Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: juanc en 02/11/2017, 09:09:31 am



Título: Convergencia en probabilidad
Publicado por: juanc en 02/11/2017, 09:09:31 am
Sean [texx]X,X_1,X_2,...Y,Y_1,Y_2,...:\Omega\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] variables aleatorias tales que
[texx]X_n\rightarrow{X}  [/texx] converge en probabilidad y  [texx]Y_n\rightarrow{Y} [/texx] converge en probabilidad
Si [texx]f:\mathbb{R}^2\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] continua
pruebe que [texx]f(X_n,Y_n)\rightarrow{f(X,Y)}[/texx] converge en probabilidad

estoy haciendo la prueba de la siguiente forma :

  Sea una subsucesión de [texx]f(X_n,Y_n)[/texx]  por demostrar que existe una subsucesión de la subsucesión de  [texx]\left\{{f(X_n,Y_n)}\right\}[/texx]
 de tal manera que converga a [texx](X,Y)[/texx] casi seguramente

mi duda es  si toda subsucesión de  [texx]\left\{{f(X_n,Y_n)}\right\}[/texx] se puede escribir [texx]  \left\{{f (X_{n_k},Y_{n_k}) }\right\}[/texx]
donde [texx](X_{n_k})\subseteq{(X_n)}[/texx]   [texx](Y_{n_k})\subseteq{(Y_n)}[/texx]


Título: Re: Convergencia en probabilidad
Publicado por: Luis Fuentes en 02/11/2017, 09:34:17 am
Hola

 Sin entrar en lo demás:

mi duda es  si toda subsucesión de  [texx]\left\{{f(X_n,Y_n)}\right\}[/texx] se puede escribir [texx]  \left\{{f (X_{n_k},Y_{n_k}) }\right\}[/texx]
donde [texx](X_{n_k})\subseteq{(X_n)}[/texx]   [texx](Y_{n_k})\subseteq{(Y_n)}[/texx]

¡Claro que si!.

Saludos.


Título: Re: Convergencia en probabilidad
Publicado por: juanc en 02/11/2017, 09:52:45 am
gracias por la ayuda, lo que no me queda claro es porque necesariamente toda subsucesión es de esa forma


Título: Re: Convergencia en probabilidad
Publicado por: Luis Fuentes en 03/11/2017, 05:51:07 am
Hola

gracias por la ayuda, lo que no me queda claro es porque necesariamente toda subsucesión es de esa forma

Tengo serias dudas de si has planteado bien la pregunta o de si yo la he entendido bien. Me parece muy obvia la cuestión como para que no la veas clara.

Si tienes una sucesión:

[texx]f(X_1,Y_1),f(X_2,Y_2),f(X_3,Y_3),\ldots[/texx]

pues una subsucesión es quedarse con algunos de esos índices:


[texx]f(X_5,Y_5),f(X_7,Y_7),f(X_8,Y_8),\ldots[/texx]

Formalmente dada [texx]\{f(X_n,y_n)\}[/texx] definimos una aplicación inyectiva creciente: [texx]n:\mathbb{N}\to \mathbb{N}[/texx] y obtenemos la subsucesión [texx]\{f(X_{n(k)},Y_{n(k)}\}[/texx].

Saludos.