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1  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Propuestos por todos / Re: Les propongo un problemita : 17/07/2009, 10:15:01 am
Hola.

A ver qué os parece.



Saludos
2  Matemática / Cálculo 1 variable / Continuidad : 28/02/2009, 06:57:16 pm
Hola.
Me gustaría que me ayudaran a demostrar lo siguiente:

Sea f una función, e I, J intervalos de manera que se tiene [texx]f:I\rightarrow{J}[/texx]
Además se sabe de f que es monótona en el intervalo I. Demostrar que entonces f es continua.

Lo que yo he intentado es ver que es continua por la derecha y por la izquierda, pero no veo como tomar el delta, para demostrar la continuidad. ¿Podrían darme alguna sugerencia para poder continuar?

Gracias.
3  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Teoremas de isomorfía : 11/02/2009, 11:30:21 pm
Hola.

Vale, he comprobado que esa aplicacion esta bien definida, y que es un homomorfismo.

Me queda ver que [texx]Ker f = Z_m[/texx]

[texx]Ker f = \{\bar{x} \textsf{ / } f(\bar{x})=\bar{0}\}[/texx]
Pero tengo problemas para identificar cual seria la clase de un [texx]x[/texx] en [texx]Z_d[/texx], y a partir de ahi continuar.

Muchas gracias.
4  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Teoremas de isomorfía : 11/02/2009, 09:06:19 pm
Hola

He visto en esta página como se resolvía uno del mismo estilo: http://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_isomorf%C3%ADa

Creo que lo que hay que hacer, es dar un homomorfismo [texx]f: Z_n \rightarrow{} Z_d[/texx], de forma que el [texx]ker f[/texx] sea [texx]Z_m[/texx], ya que asi por el primer teorema de isomorfia, tenemos el isomorfismo garantizado.  Pero no veo la forma. ¿A alguien se le ocurre algo ahora, teniendo esto en cuenta?

Saludos, y gracias.

5  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Teoremas de isomorfía : 10/02/2009, 10:51:09 am
Hola

Con [texx]Z_m[/texx] me refiero al anillo de congruencias módulo [texx]m[/texx]

Gracias.
6  Matemática / Estructuras algebraicas / Teoremas de isomorfía : 09/02/2009, 12:02:22 am
Hola.

¿Pueden echarme una mano con lo siguiente?

Sean [texx]n, m, d \in{} \mathbb{N}[/texx] tales que [texx]n = dm[/texx]. Demuestra que [texx]Z_n/Z_m[/texx] es isomorfo a [texx]Z_d[/texx]. Como sugerencia dice de usar los teoremas de isomorfía.

Los teoremas estos de isomorfía, los tengo delante, pero no sé ni como cojerlos. A ver si a base de ejemplos como este logro entenderlo mejor.

Gracias por adelantado
7  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Prueba por inducción : 30/01/2009, 06:58:25 pm
Hola.

Bravo Jabato, muy claro. Me estaba costando bastante hacer uso de la hipótesis inductiva.

Muchas gracias.

Saludos.

PD: Efectivamente, sobraba el [texx]1[/texx].
8  Matemática / Cálculo 1 variable / Prueba por inducción : 30/01/2009, 03:30:38 pm
Hola.

¿Podría alguien dejarme una pista para resolver lo siguiente?

Probar por inducción:
[texx]2(\sqrt[ ]{n+1}-1)<\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1}}+...+\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{n}}[/texx]

Para [texx]n=1[/texx], es cierto.

Ahora, he intentado seguir suponiendo cierto la propiedad en [texx](n-1)[/texx] y ver que se cumple para [texx]n[/texx]. Tambien lo he intentado suponiendolo para [texx]n[/texx], y ver si se cumple para [texx](n+1)[/texx], pero al final no sale.

Saludos.

9  Matemática / Cálculo 1 variable / Limite de la raíz enésima de una sucesión : 28/01/2009, 10:23:37 pm
Hola.

Tengo una duda con una proposición.

Sea [texx]\{a_n\}[/texx] una sucesión, si [texx]\{a_n\}\rightarrow{}l[/texx],  [texx]l>0[/texx],  [texx]a_n\geq{0} \forall{n}[/texx]
entonces [texx]\{\sqrt[ n]{a_n}\}\rightarrow{}1[/texx]

En la demostración escoje [texx]\epsilon=\displaystyle\frac{l}{2}>0[/texx]

[texx]l-\epsilon<a_n<l+\epsilon \Longleftrightarrow{} \displaystyle\frac{l}{2}<a_n<\displaystyle\frac{3l}{2}[/texx]

Tomando raíces en las desigualdades, y por el teorema del Sandwich, el límite de [texx]\sqrt[ n]{a_n}[/texx] es ciertamente [texx]1[/texx].

Ahora bien, ¿qué me impide realizar la demostración, suponiendo que [texx]\{a_n\}\rightarrow{l}\geq{0}[/texx] ?

Se que hay un contraejemplo:

[texx]\{a_n\} =( \displaystyle\frac{1}{2})^n[/texx] si n es par
[texx]\{a_n\} =( \displaystyle\frac{1}{3})^n[/texx] si n es impar

El límite de [texx]a_n[/texx] es cero, pero el límite de la raíz enésima de [texx]a_n[/texx] no existe.

De modo que, ¿dónde estaría cometiendo el error si en la demostración que puse arriba suponiera [texx]l\geq{0}[/texx]?


Muchas gracias.

Saludos.
10  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Grupos de torsión : 21/01/2009, 03:33:51 pm
Hola.

Vale, muchas gracias. Si, me estaba complicando.
Mi demostración:

Sea [texx]\bar{a}\in{G/T(G)}[/texx] de orden finito [texx]\Rightarrow{\bar{a}+...+\bar{a}=0}\Rightarrow{}[/texx]
[texx]\underbrace{a+...+a}_{n}\in{T(G)}\Rightarrow{na\in{T(G)}}[/texx]
luego na tiene orden finito, [texx]na+...+na=(kn)a=0 \Rightarrow{}\circ{a<\infty}[/texx]
entonces [texx]a\in{T(G)}\Rightarrow{\bar{a}=\bar{0}}[/texx]

Saludos.
11  Matemática / Estructuras algebraicas / Grupos de torsión : 21/01/2009, 09:26:30 am
Hola.

Necesito un pequeño empujon con este ejercicio:

Sea [texx]G[/texx] un grupo y [texx]T(G)[/texx] el grupo de torsión de [texx]G[/texx]. Demuestra que [texx]G/T(G)[/texx] es libre de
torsiòn

Lo que yo he intentado es por reducción al absurdo, suponer que [texx]G/T(G)[/texx] fuera de torsión bajo las hipótesis anteriores y llegar a una contradicción, pero no llego a dicha contradicción.

Gracias,

 Saludos.
12  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencia : 15/01/2009, 07:59:28 am
Hola.

Cita
Si [texx]b_n=n[/texx], no entiendo cómo esta serie puede ser absolutamente convergente.

LLevas razón, no es tan trivial; al menos el criterio del cociente no me decide lo que ocurre. Además, el límite de [texx]b_n[/texx] no es cero, por tanto esa serie no convergería.

Sigo pensando entonces.

Muchas gracias.
13  Matemática / Cálculo 1 variable / Serie de potencia : 14/01/2009, 07:02:06 pm
Hola.

Estoy estudiando análisis matemático, e intento ir paso a paso, viendo que todo lo que hago sea "legal" y correcto, pero a veces necesito saber que lo que voy haciendo va bien.

Me gustaría que alguien se apiade de mi, y me diga si he resuelto el ejercicio correctamente. Yo creo que sí, pero necesito ganar confianzas  :risa:

Hallar el conjunto de puntos [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx] para los que la serie [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{a_nx^n}[/texx] es convergente. Donde [texx]a_n=\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{2}+...+\displaystyle\frac{1}{n}}[/texx]

Bueno, estos ejercicios por lo que veo suelen ser muy mecánicos, pues se aplica directamente el criterio del cociente, y sale casi todo rápido.

Aqui al aplicar el crit. del cociente no me queda nada fácil, de modo que he pensado resolverlo así:

En [texx]x=0[/texx], la serie converge, por tanto podemos suponer a partir de ahora [texx]x\neq{0}[/texx]

Sea [texx]\{b_n\}=\{n\}[/texx]
Tenemos que [texx]b_n>a_n \forall{n}[/texx]

La serie [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{b_nx^n}[/texx]
es absolutamente convergente si [texx]|x|<1[/texx], por tanto deduzco que mi serie original, es convergente para [texx]|x|<1[/texx]

Sea [texx]\{c_n\}=\{\displaystyle\frac{1}{n}\}[/texx]
Tenemos que [texx]c_n<a_n \forall{n}[/texx]

La serie [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{|c_nx^n|}[/texx]
diverge si [texx]|x|<1[/texx], por tanto deduzco que [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{c_nx^n}[/texx] también diverge y en consecuencia, la serie original diverge si [texx]|x|>1[/texx]

Por último me queda probar que pasa en x=1 y x=-1 (que sé hacerlos), pero antes me gustaría saber si voy bien.

Saludos.


14  Matemática / Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) / Re: Límite con constante : 14/01/2009, 03:07:14 pm
Hola Phidias.

Lo que me comentas, nos queda por ahora algo lejos. Aún no hemos visto sobre derivadas.
Pero me has dado una idea.

¿Podría resolverlo así?

Consideramos la serie

[texx]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}{nc^n}[/texx] y nos preguntamos sobre su convergencia. [texx]c\in{\mathbb{R}}[/texx]

Para ello estudio la misma serie, pero con valor absoluto.

[texx]{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}{|nc^n|}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}{n|c^n|}[/texx]

Por el criterio del cociente, me sale que la serie converge si [texx]|c|<1[/texx]

Por tanto mi serie original converge absolutamente, y por condición necesaria, el límite del término general de la sucesión es cero.

Muchas gracias.
15  Matemática / Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) / Límite con constante : 13/01/2009, 08:28:04 pm
Hola.

Tengo problemas con otro límite de sucesiones.

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{nc^n}[/texx]  donde [texx]|c|<1[/texx]

[texx]c\in{(-1, 1)}[/texx] Voy por casos:
Sup [texx]c>0[/texx]: Entonces puedo aplicar el criterio del cociente:
[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{(n+1)c^nc}{nc^n}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(1+\displaystyle\frac{1}{n})c}=c[/texx]


De modo que si c<1 el límite es cero.
Si [texx]c>1[/texx] el límite es [texx]+\infty[/texx]

Para el caso de [texx]c=1[/texx] tenemos que es [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{n}=+\infty[/texx] (aunque en realidad no me preguntan por él)
Por tanto ya sé lo que pasa en (0, 1), me falta (-1, 0]
Pero para cuando [texx]c<0[/texx], no me sirve el criterio del cociente. ¿Qué podría usar?


Gracias
16  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Límite con raíces : 13/01/2009, 06:08:58 pm
Hola.

Vale, ya lo he captado todo.

Pero aladan, muestrame el error al hacer lo siguiente. No soy capaz de verlo

Sea la sucesión [texx]\{x_n\}=\{\sqrt[ 3]{2n^2+1}-\sqrt[ 3]{5n^2+n+1}\}[/texx]

Sacando factor común la primera raíz:

[texx]\{x_n\}=\{\sqrt[ 3]{2n^2+1}(1-\displaystyle\frac{\sqrt[ 3]{5n^2+n+1}}{\sqrt[ 3]{2n^2+1}})\}[/texx]

[texx]\{x_n\}=\{\sqrt[ 3]{2n^2+1}(1-\sqrt[ 3]{\displaystyle\frac{5n^2+n+1}{2n^2+1}})\}[/texx]

La única pega que le veo, es que se cometa el error de dividir por cero; pero esto no está ocurriendo.

Saludos.

17  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Límite con raíces : 12/01/2009, 11:45:04 pm
Vale, hoy no ha sido mi dia. Muchas gracias mathtruco, ahora sí.

almendra, lo continuo de esta forma, aunque no me coincide con lo que me calcula el programa "Derive":

[texx]\lim_{n\to \infty} \sqrt{n^2+6n}   \left(  1-      \displaystyle\frac{\sqrt[ 3]{n^2+3n+1}}{\sqrt{n^2+6n}}   \right)    =  \lim_{n\to \infty} \sqrt{n^2+6n}   \left(  1-  \sqrt[ 3]{\displaystyle\frac{n^2+3n+1}{(n^2+6n)\sqrt[ ]{n^2+6n}}}   \right)[/texx]

Ahora lo que hago es dividir entre [texx]n^2[/texx] en numerador y denominador dentro de la raíz cúbica.
y "hablando rápido", razono así: [texx]\infty(1-\infty)=-\infty[/texx]

Pero a Derive le da [texx]\infty[/texx]
Saludos.
18  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Límite con raíces : 12/01/2009, 10:58:38 pm
Hola a ambos.

Sí, me olvidé de poner la raíz, pero aún así, [texx]1-\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{5}{2}}[/texx] es negativo, y el límite sería [texx]-\infty[/texx] ¿no?

¿A qué se refiere con "La 2ª sucesión es diferente de la primera."?
Gracias por estar atento.


mathtruco, gracias a ti también por la ayuda. Lo he hecho como dices, y me sale esto:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{- 3n^2 - n}{\sqrt[ 3]{(2n^2 + 1)^2}+\sqrt[ 3]{(2n^2 + 1)(5n^2 + n + 1)}+\sqrt[ 3]{(5n^2 + n + 1)^2}}}[/texx]

dividiendo entre n arriba y abajo cada término... pero no me queda muy fácil, ¿còmo lo seguirías?

Saludos.

19  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Límite con raices : 12/01/2009, 09:38:35 pm
Me autorespondo:

[texx]x_n=\sqrt[ 3]{2n^2+1}(1-\sqrt[ 3]{\displaystyle\frac{5n^2+n+1}{2n^2+1}})[/texx]

Como el límite de [texx](1-\sqrt[ 3]{\displaystyle\frac{5n^2+n+1}{2n^2+1}})[/texx] es [texx]-3/2[/texx], el límite de la sucesión original es [texx]-\infty[/texx]

Pero sigo con la duda de saber como se resuelven límites como este:

[texx]\{y_n\}=\{\sqrt[ ]{n^2+6n}-\sqrt[ 3]{n^2+3n+1}\}[/texx]

Saludos.
20  Matemática / Cálculo 1 variable / Límite con raíces : 12/01/2009, 09:24:40 pm
Hola.

Tengo problemas con algunos límites de sucesiones que implican raíces de distinto índice, o distinto a [texx]2[/texx].

Por ejemplo:

[texx]\{x_n\}=\{\sqrt[ 3]{2n^2+1}-\sqrt[ 3]{5n^2+n+1}\}[/texx]


Creo el límite es [texx]-\infty[/texx], pero necesito saber como se demuestra.

Saludos.

*
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