Matemática => Probabilidad => Mensaje iniciado por: irenesevillana en 25/05/2017, 06:03:51 am



Título: Convergencia en distribución.
Publicado por: irenesevillana en 25/05/2017, 06:03:51 am
Hola, tengo este problema que no soy capaz de hacerlo. Me podéis ayudar por favor..
 Sea [texx] {X_n}[/texx] una sucesión de vv.aa. iid. con media  [texx]\mu[/texx] y varianza  [texx]  \sigma<\infty[/texx]. Prueba que

[texx]\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n{(xi-\mu)}}{\sqrt[ ]{\sum_{i=1}^n{(xi-\mu)^2}}} \xrightarrow{\;\; d{} \;\; }Z[/texx]  Con Z ~ N(0, 1).

Nota :Utiliza el teorema central del límite, la ley fuerte de los grandes números y el teorema
de Slutsky.

Un saludo


Título: Re: Convergencia en distribución.
Publicado por: Ian Bounos en 25/05/2017, 08:44:19 am
Hola


Observación 1:

[texx] (\sqrt[ 2]{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i - \mu)^2}/\sqrt{n}}) \xrightarrow{\;\; p{} \;\;} \sigma

[/texx]

Se demuestra usando la ley fuerte de los gdes números.


Observación 2:

[texx] \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i - \mu}}{n} = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i}}{n} - \mu = \bar{X_n} -  \mu
[/texx]

Además,
[texx] \displaystyle \frac{n\sum_{i=1}^n{(xi-\mu)}}{n\sqrt[ ]{\sum_{i=1}^n{(xi-\mu)^2}}}= \displaystyle\frac{\bar{X_n}-\mu}{(\sqrt[ ]{\sum_{i=1}^n{(xi-\mu)^2}/\sqrt{n}})/\sqrt{n}}[/texx]

Y sabes, por teorema central del límite que: [texx]\displaystyle\frac{ \bar{X_n} -  \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{\;\; d{} \;\;} Z [/texx]

Usá Slutzky (la parte de división) para concluir.


 


Título: Re: Convergencia en distribución.
Publicado por: irenesevillana en 25/05/2017, 01:46:33 pm
Buenas tardes Ian Bounos,
Muchísimas gracias por tu ayuda y explicación
Hay dos cosas que no me han quedado claras si me los puedes aclarar te lo agradecería
la primera observación para que la hemos la utilizado ,puesto que el problema verifica las hipótesis del teorema de linderberg-levy pues es de media [texx]\mu[/texx] y varianza  [texx]  \sigma<\infty[/texx]
lo único que nos queda es demostrar que

[texx]\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n{(xi-\mu)}}{\sqrt[ ]{\sum_{i=1}^n{(xi-\mu)^2}}}[/texx]  =[texx](\bar{X_n} -n*\mu)/(\sqrt[ ]{\sigma^2/n}[/texx]
y así pues por el teorema converge en distribución a Z
 Y segunda el lema de Slutsky también porque interviene en la demostración
espero tu repuesta.
un saludo


Título: Re: Convergencia en distribución.
Publicado por: Ian Bounos en 25/05/2017, 03:28:11 pm

la primera observación para que la hemos la utilizado ,puesto que el problema verifica las hipótesis del teorema de linderberg-levy pues es de media [texx]\mu[/texx] y varianza  [texx]  \sigma<\infty[/texx]
lo único que nos queda es demostrar que

[texx]\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n{(xi-\mu)}}{\sqrt[ ]{\sum_{i=1}^n{(xi-\mu)^2}}}[/texx]  =[texx](\bar{X_n} -n*\mu)/(\sqrt[ ]{\sigma^2/n}[/texx]
y así pues por el teorema converge en distribución a Z
 

Lo que planteás estaría bien si se pudiera demostrar esa igualdad, pero, lamentablemente, la igualdad no vale. Por eso mismo necesitamos hacer uso de los otros teoremas.

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Ahora voy a intentar explicar dónde usar el teorema de Slutsky:

Como [texx]\displaystyle\frac{ \bar{X_n} -  \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{\;\; d{} \;\;} Z [/texx], tenemos que [texx]\displaystyle\frac{ \bar{X_n} -  \mu}{1/\sqrt{n}} \xrightarrow{\;\; d{} \;\;} \sigma Z [/texx].

Habíamos dicho, además, que
Observación 1:

[texx] (\sqrt[ 2]{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i - \mu)^2}/\sqrt{n}}) \xrightarrow{\;\; p{} \;\;} \sigma

[/texx]
 

El teorema de Slutsky nos asegura que [texx]\displaystyle\frac{ \bar{X_n} -  \mu}{1/\sqrt{n}}  [/texx] dividido por

[texx] (\sqrt[ 2]{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i - \mu)^2}/\sqrt{n}})

[/texx] (que converge en probabilidad a [texx]\sigma[/texx], que es una constante), converge al cociente de los límites.
Por lo tanto,
[texx]\displaystyle\frac{ \bar{X_n} -  \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{\;\; d{} \;\;} \sigma Z/ \sigma = Z [/texx]

Espero que haya quedado clara la importancia de utilizar los teoremas.

PD: Además, supongo que por error de tipeo, Falta la hipótesis de que la varianza sea positiva.





Título: Re: Convergencia en distribución.
Publicado por: irenesevillana en 25/05/2017, 03:49:08 pm
Vale!! ya decía yo que es imposible que sea una aplicación directa del teorema..
Si si ahora me ha quedado clarísimo  el por qué aplicar el lema y la observación
Muchísimas gracias Ian Bounos por tu ayuda y tu tiempo te lo agradezco.
Un saludo