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21  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Puntos críticos de una ecuación : 21/09/2014, 22:28:29 pm
Hola!

Por favor podrían explicarme como resolver el siguiente problema. No entiendo que es lo que sucede en cada uno de los casos.

Considere un sistema lineal de ecuaciones diferenciales [texx] \frac{dx}{dt}=ax+by, \frac{dy}{dt}=cx+dy[/texx] donde a,b,c,d son constantes reales. Sean [texx]p=a+d, q=ad-bc, \delta=p^2-4q[/texx]. Demuestre que el punto crítico (0,0) es un:

a) Nodo si [texx]q>0, \delta\geq{0}[/texx]
b)Punto silla si [texx]q<0[/texx]
c)Punto espiral si [texx]p\neq{0}\ y \ \delta <0[/texx]
d)Centro si [texx]p=0 \ y \ q>0 [/texx]
22  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Problema de una ecuación diferencial : 01/09/2014, 00:06:49 am
La ecuación que encuentro es esta:

[texx] S(t)=S_0 e^{(r/100)t}[/texx]
Pero de aquí ya no se como resolver para cada obtener cada uno de los incisos.  :¿eh?:
23  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Ecuación aplicada a física : 31/08/2014, 01:05:55 am
Hola. Espero puedan explicarme como hacer esta demostración  :¿eh?:

Un cuerpo cae del reposo bajo la acción de su peso y una resistencia pequeña que varia como la velocidad, es decir [texx]a=g-kv[/texx]

Demostrar que la distancia recorrida como función del tiempo es:
[texx]s=\displaystyle\frac{g}{k^2}(kt+e^{-kt}-1)[/texx]

Y verificar que se cumple la siguiente relación:

[texx]ks+v+\displaystyle\frac{g}{k}ln(1-\displaystyle\frac{kv}{g})=0[/texx]
24  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Demostración de una ecuación diferencial : 31/08/2014, 00:52:06 am
La velocidad de una reacción quimica en la que X cantidad que se transforma en el tiempo t es la razón de la variación de X con respecto al tiempo. Sea [texx] \displaystyle\frac{dX}{dt}=k(a-X)[/texx], puesto que la velocidad de variación de la cantidad que se transforma es proporcional a la concentración en el mismo instante.

Demostrar que k, la constante de la velocidad es igual a [texx]\displaystyle\frac{1}{t}ln\displaystyle\frac{a}{a-X}[/texx]
25  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Problema de una ecuación diferencial : 31/08/2014, 00:22:33 am
Mi duda es como plantear la ecuación para poder contestar cada una de las preguntas  :¿eh?:
26  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Aplicación de una ecuación diferencial : 31/08/2014, 00:14:33 am
Muchísimas gracias Samir  :cara_de_queso:
27  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Función error : 30/08/2014, 21:48:24 pm
Muchas gracias, ha sido de gran ayuda  :sonrisa_amplia:
28  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Problema de una ecuación diferencial : 27/08/2014, 01:24:37 am
Espero que puedan ayudarme a resolver el siguiente problema.

Suponga que se deposita una suma S en un banco que paga interés a una tasa anual r, compuesto continuamente.

a) Hallar el tiempo T necesario para duplicar el valor de la suma original, como una función de la tasa de interés r

b) Encontrar la tasa de interés que debe pagarse si la inversión inicial tiene que duplicarse en 8 años
29  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Aplicación de una ecuación diferencial : 27/08/2014, 01:20:23 am
Hola.

Quisiera que por favor me expliquen como resolver el siguiente problema:

Supongamos que los desechos de una fábrica contaminan un lago y que, a causa de ello, una población de peces disminuye vertiginosamente. Los científicos han logrado detectar que la población disminuye en proporción al número de peces con una constante de proporcionalidad igual a 0.2:
[texx]\displaystyle\frac{dN}{dt}=-0.2 N[/texx]

donde N(t) es el número de peces en el tiempo t. Se sabe que si la población se reduce a una décima parte de la población actual, no será posible salvar la especie. ¿De cuánto tiempo se dispone para tomar medidas que reviertan el problema?
30  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Cálculo de una integral : 27/08/2014, 01:06:10 am
Muchas gracias por la ayuda ingmarov  :sonrisa_amplia:
31  Matemática / Cálculo varias variables / Función error : 26/08/2014, 23:21:42 pm
Hola.
Espero me puedan explicar como demostrar esto  :¿eh?:

Definida la función error como

[texx] erf(x)=\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{\pi}} \displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^2} dt[/texx]

Demostrar que la solución de
[texx] y^{\prime}-2xy=1, y(0)=y_0 [/texx] puede escribirse en la forma

[texx] y = e^{x^2} [ \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\pi}}{2}erf(x)+y_0] [/texx]
32  Matemática / Cálculo varias variables / Cálculo de una integral : 22/08/2014, 20:45:52 pm
Hola!

Tengo problemas para resolver esta integral. Espero puedan ayudarme

[texx]\displaystyle\int_{}^{} log^2(x+\sqrt[ ]{1+x^2} ) dx [/texx]
33  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Matrices de dimensión dos : 10/06/2014, 18:34:38 pm
En verdad muchísimas gracias el_manco. Creo que ahora si ya no hay dudas  :cara_de_queso:
34  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Matrices de dimensión dos : 10/06/2014, 18:24:14 pm
Esta bien ya queda mucho mas claro.
Una pregunta más, me podría explicar el procedimiento, digamos paso a paso , como se obtiene (0,3) al sustituir la condición inicial t=0   :¿eh?:  Por favor.
35  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Matrices de dimensión dos : 10/06/2014, 13:00:29 pm
Mi duda es como toma esa solución [texx]x(0)=(0,3)[/texx] y por qué se tiene que evaluar en t=0.

Ya que a mi no me queda claro y mi profesor de ecuaciones dice que esta mal por lo que ya me confundí porque se tiene que hacer lo anterior y de donde sale.

Y respecto a [texx] A=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{2}&{0}\end{bmatrix}[/texx] ya veo por que son la misma matriz  :rodando_los_ojos:
Espero por favor puedan explicarme.
36  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Matrices de dimensión dos : 09/06/2014, 23:47:19 pm
Y respecto a la matriz A he encontrado que la respuesta sería:

[texx] A=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{2}&{0}\end{bmatrix}[/texx]

Según esto la matriz es única, entonces mi duda es como puedo saber que en efecto esta matriz satisface la ecuación y no ninguna otra. Lo cual me confunde ya que aquí se ha encontrado una matriz diferente.

Espero puedan ayudarme   :¿eh?:     :BangHead:
37  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Matrices de dimensión dos : 09/06/2014, 23:41:30 pm
Hola. Revisando el ejercicio con mas detalle me ha surgido una duda, ¿por que es que utilizamos la condición [texx]x(0)=(0,3)[/texx] para resolver el problema?

Hola,

Está mal (creo). Una forma alternativa a la que sugiere el_manco es tener presente que si se tiene [texx]x'=Ax,\;x(0)=x_0[/texx] la solución es [texx]x(t)=e^{At}x_0[/texx]. En este caso, como [texx]x(0)=(0,3)[/texx],

[texx]x(t)=e^{At}\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e^{2t}-e^t\\e^{2t}+2e^{-t}\end{bmatrix}[/texx]

o sea,

[texx]e^{At}\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e^{2t}\\e^{-t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{e^{2t}}&{0}\\{0}&{e^{-t}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}[/texx]

Pero como [texx]\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{2}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}[/texx] se cumple la identidad

[texx]e^{At}\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{e^{2t}}&{0}\\{0}&{e^{-t}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{2}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}[/texx]

luego

[texx]e^{At}=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{e^{2t}}&{0}\\{0}&{e^{-t}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{2}\end{bmatrix}^{-1}[/texx]

de donde

[texx]A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{0}\\{0}&{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{2}\end{bmatrix}^{-1}[/texx]

Saludos.
38  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Matrices de dimensión dos : 01/06/2014, 04:33:12 am
 :sorprendido:  Muchísimas gracias a todos. La explicación fue excelente  :sonrisa_amplia:
39  Matemática / Cálculo varias variables / Igualdad de derivadas parciales cruzadas : 01/06/2014, 04:20:11 am
Usar el teorema de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas para demostrar que

[texx]\displaystyle\frac{{\partial M}}{{\partial y}}=\frac{{\partial N}}{{\partial t}}[/texx] si la ecuación

[texx]M(t,y)+N(t,y)\dfrac{dy}{dt}=0[/texx] es exacta.
40  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Solución no trivial para una ecuación : 01/06/2014, 04:17:47 am
Encontrar una solución no trivial para la ecuación con condiciones iniciales:

[texx]\displaystyle\frac{d^2y}{dt^2}=t\,y\,^a[/texx] con [texx]y(0)=0,\quad a>1[/texx]

¿Esta ecuación cumple con lo establecido por el teorema de existencia y unicidad?
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