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Matemática => Teoría de números => Mensaje iniciado por: jcur en 14/11/2017, 12:42:20 am



Título: Restos potenciales
Publicado por: jcur en 14/11/2017, 12:42:20 am
Hola! Mi problema es que quiero demostrar una proposición que se enuncia en el volumen 1 de Análisis Matemático de Rey Pastor.

"Si a y m no son primos entre sí, entonces los restos potenciales de a módulo m, forman una secuencia periódica a partir de cierto número."

Subrayo esto último ya que si a y m fueran primos entre sí, la secuencia de restos potenciales sería periódica desde su primer elemento [texx]a^0 \equiv{1}[/texx] (mód m) (he leído y entendido la demostración de esto).

Saludos!


EDIT: efectivamente lo que quise escribir fue "Si a y m no son primos entre sí (...)". Lo he corregido.


Título: Re: Restos potenciales
Publicado por: Ignacio Larrosa en 14/11/2017, 06:27:01 am
Hola! Mi problema es que quiero demostrar una proposición que se enuncia en el volumen 1 de Análisis Matemático de Rey Pastor.

"Si a y m son primos entre sí, entonces los restos potenciales de a módulo m, forman una secuencia periódica a partir de cierto número."

Subrayo esto último ya que si a y m fueran primos entre sí, la secuencia de restos potenciales sería periódica desde su primer elemento [texx]a^0 \equiv{1}[/texx] (mód m) (he leído y entendido la demostración de esto).

Saludos!

Si [texx]a\textrm{ y }m[/texx] son primos entre sí, por el Teorema de Euler-Fermat [texx]a^{\varphi(m)} \equiv{}1\; (mod\; m)[/texx] y la sucesión es enteramente periódica.

¿No será "Si [texx]a\textrm{ y }m[/texx] no son primos entre sí, ..."?

Saludos,


Título: Re: Restos potenciales
Publicado por: Luis Fuentes en 14/11/2017, 06:41:13 am
Hola

Hola! Mi problema es que quiero demostrar una proposición que se enuncia en el volumen 1 de Análisis Matemático de Rey Pastor.

"Si a y m son primos entre sí, entonces los restos potenciales de a módulo m, forman una secuencia periódica a partir de cierto número."

Subrayo esto último ya que si a y m fueran primos entre sí, la secuencia de restos potenciales sería periódica desde su primer elemento [texx]a^0 \equiv{1}[/texx] (mód m) (he leído y entendido la demostración de esto).

No entiendo bien lo que quieres decir ahí (en rojo).

Ten en cuenta que [texx]\{a^k\mod m|k\in \mathbb{N}\}[/texx] es un conjunto finito, por tanto existen [texx]k_1<k_2[/texx] tales que [texx]a^{k_1}=a^{k_2}\mod m[/texx]. De ahí se puede probar que a partir de exponente [texx]k_1[/texx] se tiene periodicidad de período [texx]p=k_2-k_1[/texx], es decir, que si [texx]k\geq k_1[/texx]:

[texx]a^k=a^{k+np}[/texx]

Se puede probar por inducción:

- para [texx]n=1[/texx]:

[texx]a^{k}=a^{k_1+k-k_1}=a^{k_1}a^{k-k_1}=a^{k_2}a^{k-k_1}=a^{k+k_2-k_1}=a^{k+p}[/texx]

- para el paso inductivo:

[texx]a^{k+(n-1)p}=a^{k_1+k-k_1+(n-1)p}=a^{k_1}a^{k-k_1+(n-1)p}=a^{k_2}a^{k-k_1+(n-1)p}=a^{k+k_2-k_1+(n-1)p}=a^{k+np}[/texx]

Saludos.

P.D. No veo que haga falta la coprimalidad.

P.D.D. Mientras escribía esto contestó Ignacio...


Título: Re: Restos potenciales
Publicado por: Ignacio Larrosa en 14/11/2017, 06:48:56 am
Hola! Mi problema es que quiero demostrar una proposición que se enuncia en el volumen 1 de Análisis Matemático de Rey Pastor.

"Si a y m son primos entre sí, entonces los restos potenciales de a módulo m, forman una secuencia periódica a partir de cierto número."

Subrayo esto último ya que si a y m fueran primos entre sí, la secuencia de restos potenciales sería periódica desde su primer elemento [texx]a^0 \equiv{1}[/texx] (mód m) (he leído y entendido la demostración de esto).

Saludos!

Si [texx]a\textrm{ y }m[/texx] son primos entre sí, por el Teorema de Euler-Fermat [texx]a^{\varphi(m)} \equiv{}1\; (mod\; m)[/texx] y la sucesión es enteramente periódica.

¿No será "Si [texx]a\textrm{ y }m[/texx] no son primos entre sí, ..."?

Saludos,

Por completar, si [texx]mcd(a, m) > 1[/texx], la sucesión de restos potenciales no puede ser enteramente períodica, desde el inicio, puesto que

[texx]a^0 \equiv{} 1\; (mod\; m)[/texx]

[texx]a^k \neq{} 1\; (mod\; m), \forall{}k > 0[/texx]

Saludos,



Título: Re: Restos potenciales
Publicado por: jcur en 14/11/2017, 10:12:52 am
Gracias Ignacio Larrosa y Luis Fuentes. Ambas respuestas me han sido provechosas.

Saludos.