Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: GMat en 10/11/2017, 12:25:18 am



Título: Un ejemplo de convergencia de funciones simples
Publicado por: GMat en 10/11/2017, 12:25:18 am
Saludos

En la definición de la integral de Lesbesgue se dice que una función [texx]f:E\rightarrow\mathbb{R}[/texx] es L-integrable si existe una sucesión de funciones simples integrables [texx]\phi_n[/texx] tales que [texx]\phi_n\overset{u}{\longrightarrow}f[/texx] y en ese caso se tiene que  [texx]\int_Efdm=\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm[/texx]. Ahora si cambiamos en la definición el hecho de que [texx]\phi_n[/texx] converge uniformemente por otro tipo de convergencia el resultado no es favorable

Tengo unos ejemplos donde si la sucesión [texx]\phi_n[/texx] converge en medida o en casi todo punto no se cumple que [texx]\int_Efdm=\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm[/texx]. Ahora lo que me gustaría tener es un ejemplo donde la convergencia sea puntual.
En particular me gustaria un ejemplo que muestre que [texx]\phi_n\overset{p}{\longrightarrow}[/texx] entonces [texx]\int_E\phi_n\nrightarrow0[/texx]

Gracias de antemano


Título: Re: Un ejemplo de convergencia de funciones simples
Publicado por: Luis Fuentes en 10/11/2017, 07:06:24 am
Hola

 Toma por ejemplo [texx]\phi_n=n\cdot \mathbf{1}_{(1/n,2/n)}[/texx], donde [texx]\mathbf{1}_{(1/n,2/n)}[/texx] es la función indicatriz en el intervalo [texx](1/n,2/n)[/texx] es decir:

[texx] \mathbf{1}_{(1/n,2/n)}(x)=\begin{cases} 1 & \text{si}&x\in (1/n,2/n)\\0 & \text{si}& x\not\in (1/n,2/n)\end{cases}[/texx]

Saludos.


Título: Re: Un ejemplo de convergencia de funciones simples
Publicado por: GMat en 10/11/2017, 12:44:47 pm
Hola

Gracias por ese ejemplo. Siguiendo con el analisis de la definicion de la integral de Lebesgue vi que si la sucesion de funciones simples [texx]\phi_n[/texx] converge uniformente a una funcion [texx]f[/texx] se define la integral de Lebesgue como [texx]\int_Efdm=\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm[/texx] pero por lo que veo [texx]\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm[/texx] tiene que converger, pero ¿esto ocurre siempre?

Se me ocurrió la siguiente pregunta, si tengo una sucesión de funciones simples [texx]\phi_n[/texx] tales que [texx]\phi_n\overset{u}{\longrightarrow}f[/texx] es posible que [texx]\int\phi_ndm\nrightarrow f[/texx], esto es posible si bajo las hipotesis anteriores [texx]\int_E\phi_ndm=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/texx], ¿tales [texx]\phi_n[/texx] existen?

A mi parecer si pero no se me ocurre ningún ejemplo de esto

Saludos