Matemática => Teoría de números => Mensaje iniciado por: YeffGC en 14/11/2017, 05:03:45 pm



Título: Ejercicios sobre raíz primitiva y polinomios ciclotómicos
Publicado por: YeffGC en 14/11/2017, 05:03:45 pm
hola amigos he intentado hacer estos ejercicios solo me he hecho el () los demás no me sale ninguna idea
(a) Sea n un entero positivo. Calcule la suma y el producto de todas las raíces
na-ésimas de la unidad. En este caso he llegado que la suma es igual a cero y que el producto es igual a uno no sé si  me equivoco  ???

(b) Determine todos los valores de a tales que la congruencia
[texx]ax^4\equiv{2}(\mod 13)[/texx] tiene solución.

(c) Demuestre que la expansión decimal de la fracción [texx]\displaystyle\frac{1}{p}[/texx]tiene período [texx]p − 1[/texx] si
y sólo si 10 es raíz primitiva módulo p

gracias como siempre


Título: Re: Ejercios sobre raiz primitiva y polinomios ciclotomicos
Publicado por: Ignacio Larrosa en 14/11/2017, 05:23:10 pm
hola amigos he intentado hacer estos ejercicios solo me he hecho el a los demás no me sale ninguna idea
(a) Sea n un entero positivo. Calcule la suma y el producto de todas las raíces
na-ésimas de la unidad. En este caso he llegado que la suma es igual a cero y que el producto es igual a uno no se si  me equivoco  ???

El producto no es uno, por lo menos no siempre. Por ejemplo, las raíces cuadradas de [texx]1[/texx] son [texx]1\textrm{ y }-1[/texx] cuyo producto es [texx]-1[/texx].

Las raíces n-simas de la unidad son las soluciones de la ecuación [texx]z^n = 1 \; \Leftrightarrow{}\; z^n - 1 = 0[/texx].

Por otra parte,  [texx]z^n - 1 = (z - a_1)(z - a_2)\ldots(z-a_n)[/texx], donde las [texx]a_i[/texx] son las raíces n-simas de la unidad. Desarrollando, aunque solo sea virtualmente,  ese producto y comparando, llegamos a la conclusión de que

[texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{a_i} = 0[/texx]

[texx]\prod_{i=1}^n(-a_i) = (-1)^n\prod_{i=1}^n a_i = - 1 \;\Longrightarrow{}\prod_{i=1}^n a_i =(-1)^{n-1}[/texx]


Lo demás en otro momento, si no te contesta alguien antes, que ahora no puedo seguir.

Saludos,




Título: Re: Ejercicios sobre raíz primitiva y polinomios ciclotómicos
Publicado por: YeffGC en 15/11/2017, 02:41:24 am
Gracias si los otros estan dificiles
Oye yo trate de sumar [texx]1,e^{\displaystyle\frac{2\pi i}{n}},...,e^{2\pi (n-1)}[/texx]


Título: Re: Ejercicios sobre raíz primitiva y polinomios ciclotómicos
Publicado por: Ignacio Larrosa en 15/11/2017, 06:05:33 am
Gracias si los otros estan dificiles
Oye yo trate de sumar [texx]1,e^{\displaystyle\frac{2\pi i}{n}},...,e^{2\pi (n-1)}[/texx]

Si, pero no es necesario, como te indico es directo.

Los otros no son muy difíciles. Veamos


(b) Determine todos los valores de a tales que la congruencia
[texx]ax^4\equiv{2}(\mod 13)[/texx] tiene solución.

Se trata de hallar todos los valores de [texx]a \mod 13[/texx]. Hay que ir más bien al revés: investiga que valores puede alcanzar [texx]x^4 \mod 13[/texx], son bastantes menos de [texx]13[/texx], y halla los valores de [texx]a[/texx] que les corresponden.


(c) Demuestre que la expansión decimal de la fracción [texx]\displaystyle\frac{1}{p}[/texx]tiene período [texx]p − 1[/texx] si
y sólo si 10 es raíz primitiva módulo p

En general, el período de [texx]\displaystyle\frac{1}{p}[/texx] es el orden de [texx]10 \mod p[/texx], es decir el mínimo [texx]k \,|\, 10^k \equiv{} 1 \mod p[/texx]. Si las cifras del periodo son [texx]a_1, a_2, \ldots ,a_k[/texx], es decir si [texx]\displaystyle\frac{1}{p}=0.\overline{a_1a_2\ldots a_k}[/texx], y los restos parciales [texx]r_1, r_2,\ldots, r_k = 1[/texx], se tiene que

[texx]10 = p\cdot{}a_1 + r_1\;\Rightarrow{} r_1 \equiv{}10 \mod p\\
       10\cdot{}r_1 = p\cdot{}a_2 + r_2\;\Rightarrow{} r_2\equiv{}10\cdot{}r_1 \equiv{}10^2 \mod p\\
       \ldots \\
      10\cdot{}r_{k-1} = p\cdot{}a_k + r_k\;\Rightarrow{} 1 = r_k \equiv{}10\cdot{}r_{k-1}\equiv{}10^2\cdot{}r_{k-2} \equiv{}\ldots\equiv{}10^k \mod p[/texx]

Por tanto, si el período de [texx]\displaystyle\frac{1}{p} es p-1[/texx], es que [texx]p-1[/texx] es el orden de [texx]10 \mod p,\textrm{ y }10[/texx] es una raíz primitiva [texx]\mod p[/texx]. Y viceversa, si [texx]10[/texx] es una raíz primitiva [texx]\mod p,\textrm{ es que }10\textrm{ genera }\mathbb{Z}_p\textrm{ y }p-1[/texx]es el orden de [texx]10 \mod p[/texx], por lo que es la longitud del período de [texx]\displaystyle\frac{1}{p}[/texx].

Saludos,