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1  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Subgrupos normales : 23/07/2018, 07:37:43 pm
Hola a todos. Sólo aportar lo siguiente:
Entonces, la pregunta es: ¿alcanzaría con dar una matriz [texx]g\in{}GL_2(\mathbb{R})[/texx] y una matriz [texx]h\in{}GL_2(\mathbb{C})[/texx], que verifiquen [texx]g\,.h\neq{}h\,.g[/texx]?
No. Sólo con esa condición no basta ya que puede que el elemento [texx]gh[/texx] en la clase izquierda [texx]gH[/texx] se represente con el elemento [texx]h^{\prime}g[/texx] en la clase derecha [texx]Hg[/texx], siendo [texx]h\neq{h^{\prime}}[/texx]. Por ejemplo considera el grupo simétrico de grado 3:

[texx]S_3= \{(1),(12),(13),(23),(123),(132) \} [/texx].

Comprueba que [texx]H=\{(1),(123),(132)\} [/texx] es un subgrupo normal. Nota además que el elemento [texx](12)(123)[/texx] en la clase [texx](12)H[/texx] es diferente del elemento [texx](123)(12)[/texx] en la clase [texx]H(12)[/texx]. Fijate que en cambio [texx](12)(123)=(132)(12)[/texx].

Saludos
2  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Ejercicios de Grupos. : 10/06/2018, 07:10:40 pm
1. Probar que si [texx]G[/texx] es un grupo abeliano entonces [texx]H=\left\{{a^n / a \in{G}}\right\}[/texx] (donde [texx]n[/texx] es un entero positivo) es un subgrupo de [texx]G[/texx]
Toma dos elementos de [texx]H[/texx], digamos [texx]a^n[/texx] y [texx]b^n[/texx], y demuestra que [texx]a^n(b^n)^{-1} \in{H}[/texx].

3  Matemática / Álgebra / Polinomios linealizados : 29/05/2018, 01:00:20 am
Sea [texx]f [/texx] un polinomio linealizado con coeficientes en [texx]\mathbb{F}_{q^n}[/texx] y [texx]q[/texx]-grado [texx]k[/texx], digamos [texx]f=f_0x + f_1 x^q + \cdots + f_{k-1}x^{q^{k-1}} + f_k x^{q^k}[/texx]. He demostrado que si el rango de [texx]f[/texx], visto como transformación lineal, es [texx]n-k[/texx], entonces [texx]N(f_0)=(-1)^{kn} N(f_k)[/texx]. Debo mostrar ahora que el recíproco no es cierto, para [texx]k>1[/texx]. Es decir, el hecho que [texx]N(f_0)=(-1)^{kn} N(f_k)[/texx] no implica que [texx]f[/texx] tenga rango [texx]n-k[/texx] ¿Se les ocurre algún contraejemplo?

PD: [texx]N[/texx] denota la norma del cuerpo [texx]\mathbb{F}_{q^n}[/texx] sobre el cuerpo [texx]\mathbb{F}_q[/texx].

De antemano se les agradece cualquier aporte.

Saludos.
4  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Sea G un grupo y sean H y K subgrupos de G tales que H◃K y K◃G entonces H◃G : 28/11/2017, 03:13:46 am
Un contraejemplo para probar que no se cumple lo siguiente:

Sea [texx]G[/texx] un grupo y sean [texx]H\ y\ K[/texx] subgrupos de [texx]G[/texx] tales que [texx]H\triangleleft{K}[/texx] y [texx]K\triangleleft{G}[/texx] entonces [texx]H\triangleleft{G}[/texx]

Considera el grupo [texx]D_8=\left<{a,b \ : ord(a)=2, \ ord(b)=4, \ aba=b^{-1}}\right>[/texx]. Nota que el grupo [texx]\left<{a}\right> \times \left<{b^2}\right>[/texx] es normal en [texx]D_8[/texx]. A su vez el grupo [texx]\left<{a}\right>[/texx] es normal en [texx]\left<{a}\right> \times \left<{b^2}\right>[/texx]. Pero [texx]\left<{a}\right>[/texx] no es normal en [texx]D_8[/texx].


Saludos
5  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Encontrar los homomorfismos de Z_8 en Z_12 : 28/11/2017, 01:57:14 am
Encontrar todos los homomorfismos de [texx]\mathbb{Z_8}\ en\ \mathbb{Z_{12}}[/texx], Una idea para saber como hallarlos.

Estos homomorfismos están determinados por la imagen del elemento [texx]1_{\mathbb{Z_8}}[/texx](que es un generador). Entonces, si [texx]f:\mathbb{Z_8}\longrightarrow{\mathbb{Z_{12}}}[/texx] es un homomorfismo:

1. Como [texx]8 \cdot f(1_{\mathbb{Z_8}}) = f(8 \cdot 1_{\mathbb{Z_8}})=f(0_{\mathbb{Z_8}})=0_{\mathbb{Z_{12}}}[/texx], se sigue que [texx]ord(f(1_{\mathbb{Z_8}})) \mid 8[/texx].

2. Del mismo modo se sigue que [texx]ord(f(1_{\mathbb{Z_8}})) \mid 12[/texx].

[texx]8 \cdot f(1_{\mathbb{Z_8}}) = f(8 \cdot 1_{\mathbb{Z_8}})=f(0_{\mathbb{Z_8}})=0_{\mathbb{Z_{12}}}[/texx] en esta parte no entiendo bien, por qué se introduce el 8 dentro de f, luego el 8 operado con [texx]1_{\mathbb{Z_8}}[/texx] por qué resulta el [texx]0_{\mathbb{Z_8}}[/texx] y por último como se llega a que [texx]ord(f(1_{\mathbb{Z_8}})) \mid 8[/texx].

Gracias.

1. [texx]8 \cdot f(1_{\mathbb{Z_8}}) = f(1_{\mathbb{Z_8}}) + f(1_{\mathbb{Z_8}}) + f(1_{\mathbb{Z_8}}) +f(1_{\mathbb{Z_8}}) + f(1_{\mathbb{Z_8}}) + f(1_{\mathbb{Z_8}}) + f(1_{\mathbb{Z_8}}) +f(1_{\mathbb{Z_8}}) = f(1_{\mathbb{Z_8}} + 1_{\mathbb{Z_8}} + 1_{\mathbb{Z_8}} +1_{\mathbb{Z_8}} + 1_{\mathbb{Z_8}} + 1_{\mathbb{Z_8}} + 1_{\mathbb{Z_8}} + 1_{\mathbb{Z_8}})= f(0_{\mathbb{Z_8}})=0_{\mathbb{Z_{12}}}[/texx].

2. En todo grupo [texx]G[/texx] se cumple: si [texx]g\in{G}[/texx], con [texx]ord(g) < \infty[/texx] y [texx]g^n=e[/texx], para algún [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx], entonces [texx]ord(g) \mid n[/texx].


Saludos
6  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Ejercicio de supremo. : 28/11/2017, 01:48:23 am
supongamos que [texx]C\subseteq{B}[/texx] y [texx]B\subseteq{A}[/texx] Probar que [texx]Sup_AC\leq{Sup_B}C[/texx]

No logro comprender bien la notación y por ende el ejercicio.

El ejercicio lo saque del libro A book of set Theory del autor Charles C. Pinter. A ver si me ayudan.

gracias de antemano.

Si haces un dibujo podrás entenderla mejor. En palabras, fijate que si consideramos todas las cotas superiores (del conjunto [texx]C[/texx]) que hay en el conjunto [texx]B[/texx], al tomar la más pequeña obtenemos el [texx]\sup _{B}C[/texx]. Por otra parte, si consideramos las cotas superiores (del conjunto [texx]C[/texx]) que hay en el conjunto [texx]A[/texx] (que es posiblemente más grande que [texx]B[/texx]) encontramos las mismas del conjunto [texx]B[/texx] y posiblemente otras más. Si tomamos la menor de todas ellas, no necesariamente debe ser la misma que tomamos antes. Al tener más opciones, podría haber una más pequeña que la que encontramos en [texx]B[/texx]. Por ende obtenemos la desigualdad [texx]\sup_{A}C \leq \sup _{B}C[/texx].

Espero haberme hecho entender.

Saludos.
7  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Probar o refutar proposición sobre Álgebra de Boole : 28/11/2017, 01:34:14 am
Hola a todos! El profesor resolvió un ejercicio y no sé qué hizo:

En un Álgebra de Boole [texx](B, \wedge, \vee)[/texx] con primer elemento [texx]0_B[/texx] y último elemento [texx]1_B[/texx] se verifica [texx]\overline{a \wedge b} = \overline{a} \vee \overline{b}[/texx].



Resolución:

VERDADERO.

[texx]\overline{a \wedge b} = \overline{a} \vee \overline{b} \Leftrightarrow{} \begin{cases}(1) & \color{red}(a \wedge b) \vee (\overline{a} \vee \overline{b}) & = & 1_B \\ (2) & \color{red}(a \wedge b) \wedge (\overline{a} \vee \overline{b}) & = & 0_B \end{cases}[/texx]

Dem.:
[texx](1) \; (a \wedge b) \vee (\overline{a} \vee \overline{b}) = (a \vee b \vee \overline{a}) \wedge (a \vee b \vee \overline{b}) = (a \vee \overline{a} \vee b) \wedge 1_B = 1_B \wedge 1_B = 1_B[/texx].

[texx](2) \;  (a \wedge b) \wedge (\overline{a} \vee \overline{b}) = (a \wedge \overline{a} \wedge \overline{b}) \vee (b \wedge \overline{a} \wedge \overline{b}) = \ldots = 0_B \vee 0_B = 0_B[/texx].



Entiendo las operaciones que hizo para obtener el primer y último elemento pero no entiendo el por qué de lo rojo. Yo tengo la definición de

Sea [texx](B, ≼)[/texx] Álgebra de Boole: [texx]\forall{}x \in{} B, \exists{}\overline{x} \in{} B: \begin{cases}x \wedge \overline{x} & = & 0_B \\ x \vee \overline{x} & = & 1_B \end{cases}[/texx]. ¿No es esto diferente a lo que puse en rojo? Entiendo que tomó [texx]x = (\overline{a} \vee \overline{b})[/texx], pero [texx]\overline{x}[/texx] debería ser [texx]\overline{x} = \overline{(\overline{a} \vee \overline{b})}[/texx]. O sea ¿[texx]\overline{x} = \overline{(\overline{a} \vee \overline{b})} = (a \wedge b)[/texx] por De Morgan?

Gracias!!

De seguro ya habían demostrado: [texx]\overline{a\vee b}=\bar{a} \wedge \bar{b}[/texx]. Es lo que está usando en la prueba.

Saludos
8  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: R-módulo e ideal maximal : 28/11/2017, 01:16:57 am
Sea [texx]R[/texx] un anillo conmutativo con unidad. Demostrar que si [texx]M[/texx] es un R-módulo tal que [texx]M_{\mathcal{m}}=0[/texx] para todo ideal maximal [texx]\mathcal{m}[/texx] con [texx]I\subset \mathcal{m}[/texx] entonces [texx]M=IM[/texx].

Gracias por cualquier idea.

¿Qué es [texx]M_m[/texx]? ¿Es [texx]I[/texx] otro ideal?
9  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Ideales primarios en DIP : 28/11/2017, 01:09:54 am
En un dominio de ideales principales, un ideal es primario si y sólo si es potencia de un ideal primo.

Que tan fácil de ver es este resultado?

Gracias por sus ideas.

Sea [texx]R[/texx] un dominio de ideales principales y sea [texx](a)[/texx] un ideal en [texx]R[/texx].

1. supongamos primero que [texx](a)[/texx] es primario y que además [texx]a[/texx] no es potencia de un primo. Al ser [texx]R[/texx] un dominio de factorización única, se tiene que [texx]a=p_{1}^{n_1}\cdots p_{k}^{n_k}[/texx], para primos [texx]p_i \in{R}[/texx] distintos dos a dos. Tomemos [texx]b=p_{1}^{n_1}[/texx] y [texx]c=p_{2}^{n_2}\cdots p_{k}^{n_k}[/texx]. Nota que [texx]bc \in{(a)}[/texx], pero [texx]b^n,c^n \not\in{(a)}[/texx], para todo [texx]n \in{\mathbb{N}}[/texx], lo cual contradice la hipótesis.

2. Supongamos ahora que [texx](a)[/texx] es potencia de un primo. Digamos [texx](a)=(p)^n[/texx]. Entonces [texx]a=rp^n[/texx], con [texx]r\in{R}[/texx] (unidad). Entonces podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que [texx]a=p^n[/texx]. Si [texx]bc \in{(a)}[/texx] y [texx]b \notin{(a)}[/texx], entonces [texx]p \mid c[/texx]. Luego [texx]a = p^n \mid c^n[/texx], lo cual implica que [texx]c^n\in{(a)}[/texx].

Saludos.
10  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Encontrar los homomorfismos de Z_8 en Z_12 : 28/11/2017, 12:12:46 am
Encontrar todos los homomorfismos de [texx]\mathbb{Z_8}\ en\ \mathbb{Z_{12}}[/texx], Una idea para saber como hallarlos.

Estos homomorfismos están determinados por la imagen del elemento [texx]1_{\mathbb{Z_8}}[/texx](que es un generador). Entonces, si [texx]f:\mathbb{Z_8}\longrightarrow{\mathbb{Z_{12}}}[/texx] es un homomorfismo:

1. Como [texx]8 \cdot f(1_{\mathbb{Z_8}}) = f(8 \cdot 1_{\mathbb{Z_8}})=f(0_{\mathbb{Z_8}})=0_{\mathbb{Z_{12}}}[/texx], se sigue que [texx]ord(f(1_{\mathbb{Z_8}})) \mid 8[/texx].

2. Del mismo modo se sigue que [texx]ord(f(1_{\mathbb{Z_8}})) \mid 12[/texx].

Por lo anterior, las únicas opciones para el orden de [texx]f(1_{\mathbb{Z_8}})[/texx] son 1,2 y 4. Luego resta encontrar todos los elementos de orden 1,2 y 4 en [texx]\mathbb{Z_{12}}[/texx] y tendrás todos los posibles homomorfismos.


Saludos.
11  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Probar o refutar idempotencia sobre grupos : 27/11/2017, 10:17:26 pm
Hola. Fijate en esto

Piensa en lo siguiente: si [texx]G[/texx] es un grupo y [texx]a \in{G}[/texx] es tal que [texx]a^2= a [/texx], entonces necesariamente [texx]a=e[/texx].

Lo anteiror dice que si en un grupo existe un elemento idempotente, entonces dicho elemento ha de ser el neutro ¿conclusión?


Saludos
12  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Probar o refutar idempotencia sobre grupos : 27/11/2017, 09:16:59 pm
Piensa en lo siguiente: si [texx]G[/texx] es un grupo y [texx]a \in{G}[/texx] es tal que [texx]a^2= a [/texx], entonces necesariamente [texx]a=e[/texx].

No lo entiendo :triste: (y eso que he visto muchísimas veces esa igualdad que decís jaja). ¿Estás proponiendo un contraejemplo?

Sea [texx](G, *)[/texx] grupo y [texx]a \in{} G[/texx]. [texx]a[/texx] es idempotente [texx]\Leftrightarrow{} a * a = a[/texx], ¿correcto..?

Si. Eso es un elemento idempotente. Disculpa la metida de pata, leí apresuradamente.

Saludos.
13  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Probar o refutar idempotencia sobre grupos : 27/11/2017, 09:05:06 pm
Piensa en lo siguiente: si [texx]G[/texx] es un grupo y [texx]a \in{G}[/texx] es tal que [texx]a^2= a [/texx], entonces necesariamente [texx]a=e[/texx].



Saludos
14  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Probar o refutar idempotencia sobre grupos : 27/11/2017, 08:56:14 pm
Jajaja no leí bien. Lo siento.
15  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Probar o refutar idempotencia sobre grupos : 27/11/2017, 08:55:10 pm
Hola a todos! Me gustaría probar o refutar la siguiente proposición:

"En todo grupo existe un único elemento idempotente".

¿Un elemento idempotente es aquél tal que operado consigo mismo por la operación definida en un grupo se obtiene el mismo elemento?

No sabría decir si siquiera es verdadera o falsa (proponiendo un contraejemplo)...

Fernando, Luis, Masacroso, alguno AYUDA!! :sonrisa_amplia:

De la manera más sencilla por favor,

Gracias!!

Falso. Piensa en el cuatro de Klein. Todos son idempotentes.

Saludos.
16  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Demostrar que el diédrico \(D_6\sim Z_2\times S_3\) : 27/11/2017, 02:13:12 pm
Sigo teniendo problemas porque no sé cómo se llega a afirmar que si tengo un elemento de orden 2 y otro de orden 3 que cumplan esa igualdad, entonces se tiene que los generadores son ellos. Imagino que la demostración seguirá con que tengo que buscar dos elementos generadores de [texx]D_6[/texx] que tengan los mismos órdenes y que mi homomorfismo lleve a cada elemento generador de [texx]D_6[/texx] con el que tenga el mismo orden en [texx]\mathbb{Z}_2[/texx] x [texx]S_3[/texx]. ¡Muchísimas gracias !
Creo que en realidad lo que pregunta es ¿cómo demostrar que esos elementos generan a [texx]\mathbb{Z}_2 \times S_3[/texx]?

Pues bien, debes ponerte en la tarea de listar todos los elementos de [texx]\mathbb{Z}_2 \times S_3[/texx], luego verificar que efectivamente cada uno de ellos se obtiene de los dos elementos que encontraste. Trata de hacerlo y si tienes dudas vuelve y pregunta.


Saludos.
17  Matemática / Análisis Matemático / Re: Desigualdades de Sobolev : 27/11/2017, 02:00:56 am
¿Alguien?  :indeciso: :indeciso:
18  Matemática / Álgebra / Re: Morfismo de grupos : 26/11/2017, 02:46:44 pm
Hola.

Hola, tengo el siguiente problema:
Si [texx]f:G\longrightarrow{G}[/texx] es un endomorfismo de grupos tal que [texx]f^{2}=f[/texx]. Entonces [texx] Ker{f}\oplus{Im{f}}[/texx]

Lo que logré hacer es demostrar que [texx]Ker{f}\cap{Im{f}}=\emptyset[/texx] y que [texx]Ker{f}{Im{f}}=G[/texx]
También demostré que [texx]Ker{f}[/texx] es un subgrupo normal de [texx]G[/texx], pero no logro demostrar que [texx]Im{f}[/texx] lo sea, para poder usar el teorema de la suma directa. ¿Será que me falta una hipótesis?

Creo que faltaría una hipótesis. En el algebra lineal se demuestra el mismo resultado para un endomorfismo de un espacio vectorial [texx]V[/texx] que, logicamente, es un grupo abeliano.


Saludos.
19  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Demostrar que el diédrico \(D_6\sim Z_2\times S_3\) : 26/11/2017, 02:41:17 pm
Hola.
Cómo puedo demostrar que el grupo diedrico  [texx]D_6[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb{Z}_2[/texx] x [texx]S_3[/texx] . Tengo una demostración en la que utilizamos que [texx]S_3[/texx] es isomorfo a las matrices invertibles 2x2 con coeficientes en [texx]\mathbb{Z}_2[/texx]
Muchas gracias de antemano un saludo

Demuestra que en [texx]\mathbb{Z}_2 \times S_3[/texx] hay dos elementos [texx]\alpha \text{ y } \beta[/texx], que satisfacen: [texx]ord(\alpha)=2, ord(\beta)= 3, \  \alpha \beta \alpha =\beta ^{-1}[/texx].

Luego demuestra que [texx]\mathbb{Z}_2 \times S_3 = \left<{\alpha , \beta}\right>[/texx].

Saludos.
20  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Ideales irreducibles y elementos irreducibles en DIP : 25/11/2017, 09:10:05 pm
Hola.

Dado un dominio de ideales principales [texx]R[/texx], es cierto que si [texx]a\in R[/texx] es un elemento irreducible si y sólo si [texx]I=(a)[/texx] es un ideal irreducible? si es así, ¿como podría demostrarlo?

Gracias por cualquier sugerencia.

Si suponemos que [texx]a[/texx] es irreducible, se sigue que [texx](a)[/texx] es maximal. Luego, si [texx](a)= (b) \cap (c)[/texx], forzosamente debe pasar (debido a la maximalidad) que [texx](a)=(b) \text{ o } (a)=(c)[/texx].

El recíproco es falso. Considera el dominio de ideales principales [texx] R = K\left[{x}\right ] [/texx], con [texx]K[/texx] un cuerpo, y toma [texx]a=x^2[/texx]. Nota que [texx]a[/texx] no es irreducible en [texx]R[/texx], pero [texx](a)[/texx] es un ideal irreducible.


Saludos.
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