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1  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Consultas - comentarios - ejercitación de los cursos / Comentarios del Curso de Análisis en R^n (basado en el libro de E. Lages Lima) : 27/09/2010, 02:50:24
Hola a todos,

tengo una sugerencia y un comentario.

Como sugerencia me encantaría un curso de análisis más fácil de encarar que el curso de análisis en R^n que tienen actualmente. Ojalá que alguien tuviera tiempo de dictar un curso un poco más introductorio, a lo mejor un curso de análisis de una variable primero, para empezar tranquilos.

Por otro lado, he de reconocer que esta página me ha ayudado enormidades, siempre hay gente muy dispuesta (como Argentinador y compañía) que nos andan resolviendo la vida. Además que el curso de topología es muy amigable. Por todo eso, no han pensado en poner una sección para hacer donaciones. Yo todavía soy estudiante pero claro que me gustaría aportar algo para el mantenimiendo de la web y demás.
2  Matemática / Topología (general) / Ínfimo de la distancia entre un conjunto compacto y un cerrado : 12/09/2010, 02:54:56
Estoy atorado en un problema, dice:
Sea (M,d) un espacio métrico completo. Para un conjunto compacto [texx]K\subset{M}[/texx], y para un conjunto cerrado [texx]F\subset{M}[/texx] tal que [texx]K\cap{F}=\emptyset[/texx] i.e. son disjuntos probar que
[texx]\inf_{x\epsilon K,y\epsilon F}d(x,y)>0[/texx] Corregido

¿esto sería cierto si K fuera sólo cerrado y no compacto?

OK, mi idea hasta el momento es probar por contradicción
entonces asumimos que el ínfimo del set de la distancia es igual a cero, lo que implica que x=y

ahora, [texx]x\in{K}[/texx] dado que es compacto y un conjunto compacto está delimitado, pero x no necesariamente es elemento de F (ya que un conjunto cerrado no está limitado)

¿pero entonces, creo que caería en una contradicción, no?
3  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos contables de los reales : 03/09/2010, 09:32:07
OK, propongo esto, si supongo que [texx]S=\left\{{s_1,s_2...}\right\}[/texx] tal que cada [texx]s_n[/texx] es un subset contable de \mathbb{R}. Luego defino una función que mapea a los Naturales cada que un elemento de S sea también elemento de los Naturales y mapea a los Reales cada que el elemento seleccionado de S no sea elemento de los Naturales.

Así pruebo que la cardinalidad de S es estrictamente mayor que la cardinalidad de los naturales, y como no hay nada entre la cardinalidad de los naturales y la cardinalidad de los reales, tiene que ser el caso de que la cardinalidad de S sea la cardinalidad de los naturales.
4  Matemática / Lógica / Re: Threads interesantes de Lógica y teoría de conjuntos : 03/09/2010, 04:50:57
Hola Argentinador, acá tratamos de hacer una demostración sencilla de teorías de conjunto, cómo le hacemos?, te las vamos pasando para que las pongas en el índice?
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,37049.msg149102.html#new
5  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos contables de los reales : 03/09/2010, 04:48:28
Gracias Óscar, entiendo que por ahí puede ir pero no sé bien cómo hacerlo. Me podrías ayudar un poco más??? Es la primera vez que veo aritmética cardinal, gracias
6  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Mostrar que el cardinal de Y es menor o igual al cardinal de X : 02/09/2010, 16:51:33
Sí, error de dedo. Gracias por la corrección, ya no corregiré lo que escribí para que no pierda sentido tu comentario.

Respecto al primer comentario (el de axioma de elección), creo que cuando se empiezan a hacer estas demostraciones tal vez sea importante aclarar que eso te asegura que siempre puedes elegir un elemento de un set. En fin, no necesario, pero yo lo hago y no creo que esté de más. Pero toda la razón, me faltó aclarar que puede darse el caso del conjunto vacío.

Gracias hector manuel, a ver si pasas por mi post para que me eches la mano con mi duda que todavía sigo sobre ella.
7  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Mostrar que el cardinal de Y es menor o igual al cardinal de X : 02/09/2010, 16:39:45
OK, trataré de darte más pistas, espero dejarte todavía algo por hacer....

por el axioma de la elección tu puedes escoger un elemento del set Y (revisar axioma de la elección), luego dado que Y está contenido en X se sigue que ese elemento que escojas de Y va a estar también contenido en X. Así es la lógica de la función inyectiva. Con eso basta para probar que CardY es menor o igual a CardX.

Si quieres puedes agregar el detalle de si es propio o impropio el subconjunto y eso definirá que pueda ser igual o que sólo sea menor.

Lo importante es que te quede claro por qué con una función inyectiva basta para demostrar eso. Te voy a poner un ejemplo, a lo mejor con eso te queda más claro:

define [texx]Y=\left\{{1,2,3,4,5}\right\}[/texx] y a [texx]X=\left\{{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\right\}[/texx]

Claramente Y está contenido propiamente en el conjunto X, una función inyectiva sería f(y)=y. [texx]\color{red}\textrm{Editado}[/texx]
¿por qué esto prueba que la cardinalidad de X es mayor que la de Y? Si no eres tan bueno con las funciones prueba con todos los valores de Y y verás cómo te "sobran" valores de X, estos "sobrantes" hacen que la cardinalidad de X sea mayor. Luego puedes tratar de construir una función inyectiva de X a Y y mostrar que es imposible para decir que la CardX es estrictamente mayor que la CardY.
8  Matemática / Teoría de Conjuntos / Cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos contables de los reales : 02/09/2010, 05:08:39
La prueba que se me ocurrió es muy simple, yo creo que debe de tener varios problemas. A ver...

tengo que probar que el conjunto formado por todos los subconjuntos contables del conjunto de los números reales tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números reales.

Idea: expresar los reales de la siguiente manera [texx]\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{R}[/texx]\[texx]\mathbb{Q}[/texx]    Aplauso

entonces pensé en hacer algo muy sencillo, el conjunto de todos los subconjuntos contables de [texx]\mathbb{Q}[/texx] va a ser igual a [texx]\textit{P}(\mathbb{Q})[/texx] (quiero decir al conjunto potencia o de partes) Luego sé que [texx]card(\textit{P}(\mathbb{Q}))=c[/texx] y pensé que iba bien, pero me di cuenta de que omití que también puedo crear subconjuntos contables del conjunto de los irracionales (por el axioma de la elección).

Entonces, mi aproximación al problema está mal desde el principio?

9  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Mostrar que el cardinal de Y es menor o igual al cardinal de X : 02/09/2010, 04:11:27
Lo que tienes que mostrar es que existe una inyección de Y a X, lo cual es fácil porque Y está contenido en X. Avísame si ésto te genera dudas.
10  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Cursos del Rincón / Re: Sugerencia para dictar : Curso de análisis I : 02/09/2010, 03:45:56
Yo alguna vez saqué de la biblioteca el de Rudín, de principios, me pareció bastante accesible. No sé cómo estén los demás. Yo llevo el de Folland que me parece bueno aunque un poco corto de ejemplos.

Saludos
11  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Consultas - comentarios - ejercitación de los cursos / Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres) : 21/01/2010, 03:32:52
Sección 3
1
[texx]E=\left\{ y\mid y\sim x^{2}\right\} [/texx]
Reflexibilidad: [texx]x_{i}^{2}\sim x_{i}^{2}\forall x_{i}\in A[/texx], esto se cumple dada la igualdad
Simetría: [texx]x_{0}^{2}\sim y_{0}[/texx], entonces [texx]y_{0}\sim x_{0}^{2}[/texx], esto se cumple dada la igualdad
Transitividad: dada la igualdad, reflexibilidad y simetria podemos afirmar que [texx]x_{1}^{2}\sim y_{0}[/texx]

4
(a) Transitividad: sea [texx]a_{i}\in A[/texx], [texx]i=1,2,3,...[/texx] Si [texx]a_{1}\sim a_{2}[/texx] y [texx]a_{2}\sim a_{3}[/texx], entonces [texx]f(a_{1})=f(a_{2})[/texx] y [texx]f(a_{2})=f(a_{3})[/texx], entonces [texx]f(a_{1})=f(a_{3})[/texx]. Luego [texx]a_{1}\sim a_{3}[/texx].
Simetría: si [texx]a_{0}\sim a_{1}\Rightarrow\left(f(a_{0})=f(a_{1})\right)\Rightarrow\left(f(a_{1})=f(a_{2})\right)\Rightarrow a_{1}\sim a_{0}[/texx]
Reflexibilidad: si [texx]a_{1}\sim a_{1}\Rightarrow\left(f(a_{1})=f(a_{1})\right)\Rightarrow a_{1}\sim a_{1}[/texx]
(b) Sea [texx]A={[a]|a\in A}[/texx] la relación de equivalencia, también sea
[texx]f^{\star}:A^{\star}\rightarrow B[/texx] la función que mapea el conjunto de relaciones de equivalencia en [texx]B[/texx]. Por definición de función suryectiva, dado [texx]b\in B[/texx] existe un [texx]a\in A[/texx] tal que [texx]f\left(a\right)=b[/texx], por definición de relación de equivalencia [texx]f^{\star}\left(\left[a\right]\right)=f\left(a\right)[/texx], luego [texx]f^{\star}\left(\left[a\right]\right)=b[/texx] [texx]\therefore f^{\star}[/texx] es suryectiva. Además, dada la igualdad y la relación de equivalencia [texx]f^{\star}\left(\left[a_{1}\right]\right)=f^{\star}\left(\left[a_{2}\right]\right)\Rightarrow f(a_{1})=f(a_{2})[/texx], por la definición de [texx]f^{\star}[/texx], entonces [texx]a_{1}\sim a_{2}\Rightarrow[/texx][texx]\left[a_{1}\right]=\left[a_{2}\right][/texx] [texx]\therefore f[/texx] es inyectiva.

5
12  Disciplinas relacionadas con la matemática / Docencia / Re: Matemática y pobreza : 21/01/2010, 03:20:01
Comparto tu opinión Quema, me parece que sería un mejor mundo si todos entendiéramos algo de matemáticas (aunque no sólo eso, creo que la literatura es igual de importante). Tal vez nadie pueda probar un teorema sin haber comido nada, pero creo que el razonamiento de la gente sería diferente si supiéramos más matemáticas. Por ahí es un remedio para acabar con la corrupción.

A mi gusto, el peor cáncer de mi país son los maestros de educación básica. Muchos ni siquiera saben hacer una derivada (por no decir suma) ni han leído una novela en su vida y nuestra educación (por ende, futuro) está en sus manos y en la de los sindicatos corruptos que sólo ven por su interés.
13  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Consultas - comentarios - ejercitación de los cursos / Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres) : 21/01/2010, 02:21:22
Ante todo, te pido disculpas por las demoras en las respuestas,
pero se debe a problemas de fuerza mayor: no funciona mi proveedor de internet.



No importa, al contrario te agradezco mucho, me siento cada vez un poco más cómodo con las demostraciones.
14  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Consultas - comentarios - ejercitación de los cursos / Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres) : 21/01/2010, 02:14:54
Creo que ya me quedó claro lo del 2.2, no se necesitaba que fuera biyectiva.

Ahora, una duda, la preimagen y la función inversa tienen la misma notación. Sin embargo, la preimagen siempre existe pero no necesariamente la función inversa. Cómo sabemos cuando hablamos de preimagen o de función inversa?

cómo ves el 2.4?
15  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Consultas - comentarios - ejercitación de los cursos / Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres) : 20/01/2010, 14:26:35
Ante todo, te pido disculpas por las demoras en las respuestas,
pero se debe a problemas de fuerza mayor: no funciona mi proveedor de internet.


(b) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)[/texx], por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx].

Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)[/texx]. Entonces, [texx]f\left(x\right)\in B{}_{0}[/texx] o [texx]f\left(x\right)\in B{}_{1}[/texx], dado que [texx]f[/texx] es biyectiva [texx]f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)[/texx].


No entiendo por qué te complicás la vida con la "reciproca", si después de todo es igual que la primer implicación, pero en orden inverso:

¿Estás teniendo claro que "no todas las funciones son biyectivas, o inyectivas o suryectivas"?

¿O es sólo una mezcla de enunciados de ejercicios?


Más preocupante, según yo necesitaba esa propiedad. Pero bueno, vamos mejorando. Revisaré los conceptos antes de intentar corregir los ejercicios.
16  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Consultas - comentarios - ejercitación de los cursos / Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres) : 20/01/2010, 03:22:50
2.4

modifiqué el c y el e, el e lo traté de hacer de la manera en la que me has enseñado

(c) [texx]f[/texx] tiene que ser inyectiva, pero [texx]g[/texx] no necesariamente. Ejemplo: [texx]A=\left\{ 1\right\} ,B=\left\{ 1,2\right\} ,C=\left\{ 1\right\} [/texx],
let [texx]f\left(x\right)=x[/texx] and [texx]g\left(y\right)=1[/texx], tal que [texx]x\in A,y\in B[/texx].
Entonces, hace falta probar que [texx]f[/texx] necesita ser inyectiva, por contradicción,
supongamos[texx]f[/texx] no es inyectiva, es decir, [texx]\exists x_{1}\neq x_{2}[/texx]
tal que [texx]x_{1},x_{2}\in domain\left(f\right)[/texx] y que [texx]f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)[/texx].
Sin embargo, por hipótesis si [texx]g\circ f\left(x_{1}\right)=g\circ f\left(x_{2}\right)\Rightarrow g\left(f\left(x_{1}\right)\right)=g\left(f\left(x_{2}\right)\right)\Rightarrow{x_{1}=x_{2}}[/texx]
lo cual es una contradicción.

(e) [texx]f[/texx] no necesita ser suryectiva, sólo [texx]g[/texx]. Ejemplo: [texx]A=\left\{ 1\right\} ,B=\left\{ 1,2\right\} ,C=\left\{ 1\right\} [/texx],
let [texx]f\left(x\right)=1[/texx] and [texx]g\left(y\right)=y[/texx], , tal que [texx]x\in A,y\in B[/texx].
Hace falta probar que [texx]g[/texx] necesita ser suryectiva:

[1] Por contradicción, suponga que [texx]g[/texx] no es surjectiva, esto es, [texx]\exists z_{0}\in C[/texx]
tal que [texx]g\left(y_{i}\right)\neq z_{0}[/texx] para [texx]\forall{y_{i}\in B}[/texx].
[2] Definamos [texx]f\left(x_{j}\right)=y_{j}[/texx], entonces [texx]y_{j}\subset y_{i}[/texx]
[3] Por 1 y 2, [texx]g\left(y_{j}\right)\neq z_{0}[/texx] o sustituyendo [texx]g\left(f\left(x_{j}\right)\right)\neq z_{0}[/texx]
[4] Sin embargo, nuestra hipótesis inicial era que [texx]g\circ f[/texx], es decir [texx]g\left(f\left(x\right)\right)[/texx],
era suryectiva. Entonces tenemos una contradicción.
17  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Consultas - comentarios - ejercitación de los cursos / Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres) : 19/01/2010, 04:28:29
Profe, haciendo la g me di cuenta de que no era tan trivial demostrar las igualdades hacia el otro lado. Así que me di a la tarea de agregarle es parte a las que les hacía falta, de hecho me di cuenta que para eso se usa que f es biyectiva (creo)... ahí van:
2

(a) Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{0}[/texx], por hipótesis [texx]B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1}[/texx], por la definición de preimagen, [texx]\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx].

(b) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)[/texx], por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]. Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)[/texx]. Entonces, [texx]f\left(x\right)\in B{}_{0}[/texx] o [texx]f\left(x\right)\in B{}_{1}[/texx], dado que [texx]f[/texx] es biyectiva [texx]f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)[/texx].

(c) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)[/texx], por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: y\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cap f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]. Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cap f\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)[/texx]. Entonces, [texx]f\left(x\right)\in B{}_{0}[/texx] y [texx]f\left(x\right)\in B{}_{1}[/texx], dado que [texx]f[/texx] es biyectiva [texx]f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right)[/texx].

(d) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\notin\left(B_{1}\right)\therefore x\in\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)-f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)[/texx]. Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)-f\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: x\in B_{0},x\notin B_{1}[/texx]. Entonces, [texx]f\left(x\right)\in B{}_{0}[/texx] y [texx]f\left(x\right)\notin B{}_{1}[/texx], dado que [texx]f[/texx] es biyectiva [texx]f\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right)[/texx].

(e) Supongamos que [texx]y\in f(A_{0})[/texx]. Entonces existe [texx]x\in A_{0}[/texx] tal que [texx]f(x)=y[/texx]. Entonces, [texx]f\left(x\right)\in f\left(A_{0}\right)[/texx]. Por hipótesis [texx]A_{0}\subset A_{1}[/texx]. Entonces [texx]x\in A_{1}[/texx], entonces, [texx]f\left(x\right)\in f\left(A_{1}\right).[/texx] Pero teníamos [texx]y=f(x)[/texx], [texx]\therefore f\left(A_{0}\right)\subset f\left(A_{1}\right)[/texx].

(f) Supongamos [texx]y\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx]. Entonces existe [texx]x\in\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx] tal que [texx]f\left(x\right)=y[/texx]. Entonces [texx]x\in A_{0}[/texx] o [texx]x\in A_{1}\Rightarrow f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right)[/texx]. Supongamos [texx]y\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right)[/texx], entonces [texx]y\in f\left(A_{0}\right)[/texx] o [texx]y\in f\left(A_{1}\right)[/texx] y existe [texx]x\in A_{0}\cup A_{1}[/texx] tal que [texx]f\left(x\right)=y[/texx]. Entonces, [texx]x\in\left(A_{0}\cup A_{1}\right)\Rightarrow y\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx]

(g) Supongamos [texx]y\in f\left(A_{0}\cap A_{1}\right)[/texx]. Entonces existe [texx]x\in\left(A_{0}\cap A_{1}\right)[/texx] tal que [texx]f\left(x\right)=y[/texx]. Entonces [texx]x\in A_{0}[/texx] y [texx]x\in A_{1}\Rightarrow f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}\right)\cap f\left(A_{1}\right)[/texx]. Si [texx]f[/texx] es inyectiva, entonces existe un solo [texx]x[/texx] tal que [texx]f\left(x\right)=y[/texx], entonces, sea [texx]y\in f\left(A_{0}\right)\cap f\left(A_{1}\right)[/texx], por lo tanto, [texx]y\in f\left(A_{0}\right) [/texx]y[texx] y\in f\left(A_{1}\right)[/texx]. Esto implica que [texx]x\in A_{0} [/texx]y[texx] x\in A_{1}[/texx], dado que [texx]x [/texx]es único[texx] x\in\left(A_{0}\cap A_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}\cap A_{1}\right)[/texx].

(h) Sea [texx]y\in f\left(A_{0}\right)-f\left(A_{1}\right)[/texx], por definición de función [texx]y[/texx] es el único elemento de [texx]B[/texx] que cumple con [texx]f\left(x\right)=y[/texx]. Además, [texx]y\in f\left(A_{0}\right) [/texx]y[texx] y\notin f\left(A_{1}\right)[/texx]. Entonces, [texx]x\in A_{0},x\notin A_{1}[/texx], o bien [texx]x\in A_{0}-A_{1}\Rightarrow f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}-A_{1}\right)[/texx]. Supongamos [texx]y\in f\left(A_{0}-A_{1}\right)[/texx], entonces, [texx]y\in f\left(A{}_{0}\right)[/texx] y [texx]y\notin f\left(A{}_{1}\right)[/texx], si [texx]f[/texx] es inyectiva implica que sólo existe un [texx]x[/texx] tal que [texx]f\left(x\right)=y[/texx], por lo que podríamos decir que [texx]x\in A_{0},x\notin A_{1}\Rightarrow x\in\left(A_{0}-A_{1}\right)\therefore f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}-A_{1}\right) [/texx]

PD ya vi que me han puesto como usario Junior, ¿cuándo termine este curso seré usuario nivel Sensei?  :sonrisa_amplia:
18  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Consultas - comentarios - ejercitación de los cursos / Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres) : 18/01/2010, 05:16:33
Creo que la f) (después de tanto problema con las otras), ya se me facilitó más.

(f) Supongamos [texx]y\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx]. Entonces existe [texx]x\in\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx] tal que [texx]f\left(x\right)=y[/texx]. Entonces [texx]x\in A_{0}[/texx] o [texx]x\in A_{1}\Rightarrow y\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right)[/texx]

19  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Consultas - comentarios - ejercitación de los cursos / Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres) : 18/01/2010, 05:08:53

Para las imagenes he usado la variable [texx]y[/texx] en vez de la [texx]x[/texx].
Eso no tiene importancia en sí mismo, pero veo que has usado una [texx]x[/texx], y aunque formalmente no está mal, sospecho que "tu mente" anda mezclando imágenes con preimagenes.

Fíjate que no, creo que no me había puesto a pensar pero está mucho mejor la manera en la que tu lo propones. Dejar una letra para la imagen y otra para la preimagen, en lugar de mezclar las letras (que no los conceptos, al menos trato  :lengua_afuera:).

Pensaré qué me hace falta de la f) y veré si no es mucha lata hacer las demostraciones hacia el otro lado. Si es mucha lata ya dejaré que otro compañero las haga, que al menos creo haber aprendido y todavía quedan muchos ejercicios de esta sección.

Por otro lado, una pregunta de LaTex. ¿Existe el símbolo "tal que"? Mi profesor de mate usaba como una t inversa con dos puntitos. Pero no sé si sea algo estándar y si exista en LaTex.
20  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Consultas - comentarios - ejercitación de los cursos / Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres) : 18/01/2010, 03:26:55
Posteo todas las respuestas por si alguien las quiere comentar
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(a) Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\Rightarrow x\in A\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{0}[/texx], por hipótesis [texx]B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1}[/texx], por la definición de preimagen, [texx]\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx].

(b) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)[/texx], por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

(c) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)[/texx], por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: y\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cap f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

(d) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\notin\left(B_{1}\right)\therefore x\in\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)-f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)[/texx]

(e) Supongamos [texx]x\in A_{0}[/texx], entonces, [texx]f\left(x\right)\in f\left(A_{0}\right)[/texx].Por hipótesis [texx]A_{0}\subset A_{1}\Rightarrow x\in A_{1}[/texx], entonces, [texx]f\left(x\right)\in f\left(A_{1}\right)\therefore f\left(A_{0}\right)\subset f\left(A_{1}\right)[/texx]

(f) Supongamos [texx]x\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx], por definición de función [texx]x\in f\left(A_{0}\right)[/texx] o [texx]x\in f\left(A_{1}\right)[/texx], por lo tanto [texx]x\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right)[/texx]

la g y la h son parecidas, pero no sé si esté correcto el razonamiento en la f por lo que mejor espero la aprobación del profe
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