Matemática => Teoría de números => Mensaje iniciado por: Proyecto_dos en 24/05/2017, 04:12:09 am



Título: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 24/05/2017, 04:12:09 am
Hola,

Supongamos:  [texx]x^4+y^4=k[/texx]  ([texx]x,y[/texx]  enteros ý  [texx](x,y)=1[/texx])

Yo puedo decir que:  [texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=k[/texx]

Mi duda es la siguiente: Entiendo que no sé si  [texx](x^2+y^2i)[/texx]  ó  [texx](x^2-y^2i)[/texx]  son primos gaussianos sin despejar  [texx]x,y[/texx] ;  ¿pero podría determinar si son primos relativos entre sí (coprimos)? Y si es así y sobre todo: ¿Por qué? ¿Cómo lo sé esto?

Gracias de antemano,


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Luis Fuentes en 24/05/2017, 06:03:11 am
Hola

Hola,

Supongamos:  [texx]x^4+y^4=k[/texx]  ([texx]x,y[/texx]  enteros ý  [texx](x,y)=1[/texx])

Yo puedo decir que:  [texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=k[/texx]

Mi duda es la siguiente: Entiendo que no sé si  [texx](x^2+y^2i)[/texx]  ó  [texx](x^2-y^2i)[/texx]  son primos gaussianos sin despejar  [texx]x,y[/texx] ;  ¿pero podría determinar si son primos relativos entre sí (coprimos)? Y si es así y sobre todo: ¿Por qué? ¿Cómo lo sé esto?

Gracias de antemano,


No tienen porque ser primos relativos; basta que tomes [texx]x,y[/texx] coprimos en los enteros pero no en los enteros de Gauss. Por ejemplo: [texx]x=5[/texx] e [texx]y=13[/texx].

Esto está mal, como más adelante apunta Carlos Ivorra. Efectivamente tex]5[/tex] y [texx]13[/texx] no tienen factores comunes en los enteros de Gauss.

Saludos.

CORREGIDO


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 24/05/2017, 07:08:27 am
Hola el_manco, gracias, pero me refería a otra cosa (creo)

Lo planteo de otra manera. Si yo tengo por ejemplo:  [texx]w^2-1=l[/texx]  ("w" entero par);  entonces:  [texx](w+1)(w-1)=l[/texx] y yo puedo saber que estos factores son coprimos:

[texx]w+1=u[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]w-1=v[/texx]

Luego: . . [texx]u-v=2[/texx] . Como "u" y "v" son impares, entiendo que deben ser coprimos y por lo tanto también " [texx]w+1[/texx] "  y " [texx]w-1[/texx] "

Pero si yo tengo " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  y  "[texx]x^2-y^2i[/texx] "; ¿hay alguna manera de saber operando si pueden ser coprimos o no? No sé bien cómo operar (elementalmente) en los enteros gaussianos

Un saludo,


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Luis Fuentes en 24/05/2017, 07:13:43 am
Hola

Hola el_manco, gracias, pero me refería a otra cosa (creo)

Lo planteo de otra manera. Si yo tengo por ejemplo:  [texx]w^2-1=l[/texx]  ("w" entero par);  entonces:  [texx](w+1)(w-1)=l[/texx] y yo puedo saber que estos factores son coprimos:

[texx]w+1=u[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]w-1=v[/texx]

Luego: . . [texx]u-v=2[/texx] . Como "u" y "v" son impares, entiendo que deben ser coprimos y por lo tanto también " [texx]w+1[/texx] "  y " [texx]w-1[/texx] "

Pero si yo tengo " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  y  "[texx]x^2-y^2i[/texx] "; ¿hay alguna manera de saber operando si pueden ser coprimos o no? No sé bien cómo operar (elementalmente) en los enteros gaussianos

Puedes hacer un razonamiento análogo.

Si [texx]z[/texx] es un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y [texx]x^2-y^2i[/texx] entonces es un factor común a su suma y a su diferencia, es decir, a:

[texx]2x^2[/texx] y a [texx]2y^2[/texx]

y a partir de ahí continuar argumentando. Tienes que recordar simplemente que los factores con enteros de Gauss no son los mismos que con enteros simplemente. Por ejemplo [texx]2[/texx] no es primo: [texx]2=(1-i)(1+i)[/texx].

Saludos.


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Carlos Ivorra en 24/05/2017, 07:56:22 am
Voy con prisas y he leído el hilo muy por encima. Ya lo leeré con más calma, pero esto no es cierto:

No tienen porque ser primos relativos; basta que tomes [texx]x,y[/texx] coprimos en los enteros pero no en los enteros de Gauss. Por ejemplo: [texx]x=5[/texx] e [texx]y=13[/texx].

Si dos enteros son coprimos como enteros, también son coprimos como enteros de Gauss, y lo que pones no es un contraejemplo. Si hace falta, lo aclaro más en cuanto pueda.


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Luis Fuentes en 24/05/2017, 08:42:35 am
Hola

Voy con prisas y he leído el hilo muy por encima. Ya lo leeré con más calma, pero esto no es cierto:

No tienen porque ser primos relativos; basta que tomes [texx]x,y[/texx] coprimos en los enteros pero no en los enteros de Gauss. Por ejemplo: [texx]x=5[/texx] e [texx]y=13[/texx].

Si dos enteros son coprimos como enteros, también son coprimos como enteros de Gauss, y lo que pones no es un contraejemplo.

Si tienes razón. Si [texx]z[/texx] es un factor no entero puro común a [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] enteros puros, entonces su conjugado [texx]\bar z[/texx] también lo es y [texx]z\bar z[/texx] sería un factor común a [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx].

Entonces continuando a partir de aquí:

Puedes hacer un razonamiento análogo.

Si [texx]z[/texx] es un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y [texx]x^2-y^2i[/texx] entonces es un factor común a su suma y a su diferencia, es decir, a:

[texx]2x^2[/texx] y a [texx]2y^2[/texx]

y a partir de ahí continuar argumentando. Tienes que recordar simplemente que los factores con enteros de Gauss no son los mismos que con enteros simplemente. Por ejemplo [texx]2[/texx] no es primo: [texx]2=(1-i)(1+i)[/texx].

 Si [texx]x,y[/texx] son coprimos como enteros, los únicos posibles factores primos comunes a  [texx]x^2+y^2i[/texx] y [texx]x^2-y^2i[/texx], son [texx]1+i[/texx] y [texx]1-i[/texx].

Saludos.

P.D. Carlos Ivorra: como últimamente participas poco en el foro, cada vez que veo que has intervenido en un hilo donde previamente respondí, me viene a la cabeza: "metedura de pata habemus...". Gracias por estar atento.  ;)


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 24/05/2017, 10:32:59 am
Hola,

Puedes hacer un razonamiento análogo.

Si [texx]z[/texx] es un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y [texx]x^2-y^2i[/texx] entonces es un factor común a su suma y a su diferencia, es decir, a:

[texx]2x^2[/texx] y a [texx]2y^2[/texx]

y a partir de ahí continuar argumentando. Tienes que recordar simplemente que los factores con enteros de Gauss no son los mismos que con enteros simplemente. Por ejemplo [texx]2[/texx] no es primo: [texx]2=(1-i)(1+i)[/texx].

Creo que la diferencia no es ésa, es:  [texx]2y^2i[/texx] ; y ahí es donde tengo el problema de interpretación.

Comento brevemente por qué me ha surgido esta duda. Yo en realidad estoy estudiando en mi tiempo libre sobre cómo meterle mano al caso n = 3 del UTF de alguna forma alternativa. Pero leyendo un libro sobre Fermat me encuentro que existió una llamada Conjetura de Euler ([texx]x^4+y^4+z^4\neq{w^4}[/texx]). La conjetura se resolvió (p.ejp  [texx]95800^4+217519^4+414560^4=422481^4[/texx]); o sea, que no hay tal. Pero me pareció interesante averiguar cómo verificarla en el caso de que una cuarta potencia fuera "1".

Tengo entonces que:  [texx]x^4+y^4=w^4-1[/texx] . Sin perder generalidad, tanto si considero á  [texx]x,w[/texx]  pares ó á  [texx]x,y,w[/texx]  impares; puesto que puedo entender siempre a un impar como:  [texx]2n-1[/texx] ,  y por lo tanto:  [texx](2n-1)^4[/texx] ; y teniendo en cuenta que los coeficientes del binomio a la cuarta serían de la forma:  [texx]+1,-4,+6,-4,+1[/texx] ;  las paridades no cumplen y por tanto la ecuación no tiene soluciones. Pero ya no me bastan este tipo de razonamientos; no si me tengo que enfrentar al UTF dónde yo sé que esto no tiene efecto (Pues  [texx]x^p+y^p=z^p\,\Rightarrow\,{x+y-z\equiv{0}\,\,(mód\,p)}[/texx] :  ¿cómo diantres voy a poder partiendo de ahí llegar a una contradicción del tipo: par = impar??). Entonces pensé lo siguiente. Como yo sé que la ecuación es errónea, debo poder encontrar otro tipo de argumentación (muchos otros tipos, en realidad) que me den el mismo diagnóstico. Y me planteé lo siguiente:

Si:  [texx]x^4+y^4=w^4-1[/texx]  ([texx]x\wedge y[/texx]  coprimos;  [texx]x\wedge w[/texx]  pares)

[texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=(w\color{red}^2\color{black}+1)(w\color{red}^2\color{black}-1)[/texx]

Suponiendo que ambos factores a cada lado de la igualdad sean coprimos, " [texx]w\color{red}^2\color{black}+1[/texx] " dividirá a parte de " [texx]x^2+y^2i[/texx] " y a parte de " [texx]x^2-y^2i[/texx] "; y lo mismo ocurrirá con " [texx]w\color{red}^2\color{black}-1[/texx] ". De esta manera entiendo que no pierdo generalidad si establezco que:

[texx]x^2+y^2i=\alpha\cdot{\beta}[/texx]

[texx]x^2-y^2i=\gamma\cdot{\delta}[/texx]

[texx]w\color{red}^2\color{black}+1=\alpha\cdot{\gamma}[/texx]

[texx]w\color{red}^2\color{black}-1=\beta\cdot{\delta}[/texx]

, para:  [texx]\alpha,\beta,\gamma,\delta[/texx]  coprimos.

Pero  [texx]w^2+1+w^2-1=2w^2[/texx] .  O sea:  [texx]\alpha\gamma+\beta\delta=2w^2[/texx]

Y además:  [texx]w^2+1-(w^2-1)=2[/texx] .  O sea:  [texx]\alpha\gamma-\beta\delta=2[/texx]

Y no podría ser porque " [texx]\alpha\gamma+\beta\delta[/texx] "   [texx]\wedge[/texx]   " [texx]\alpha\gamma-\beta\delta[/texx] "  deberían ser coprimos.

(Bueno, si no me he equivocado..  He querido sobre todo expresar la intención de todo esto)

Corregido

PD. Carlos Ivorra. Ya que estoy de confesiones lo digo todo. La primera introducción a los enteros gaussianos la tuve al leerte. Venías a decir: ¿no es absurdo tener "menos" 2 monedas de oro? También son paradójicos los números negativos y ahí están; así con los imaginarios.. Y eso queda; enterrado bajo toneladas de prejuicios, pero queda. Lo que me ha hecho bucear de nuevo hasta ahí es lo siguiente: Si  [texx]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/texx] ,  ¿por qué diablos no voy a poder factorizar:  [texx]a^2+b^2[/texx] ?? No lo entiendo; pienso ahora que es una limitación que no debe ni puede tenerse. Lo que pasa es que me encuentro muy verde a la hora de manipular los gaussianos; no sé todavía hasta dónde puedo y no puedo


Un cordial saludo a todos,


LA PRUEBA NO ES CORRECTA. Ver Respuesta 25


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Luis Fuentes en 24/05/2017, 12:28:52 pm
Hola

Puedes hacer un razonamiento análogo.

Si [texx]z[/texx] es un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y [texx]x^2-y^2i[/texx] entonces es un factor común a su suma y a su diferencia, es decir, a:

[texx]2x^2[/texx] y a [texx]2y^2[/texx]

y a partir de ahí continuar argumentando. Tienes que recordar simplemente que los factores con enteros de Gauss no son los mismos que con enteros simplemente. Por ejemplo [texx]2[/texx] no es primo: [texx]2=(1-i)(1+i)[/texx].

Creo que la diferencia no es ésa, es:  [texx]2y^2i[/texx] ; y ahí es donde tengo el problema de interpretación.

No estoy seguro de lo que quieres decir. Si tu problema es la [texx]i[/texx] compleja, es "lo mismo" factorizar [texx]2y^2[/texx] que [texx]2y^2i[/texx], es decir, puedes olvidarte de esa i, en la misma medida que en los enteros usuales es "lo mismo" factorizar [texx]2y^2[/texx] que [texx]-2y^2[/texx].

Es decir el multiplicar un número por una unidad (un elemento inversible) no modifica su factorización en primos.

Cita
Comento brevemente por qué me ha surgido esta duda. Yo en realidad estoy estudiando en mi tiempo libre sobre cómo meterle mano al caso n = 3 del UTF de alguna forma alternativa. Pero leyendo un libro sobre Fermat me encuentro que existió una llamada Conjetura de Euler ([texx]x^4+y^4+z^4\neq{w^4}[/texx]). La conjetura se resolvió (p.ejp  [texx]95800^4+217519^4+414560^4=422481^4[/texx]); o sea, que no hay tal. Pero me pareció interesante averiguar cómo verificarla en el caso de que una cuarta potencia fuera "1".

Tengo entonces que:  [texx]x^4+y^4=w^4-1[/texx] . Sin perder generalidad, tanto si considero á  [texx]x,w[/texx]  pares ó á  [texx]x,y,w[/texx]  impares; puesto que puedo entender siempre a un impar como:  [texx]2n-1[/texx] ,  y por lo tanto:  [texx](2n-1)^4[/texx] ; y teniendo en cuenta que los coeficientes del binomio a la cuarta serían de la forma:  [texx]+1,-4,+6,-4,+1[/texx] ;  las paridades no cumplen y por tanto la ecuación no tiene soluciones. Pero ya no me bastan este tipo de razonamientos; no si me tengo que enfrentar al UTF dónde yo sé que esto no tiene efecto (Pues  [texx]x^p+y^p=z^p\,\Rightarrow\,{x+y-z\equiv{0}\,\,(mód\,p)}[/texx] :  ¿cómo diantres voy a poder partiendo de ahí llegar a una contradicción del tipo: par = impar??). Entonces pensé lo siguiente. Como yo sé que la ecuación es errónea, debo poder encontrar otro tipo de argumentación (muchos otros tipos, en realidad) que me den el mismo diagnóstico. Y me planteé lo siguiente:

Si:  [texx]x^4+y^4=w^4-1[/texx]  ([texx]x\wedge y[/texx]  coprimos;  [texx]x\wedge w[/texx]  pares)

[texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=(w+1)(w-1)[/texx]

Suponiendo que ambos factores a cada lado de la igualdad sean coprimos,


Pero el problema ahí es que como te dije [texx]1+i[/texx] puede ser un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y a [texx]x^2-y^2i[/texx].

Saludos.


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 24/05/2017, 02:36:55 pm
Hola, gracias por la información.

Me pasa con el caso de los enteros de Gauss que encuentro mucha información acerca de sus propiedades como anillo, factorización única, etc., etc. pero muy poco sobre su aplicación algebraica en casos concretos.

De todas maneras aún ando perdido.

Me dices que:

No estoy seguro de lo que quieres decir. Si tu problema es la [texx]i[/texx] compleja, es "lo mismo" factorizar [texx]2y^2[/texx] que [texx]2y^2i[/texx], es decir, puedes olvidarte de esa i, en la misma medida que en los enteros usuales es "lo mismo" factorizar [texx]2y^2[/texx] que [texx]-2y^2[/texx].

Es decir el multiplicar un número por una unidad (un elemento inversible) no modifica su factorización en primos.

Bien, si eso es así (te agradezco la información), entonces es claro que " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]x^2-y^2i[/texx] " son coprimos por serlo " x " e " y ". Pero a continuación dices:

Pero el problema ahí es que como te dije [texx]1+i[/texx] puede ser un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y a [texx]x^2-y^2i[/texx].

Si " [texx]1+i[/texx] " no es una unidad en [texx]\mathbb{Z(i)}[/texx] ;  entonces ¿cómo puede ser eso? Además no logro entender así a bote pronto cómo sabes que ése es un factor común. ¿Cómo lo has averiguado?

Gracias,

PD. veo Víctor Luis que has contestado antes. Lo que planteas es muy interesante pero creo que es demasiado general y merecería un hilo propio ¿no? El tema de los enteros de Gauss lo merece

PD. veo que también ha contestado el_manco


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Carlos Ivorra en 24/05/2017, 08:17:19 pm
P.D. Carlos Ivorra: como últimamente participas poco en el foro, cada vez que veo que has intervenido en un hilo donde previamente respondí, me viene a la cabeza: "metedura de pata habemus...". Gracias por estar atento.  ;)

Sí, estoy participando en el foro mucho menos de lo que me gustaría. Estoy bastante liado últimamente, aunque confío en que esto cambie drásticamente en un par de semanas. De hecho, todavía no he podido leerme este hilo con el detalle que quisiera.

PD. Carlos Ivorra. Ya que estoy de confesiones lo digo todo. La primera introducción a los enteros gaussianos la tuve al leerte. Venías a decir: ¿no es absurdo tener "menos" 2 monedas de oro? También son paradójicos los números negativos y ahí están; así con los imaginarios.. Y eso queda; enterrado bajo toneladas de prejuicios, pero queda. Lo que me ha hecho bucear de nuevo hasta ahí es lo siguiente: Si  [texx]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/texx] ,  ¿por qué diablos no voy a poder factorizar:  [texx]a^2+b^2[/texx] ?? No lo entiendo; pienso ahora que es una limitación que no debe ni puede tenerse. Lo que pasa es que me encuentro muy verde a la hora de manipular los gaussianos; no sé todavía hasta dónde puedo y no puedo

Pues no identifico yo a qué cosa dicha por mí haces referencia, pero tanto da.

Un ejemplo de aplicación a la aritmética de los enteros de Gauss la tienes en la página 401 de mi libro de álgebra:

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Algebra2.pdf

Aquí he encontrado una prueba del caso n = 4 de Fermat con enteros de Gauss. Sólo la he ojeado, pero parece bastante farragosa. No parece que aporte gran cosa frente a los métodos clásicos.

http://fermatslasttheorem.blogspot.com.es/2005/06/proof-for-n4-using-gaussian-integers.html


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Luis Fuentes en 25/05/2017, 05:45:10 am
Hola

No estoy seguro de lo que quieres decir. Si tu problema es la [texx]i[/texx] compleja, es "lo mismo" factorizar [texx]2y^2[/texx] que [texx]2y^2i[/texx], es decir, puedes olvidarte de esa i, en la misma medida que en los enteros usuales es "lo mismo" factorizar [texx]2y^2[/texx] que [texx]-2y^2[/texx].

Es decir el multiplicar un número por una unidad (un elemento inversible) no modifica su factorización en primos.

Bien, si eso es así (te agradezco la información), entonces es claro que " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]x^2-y^2i[/texx] " son coprimos por serlo " x " e " y ". Pero a continuación dices:

Es que esa conclusión no es cierta. Si vuelves a revisar mi argumento lo que se deduce de lo expuesto es que los únicos posibles factores comunes a [texx]x^2+y^2i[/texx] e [texx]x^2-y^2i[/texx], supuestos [texx]x,y[/texx] coprimos, son los factores comunes a [texx]2x^2[/texx] y [texx]2y^2[/texx]. Como [texx]x,y[/texx] son coprimos, la única posibilidad son factores del [texx]2[/texx]. Como:

[texx]2=-i(1+i)^2[/texx]

Por eso digo que:

Pero el problema ahí es que como te dije [texx]1+i[/texx] puede ser un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y a [texx]x^2-y^2i[/texx].

Saludos.

P.D. En la proposición 8.2.3 de estas notas tienes una descripción precisa de cuáles son los irreducibles (primos) en [texx]\mathbb{Z}[i ].[/texx]

http://www.departamento.us.es/da/planantiguo/notas-ant/algebra/t8.pdf



PD. veo Víctor Luis que has contestado antes. Lo que planteas es muy interesante pero creo que es demasiado general y merecería un hilo propio ¿no? El tema de los enteros de Gauss lo merece

He separado las preguntas de Víctor Luis a un nuevo hilo (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=95542.msg384892#msg384892) para mayor claridad.


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Carlos Ivorra en 25/05/2017, 08:29:51 am
Todavía no he leído todo lo que escribe Proyecto_dos, pero añado algo:

Si [texx]x, y[/texx] son ambos impares, entonces, no es ya que [texx]\rho= 1+i[/texx] pueda ser un divisor común a [texx]x^2+y^2i,  x^2-y^2i[/texx], sino que lo es necesariamente. Basta tomar congruencias módulo [texx]\rho[/texx]:

[texx]x^2+y^2 i\equiv x^2-y^2\equiv 0(\mbox{mód}\,\rho)[/texx],

donde he usado que [texx]i\equiv -1 (\mbox{mód}\,\rho)[/texx] y que [texx]\rho\mid 2\mid x^2-y^2[/texx].

Igualmente sucede con [texx]x^2-y^2 i[/texx].

He cambiado [texx]\pi[/texx] por [texx]\rho[/texx] por si a alguien piensa en 3.14


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 25/05/2017, 10:30:19 am
Hola,

No he podido escribir antes. Creo que contesto a todo el mundo centrandome en lo siguiente:

Analizo esto:  [texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=k[/texx] 

( Estoy entendiendo " x " par e " y " impar - Respuesta 6:
<< Si:  [texx]x^4+y^4=w^4−1[/texx]  ([texx]x\wedge y[/texx]  coprimos;  [texx]x\wedge w[/texx]  pares) >> )

Supongamos:  [texx]x^2+y^2i=u[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^2-y^2i=v[/texx] .  Operando:

[texx]2y^2i=u-v[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]2x^2=u+v[/texx]

 " ¿¿ Si  [texx]y^2[/texx]  es impar, lo es también:  [texx]y^2i[/texx] ?? "

(Estas son los tipos de cuestiones que me impiden avanzar con los enteros gaussianos)

Supongamos que sí. Como " u " y " v " son impares; ningún factor de  [texx]u,v[/texx]  divide a " 2 " y tampoco a " x " e " y " por ser ambos coprimos. Luego  [texx]u,v[/texx]  no tienen factores comunes salvo el 1  ý  " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  ý  " [texx]x^2-y^2i[/texx] "  son coprimos.

No entiendo entonces cómo  [texx]1+i[/texx] ,  que es factor de  [texx]2=(1+i)(1-i)[/texx]  puede ser factor común de  " [texx]x^2+y^2i[/texx] " ý " [texx]x^2-y^2i[/texx] ".

Si me estoy equivocando es en algo muy elemental, por lo que pido disculpas de antemano..

Un cordial saludo,


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Luis Fuentes en 25/05/2017, 11:05:27 am
Hola

 No estaba teniendo en cuenta que considerabas [texx]x[/texx] par e [texx]y[/texx] impar. En ese caso si es cierto que [texx]x^2+y^2i[/texx] e [texx]x^2-y^2i[/texx] son coprimos. Como te había comentado la única posibilidad es que su factor común fuese [texx]1+i.[/texx] Pero entonces [texx]2[/texx] sería factor de su producto, es decir, de [texx]x^2+y^2[/texx] que es impar lo cual es imposible.

 De todas formas algún matiz.

No he podido escribir antes. Creo que contesto a todo el mundo centrandome en lo siguiente:

Analizo esto:  [texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=k[/texx] 

( Estoy entendiendo " x " par e " y " impar - Respuesta 6:
<< Si:  [texx]x^4+y^4=w^4−1[/texx]  ([texx]x\wedge y[/texx]  coprimos;  [texx]x\wedge w[/texx]  pares) >> )

Supongamos:  [texx]x^2+y^2i=u[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^2-y^2i=v[/texx] .  Operando:

[texx]2y^2i=u-v[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]2x^2=u+v[/texx]

 " ¿¿ Si  [texx]y^2[/texx]  es impar, lo es también:  [texx]y^2i[/texx] ?? "

Si, si [texx]y^2[/texx] no es múltiplo de [texx]2[/texx] entonces [texx]y^2i[/texx] tampoco es múltiplo de [texx]2[/texx]. Vuelvo a repetir que [texx]i[/texx] es una unidad, por tanto mutiplicar por el no modifica sus factores.

Cita
Supongamos que sí. Como " u " y " v " son impares; ningún factor de  [texx]u,v[/texx]  divide a " 2 " y tampoco a " x " e " y " por ser ambos coprimos. Luego  [texx]u,v[/texx]  no tienen factores comunes salvo el 1  ý  " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  ý  " [texx]x^2-y^2i[/texx] "  son coprimos.

Aquí hay que tener un poco de cuidado. Lo de par e impar para enteros de Gauss puede ser confuso. ¿[texx]3+3i[/texx] es par o impar?. Si consideramos par como aquel que es divisible por [texx]2[/texx], entonces NO, no es par. Pero ojo porque si es divisible por [texx]1+i[/texx] que es factor de [texx]2[/texx].

Saludos.


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 25/05/2017, 11:53:09 am
Hola, muchas gracias

Si, si [texx]y^2[/texx] no es múltiplo de [texx]2[/texx] entonces [texx]y^2i[/texx] tampoco es múltiplo de [texx]2[/texx]. Vuelvo a repetir que [texx]i[/texx] es una unidad, por tanto mutiplicar por el no modifica sus factores.

Cita
Supongamos que sí. Como " u " y " v " son impares; ningún factor de  [texx]u,v[/texx]  divide a " 2 " y tampoco a " x " e " y " por ser ambos coprimos. Luego  [texx]u,v[/texx]  no tienen factores comunes salvo el 1  ý  " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  ý  " [texx]x^2-y^2i[/texx] "  son coprimos.

Aquí hay que tener un poco de cuidado. Lo de par e impar para enteros de Gauss puede ser confuso. ¿[texx]3+3i[/texx] es par o impar?. Si consideramos par como aquel que es divisible por [texx]2[/texx], entonces NO, no es par. Pero ojo porque si es divisible por [texx]1+i[/texx] que es factor de [texx]2[/texx].

Ok, iré con cuidado. Me ha sido muy útil este hilo. He aprendido mucho y sobre todo lo mejor, tengo una nueva herramienta que me permite factorizar sumas de cuadrados: ¡Fantástico!

Carlos, aquéllo que dijiste sobre los números imaginarios que como he comentado en otra respuesta mis neuronas no han podido destruir, se encuentra aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=82024.msg327751#msg327751

Bueno y ahora la pequeña moraleja de todo esto; para que no sea todo para mi beneficio y yo y yo. Con el argumento de la paridad yo puedo demostrar que:  [texx]x^4+y^4\neq{w^4-1}[/texx]  (x,y,w enteros). Pero con el argumento que he empleado en la Respuesta 6, que no es mucho más sofisticado y emplea los enteros de Gauss, puedo generalizar y decir que:

[texx]\pmb{x^{2n}+y^{2n}\neq{w^{2n}-1}}[/texx]

y llegar a la conclusión, por ejemplo, que nunca voy a poder encontrar unos valores para los que  [texx]x^2+y^2=w^2-1[/texx]  -con lo fácil que sería..-;  cuando sin embargo sí que es posible hallarlos en el caso de por ejemplo " [texx]x^3+y^3=w^3-1[/texx] " :

[texx]6^3+8^3=9^3-1[/texx]

Un cordial saludo,


ESTA PRUEBA NO ES CORRECTA. Ver Respuesta 25


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 28/05/2017, 02:08:39 pm
Hola,


¿Sería posible esta demostración del n = 4 del UTF que pongo a continuación?


[texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

[texx]x^4+y^4=Z^2[/texx] ,  para  [texx]Z=z^2[/texx]

[texx]x^4+y^4=(x^2+y^2i)(x^2-y^2i)[/texx]

Como “ [texx]x^4+y^4[/texx] “ es un cuadrado, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  “ [texx]x^2+y^2i[/texx] “ [texx]\wedge[/texx] “ [texx]x^2-y^2i[/texx] “

Luego:  [texx]x^2+y^2i=(u^2+v^2i)^2[/texx] ,  para u,v coprimos y de distinta paridad

Operando:

[texx]x^2+y^2i=u^4+v^4i^2+2u^2v^2i[/texx]

[texx]x^2+y^2i=u^4-v^4+2u^2v^2i[/texx]

Luego:  [texx]y^2=2u^2v^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=\sqrt[ ]{2}\,u\,v[/texx]

Lo que es evidentemente una contradicción


Saludos,


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Luis Fuentes en 29/05/2017, 04:53:20 am
Hola

Como “ [texx]x^4+y^4[/texx] “ es un cuadrado, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  “ [texx]x^2+y^2i[/texx] “ [texx]\wedge[/texx] “ [texx]x^2-y^2i[/texx] “

Luego:  [texx]x^2+y^2i=(u^2+v^2i)^2[/texx] ,  para u,v coprimos y de distinta paridad

Pero, ¿por qué escribes [texx]x^2+y^2i=(u^{\color{red}2\color{black}}+v^{\color{red}2\color{black}}i)^2[/texx] y no [texx]\color{blue}x^2+y^2i=(u+vi)^2\color{black}[/texx]?. A priori esto último (la igualdad en azul) es lo único que podemos afirmar del hecho de que [texx]x^2+y^2i[/texx] sea un cuadrado.

Saludos.


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Carlos Ivorra en 29/05/2017, 05:56:00 am
Como “ [texx]x^4+y^4[/texx] “ es un cuadrado, lo serán sus factores coprimos.

Ojo, esto no es cierto ni siquiera para enteros ordinarios. Por ejemplo, [texx](-4)(-9)=6^2[/texx] es un producto de dos enteros primos entre sí, pero ninguno de los factores es el cuadrado de un entero.

Con los enteros de Gauss pasa lo mismo. [texx](4i)(9i)= (6i)^2[/texx], pero ninguno de los factores es un cuadrado en los enteros de Gauss.

En tu contexto, sólo puedes concluir que [texx]x^2+y^2 i = \epsilon (u+vi)^2[/texx], donde [texx]\epsilon = \pm1,\pm i[/texx].


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 29/05/2017, 06:17:25 am
Hola,

Pero, ¿por qué escribes [texx]x^2+y^2i=(u^{\color{red}2\color{black}}+v^{\color{red}2\color{black}}i)^2[/texx] y no [texx]\color{blue}x^2+y^2i=(u+vi)^2\color{black}[/texx]?. A priori esto último (la igualdad en azul) es lo único que podemos afirmar del hecho de que [texx]x^2+y^2i[/texx] sea un cuadrado.

Como “ [texx]x^4+y^4[/texx] “ es un cuadrado, lo serán sus factores coprimos.

. . . [texx](4i)(9i)= (6i)^2[/texx], pero ninguno de los factores es un cuadrado en los enteros de Gauss.

En tu contexto, sólo puedes concluir que [texx]x^2+y^2 i = \epsilon (u+vi)^2[/texx], donde [texx]\epsilon = \pm1,\pm i[/texx].

Pues sí, creo que me he equivocado. Tengo que profundizar más en esto. Estoy aprendiendo, disculpas


Como “ [texx]x^4+y^4[/texx] “ es un cuadrado, lo serán sus factores coprimos.
Ojo, esto no es cierto ni siquiera para enteros ordinarios. Por ejemplo, [texx](-4)(-9)=6^2[/texx] es un producto de dos enteros primos entre sí, pero ninguno de los factores es el cuadrado de un entero..

Carlos no, ahí te has despistado. En los enteros ordinarios claro que se cumple:  [texx]-(2^2)(-(3^2))=6^2[/texx]

Un saludo y gracias a todos por las aclaraciones


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Carlos Ivorra en 29/05/2017, 06:29:19 am
Como “ [texx]x^4+y^4[/texx] “ es un cuadrado, lo serán sus factores coprimos.
Ojo, esto no es cierto ni siquiera para enteros ordinarios. Por ejemplo, [texx](-4)(-9)=6^2[/texx] es un producto de dos enteros primos entre sí, pero ninguno de los factores es el cuadrado de un entero..

Carlos no, ahí te has despistado. En los enteros ordinarios claro que se cumple:  [texx]-(2^2)(-(3^2))=6^2[/texx]

No, no me he despistado. Lo que afirmo es que si en los enteros tienes [texx]ab=c^2[/texx] con [texx]a, b[/texx] coprimos, no puedes concluir que [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] sean cuadrados, y como ejemplo te pongo el caso en que [texx]a=-4[/texx] y [texx]b=-9[/texx]. Son coprimos, su producto es un cuadrado, pero no son cuadrados.

La afirmación correcta es que si  [texx]ab=c^2[/texx] con [texx]a, b[/texx] coprimos, entonces [texx]a=\epsilon x^2[/texx], para cierto entero [texx]x[/texx] y [texx]\epsilon = \pm 1[/texx], y lo mismo vale en los enteros de Gauss si ahora admites que [texx]\epsilon = \pm 1, \pm  i[/texx].


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 29/05/2017, 06:57:50 am
Hola,

No, no me he despistado. Lo que afirmo es que si en los enteros tienes [texx]ab=c^2[/texx] con [texx]a, b[/texx] coprimos, no puedes concluir que [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] sean cuadrados, y como ejemplo te pongo el caso en que [texx]a=-4[/texx] y [texx]b=-9[/texx]. Son coprimos, su producto es un cuadrado, pero no son cuadrados.

La afirmación correcta es que si  [texx]ab=c^2[/texx] con [texx]a, b[/texx] coprimos, entonces [texx]a=\epsilon x^2[/texx], para cierto entero [texx]x[/texx] y [texx]\epsilon = \pm 1[/texx], y lo mismo vale en los enteros de Gauss si ahora admites que [texx]\epsilon = \pm 1, \pm  i[/texx].

Sí, me acuerdo de cuando seguí tu demostración del caso n = 5 del UTF que pusiste mediante enteros ciclotómicos. Teóricamente, en puridad, es lo que dices. Pero admíteme que en la práctica -en la práctica de las demostraciones- pueda actuarse como digo, pues el épsilon de los enteros no gaussianos: " [texx](\pm{1})[/texx] "  es un cuadrado. Luego si  [texx]a=\epsilon x^2[/texx] ; " a " es un cuadrado.

Carlos , no nos vayamos a pelear (dicho coloquialmente) por esta minucia cuando en lo principal -creo- estamos de acuerdo. Los verdaderos " enteros" son los Gaussianos y en todo lo que los docentes hagáis por extender las nociones de los " enterosG " a los simples " enteros " (cojos) yo voy a estar completamente de acuerdo. Así que no estoy caminando por una acera distinta de la tuya. Considéralo un par de segundos antes de responder

Un cordial saludo,


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Carlos Ivorra en 29/05/2017, 07:11:19 am
No es cuestión de pelear. Pero tengo que insistir en que esto:

Pero admíteme que en la práctica -en la práctica de las demostraciones- pueda actuarse como digo, pues el épsilon de los enteros no gaussianos: " [texx](\pm{1})[/texx] "  es un cuadrado. Luego si  [texx]a=\epsilon x^2[/texx] ; " a " es un cuadrado.

no es cierto. No es cierto que [texx]\epsilon = -1[/texx] sea un cuadrado en los enteros usuales, y por eso no es cerito que si [texx]a= -x^2[/texx] entonces [texx]a[/texx] sea un cuadrado.

Lo que pasa en la práctica es que, si ves un número como [texx]-9[/texx], puedes decir que "es un cuadrado" sin contar el menos, pero una demostración teórica puede arruinarse por el hecho de que afirmes que [texx]a=x^2[/texx], con [texx]x[/texx] entero, cuando pueda ocurrir que [texx]a=-9[/texx]. Es algo equiparable a que plantees una fracción sin contemplar la posibilidad de que el denominador sea cero, o algo así.


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 29/05/2017, 07:34:51 am
Hola,

Lo que pasa en la práctica es que, si ves un número como [texx]-9[/texx], puedes decir que "es un cuadrado" sin contar el menos, pero una demostración teórica puede arruinarse por el hecho de que afirmes que [texx]a=x^2[/texx], con [texx]x[/texx] entero, cuando pueda ocurrir que [texx]a=-9[/texx]. Es algo equiparable a que plantees una fracción sin contemplar la posibilidad de que el denominador sea cero, o algo así.

Ok, lo tendré en cuenta. Lo que sí veo claro es que utilizando los enterosG sí que puede arruinarse una demostración si no se tiene en cuenta  [texx]\epsilon[/texx]

Saludos,


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 29/05/2017, 10:45:52 am
Hola,


Pongo a continuación el inicio de una posible demostración del n = 4 del UTF utilizando " enterosG " (llamo así a los Enteros Gaussianos); no porque aporte algo, sino para explorar el "uso" de estos enteros en las demostraciones de ecuaciones diofánticas. En concreto en el uso de las unidades " [texx]\epsilon[/texx] " que conllevan; que son las que tienen más dificultades para mí. Será bienvenida cualquier sugerencia y/ó aclaración a este respecto. Disculpas si lo hago deprisa. Se trata de una especie de borrador para aprender a escribir, nada más. Ojo, este es un tema muy serio para mí que no quiere llevar aparejada ninguna segunda lectura (por si acaso)


[texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

[texx]x^4+y^4=(x^2+y^2i)(x^2-y^2i)[/texx]

Como “ [texx]\epsilon_1\cdot{x^4+y^4}[/texx] “ es una cuarta potencia (para  [texx]\epsilon_1=\pm 1)[/texx] , lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  “ [texx]x^2+y^2i[/texx] “ [texx]\wedge[/texx] “ [texx]x^2-y^2i[/texx] “

Luego:  [texx]x^2+y^2i=\epsilon_2(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v coprimos y de distinta paridad y  [texx]\epsilon_2=(\pm 1\vee\pm i)[/texx]

Operando:

[texx]x^2+y^2i=\epsilon_2(u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4)[/texx]

[texx]x^2+y^2i=\epsilon_2(u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i)[/texx]

Luego:  [texx]y^2=4u^3v-4uv^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2=4uv(u^2-v^2)[/texx]

Como " [texx]4uv[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]u^2-v^2[/texx] " son coprimos; entonces:  [texx]u=\epsilon_3u_1^2\wedge v=\epsilon_4v_1^2[/texx] ,  para unos determinados [texx] \epsilon_3\wedge \epsilon_4[/texx]  y además  [texx]\epsilon_3u_1^4-\epsilon_4v_1^4=\epsilon_5A^2[/texx] ,  para un determinado  [texx]\epsilon_5[/texx]  y " A " entero

De esta forma:  [texx]\epsilon_3u_1^4=\epsilon_5A^2+\epsilon_4v_1^4[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]u_1^4=A^2+v_1^4[/texx] ,  pues para  [texx]\epsilon_3,\epsilon_4,\epsilon_5[/texx]  no pierdo generalidad si establezco que son iguales ([texx]\pm 1[/texx])

Luego:  [texx]A^2+v_1^4=(A+v_1^2i)(A-v_1^2i)[/texx]

Como  [texx]A^2+v_1^4[/texx]  es una cuarta potencia de la forma  [texx]\epsilon_3u_1^4[/texx]  pues  [texx]\epsilon_3=\pm 1[/texx]

Entonces:  [texx]A+v_1^2i=\epsilon_6(s+ti)^4[/texx] ,  para s,t enteros coprimos y de distinta paridad y  [texx]\epsilon_6=(\pm 1\vee\pm i)[/texx]

Operando:

[texx]A+v_1^2i=\epsilon_6(s^4+4s^3ti+6s^2t^2i^2+4st^3i^3+s^4i^4)[/texx]

[texx]A^2+v_1^2i=\epsilon_6(s^4+t^4-6s^2t^2+(4s^3t-4st^3)i)[/texx]

Luego:  [texx]v_1^2=4s^3t-4st^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]v_1^2=4st(s^2-t^2)[/texx]

Como " [texx]4st[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]s^2-t^2[/texx] " son coprimos; entonces:  [texx]s=\epsilon_7s_1^2\wedge t=\epsilon_8t_1^2[/texx] ,  para unos determinados [texx] \epsilon_7\wedge \epsilon_8[/texx]  y por lo tanto  [texx]\epsilon_7s_1^4-\epsilon_8t_1^4=\epsilon_9B^2[/texx] ,  para un determinado  [texx]\epsilon_9[/texx]  y " B " entero

De esta forma tendré que:  [texx]s_1^4=B^2+t_1^4[/texx] ,  pues para  [texx]\epsilon_7,\epsilon_8,\epsilon_9[/texx]  no pierdo generalidad si establezco que son iguales ([texx]\pm 1[/texx])
 

Pudiendo repetir este proceso sin fin para enteros cada vez más pequeños

Editado


Saludos,


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 31/05/2017, 10:20:31 am
Hola,

Me he estado buscando la vida por ahí (internet), más en inglés que en castellano acerca del tema de las unidades ("invertibles" en Teoría de Anillos) y he llegado a la siguiente conclusión. Me queda claro que en los dominios de factorización única, es "única" la descomposición en factores primos salvo en el orden de éstos y las unidades.

Con respecto a las unidades en [texx]\mathbb{Z}[/texx] , que son  [texx]\pm{1}[/texx] . Entiendo que en los casos de exponente par del UTF no pierdo generalidad si trabajo en  [texx]\mathbb{Z^+}[/texx] ;  por lo que su "invertible" es 1, que puedo integrar en cualquier cuadrado perfecto como  [texx]1^2[/texx] .  Así que puedo prescindir de éstas.

Respecto de los enterosG, son unidades:  [texx]\pm{1},\pm{i}[/texx] .  En el caso de " -1 " ocurre como antes.  Respecto de " [texx]\pm{i}[/texx] " pasa que puesto que el producto de 2 unidades es también otra unidad, tampoco pierdo generalidad si trabajo con " [texx]i^2[/texx] "  y puesto que trabajo para valores positivos:  " [texx]-i^2[/texx] ". Y por lo tanto puede integrarse también en cualquier cuadrado enteroG por lo que puedo prescindir también de estas unidades.

Hecha estas salvedades; puedo decir entonces que:

Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

Entonces:

[texx]x^4+y^4=(x^2+y^2i)(x^2-y^2i)[/texx]

Como “ [texx]{x^4+y^4}[/texx] “ es una cuarta potencia, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  “ [texx]x^2+y^2i[/texx] “ [texx]\wedge[/texx] “ [texx]x^2-y^2i[/texx] “

Luego:  [texx]x^2+y^2i=(s+ti)^4[/texx] ,  para s,t coprimos y de distinta paridad

Operando:

[texx]x^2+y^2i=s^4+4s^3ti+6s^2t^2i^2+4st^3i^3+t^4i^4[/texx]

[texx]x^2+y^2i=s^4+t^4-6s^2t^2+(4s^3t-4st^3)i[/texx]

Luego:  [texx]y^2=4s^3t-4st^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2=4st(s^2-t^2)[/texx]

Como " [texx]4st[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]s^2-t^2[/texx] " son coprimos; entonces:  [texx]s=s_1^2\,\wedge\,t=t_1^2[/texx]  y además:  [texx]s_1^4-t_1^4=A^2[/texx] ,  para un determinado " A " entero

De esta forma:  [texx]s_1^4=A^2+t_1^4[/texx]

Luego:  [texx]A^2+t_1^4=(A+t_1^2i)(A-t_1^2i)[/texx]

Como  [texx]A^2+t_1^4[/texx]  es una cuarta potencia; entonces:  [texx]A+t_1^2i=(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v enteros coprimos y de distinta paridad

Operando:

[texx]A+t_1^2i=u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4[/texx]

[texx]A^2+t_1^2i=u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i[/texx]

Luego:  [texx]t_1^2=4u^3v-4uv^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]t_1^2=4uv(u^2-v^2)[/texx]

Como " [texx]4uv[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]u^2-v^2[/texx] " son coprimos; entonces:  [texx]u=u_1^2\,\wedge\,v=v_1^2[/texx]  y por lo tanto  [texx]u_1^4-v_1^4=B^2[/texx] ,  para un determinado " B " entero

De esta forma tendré:  [texx]u_1^4=B^2+v_1^4[/texx] ; pudiendo repetir este proceso sin fin con enteros cada vez más pequeños

(He cambiado el orden empleado en las letras (u,v) por las (s,t) y viceversa de la primera demostración por estética)

Si no me he equivocado en los cálculos, lo relevante (para mí) de esta demostración del caso n = 4 del UTF empleando enterosG es que, como se observa, no da lugar a ningún otro tipo de contradicción que no sea el consabido absurdo por descenso infinito. Aviso, una vez más, a navegantes.. (y por supuesto me "incluyo")

Un saludo,


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 10/06/2017, 01:19:35 pm
Hola, repasando este hilo me he dado cuenta que la demostración que puse en la Respuesta 6 no debe ser correcta

Cita de: Respuesta 6
Si:  [texx]x^4+y^4=w^4-1[/texx]  ([texx]x\wedge y[/texx]  coprimos;  [texx]x\wedge w[/texx]  pares)

[texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=(w\color{red}^2\color{black}+1)(w\color{red}^2\color{black}-1)[/texx]

Suponiendo que ambos factores a cada lado de la igualdad sean coprimos, " [texx]w\color{red}^2\color{black}+1[/texx] " dividirá a parte de " [texx]x^2+y^2i[/texx] " y a parte de " [texx]x^2-y^2i[/texx] "; y lo mismo ocurrirá con " [texx]w\color{red}^2\color{black}-1[/texx] ". De esta manera entiendo que no pierdo generalidad si establezco que:

[texx]x^2+y^2i=\alpha\cdot{\beta}[/texx]

[texx]x^2-y^2i=\gamma\cdot{\delta}[/texx]

[texx]w\color{red}^2\color{black}+1=\alpha\cdot{\gamma}[/texx]

[texx]w\color{red}^2\color{black}-1=\beta\cdot{\delta}[/texx]

, para:  [texx]\alpha,\beta,\gamma,\delta[/texx]  coprimos.

Pero  [texx]w^2+1+w^2-1=2w^2[/texx] .  O sea:  [texx]\alpha\gamma+\beta\delta=2w^2[/texx]

Y además:  [texx]w^2+1-(w^2-1)=2[/texx] .  O sea:  [texx]\alpha\gamma-\beta\delta=2[/texx]

Y no podría ser porque " [texx]\alpha\gamma+\beta\delta[/texx] "   [texx]\wedge[/texx]   " [texx]\alpha\gamma-\beta\delta[/texx] "  deberían ser coprimos.

Si fuera correcta entonces se podría probar que:  [texx]x^2+y^2\neq{z^2-w^2}[/texx]  y está probado que la suma de 3 cuadrados puede dar lugar a un cuarto cuadrado.

Creo que el error está aquí:

[texx]x^2+y^2i=\alpha\cdot{\beta}[/texx]

[texx]x^2-y^2i=\gamma\cdot{\delta}[/texx]

[texx]w^2+1=\alpha\cdot{\gamma}[/texx]

[texx]w^2+1=\beta\cdot{\delta}[/texx]

[texx]\alpha[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]\beta[/texx] ,  por ejemplo, pueden ser coprimos en  [texx]\mathbb{Z(i)}[/texx]  y no serlos en  [texx]\mathbb{Z}[/texx] ,  pues los primos en un conjunto y otro no son los mismos.

Estoy abierto a cualquier otra opinión con fundamento. Gracias

Un saludo,


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 30/06/2017, 05:12:40 pm
Hola,

Hola,

Me he estado buscando la vida por ahí (internet), más en inglés que en castellano acerca del tema de las unidades ("invertibles" en Teoría de Anillos) y he llegado a la siguiente conclusión. Me queda claro que en los dominios de factorización única, es "única" la descomposición en factores primos salvo en el orden de éstos y las unidades.

Con respecto a las unidades en [texx]\mathbb{Z}[/texx] , que son  [texx]\pm{1}[/texx] . Entiendo que en los casos de exponente par del UTF no pierdo generalidad si trabajo en  [texx]\mathbb{Z^+}[/texx] ;  por lo que su "invertible" es 1, que puedo integrar en cualquier cuadrado perfecto como  [texx]1^2[/texx] .  Así que puedo prescindir de éstas.

Respecto de los enterosG, son unidades:  [texx]\pm{1},\pm{i}[/texx] .  En el caso de " -1 " ocurre como antes.  Respecto de " [texx]\pm{i}[/texx] " pasa que puesto que el producto de 2 unidades es también otra unidad, tampoco pierdo generalidad si trabajo con " [texx]i^2[/texx] "  y puesto que trabajo para valores positivos:  " [texx]-i^2[/texx] ". Y por lo tanto puede integrarse también en cualquier cuadrado enteroG por lo que puedo prescindir también de estas unidades.

Hecha estas salvedades; puedo decir entonces que:

Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

Entonces:

[texx]x^4+y^4=(x^2+y^2i)(x^2-y^2i)[/texx]

Como “ [texx]{x^4+y^4}[/texx] “ es una cuarta potencia, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  “ [texx]x^2+y^2i[/texx] “ [texx]\wedge[/texx] “ [texx]x^2-y^2i[/texx] “

Luego:  [texx]x^2+y^2i=(s+ti)^4[/texx] ,  para s,t coprimos y de distinta paridad

Operando:

[texx]x^2+y^2i=s^4+4s^3ti+6s^2t^2i^2+4st^3i^3+t^4i^4[/texx]

[texx]x^2+y^2i=s^4+t^4-6s^2t^2+(4s^3t-4st^3)i[/texx]

Luego:  [texx]y^2=4s^3t-4st^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2=4st(s^2-t^2)[/texx]

Como " [texx]4st[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]s^2-t^2[/texx] " son coprimos; entonces:  [texx]s=s_1^2\,\wedge\,t=t_1^2[/texx]  y además:  [texx]s_1^4-t_1^4=A^2[/texx] ,  para un determinado " A " entero

De esta forma:  [texx]s_1^4=A^2+t_1^4[/texx]

Luego:  [texx]A^2+t_1^4=(A+t_1^2i)(A-t_1^2i)[/texx]

Como  [texx]A^2+t_1^4[/texx]  es una cuarta potencia; entonces:  [texx]A+t_1^2i=(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v enteros coprimos y de distinta paridad

Operando:

[texx]A+t_1^2i=u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4[/texx]

[texx]A^2+t_1^2i=u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i[/texx]

Luego:  [texx]t_1^2=4u^3v-4uv^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]t_1^2=4uv(u^2-v^2)[/texx]

Como " [texx]4uv[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]u^2-v^2[/texx] " son coprimos; entonces:  [texx]u=u_1^2\,\wedge\,v=v_1^2[/texx]  y por lo tanto  [texx]u_1^4-v_1^4=B^2[/texx] ,  para un determinado " B " entero

De esta forma tendré:  [texx]u_1^4=B^2+v_1^4[/texx] ; pudiendo repetir este proceso sin fin con enteros cada vez más pequeños

(He cambiado el orden empleado en las letras (u,v) por las (s,t) y viceversa de la primera demostración por estética)

Si no me he equivocado en los cálculos, lo relevante (para mí) de esta demostración del caso n = 4 del UTF empleando enterosG es que, como se observa, no da lugar a ningún otro tipo de contradicción que no sea el consabido absurdo por descenso infinito. Aviso, una vez más, a navegantes.. (y por supuesto me "incluyo")

Un saludo,

Repasando y a la luz de los nuevos conocimientos que voy adquiriendo me he dado cuenta que esta demostración de la Respuesta 24 no está bien expresada. La rehago ahora y otro día traslado las modificaciones a la demostración que puse en el hilo que tengo en la Revista del Foro. Espero la opinión de alguien a favor o en contra por si me he vuelto a expresar mal. Mi principal problema con los "enterosG" estriba básicamente en el uso de las "unidades"; el resto la mayoría de las veces no es más que acostumbrarse al uso de las combinaciones lineales y no creo ser el único que encalle particularmente en esto; por lo que nos convendría a muchos lectores dar con el camino (ó uno de los caminos) correctos para expresarse adecuadamente. Os ahorraré un largo discurso filosófico sobre la importancia de los enterosG, al fin y al cabo no soy actualmente más que el típico recién converso; simplemente apuntar que sólo con ellos (con los números complejos) es posible "cuantificar" cualquier ecuación algebraica. Son simplemente "los números".


Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

Entonces:

[texx]x^4+y^4=\,\color{red}\epsilon\color{black}\,(x^2+y^2i)\,(x^2-y^2i)\,\color{red}/\,\epsilon\color{black}[/texx] ,  para " [texx]\epsilon[/texx] " la unidad invertible positiva (puesto que  [texx]z^4[/texx]  será siempre positivo) :  [texx]\{1\vee i\}[/texx]

Como “ [texx]{x^4+y^4}[/texx] “ es una cuarta potencia, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  “ [texx]x^2+y^2i[/texx] “ [texx]\wedge[/texx] “ [texx]x^2-y^2i[/texx] “

Luego:  [texx]x^2+y^2i=\color{red}\,\epsilon\,\color{black}(s+ti)^4[/texx] ,  para s,t coprimos; de distinta paridad y  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva  [texx]1\vee i[/texx]

Caso a) :  [texx]\epsilon=1[/texx]

[texx]x^2+y^2i=s^4+4s^3ti+6s^2t^2i^2+4st^3i^3+t^4i^4[/texx]

[texx]x^2+y^2i=s^4+t^4-6s^2t^2+(4s^3t-4st^3)i[/texx]

Luego:  [texx]y^2=4s^3t-4st^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2=4st(s^2-t^2)[/texx]

Como " [texx]4st[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]s^2-t^2[/texx] " son coprimos (-y-  [texx]s,t[/texx] también); entonces:  [texx]s=s_1^2\,\wedge\,t=t_1^2[/texx]  y además:  [texx]s^2-t^2=A^2[/texx] ,  para un determinado " A " entero.

De esta forma:  [texx]s_1^4=A^2+t_1^4[/texx]

Luego:  [texx]A^2+t_1^4=\,\color{red}\epsilon\color{black}\,(A+t_1^2i)(A-t_1^2i)\color{red}\,/\,\epsilon\color{black}[/texx] ,  para  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva  [texx]1\vee i[/texx]

Y como  [texx]A^2+t_1^4[/texx]  es una cuarta potencia; entonces:  [texx]A+t_1^2i=\color{red}\,\epsilon\,\color{black}(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v enteros coprimos, de distinta paridad y  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible  [texx]1\vee i[/texx]

Operando, en el supuesto de que  [texx]\epsilon=1[/texx]:

[texx]A+t_1^2i=(u+vi)^4[/texx]

[texx]A+t_1^2i=u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4[/texx]

[texx]A^2+t_1^2i=u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i[/texx]

Luego:  [texx]t_1^2=4u^3v-4uv^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]t_1^2=4uv(u^2-v^2)[/texx]

Como " [texx]4uv[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]u^2-v^2[/texx] " son coprimos (-y-  [texx]u,v[/texx] también); entonces:  [texx]u=u_1^2\,\wedge\,v=v_1^2[/texx]  y por lo tanto  [texx]u^2-v^2=B^2[/texx] ,  para un determinado " B " entero.

De esta forma tendré:  [texx]u_1^4=B^2+v_1^4[/texx] ; pudiendo repetir este proceso sin fin con enteros cada vez más pequeños.

Y en el caso que  [texx]\epsilon=i[/texx] ,  tendría:

[texx]A+t_1^2i=\,i\,(u+vi)^4[/texx]

[texx]A^2+t_1^2i=(u^4+v^4-6u^2v^2)\,i+(4u^3v-4uv^3)\,i^2[/texx]

Donde:  [texx]A^2=4uv(v^2-u^2)[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]t_1^2=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]

Pero entonces habría que cambiar las paridades de  [texx]A^2\,\wedge\,t_1^2[/texx]  y las magnitudes de  [texx]u\,\wedge\,v[/texx]  (pues suponíamos implícitamente que " u " era mayor que " v").  Ambas cosas se pueden hacer sin perder generalidad (la única paridad que no se puede intercambiar sería la de " [texx]s_1^4[/texx] ") .  Pero si lo hiciéramos nos volveríamos a encontrar con otro descenso infinito en esta situación simétrica.

Caso b) :  [texx]\epsilon=i[/texx]

[texx]x^2+y^2i=\color{red}\,i\,(\,\color{black}s^4+4s^3ti+6s^2t^2i^2+4st^3i^3+t^4i^4\,\color{red}\,)\color{black}[/texx]

[texx]x^2+y^2i=(s^4+t^4-6s^2t^2)\color{red}\,i\color{black}+(4s^3t-4st^3)\color{red}\,i^2\color{black}[/texx]

Luego:  [texx]x^2=4st(t^2-s^2)[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2=(s^2-t^2)^2-4s^2t^2[/texx]

Pero entonces, al igual que dijimos antes, habría que cambiar las paridades de  [texx]x^2\,\wedge\,y^2[/texx]  y las magnitudes de  [texx]s\,\wedge\,t[/texx] .  Pudiéndose hacer ambas cosas sin perder generalidad. Pero si lo hiciéramos nos volveríamos a encontrar con otro descenso infinito en esta situación perfectamente simétrica.



Espero que ahora todo esté más correcto. Un saludo,


Editado de nuevo, había más errores.


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 01/07/2017, 11:52:04 am
Hola, echad un vistazo si queréis a esta otra versión de demostración del n = 4 del UTF mediante enteros gaussianos. Si es correcta, ¡por fin lo haría mediante el absurdo de una contradicción que no se basa exclusivamente en el descenso infinito!

Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

a)  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx]

Y entonces existirán las ternas pitagóricas solución:

[texx]z^2=p^2+q^2[/texx]

[texx]x^2=p^2-q^2[/texx]

[texx]y^2=2pq[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]p=p_1^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]q=2q_1^2[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]y=2p_1q_1[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=p_1^4+4q_1^4[/texx]

, para p,q comprimos y de distinta paridad ( q = par).

b)  [texx]x^4=z^4-y^4[/texx]

[texx]x^4=(z^2+y^2)(z^2-y^2)[/texx]

[texx]x^4=\epsilon\,(z+yi)\,(\,(z-yi)\,/\,\epsilon\,)\,(z+y)\,(z-y)[/texx] ,  para  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva (puesto que  [texx]x^4[/texx]  es siempre positivo) :  [texx]\{1\vee i\}[/texx]

Como  [texx]x^4[/texx]  es una cuarta potencia, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  [texx]z+yi[/texx] , [texx]z-yi[/texx] , [texx]z+y[/texx] ,
[texx]\wedge[/texx]  [texx]z-y[/texx]

Luego:  [texx]z+yi=\,\epsilon\,(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v coprimos; de distinta paridad y  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva  [texx]1\vee i[/texx]

Caso 1) :  [texx]\epsilon=1[/texx]

[texx]z+yi=(u+vi)^4[/texx]

[texx]z+yi=u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4[/texx]

[texx]z+yi=u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i[/texx]

Luego:  [texx]z=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=4uv(u^2-v^2)[/texx]

En a) vimos que:  [texx]y=2p_1q_1[/texx] .  Luego:  [texx]2p_1q_1=4uv(u^2-v^2)[/texx]  y como  [texx]2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]u^2-v^2[/texx]  son coprimos y de distinta paridad, entonces no pierdo generalidad si establezco que:  [texx]q_1=2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]p_1=u^2-v^2[/texx]

Pero entonces aquí:  [texx]z=p_1^2-q_1^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=(p_1^2-q_1^2)^2[/texx] .  Lo que es una manifiesta contradicción, pues en a) vimos que:  [texx]z^2=p_1^4+4q_1^4[/texx]

Caso 2) :  [texx]\epsilon=i[/texx]

[texx]z+yi=\,i\,(u+vi)^4[/texx]

[texx]z+yi=i\,(u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4)[/texx]

[texx]z+yi=(u^4+v^4-6u^2v^2)\,i+(4u^3v-4uv^3)\,i^2[/texx]

Luego:  [texx]z=4uv(v^2-u^2)[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]

Pero entonces nos veríamos obligados a considerar a " [texx]z[/texx] " como par de magnitud de por lo menos 8, siendo  [texx]x,y[/texx]  impares; cosa que la ecuación de partida no lo permite.

Un saludo,


Editado


¿Es correcto?


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 08/07/2017, 11:57:01 am
Hola,

Hola, echad un vistazo si queréis a esta otra versión de demostración del n = 4 del UTF mediante enteros gaussianos. Si es correcta, ¡por fin lo haría mediante el absurdo de una contradicción que no se basa exclusivamente en el descenso infinito!

Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

a)  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx]

Y entonces existirán las ternas pitagóricas solución:

[texx]z^2=p^2+q^2[/texx]

[texx]x^2=p^2-q^2[/texx]

[texx]y^2=2pq[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]p=p_1^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]q=2q_1^2[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]y=2p_1q_1[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=p_1^4+4q_1^4[/texx]

, para p,q comprimos y de distinta paridad ( q = par).

b)  [texx]x^4=z^4-y^4[/texx]

[texx]x^4=(z^2+y^2)(z^2-y^2)[/texx]

[texx]x^4=\epsilon\,(z+yi)\,(\,(z-yi)\,/\,\epsilon\,)\,(z+y)\,(z-y)[/texx] ,  para  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva (puesto que  [texx]x^4[/texx]  es siempre positivo) :  [texx]\{1\vee i\}[/texx]

Como  [texx]x^4[/texx]  es una cuarta potencia, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  [texx]z+yi[/texx] , [texx]z-yi[/texx] , [texx]z+y[/texx] ,
[texx]\wedge[/texx]  [texx]z-y[/texx]

Luego:  [texx]z+yi=\,\epsilon\,(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v coprimos; de distinta paridad y  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva  [texx]1\vee i[/texx]

Caso 1) :  [texx]\epsilon=1[/texx]

[texx]z+yi=(u+vi)^4[/texx]

[texx]z+yi=u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4[/texx]

[texx]z+yi=u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i[/texx]

Luego:  [texx]z=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=4uv(u^2-v^2)[/texx]

En a) vimos que:  [texx]y=2p_1q_1[/texx] .  Luego:  [texx]2p_1q_1=4uv(u^2-v^2)[/texx]  y como  [texx]2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]u^2-v^2[/texx]  son coprimos y de distinta paridad, entonces no pierdo generalidad si establezco que:  [texx]q_1=2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]p_1=u^2-v^2[/texx]

Pero entonces aquí:  [texx]z=p_1^2-q_1^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=(p_1^2-q_1^2)^2[/texx] .  Lo que es una manifiesta contradicción, pues en a) vimos que:  [texx]z^2=p_1^4+4q_1^4[/texx]

Caso 2) :  [texx]\epsilon=i[/texx]

[texx]z+yi=\,i\,(u+vi)^4[/texx]

[texx]z+yi=i\,(u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4)[/texx]

[texx]z+yi=(u^4+v^4-6u^2v^2)\,i+(4u^3v-4uv^3)\,i^2[/texx]

Luego:  [texx]z=4uv(v^2-u^2)[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]

Pero entonces nos veríamos obligados a considerar a " [texx]z[/texx] " como par de magnitud de por lo menos 8, siendo  [texx]x,y[/texx]  impares; cosa que la ecuación de partida no lo permite.

Un saludo,


Editado


¿Es correcto?

Analizando con un poco más de profundidad la demostración de la respuesta anterior, creo que no es correcta. Es claro que  [texx]z+yi\,\wedge\,z-yi[/texx]  son coprimos y que también lo son  [texx]z+y\,\wedge\,z-y[/texx] ; pero otra cosa es extender la coprimalidad a los cuatro entre sí cuando no son los mismos primos los que hay en  [texx]Z(i)[/texx]  y en  [texx]Z[/texx] . Ya he cometido este tipo de error antes en este hilo.

No ocurre lo mismo con la demostración de la Respuesta 26, en la que sólo se hace referencia a la coprimalidad entre  [texx]"\,x^2+y^2i\,"\,\wedge\,"x^2-y^2i"[/texx] ; por lo que considero qué ésta sí es correcta.

Un saludo,


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 09/07/2017, 11:32:31 am
Hola, me he dado cuenta que con una pequeña modificación que se haga a esta última demostración que ayer veía como "no correcta" sí podría serlo. La reescribo a continuación. Pido disculpas por el lío pero como nadie me contesta, he de hacer unas veces de proponente y a renglón seguido de corrector.


Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

a)  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx]

Y entonces existirán las ternas pitagóricas solución:

[texx]z^2=p^2+q^2[/texx]

[texx]x^2=p^2-q^2[/texx]

[texx]y^2=2pq[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]p=p_1^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]q=2q_1^2[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]y=2p_1q_1[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=p_1^4+4q_1^4[/texx]

, para p,q comprimos y de distinta paridad ( q = par).

b)  [texx]x^4=z^4-y^4[/texx]

[texx]x^4=(z^2+y^2)(z^2-y^2)[/texx]

Como  [texx]x^4[/texx]  es una cuarta potencia -y-  " [texx]z^2+y^2[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]z^2-y^2[/texx] "  son coprimos, entonces:  [texx]z^2+y^2=A^4[/texx] , para un  [texx]A[/texx]  entero.

Entonces:  [texx]A^4=z^2+y^2\,=\,\epsilon\,(z+yi)\,\dfrac{z-yi}{\epsilon}[/texx] ,  para  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva (puesto que  [texx]A^4[/texx]  es siempre positivo) :  [texx]\{1\vee i\}[/texx]

Y como  [texx]A^4[/texx]  es una cuarta potencia, lo serán sus factores coprimos. Y al ser  “ x “ e “ y “ coprimos y de distinta paridad, serán coprimos " [texx]z+yi[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]z-yi[/texx] "

Luego:  [texx]z+yi=\,\epsilon\,(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v coprimos; de distinta paridad y  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva  [texx]1\vee i[/texx]

Caso 1) :  [texx]\epsilon=1[/texx]

[texx]z+yi=(u+vi)^4[/texx]

[texx]z+yi=u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4[/texx]

[texx]z+yi=u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i[/texx]

Luego:  [texx]z=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=4uv(u^2-v^2)[/texx]

En a) vimos que:  [texx]y=2p_1q_1[/texx] .  Luego:  [texx]2p_1q_1=4uv(u^2-v^2)[/texx]  y como  [texx]2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]u^2-v^2[/texx]  son coprimos y de distinta paridad, entonces no pierdo generalidad si establezco que:  [texx]q_1=2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]p_1=u^2-v^2[/texx]

Pero entonces aquí:  [texx]z=p_1^2-q_1^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=(p_1^2-q_1^2)^2[/texx] .  Lo que es una manifiesta contradicción, pues en a) vimos que:  [texx]z^2=p_1^4+4q_1^4[/texx]

Caso 2) :  [texx]\epsilon=i[/texx]

[texx]z+yi=\,i\,(u+vi)^4[/texx]

[texx]z+yi=i\,(u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4)[/texx]

[texx]z+yi=(u^4+v^4-6u^2v^2)\,i+(4u^3v-4uv^3)\,i^2[/texx]

Luego:  [texx]z=4uv(v^2-u^2)[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]

Pero entonces nos veríamos obligados a considerar a " [texx]z[/texx] " como par de magnitud de por lo menos 8, siendo  [texx]x,y[/texx]  impares; cosa que la ecuación de partida no lo permite.


Si nadie tiene nada que objetar en un par de días pongo esta demostración como colofón del hilo que tengo en la <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=80158.msg385737#msg385737">Revista del Foro</a>. La verdad es que me cuesta mucho trabajo pensar que se pueda llegar a una contradicción distinta de la del descenso infinito en este asunto del n = 4 del UTF. Pero también tengo que reconocer que esto podría ser una de esas pistas que siempre ando buscando para abordar con alguna garantía el caso más complicado del " n = 3 ". Y ya voy con mucho atraso.


Saludos,


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Luis Fuentes en 10/07/2017, 05:42:27 am
Hola

En a) vimos que:  [texx]y=2p_1q_1[/texx] .  Luego:  [texx]2p_1q_1=4uv(u^2-v^2)[/texx]  y como  [texx]2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]u^2-v^2[/texx]  son coprimos y de distinta paridad, entonces no pierdo generalidad si establezco que:  [texx]q_1=2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]p_1=u^2-v^2[/texx]

Eso está mal. Que [texx]ab=cd[/texx] con [texx](a,b)=1[/texx] y [texx](c,d)=1[/texx] no significa que [texx]a=c[/texx] y [texx]b=d[/texx] ó [texx]a=d[/texx] y [texx]b=c.[/texx] Los diferentes factores primos de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] pueden repartirse unos en [texx]c[/texx] y otros en [texx]d[/texx].

Cita
Si nadie tiene nada que objetar en un par de días pongo esta demostración como colofón del hilo que tengo en la <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=80158.msg385737#msg385737">Revista del Foro</a>.

La no respuesta, al menos por mi parte, no indica que esté de acuerdo con lo escrito. Indica que no lo he leído o que no he tenido tiempo o que no he sabido verificarlo. Sé que puede ser desesperante cierto tiempo donde los mensajes no son respondidos; pero insisto en la idea, en matemáticas no vale el: "quien calla otorga".

Saludos.


Título: Re: Duda elemental sobre enteros gaussianos
Publicado por: Proyecto_dos en 10/07/2017, 09:59:18 am
Hola,


En a) vimos que:  [texx]y=2p_1q_1[/texx] .  Luego:  [texx]2p_1q_1=4uv(u^2-v^2)[/texx]  y como  [texx]2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]u^2-v^2[/texx]  son coprimos y de distinta paridad, entonces no pierdo generalidad si establezco que:  [texx]q_1=2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]p_1=u^2-v^2[/texx]

Eso está mal. Que [texx]ab=cd[/texx] con [texx](a,b)=1[/texx] y [texx](c,d)=1[/texx] no significa que [texx]a=c[/texx] y [texx]b=d[/texx] ó [texx]a=d[/texx] y [texx]b=c.[/texx] Los diferentes factores primos de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] pueden repartirse unos en [texx]c[/texx] y otros en [texx]d[/texx].

Efectivamente, un error trivial por mi parte. En parte me alivia, en el fondo sigo pensando que no es posible otro tipo de contradicción que la del descenso infinito.

Cita
Si nadie tiene nada que objetar en un par de días pongo esta demostración como colofón del hilo que tengo en la <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=80158.msg385737#msg385737">Revista del Foro</a>.

La no respuesta, al menos por mi parte, no indica que esté de acuerdo con lo escrito. Indica que no lo he leído o que no he tenido tiempo o que no he sabido verificarlo. Sé que puede ser desesperante cierto tiempo donde los mensajes no son respondidos; pero insisto en la idea, en matemáticas no vale el: "quien calla otorga".

Completamente de acuerdo. Disculpas por si te has sentido en algo presionado. Sólo una aclaración. En ningún momento he pensado que si no hablabas era porque estabas otorgando; simplemente no sabía por qué y en ese espacio caben muchos demonios. No es ésa mi condición. Me refería literalmente a que lo iba a poner en la Revista del Foro; allí iba a indicar naturalmente que "creía" que era correcto -con ese importante matiz-. Disculpas de nuevo por mi ansiedad en todos estos temas. Trabajo un poco acelerado debido al alto grado de exposición de mis ideas, muy cercano al 100% de todo lo que tengo en cada momento en la cabeza; es como si "razonara" on-line. Ésa virtud, también, tiene este Foro

Un cordial saludo,