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1  Matemática / - Otros - / Problema difícil. : 18/01/2014, 17:35:40
Sea [texx]A\subset \mathbb{N}[/texx] un conjunto infinito. ¿Es cierto que existe una constante [texx]\alpha \in \mathbb{R}[/texx] tal que [texx]\lfloor \alpha^{3^k} \rfloor[/texx] es un elemento de [texx]A[/texx] para todo [texx]k\in \mathbb{N}[/texx]?

Este problema proviene de un intento por generalizar el Teorema de Mills.
2  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Los baches de la formación universitaria en matemática. : 17/01/2014, 23:57:50
Hola.

Soy estudiante de la licenciatura en matemática. He percibido, en el tiempo en que llevo estudiando esta carrera, que hay un sinnúmero de baches importantes en los planes de estudios de esta carrera. Algunos, por supuesto, menores, pero otros tantos que me parecen insoslayables: en mi facultad, por ejemplo, la Teoría de Galois se presenta sólo en una materia optativa, y considero que todo licenciado debería tener una idea más o menos clara al respecto.

Entiendo que estos agujeros en los planes de estudio dependen bastante de la facultad en la que se estudie; no obstante, sospecho fuertemente que debe haber algún margen de uniformidad en las cosas (importantes) que se saltean normalmente los que diagraman los planes de estudio.

No sé cómo será la situación en España o en otros países de latinoamérica respecto a esto. Me gustaría saber qué sucede en otras facultades y universidades. ¿Qué temas importantes son pasados por alto en la carrera de grado en las facultades a la que asisten?

Saludos.
3  Matemática / Análisis Matemático / Probar existencia de funciones. : 13/05/2013, 21:03:10
Hola.

Necesito algo de ayuda con este problema. Es un tanto delicado, así que me sería muy valioso cualquier comentario:[

Probar que existen dos funciones [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] que verifican simultáneamente:

i) [texx]f,g :\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/texx].

ii) [texx]f(0)=1[/texx], [texx]g(\frac{\pi}{2})=1[/texx] y [texx]f(\pi)=-1[/texx].

iii) [texx]f(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y)[/texx].

iv) [texx]0<f(x)<\frac{g(x)}{x}<\frac{1}{f(x)}[/texx] para todo [texx]x\in (0,\frac{\pi}{2})[/texx].


Preguntas:

a) ¿Son [texx]f,g[/texx] únicas?

b) ¿Son continuas?

c) ¿Son diferenciables?

Me interesa más que nada, por supuesto, probar que existen y que son únicas. (Es bastante obvio que [texx]f=\cos[/texx] y [texx]g=\sen[/texx] satisfacen todas las condiciones, pero es justamente que este problema procura dar una buena definición para las dos funciones trigonométricas).

Saludos.
4  Matemática / Cálculo 1 variable / Probar desigualdad trigonométrica usando inducción. : 21/04/2013, 16:28:50
Hola,

Traigo este problema que no logro resolver. En rigor, probar la desigualdad apoyándose en alguna prueba geométrica es bastante sencillo. Pero la restricción impuesta es que se dé una solución usando inducción (en cualquiera de las variantes conocidas: inducción fuerte, inducción débil, etc.)

Probar que, para todo [texx]n\in \mathbb{N}[/texx] se verifica que [texx]\sen \left(\dfrac{1}{n}\right) <\dfrac{1}{n}[/texx]

Gracias y saludos.

PD: Se supone conocida la fórmula del seno de la suma.
5  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Movimiento armónico de un cuerpo rígido. : 07/10/2012, 12:56:34
Hola,

Sí, estoy de acuerdo conque hay algo que parece no tener demasiado sentido. Al parecer, en un curso de primer año de física (como el que estoy llevando), uno puede tomarse ciertas licencias como la que tú has señalado: afirmar que la energía mecánica se conserva.

Bajo esta hipótesis, creo yo, es que hay que resolver el problema.
6  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Movimiento armónico de un cuerpo rígido. : 07/10/2012, 02:12:14
Hola,

Si no hay rozamiento: ¿cómo es que el cilindro gira?. Debe haber alguna fuerza que ejerza una torca sobre el cuerpo rígido.

7  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Movimiento armónico de un cuerpo rígido. : 06/10/2012, 19:48:38
Hola,

Honestamente, me gustaría que pudieras ayudarme más que nada con la segunda y tercera pregunta. Al haber una fuerza de rozamiento, no logro terminarme de convencer que el movimiento sea armónico simple (a pesar de que el mismo enunciado lo aclara).

Si pudieras dar una solución detallada a esas dos preguntas te agradecería mucho.

Saludos.
8  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Movimiento armónico de un cuerpo rígido. : 06/10/2012, 18:48:06
Hola,

Aquí hay otro dibujo mejor. He re-redactado el enunciado. Espero que ahora sí comprendas todas las condiciones.

Un cuerpo rígido con forma de cilindro macizo de radio [texx]r[/texx] y masa [texx]0,5 kg[/texx] está unido a un resorte cuya masa es despreciable y cuya constante elástica es [texx]k=20 N/m[/texx]. Se separa al sistema de su posición de equilibro, y se lo suelta a una distancia de [texx]0.15m[/texx] en [texx]t=0[/texx]. El cilindro oscila con movimiento armónico simple, con un movimiento rototraslatorio sin deslizamiento (el cilindro va "rodando" en una línea recta).

a) ¿Cuál es la máxima velocidad que puede tener el centro de masa del cilindro?
b) ¿Cuál es la máxima aceleración que puede tener el centro de masa del cilindro?
c) Determine una ecuación que dé la posición del centro de masa del cilindro en función del tiempo.

9  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Movimiento armónico de un cuerpo rígido. : 06/10/2012, 17:13:58
Hola,

Lo he hecho lo mejor que he podido. El cilindro va "rodando". (Es difícil dar una imagen del sistema de manera que se entienda bien sin leer el enunciado). Espero que ahora sí se entienda todo.



Saludos.
10  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Movimiento armónico de un cuerpo rígido. : 06/10/2012, 12:09:43
¿Nada para decir?  :indeciso:
11  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Movimiento armónico de un cuerpo rígido. : 05/10/2012, 14:49:13
Ups, se me olvidó lo más importante: el movimiento del cilindro es una rototraslación sin deslizamento. En este momento me es imposible subir un dibujo.

Saludos.
12  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Movimiento armónico de un cuerpo rígido. : 05/10/2012, 12:55:43
Hola,

Hoy he rendido un examen de física y ha aparecido el siguiente problema (bastante más complejo y difícil que los que veníamos haciendo en clase). Creo que he podido resolver "bien" los primeros dos apartados. Con el tercero, creo que me estoy confundiendo en algo... Agradecería ENORMEMENTE que alguien dejara una solución para el problema, así yo puedo corroborar si mis resultados están bien (y si eventualmente no lo están, aprender cómo es que se hacía ésto):

Consideremos un sistema cuerpo-resorte, en el que el cuerpo posee una masa [texx]m=0.5 kg[/texx] y tiene forma de cilindro macizo de radio [texx]r[/texx] (por tanto, su momento de inercia será [texx]I=\frac{1}{2}mr^2[/texx]). La constante elástica del resorte es [texx]k=20 N/m[/texx] y la masa del resorte es despreciable. Se separa el cuerpo unos [texx]0.15[/texx] metros de su posición de equilibrio, y se lo suelta en [texx]t=0[/texx], de tal manera que ahora permanece oscilando con movimiento armónico simple horizontalmente.

a) ¿Cuál es la máxima velocidad que puede tener el centro de masa del cuerpo?
b) ¿Cuál es la máxima aceleración que puede tener el centro de masa del cuerpo?
c) Determine una ecuación [texx]x(t)[/texx] que dé la posición del centro de masa en función del tiempo.
13  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Ecuación de Bernoulli : 03/10/2012, 19:48:22
Hola,

Gracias por la respuesta.

He entendido perfectamente lo que planteas (de hecho, la solución que yo mismo he hecho tomaba exactamente esos pasos). Como soy un poco torpe para interpretar muchas situaciones en física, dejo mi solución, y agradecería muchísimo que señalaras si tiene algún error:


i) Para determinar la velocidad de salida del chorro, planteando la Ecuación de Bernoulli, para un punto [texx]A[/texx] al lado del orificio, dentro del tanque y para un punto [texx]B[/texx] en el chorro. [texx]p_a+\rho g\alpha+\frac{1}{2}\rho v_A^2=p_a+\frac{1}{2}\rho v_B^2[/texx]

De allí, como [texx]v_A[/texx] vale 0, uno obtiene que [texx]v_B=\sqrt{2g\alpha}[/texx]

ii) Si consideramos que la velocidad de salida es un vector horizontal, la ecuación de la trayectoria del chorro sería [texx]y=H+h-\alpha - \frac{1}{4\alpha}x^2[/texx].

iii) Como uno quiere el máximo de [texx]x[/texx], cuando [texx]y=0[/texx], se plantea: [texx]H+h-\alpha=\frac{1}{4\alpha}x^2[/texx], de donde se ve que el máximo se alcanza para [texx]\alpha=(H+h)/2[/texx].

Me gustaría que, eventualmente, explicaras con detalle la parte i) de esta solución, porque, si bien la entiendo, me gustaría clarificar algún que otro concepto que tengo dando vueltas.

Saludos.
14  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Ecuación de Bernoulli : 03/10/2012, 18:33:57
Hola,

Planteo la siguiente situación: supongamos que en el techo de una casa, a una altura [texx]H[/texx] está montado un tanque (es decir, la base del tanque está a una altura [texx]H[/texx]) lleno de agua. La profundidad del tanque es [texx]h[/texx]. A una profundidad [texx]\alpha[/texx] medida desde la superficie del tanque, se hace un orificio diminuto en una de las paredes del mismo.

Determinar el valor de [texx]\alpha[/texx] para que el chorro de agua que sale despedido por el orificio llegue a la mayor distancia posible de la base del tanque.

Voy a pedirles que hagan las hipótesis necesarias (es decir, si se necesita, de alguna forma, garantizar que [texx]H>h[/texx] o alguna otra cosa, pueden tomarse la libertad de suponerlas ciertas).

Tengo una solución, pero me agradaría muchísimo ver una solución que eventualmente podría ser distinta.

Es claro que, lo que hay que tener presente, es la Ecuación de Bernoulli (como lo dice el título del post).

Quedo a la expectativa, gracias, y saludos.
15  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Derivar función en forma implícita : 01/10/2012, 23:19:19
Hola,

Puedes llevar a cabo el siguiente mecanismo:

i) Si [texx]y[/texx] se define como función de [texx]x[/texx], nombramos [texx]y=f(x)[/texx].

ii) De lo anterior, se deduce que [texx]x^3+f(x)^3=3xf(x)[/texx]

iii) Derivando a ambos miembros (usando la regla de la cadena del lado izquierdo, y la regla del producto y la regla de la cadena del lado derecho), uno obtiene: [texx]3x^2+3f(x)^2f'(x)=3(f(x)+xf'(x))[/texx]

iv) Despejando [texx]f'(x)[/texx] de la última ecuación: [texx]f'(x)(f(x)^2-x)=f(x)-x^2[/texx], luego [texx]f'(x)=\dfrac{f(x)-x^2}{f(x)^2-x}[/texx].

v) Como [texx]f(x)=y[/texx], entonces, [texx]\frac{dy}{dx}=f'(x)[/texx], reemplazando esto en la última igualdad: [texx]\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-x^2}{y^2-x}[/texx]

Este método se puede aplicar casi siempre (hay algunos casos en los que hay que tener cierto cuidado). De todas formas, si tienes mucha experiencia derivando, puedes omitir varios de los pasos que cité.
16  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Límites iguales en el cálculo del área bajo una curva. : 29/09/2012, 14:10:43
La idea pasa por tener en cuenta que si [texx]n\to\infty[/texx], [texx]c_i[/texx] y [texx]d_i[/texx] son cada vez más parecidos y como [texx]f[/texx] es continua...

Escribir eso con rigor (es decir, con [texx]\epsilon[/texx], [texx]\delta[/texx], [texx]n_0[/texx], etc...) es un poco engorroso. No obstante en cualquier libro de Cálculo un poco serio deberías encontrarlo.

Hola, gracias por la respuesta.

He estado mirando algunos libros "serios" (de Leithold, de Larson y de Taylor), y, en realidad, ninguno demuestra ésto. Además, Spivak define la integral de Riemann-Stieltjes, por lo que toma otro camino (haciendo uso de supremos e ínfimos en vez de máximos y mínimos).

La verdad que he intentado hacer una demostración [texx]\varepsilon, \delta[/texx], pero, ciertamente, no lo he logrado.

Si aun alguien está interesado en ayudarme, será más que bienvenido.

Saludos.
17  Matemática / Cálculo 1 variable / Límites iguales en el cálculo del área bajo una curva. : 28/09/2012, 15:25:20
Hola, espero que alguien pueda darme una mano con esta situación:

Sea [texx]f[/texx] una función continua definida en un intervalo [texx][a,b][/texx] tal que para todo [texx]x\in [a,b][/texx] se verifica que [texx]f(x)\geq 0[/texx].

Consideremos una partición regular [texx]\Omega[/texx] de [texx][a,b][/texx] de tal suerte que [texx]a=x_0<x_1<\ldots < x_{n}=b[/texx] y [texx]x_i-x_{i-1}=\frac{b-a}{n}=\Delta{x}[/texx] para cada [texx]i[/texx]. Es claro que como [texx]f[/texx] es continua en [texx][a,b][/texx], debe ser continua en cada intervalo [texx][x_{i-1},x_i][/texx], luego, por el Teorema de Weierstrass, debe existir [texx]c_i[/texx] tal que [texx]f(c_i)[/texx] es el mínimo absoluto de [texx]f[/texx] en [texx][x_{i-1},x_i][/texx], y de manera análoga, debe existir un [texx]d_i[/texx] tal que [texx]f(d_i)[/texx] es el máximo absoluto de [texx]f[/texx] en [texx][x_{i-1},x_i][/texx].

Probar, entonces que:

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(c_i)\Delta{x}=\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(d_i)\Delta{x}[/texx]

Comentario: Se puede inferir que lo que se está haciendo es "definir" el área de la región del plano delimitada por las rectas [texx]y=0[/texx], [texx]x=a[/texx], [texx]x=b[/texx], y la curva [texx]y=f(x)[/texx], donde, además, agregamos las hipótesis de continuidad y no negatividad de [texx]f[/texx] en el intervalo en el que está definida.

Mi profesora ha dicho que "se puede probar" que esos dos límites son iguales, pero ha decidido evadir completamente la demostración de este hecho, y no ha querido darme mayores detalles de por dónde va la demostración. Por ésto, lo dejo aquí, y espero que alguien pueda darme una mano.

Gracias y saludos.
18  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Ecuaciones recíprocas : 11/09/2012, 22:08:53
Hola,

En clase de Álgebra Lineal, estamos viendo cómo resolver ecuaciones polinómicas. La profesora hizo las siguientes dos definiciones:

Dada la ecuación [texx]a_nz^n+\ldots+a_1z+a_0=0[/texx], con [texx]a_n\neq 0[/texx] y [texx]a_0\neq 0[/texx], se define como "ecuación recíproca" a esta ecuación, a la ecuación que se obtiene al hacer el cambio de variable: [texx]z=1/w[/texx], y luego multiplicar por [texx]w^n[/texx], es decir, a la ecuación:

[texx]a_0w^n+a_1w^{n-1}+\ldots+a_n=0[/texx]

Además, definió lo que es una "ecuación" recíproca:

Una ecuación polinómica de grado mayor que 1 se dice recíproca si y sólo si siempre que admita a [texx]k[/texx] como raíz, también admita a [texx]1/k[/texx] como raíz.

Ahora, aquí surge mi duda. Mi profesora hizo una demostración de que si una ecuación de grado par es recíproca, pueden suceder una de las siguientes cosas:

1) Cada par de términos equidistantes del término central, que no puede ser nulo, posee el mismo coeficiente.
2) Cada par de términos equidistantes del término central, que debe ser nulo, es tal que cada término tiene el opuesto del coeficiente del otro.

La demostración, en sí, es bastante larga (innecesariamente, a mi entender), y me parece que por alguna parte hace aguas.

Por ejemplo, sabemos que en un polinomio de grado par, el producto de sus raíces va a ser el cociente entre el último y el primer coeficiente. Y, notando la definición de ecuación recíproca, ese producto va a ser siempre 1, y por tanto, siempre el primer y el último coeficiente deberán ser iguales, sin importar lo que pase con el término central.

Espero que se haya entendido lo que he querido decir. Me gustaría saber qué es lo que está pasando realmente, y es por esto que he acudido (una vez más) a este foro.

Agradecería una aclaración si es que me equivoqué en algún lado.

Saludos.

19  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Re: Software que no puede faltar en la PC de un matemático : 10/09/2012, 00:43:40
Hola,

Agradezco las respuestas. Lo único que sí, agradecería a argentinator que hiciera una breve reseña/explicación de cada uno de los software de los link que ha citado.

En cuanto a lo personal, supongo que Mathematica, GeoGebra (o Cabri) y TeXnicCenter son infaltables.

Saludos.
20  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Software que no puede faltar en la PC de un matemático : 09/09/2012, 22:02:29
Hola,

Supongo que, en la vida de un matemático o estudiante de matemática, el uso de la computadora es más que necesario. Desde la necesidad de usar LaTeX para presentar trabajos/tesis/papers, pasando por el maravilloso GeoGebra, por sólo nombrar dos programas que (supongo) la mayoría conoce más que bien.

Ahora, a criterio de cada uno, ¿qué programas son, digamos, infaltables en la PC de un matemático?

Intuyo que lo que se pueda decir en este post, eventualmente podría ser muy provechoso para los que no tenemos tanta experiencia en cuanto a los software relacionados con la matemática.

Saludos.

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