Matemática => Lógica => Mensaje iniciado por: Eleal en 10 Febrero, 2008, 19:04



Título: Problema de relaciones
Publicado por: Eleal en 10 Febrero, 2008, 19:04
Aquí un problema que no he podido resolver:

Si R es una relación,

[texx]F(R)=\bigcup\bigcup{(R)}[/texx],


donde [texx]F(R)=Dominio(R)\cup{Rango(R)}[/texx]
________

Sólo he podido probar [texx]F(R)\subseteq{}\bigcup\bigcup{(R)}[/texx],

pero todavía no he podido con la otra inclusión:

[texx]F(R)\supseteq{}\bigcup\bigcup{(R)}[/texx]

Quisiera un poco de ayuda,


Saludos,


Título: Re: Problema de relaciones
Publicado por: Eleal en 10 Febrero, 2008, 19:13
Y otra pregunta relacionada:

¿Cómo se suele llamar a  [texx]F(R)=Dominio(R)\cup{Rango(R)}[/texx] ?

Saludos,



Título: Re: Problema de relaciones
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Febrero, 2008, 09:03
Hola

 ¿ Qué significa:

  [texx] \bigcup \bigcup (R )[/texx] ?

 No entiendo a esa notación.

 Por otra parte la unión del dominio y rango de una relación, que yo sepa, no tiene ningún nombre especial.

Saludos.


Título: Re: Problema de relaciones
Publicado por: Eleal en 12 Febrero, 2008, 22:13
Ésta es la definición que me dieron:

[texx] \bigcup \bigcup (R )=\bigcup \, \{x: (\exists{B\,  \textsf{tal que}\ x\in{B}, B\in{R}}) \}[/texx]

Saludos,


Título: Re: Problema de relaciones
Publicado por: León en 13 Febrero, 2008, 00:36
Ah, es porque definen un par ordenado mediante,

(x,y):={{x},{x,y}}

Cuando hagas preguntas de estas en el foro tienes que poner las definiciones que estás usando... sino sólo podemos adivinar. Esa de mas arriba es una definición extremadamente formal de par ordenado con la que los matemáticos rara vez se meten.

También vendría bien que muestres un poco lo que estás haciendo así sabemos con que nivel de formalidad estás trabajando.

Bueno, un poco porque me divierte, me fabrico las definiciones formales que corresponden a esta situación.

Las definiciones usando sólo teoría de conjuntos podrían ser:

[texx]p[/texx] es un par ordenado si y sólo si:

(1) [texx]\forall c \in p, \exists! x \in c, \forall d \in p, x\in d[/texx]
(la intersección de todos los conjuntos elemento de p es un conjunto con un solo elemento)

(2) [texx]\forall c,d \in p, c\subseteq d\vee d\subseteq c[/texx]
(los conjuntos elemento de p están encajados)

(3) [texx]\exists c \in p, \forall d \in p, d\neq c\Rightarrow \exists! x \in d, x\not\in c[/texx]
(p no es vacío y si p contiene mas de un conjunto elemento, uno de esos conjuntos tiene un sólo elemento que no está en el otro).

Una definición de dominio de una relación podría ser:

[texx]\mbox{Dominio}(R):=\{x:\exists p \in R, \forall y\in p, x \in y\}[/texx]

Y la de rango:

[texx]\\ \mbox{Rango}(R):=\{x:\exists p \in R, [\exists y,z\in p, x\in y, x \not\in z] \vee [\forall y,z\in p, y=z\wedge x\in y]\}[/texx]


Bien, con eso ya se puede trabajar. Hago la parte que te falta.

Supón que [texx]u\in\cup\cup R[/texx] entonces

[texx]\exists x, \exists B \mbox{ tal que } u \in x, x \in B, B \in R[/texx]

Dados esos x y B hay dos posibilidades

1) [texx]\forall z \in B, u\in z[/texx] y entonces [texx]u \in \mbox{Dominio}(R)[/texx] (tomando p=B en la definición de Dominio).

o, por el contrario,

2) [texx]\exists z \in B, u \not\in z[/texx] y entonces [texx]u \in \mbox{Rango}(R)[/texx] (tomando p=B se cumple el primero de los corchetes de la definición de Rango).

Eso demuestra que [texx]u \in \mbox{Dominio}(R)\cup\mbox{Rango}(R)[/texx].


Título: Re: Problema de relaciones
Publicado por: Eleal en 15 Febrero, 2008, 08:17
Ah, es porque definen un par ordenado mediante,

(x,y):={{x},{x,y}}

Sí, ésa es la definición de par ordenado con la que estaba trabajando.

Una pregunta adicional, ¿De qué otras maneras es posible definir un par ordenado?

Estaba viendo en un libro, y lo definen:

[texx]<x,y>=\{\{x,\emptyset\},\{y,\{\emptyset\}\}[/texx]

Saludos,