Matemática => Triángulos => Mensaje iniciado por: Michel en 30/06/2017, 04:14:01 am



Título: Demostrar fórmula
Publicado por: Michel en 30/06/2017, 04:14:01 am
En el triángulo ABC, AM es una mediana.
Demostrar que [texx]AB^2+AC^2=2AM^2+2BM^2[/texx]



Título: Re: Demostrar fórmula
Publicado por: Michel en 25/07/2017, 04:32:45 am
Pista:

En los triángulos ABM y ACM, aplicar el teorema del coseno, sin coseno.

Retroceder a 12-7-2015 en TRIÁNGULOS, problema teorema del coseno, sin coseno (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=83331.0).

Se trata de evitar trigonometría.


Título: Re: Demostrar fórmula
Publicado por: Michel en 13/09/2017, 06:25:25 am
Sea H el pie de la altura desde A.


En el triángulo ABM: [texx]AB^2=AM^2+BM^2-2BM.HM[/texx]

En el triángulo ACM: [texx]Ac^2=AM^2+CM^2-2CM.HM[/texx]

Sumando y teniendo en cuenta que BM=CM: [texx]AB^2+AC^2=2AM^2+1BM^2[/texx]

Esta expresión permite hallar las medianas de un triángulo cuando se conocen los lados.

Saludos.


Título: Re: Demostrar fórmula
Publicado por: Ignacio Larrosa en 13/09/2017, 07:03:45 am
De forma similar, sustituyendo el producto de la ceviana por el coseno del ángulo por la proyección de la ceviana sobre el lado, puede demostrarse el Teorema de Stewart (http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teorema_Stewart.html), generalización para cualquier ceviana de este teorema de la mediana:

[texx]d^2=\displaystyle\frac{n\cdot{}a^2 + m\cdot{}b^2 - c\cdot{}m\cdot{}n}{c}[/texx]

Donde [texx]m\textrm{ y }n[/texx] son los segmentos en que la ceviana [texx]CD[/texx] de longitud [texx]d[/texx] divide al lado [texx]c[/texx].

Saludos,


Título: Re: Demostrar fórmula
Publicado por: Michel en 13/09/2017, 12:34:43 pm
De acuerdo ilarrosa.

Sinceramente creo que, si hubieras "aparecido" antes, la marcha y el fruto de este subforo hubieran sido difereentes, por supuesto, mejores.

Saludos.