}\varphi _{1}(t)dt.$ Si $f^{\prime \prime }$ es continua en $\left[ 1,n\right] $ probar que la f\'{o}rmula de sumaci\'{o}n de Euler implica que: \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^{n}f(k)=\int\limits_{1}^{n}f^{\prime }\left( x\right) dx-\int\limits_{1}^{n}\varphi _{2}\left( x\right) f^{\prime \prime }\left( x\right) dx+\dfrac{f\left( 1\right) +f\left( n\right) }{2} \end{equation} H\'{a}gase $f\left( x\right) =\ln x$ en el ejercicio anterior y pu\'{e}bese que \begin{equation} \ln n!=\left( n+\dfrac{1}{2}\right) \ln n-n+1+\int\limits_{1}^{n}\dfrac{% \varphi _{2}\left( x\right) }{t^{2}}dt \end{equation}$

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