Foros de matemática

Matemática => Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) => Mensaje iniciado por: dario_oasis en 12/08/2017, 12:44:02 pm



Título: Demostración con vectores y normas
Publicado por: dario_oasis en 12/08/2017, 12:44:02 pm
¿Cómo hago para resolver esto?

[texx]x.y=\displaystyle\frac{1}{4} \left\|{x+y}\right\|^2-\displaystyle\frac{1}{4} \left\|{x-y}\right\|^2[/texx]


Título: Re: Demostración con vectores y normas
Publicado por: alexpglez en 12/08/2017, 03:29:40 pm
Hola, dado un producto escalar, la norma se define:
[texx] ||x||^2=x\cdot x [/texx]

Con eso, sería fácil calcular la norma al cuadrado de una suma y una resta, y a partir de ahí es simplemente sustituir y comprobar que da eso.


Título: Re: Demostración con vectores y normas
Publicado por: dario_oasis en 12/08/2017, 04:10:14 pm
Perdón amigo pero no me da, por más que reemplaze.


Título: Re: Demostración con vectores y normas
Publicado por: mathtruco en 12/08/2017, 04:45:56 pm
Hola dario_oasis.

La igualdad que escribes tiene relación con la Ley del Paralelógramo (https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_del_paralelogramo) y hay más de una forma de escribirla. Revisa wikipedia para que veas de qué otra forma puede escribirse.

Para probarla, la indicación de alexpglez está perfecta, es cosa de escribir las dos normas en tu igualdad usando esa idea y hacer las cuentas.

Revisa este hilo:
El producto interno cumple la ley del paralelogramo (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=33508). En tu caso [texx]\langle x,y\rangle=x\cdot y[/texx].

Reescribe esa demostración con el cambio de notación que te acabo de indicar. Una vez entendido replícalo para tu problema, verás que se resuelve muy parecido.


Título: Re: Demostración con vectores y normas
Publicado por: Ignacio Larrosa en 13/08/2017, 08:02:11 am
Perdón amigo pero no me da, por más que reemplaze.

¿Pero donde está el problema? Reemplaza como te sugiere alexpglez

[texx]\displaystyle\frac{1}{4} \left\|{x+y}\right\|^2-\displaystyle\frac{1}{4} \left\|{x-y}\right\|^2=\displaystyle\frac{1}{4}\left((x+y)^2 - (x-y)^2\right) = \displaystyle\frac{1}{4}\left((x+y)(x + y) - (x-y)(x-y)\right) [/texx]

Y ahora aplica las propiedades distributiva y conmutativa del producto escalar para obtener justamente [texx]x\cdot{}y[/texx].

Saludos,


Título: Re: Demostración con vectores y normas
Publicado por: dario_oasis en 13/08/2017, 06:30:38 pm

[texx]xy=1/4((x+y)(x+y)-(x-y)(x-y))[/texx]
[texx]x.y=1/4(xx)+yy-xx+yy[/texx]

Yo hice esto, aplicando las propiedades del producto escalar, pero no sé cómo seguirlo


Título: Re: Demostración con vectores y normas
Publicado por: Masacroso en 13/08/2017, 06:40:21 pm
Para demostrar la igualdad sólo tienes que aplicar la definición norma inducida por un producto interior, es decir tenemos que un producto interior induce una norma de este modo

[texx]\langle x,x\rangle=:\|x\|^2[/texx]

Entonces, por ejemplo, tendríamos que

[texx]\|x-y\|^2=\langle x-y,x-y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle y,y\rangle-2\operatorname{Re}(\langle x,y\rangle)=\|x\|^2+\|y\|^2-2\operatorname{Re}(\langle x,y\rangle)[/texx]

donde [texx]\operatorname{Re}(a)[/texx] significa parte real de [texx]a[/texx]. Si el espacio donde está definido el producto interior es real entonces

[texx]\operatorname{Re}(\langle x,y\rangle)=\langle x,y\rangle[/texx]

Aplicando estas propiedades en tu igualdad puedes mostrar que ésta es, en efecto, cierta en espacios reales. Esta identidad es muy importante ya que permite, en espacios reales, definir un producto interior a partir de cualquier norma, es decir, inducir un producto interior dada una norma.


Título: Re: Demostración con vectores y normas
Publicado por: Ignacio Larrosa en 13/08/2017, 06:50:44 pm

[texx]xy=1/4((x+y)(x+y)-(x-y)(x-y))[/texx]
[texx]x.y=1/4(xx)+yy-xx+yy[/texx]

Yo hice esto, aplicando las propiedades del producto escalar, pero no sé cómo seguirlo

¿Pero que propiedades? Fíjate que son las mismas que para el producto suma de números reales.
¿De verdad piensas que [texx]\displaystyle\frac{1}{4}((x+y)(x+y)-(x-y)(x-y))=\displaystyle\frac{1}{4}(xx)+yy-xx+yy[/texx]?

Elimina los paréntesis correctamente, de una forma idéntica a como lo harías si [texx]x\textrm{ e }y[/texx] fuesen números reales en lugar de vectores.

Saludos,