Matemática => Geometría y Topología => Mensaje iniciado por: moraat en 15/11/2017, 12:20:24 am



Título: Bases de entornos
Publicado por: moraat en 15/11/2017, 12:20:24 am
Sea[texx] X=([0,1[\cup]1,2])\times [0,1][/texx], con la topología inducida por la topología producto de [texx]\mathbb{R}\times \mathbb{R}[/texx] dada por [texx]\tau_1[/texx] y [texx]\tau_e[/texx] donde [texx]\tau_e[/texx] es la topologia euclídea y [texx]\tau_1[/texx] viene dada por : [texx]G\in \tau_1[/texx] si y solo si [texx]G [/texx]es abierto con la topología euclídea y además se cumple que [texx]0,1,2\in{G}[/texx]o [texx]0,1,2\not\in{G}[/texx]

Hallar base de entornos de [texx]X[/texx]
Este ejercicio no me sale,  ¿alguna ayuda?.


Título: Re: Bases de entornos
Publicado por: Luis Fuentes en 15/11/2017, 06:13:08 am
Hola

Sea[texx] X=([0,1[\cup]1,2])\times [0,1][/texx], con la topología inducida por la topología producto de [texx]\mathbb{R}\times \mathbb{R}[/texx] dada por [texx]\tau_1[/texx] y [texx]\tau_e[/texx] donde [texx]\tau_e[/texx] es la topologia euclídea y [texx]\tau_1[/texx] viene dada por : [texx]G\in \tau_1[/texx] si y solo si [texx]G [/texx]es abierto con la topología euclídea y además se cumple que [texx]0,1,2\in{G}[/texx]o [texx]0,1,2\not\in{G}[/texx]

Hallar base de entornos de [texx]X[/texx]
Este ejercicio no me sale,  ¿alguna ayuda?.

No estoy seguro de si estás considerando una topología diferente en cada componente, es decir, la topología producto [texx](\mathbb{R},\tau_1)\times (\mathbb{R},\tau_e)[/texx] o te piden que estudies dos casos distintos con la misma topología en cada componente es decir, [texx](\mathbb{R},\tau_e)\times (\mathbb{R},\tau_e)[/texx] y luego [texx](\mathbb{R},\tau_1)\times (\mathbb{R},\tau_1)[/texx].

Sea como sea la idea es la misma en todos los casos. Usa dos cosas:

1) En la topología producto de dos espacios topológicos una posible base de entornos está formada por productos de entornos de cada uno de los dos subespacios.

2) En la topologia usual ya sabes cuales son los abiertos básicos, los entornos.

3) En la topología [texx]\tau_1[/texx] compruena es los entornos son entornos usuales unión [texx]\{1,2,3\}[/texx] ó menos[texx] \{1,2,3\}[/texx] es decir:

[texx]\{(a,b)\cup \{1,2,3\}|a,b\in \mathbb{R},\,a<b\}\cup \{(a,b)\setminus \{1,2,3\}|a,b\in \mathbb{R},\,a<b\}[/texx]

Saludos.