En el triángulo ABC, AM es una mediana.
Demostrar que [texx]AB^2+AC^2=2AM^2+2BM^2[/texx]

Pista:

En los triángulos ABM y ACM, aplicar el teorema del coseno, sin coseno.

Retroceder a 12-7-2015 en TRIÁNGULOS, problema teorema del coseno, sin coseno (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=83331.0).

Se trata de evitar trigonometría.

Sea H el pie de la altura desde A.


En el triángulo ABM: [texx]AB^2=AM^2+BM^2-2BM.HM[/texx]

En el triángulo ACM: [texx]Ac^2=AM^2+CM^2-2CM.HM[/texx]

Sumando y teniendo en cuenta que BM=CM: [texx]AB^2+AC^2=2AM^2+1BM^2[/texx]

Esta expresión permite hallar las medianas de un triángulo cuando se conocen los lados.

Saludos.

De forma similar, sustituyendo el producto de la ceviana por el coseno del ángulo por la proyección de la ceviana sobre el lado, puede demostrarse el Teorema de Stewart (http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teorema_Stewart.html), generalización para cualquier ceviana de este teorema de la mediana:

[texx]d^2=\displaystyle\frac{n\cdot{}a^2 + m\cdot{}b^2 - c\cdot{}m\cdot{}n}{c}[/texx]

Donde [texx]m\textrm{ y }n[/texx] son los segmentos en que la ceviana [texx]CD[/texx] de longitud [texx]d[/texx] divide al lado [texx]c[/texx].

Saludos,

De acuerdo ilarrosa.

Sinceramente creo que, si hubieras "aparecido" antes, la marcha y el fruto de este subforo hubieran sido difereentes, por supuesto, mejores.

Saludos.