Hola


Te dejo algunas indicaciones:

1. Demuestra que todo anillo Booleano (anillo que cumple la condición de tu problema) que es también un dominio integro es isomorfo a .


2. Prueba que cualquier imagen homomórfica de un anillo Booleano es también un anilllo Booleano.

3. Como es un ideal primo de , entonces es un dominio integro (resultado conocido). Por otro lado, es imagen homomórfica de mediante la proyección natural, luego también es un anillo Booleano.

4. Utiliza 1 y el hecho que es un cuerpo para concluir que es maximal.


Saludos

Hola

Te recomiendo abrir un hilo nuevo para una nueva pregunta. Por esta vez he separado los temas para que los usuarios sepan que estás preguntando y no respondiendo a un problema anterior. Bueno, con respecto a tu pregunta


Es falso que para cada elemento hay sólo una clase (eso es lo que interpreto de lo que dices), por ejemplo, y están en la misma clase. Geométricamente las clases de equivalencias son rectas en el plano y un sistema de representantes de clases laterales es el conjunto (esto lo puedes notar en el isomorfismo que acabas de comprobar).


Se refieren al isomorfismo que se extrae del primer teorema: epimorfismo y epimorfismo canónico entonces existe un único isomorfismo tal que . En estricto rigor lo que te piden es encontrar la imagen de mediante , pero para esto basta encontrar la imagen de , pues es un homomorfismo (basta conocer la imagen para el generador).

Saludos

Hola

Tu procedimiento es correcto. Además


Un isomorfismo no es único, esta función que indicas también es isomorfismo al igual que la función .

Saludos

Hola


Está muy bien.


Siguiendo lo que indicas, esto quiere decir que para algún . Ahora, supongamos que , luego, existen tales que y . Reemplazando estos valores en la igualdad anterior se tiene que


Concluye cuál es, necesariamente, el valor de y listo.

Saludos

Hola


Inspírate en la identidad de Bézout


Analiza qué ocurre si para cada par existe tal que


es decir, si y . Intenta trabajar la segunda igualdad, pues es conocido y puedes obtener información concreta para verificar que no es regular...


Saludos

No entiendo a qué te refieres con la existencia de un módulo  . ¿Te refieres a probar la buena definición de la suma y el producto en ?


Sí, aunque la unicidad no es necesaria probarla. Debes centrarte únicamente en probar los axiomas que te dejé en el enlace anterior, la unicidad es consecuencia inmediata de estos axiomas.


Inverso en la suma: Para todo comprueba que es el inverso de .

Inverso en la multiplicación: Acá debes utilizar la identidad de Bézout. Sea , luego por Bézout, existen tales que . Aplicando clase módulo 7, se tiene que


Es decir, existe tal que .

Nota que las propiedades se heredan de   .

Saludos

Hola nktclau

Tu demostración está muy bien.

Saludos

Hola

Si estás recién comenzando con las definiciones, únicamente debes verificar que satisface las propiedades de cuerpo. Acá tienes algo que te puede ayudar a saber las propiedades. Si te complica verificar una propiedad nos cuentas y te ayudamos.

Si ya conoces un par de propiedades de anillos podrás notar que es un ideal maximal de y por tanto es un cuerpo (un famoso resultado).

Saludos

Esa representación siempre es posible por el teorema fundamental del aritmética: todo entero positivo se puede escribir como producto de potencias de primos.



donde los son primos distintos. Entonces se puede poner, por ejemplo,  , donde y claramente y primos relativos.

Saludos

Hola

Bueno, si no usamos herramientas avanzadas saldrá un poco más trabajoso. Es bien importante lo que dice filomate: la existencia de un elemento de orden 2. También es importante la existencia de un elemento de orden 3 (como se menciona en el caso de ramuntxo) la cuál se puede probar al preguntarse (considero el Teorema de Lagrange al razonar):

1) ¿Qué pasa si tiene un elemento de orden ?, digamos . En este caso, es claro que es un elemento de orden 3.

2) En caso contrario, ¿qué ocurre si solamente tiene elementos de orden (obviamente sin contar la identidad)?. Un famoso resultado nos dice que es abeliano, lo cual implica que tendría un subgrupo de orden 4, lo cual no es posible (se los dejo comprobar).

Concluimos entonces que


donde es un elemento de orden e es un elemento de orden 2. Para concluir el isomorfismo les dejo algunas pistas:

Si es abeliano, ¿qué orden tiene el elemento ?

Para probar el isomorfismo en el caso en que no es abeliano depende de cómo conozcan ustedes el grupo (por medio de una presentación, a través de permutaciones, como las reflexiones del triángulo, etc...). Esto se los dejo a ustedes, pero la clave siempre es estudiar el orden de los elementos.

Saludos

Hola tocayo 

Supongamos que con . Ahora si consideras la acción clásica ( denota el conjunto de p-subgrupos de Sylow de ) dada por conjugación podrás notar que por otro famoso teorema se tiene que . Nota además que

1) .
2) , pues todo grupo es subgrupo de su normalizador.
3) es justamente el número de conjugados de .

Concluimos entonces que



¿Qué ocurriría entonces si el número de conjugados de es un múltiplo de ?

Saludos

Hola


Entiendo que john considera y , ¿por qué dices que faltan elementos?


Sólo un comentario: Un homomorfismo basta definirlo para el conjunto generador (en este caso genera a , así que bastaba definirlo para este elemento), las imágenes de los otros elementos se obtienen inmediatamente como consecuencia de las propiedades de un homomorfismo.

Por lo demás, tu ejemplo es bueno. Si es que se requiere que el subgrupo sea propio, tu ejemplo es el acertado.

Saludos

Hola

Tal vez llego un poco tarde, pero lo dejo de todos modos.


Un subgrupo es normal si es invariante bajo conjugación, luego basta encontrar un elemento de que no deja invariante al subgrupo , por ejemplo, si consideras te queda .


Considera (el cual es normal en , pues tiene índice 2) y como el subgrupo generado por (intenta ver que no es normal en conjugando por )

Si no entiendes la notación en ciclos, nos dices para poder traducirla a permutación.


Primero prueba que si es un subgrupo de , entonces es un subgrupo de . Inversamente, si es un subgrupo de , entonces es un subgrupo de . Inspírate en esto para construir tu correspondencia.

Saludos

Bueno, únicamente debes seguir por recurrencia hasta que puedas aplicar la hipótesis inductiva. Nota que



aplica la hipótesis inductiva ( es par) y concluye.

Saludos

PD: Por favor. corrige tu mensaje agregando cada uno de los acentos faltantes

Hola

Para se tiene que .

Ahora supongamos que es verdadero para y notemos que



aplicando hipótesis inductiva, nos queda que



suma los últimos dos términos y acomoda la suma para concluir (notarás que te queda el último término de la sumatoria).


Saludos

Hola

Bueno, hay más de una demostración pero la más sencilla, a mí parecer, es esto:

Sea no nulo, luego existe tal que (es decir, al menos hay un elemento que no es fijado por ). Ahora la idea es "construir" un elemento en de modo que no conmute con , por ejemplo, puedes considerar tal que y , donde es distinto de y de (nota que tienes derecho a considerarlo así, ya que ).

Te dejo comprobar entonces que y por tanto .

Saludos

Hola

Para la primera parte puedes utilizar el segundo teorema de Sylow (el de la conjugación). Sea un -subgrupo de Sylow de , en particular, es un -subgrupo de , luego existe tal que . Entonces . De este modo se tiene que ... la otra desigualdad es inmediata utilizando el teorema de Lagrange con sobre y .

De la demostración anterior también es inmediata la segunda parte utilizando la famosa igualdad de ordenes que mencionas en tu mensaje.

Saludos

Hola

Sea , elevando al cuadrado se tiene que , esto es si y sólo si . Nuevamente elevando al cuadrado, se tiene que . Desarrolla el binomio y despeja para encontrar el polinomio que buscas. Con esto también puedes concluir fácilmente (a). Para (b) intenta lo mismo ( es más inmediato incluso)

Saludos

Hola

Disculpa por llegar tarde.


Es correcto lo que dices y como dije anteriormente tú demostración es correcta.

Saludos

Laudan: Conviene que dediques unos minutos a leer las reglas del foro y el tutorial de Latex del mismo para que aprendas a editar bien tus fórmulas matemáticas.

Además procura encerrar con [tex][/tex] solamente las fórmulas matemáticas. También debes corregir el título de tus otros hilos, no trates de llamar la atención poniendo todo éste en mayúsculas.

Por esta vez he corregido el título y además arreglé un poco tu mensaje ya que no era del todo nítido. Los conjuntos y deberás corregirlos tú, ya que al momento de corregir noté que no ponías éstos, así que no sé realmente lo que va allí.

Saludos.