¡Muchas gracias!

Hola. Sea el conjunto en el conjunto ordenado dotado del orden producto. Quiero saber si lo he estudiado bien: Es una relación de orden parcial, ¿no?; el maximal y el máximo coinciden, y es el punto , ¿cierto?; finalmente, el minimal y el mínimo también coinciden, y es el punto , ¿no?. ¡Un saludo!

¡Qué sencillo resulta todo, bien explicado!. Muchísimas gracias.   

Hola. Me he quedado atascado en un problema, aunque tengo su resolución delante. La escribo:
"Sean y dos números complejos y la ecuación en . Sean y Las soluciones de la ecuación. Demuestre que si se cumple que , entonces , y .
Solución: Sabemos que las soluciones de la ecuación son y , siendo una raiz cuadrada del discriminante de la ecuación dada. En consecuencia: . Análogamente, . Si , entonces y . En consecuencia . Además si , entonces y en consecuencia, , es decir: . Simplificando se obtiene que . En consecuencia: y además (*). Ahora bien, como y , aplicando (*) se deduce que y además . Luego y finalmente ."
Las preguntas son:
. ¿No sería que si , entonces .
. ¿Por qué?.
. Esta última deducción no sé cómo la obtiene. ¡Un saludo!

Hola, el_manco. Voy a necesitar un tiempo para hacer todas las comprobaciones. Cuando lo entienda todo, escribiré. Mi objetivo es entender la fórmula de Euler, pero veo que antes de hacer más preguntas a este foro, tengo que familiarizarme con los conceptos de función, derivadas, series, etc. Un saludo.

¡Hola, el_manco!. Genial el enlace. Pero no consigo demostrar que si , entonces . Para valores de pequeños y elevados al cuadrado sé que es cierto, pero no sé dar el salto. . ¡Un saludo!

Hola. Me ha surgido una duda viendo la introducción a los números complejos de este hilo: dice que ; por otra parte, he visto la manera de obtener así: ; y también he encontrado . ¿Cómo se relacionan estas sucesiones?. Un saludo y gracias.

¡Hola el_manco!. Tienes razón, y además el texto del libro es suficientemente explícito: se trata de sucesiónes convergentes de números racionales o irracionales a través de las cuales podemos llegar a cualquier real; es decir, que podemos acercarnos a cualquier real tanto como queramos, lo cual es la definición misma de límite de una sucesión. La propiedad que sustenta esta deducción es la densidad de los racionales y de los irracionales en .
Yo me he líado la manta buscando el término general. Antes de acudir al foro, entré en internet en busca de límites de sucesiones, y me encontré, por ejemplo, con el número : la sucesión cuyo límite en el infinito genera tiene como término general . Luego volvía al libro de texto, y no encontraba el dichoso término general en el párrafo que he escrito en el primer mensaje. Finalmente acudí a este foro. Y veo que no hace falta dicho término general para definir un límite de una sucesión.
¿Es así, el_manco?.

Hola, el_manco. Por ejemplo, ; es decir, si , . ¿Cuál sería la expresión de o de ?; ¿o no la tiene?.
Estoy un poco liado. 

Hola. Estoy leyendo sobre las propiedades de , y dice así: "La densidad de y de en permite deducir que todo número real es el límite de una sucesión de números racionales y el límite de una sucesión de números irracionales . En efecto, si consideramos la sucesión de intervalos , tomamos para cada , y . Las sucesiones y son dos sucesiones adecuadas pues para todo se cumple: y ."
La duda es que no consigo visualizar ni ; ¿cómo consigo por ejemplo a partir de estas sucesiones que menciona el libro?. ¡Un saludo!.

¡Muchas gracias, Carlos Ivorra!. El ejemplo ha sido fundamental.

Hola. Tengo una duda con una demostración. La escribo:
"PROPOSICIÓN: Un conjunto es un intervalo si y solo si cualesquiera que sean los números , de tales que se cumple que .
DEMOSTRACIÓN: Si es un intervalo, claramente se satisface la propiedad del enunciado.
Recíprocamente, sea un conjunto no vacío tal que cualesquiera que sean los puntos , de tales que se cumple que . Sean y , donde y , salvo en los casos donde no está acotado inferiormente; en ese caso ; o no está acotado superiormente, y en ese caso .
Veamos que , probando que si entonces .
i) Si y , entonces no está acotado inferiormente y por tanto no es cota inferior de . En consecuencia, existe tal que .
ii) Si y , como es la mayor de las cotas inferiores de , no es cota inferior de . En consecuencia, existe tal que .
En ambos casos hemos probado que si , existe tal que .
De manera análoga se prueba que si , entonces existe tal que .
En definitiva, si , existen e tal que , y por la propiedad que satisface , resulta que ."
Las duda es: ¿por qué si, por ejemplo, en el caso i), si no es cota inferior de , en consecuencia, existe tal que ?. ¡Un saludo y gracias!. 

¡Muchas gracias, Carlos Ivorra!

Hola. Tengo unas dudas sobre una proposición. La escribo:
"PROPOSICIÓN: Sea . Existe un único número entero tal que . Al número entero se le denomina parte entera de y se denota por o .
DEMOSTRACIÓN: Supongamos primero que . Sea el conjunto: .
i) pues .
ii) está acotado superiormente en , por .
Por el axioma del supremo, existe . Veamos que . En efecto: Como no es cota superior de , existe tal que . De , se deduce que y en consecuencia, cualquier entero estrictamente superior a es superior a y por tanto no es elemento de . Luego es el máximo de y se concluye que . Por tanto y en particular y . Como además , se deduce que .
Supongamos ahora que .
Si , tomamos , y se cumple . Si , entonces y sea tal que . Se toma . Como , se tiene que . Como , resulta que y en consecuencia, . La unicidad del entero se deduce de lo siguiente: Sea tal que . Si es tal que , entonces y por tanto, no cumple que . Si es tal que , entonces y por tanto, no cumple que ."
Las dudas son:¿Por qué si , (¿el 0 no es un entero?); luego dice "...Como resulta que...". ¿No tendría que ser ?.; por otra parte, seguido dice: "... y en consecuencia ." ¿Cómo se obtiene la segunda desigualdad a partir de la anterior?. Un saludo, gracias.

¡No sé si algún día yo también caeré en esa secta!.
De momento y a pesar de mi edad, soy un jovencito imberbe que ha aceptado lo que dice el libro de texto. ¡Un saludo y muchas gracias por aclarar la duda!

¡Hola, Carlos Ivorra!
Muchísimas gracias. Cuando considera el conjunto , ¿verdad?. Es que en el libro precisa en su primera página que . ¡Un saludo!

Hola. Tengo una duda muy básica, pero voy ha escribir todo el contexto:
"Consideramos el conjunto

Si desarrollamos mediante el binomio de Newton cada elemento de se obtiene:

Así se observa que

para todo , luego es un conjunto acotado superiormente y en consecuencia existe el supremo de , que se denomina ."
Las preguntas son: en este ejercicio se tiene en cuenta el 0 como elemento de ; pero en el libro da a entender que no incluye el 0. ¿Es una errata?. Y la segunda duda: ¿cómo se demuestra que 3 es una cota superior?; es decir, ¿por qué la última suma es menor que 3?. . ¡Un saludo!

¡Gracias, el_manco!. De nuevo estaba preguntando algo evidente.

¡Hola!. Si no importa si son infinitos, entonces para demostrar que es un subconjunto de , solo tengo que demostrar la existencia de un elemento de que no pertenezca a . En el caso del ejemplo, solo con decir que pertenece a , ya estaría demostrado, ¿no?.
¡Un saludo!.

Hola. Estoy leyendo un párrafo del libro de texto, y dice: "Dados dos conjuntos y tales que existe una inyección entre ambos, entonces resulta que es una biyección entre y , es decir, ."
La pregunta es: si ambos conjuntos son infinitos, ¿cómo demuestro que es un subconjunto de ?. Por ejemplo está la identificación de con el subconjunto de los números racionales que escribo a continuación: . Es decir, contiene un anillo ordenado isomorfo al anillo ordenado de los números enteros. En el libro no encuentro la demostración, tal vez porque sea muy intuitivo, no sé; el caso es que me gustaría conocerla, aunque ésta sea trivial.
¡Un saludo!.