Matemática => Teorema de Fermat => Mensaje iniciado por: Proyecto_dos en 20/04/2017, 09:00:55 am



Título: Duda sobre el n = 3
Publicado por: Proyecto_dos en 20/04/2017, 09:00:55 am
Hola,


Esto que pongo a continuación tiene que tener un error muy evidente, pero no soy capaz de ver cuál es y me sería últil entenderlo.

Supongo que:  [texx]x^3+y^3=z^3[/texx] ;  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2 y uno de ellos  [texx]x\,\vee\,y[/texx]  par.

Y razono como sigue:

[texx]x+y=a[/texx]  (para  [texx]a[/texx]  entero)

Como un factor de " x " no divide a " y ", no puede dividir á  " a " y lo mismo pasará con un factor de " y " respecto de " a "; luego " a " será coprimo con " x " é " y ".

Sabiendo que  [texx]x,y,z[/texx]  no pueden ser " 1 "; porque la diferencia mínima entre 2 cubos es mayor que 1; puedo establecer que siempre:  [texx]x\cdot{y}\,>\,x+y[/texx]  (uno de ellos par). Luego es correcto decir que:

[texx]xy=a+b[/texx]  (para  [texx]b[/texx]  entero)

Y como " a " es coprimo con " xy "; entonces " b " será coprimo con " a " ý con " xy "

Si:  [texx]x^3+y^3=z^3[/texx] .  Puedo factorizarlo como:  [texx]z^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)[/texx] .  Esto es:  [texx]z^3=(x+y)((x+y)^2-3xy)[/texx] .  Y sustituyendo por las letras anteriores:

[texx]z^3=a(a^2-3(a+b))[/texx]   

Por los trabajos de Sophie Germain sabemos que para un exponente primo (p) del Teorema de Fermat, si  [texx]2p+1[/texx]  es también primo; entonces  " p " dividirá á  [texx]x[/texx]  [texx]\vee[/texx]  [texx]y[/texx]  [texx]\vee[/texx]  [texx]z[/texx]  (a uno y sólo uno).

Es el caso del exponente " 3 " que nos ocupa; por lo que no pierdo generalidad si supongo que " 3 " divide á " z ".

Pero si " 3 " divide á " z ", entonces:  " 3 " divide á  " a ".

Demostración: Supongamos que " 3 " no divide á " a ". Entonces:

[texx]\dfrac{z^3}{3\,a}=\dfrac{a^2}{3}-a-b[/texx]

Pero como " 3 " y " a " dividen á  " [texx]z^3[/texx] " ;  no puede ser que " 3 " no divida á  " [texx]a^2[/texx] "

Tenemos entonces que:  [texx]z^3=a^3-3a^2-3ab[/texx] .  Pero como " 27 " divide a  " [texx]z^3[/texx] ", ¿cómo puede ser entonces que no divida á  " [texx]3ab[/texx] "? No puede ser tan sencillo esto


Un saludo,


Título: Re: Duda sobre el n = 3
Publicado por: feriva en 20/04/2017, 09:55:06 am
Hola,


Esto que pongo a continuación tiene que tener un error muy evidente, pero no soy capaz de ver cuál es y me sería últil entenderlo.

Supongo que:  [texx]x^3+y^3=z^3[/texx] ;  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2 y uno de ellos  [texx]x\,\vee\,y[/texx]  par.

Y razono como sigue:

[texx]x+y=a[/texx]  (para  [texx]a[/texx]  entero)

Como un factor de " x " no divide a " y ", no puede dividir á  " a " y lo mismo pasará con un factor de " y " respecto de " a "; luego " a " será coprimo con " x " é " y ".

Sabiendo que  [texx]x,y,z[/texx]  no pueden ser " 1 "; porque la diferencia mínima entre 2 cubos es mayor que 1; puedo establecer que siempre:  [texx]x\cdot{y}\,>\,x+y[/texx]  (uno de ellos par). Luego es correcto decir que:

[texx]xy=a+b[/texx]  (para  [texx]b[/texx]  entero)

Y como " a " es coprimo con " xy "; entonces " b " será coprimo con " a " ý con " xy "

Si:  [texx]x^3+y^3=z^3[/texx] .  Puedo factorizarlo como:  [texx]z^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)[/texx] .  Esto es:  [texx]z^3=(x+y)((x+y)^2-3xy)[/texx] .  Y sustituyendo por las letras anteriores:

[texx]z^3=a(a^2-3(a+b))[/texx]   

Por los trabajos de Sophie Germain sabemos que para un exponente primo (p) del Teorema de Fermat, si  [texx]2p+1[/texx]  es también primo; entonces  " p " dividirá á  [texx]x[/texx]  [texx]\vee[/texx]  [texx]y[/texx]  [texx]\vee[/texx]  [texx]z[/texx]  (a uno y sólo uno).

Es el caso del exponente " 3 " que nos ocupa; por lo que no pierdo generalidad si supongo que " 3 " divide á " z ".

Pero si " 3 " divide á " z ", entonces:  " 3 " divide á  " a ".

Demostración: Supongamos que " 3 " no divide á " a ". Entonces:

[texx]\dfrac{z^3}{3\,a}=\dfrac{a^2}{3}-a-b[/texx]

Pero como " 3 " y " a " dividen á  " [texx]z^3[/texx] " ;  no puede ser que " 3 " no divida á  " [texx]a^2[/texx] "

Tenemos entonces que:  [texx]z^3=a^3-3a^2-3ab[/texx] .  Pero como " 27 " divide a  " [texx]z^3[/texx] ", ¿cómo puede ser entonces que no divida á  " [texx]3ab[/texx] "? No puede ser tan sencillo esto


Un saludo,

Confieso que lo he mirado y remirado y no termino de encontrar el error (dentro de poco pasará alguien, dirá dónde está, y yo diré "por qué no me habré echado la siesta antes de hacer este comentario, que es lo que iba a hacer).

Saludos.


Título: Re: Duda sobre el n = 3
Publicado por: Luis Fuentes en 20/04/2017, 09:58:14 am
Hola

Tenemos entonces que:  [texx]z^3=a^3-3a^2-3ab[/texx] .  Pero como " 27 " divide a  " [texx]z^3[/texx] ", ¿cómo puede ser entonces que no divida á  " [texx]3ab[/texx] "? No puede ser tan sencillo esto

¿Y por qué no va a dividir [texx]27[/texx] a [texx]3ab[/texx]?. O dicho de otra manera, ¿por qué no va a poder ser [texx]a[/texx] divisible por 9?.

Saludos.


Título: Re: Duda sobre el n = 3
Publicado por: Proyecto_dos en 20/04/2017, 10:11:21 am
Hola,

¿Y por qué no va a dividir [texx]27[/texx] a [texx]3ab[/texx]?. O dicho de otra manera, ¿por qué no va a poder ser [texx]a[/texx] divisible por 9?.

¡Claro 9 divide á  [texx]a[/texx] !  Ése es el error. Qué ciego es el amor.. jajaja

(¡Gracias feriva por tu sincera espontaneidad!)

Un saludo,


Título: Re: Duda sobre el n = 3
Publicado por: feriva en 20/04/2017, 11:29:50 am


(¡Gracias feriva por tu sincera espontaneidad!)

Un saludo,

De nada. Quizá por la forma en que has presentado el final me has inducido a ver lo mismo que tú veías, que “b” tenía que ser múltiplo de 3 :) Pero está muy bien expuesto todo, eh, no lo digo como excusa, y la reflexión de partida para atacar el problema era buena.

Saludos.


Título: Re: Duda sobre el n = 3
Publicado por: Proyecto_dos en 20/04/2017, 12:50:14 pm
Hola feriva,

El planteamiento es bueno sí, pero el resultado no puede ser el absurdo por esa simple contradicción aritmética; por eso suponía el error aunque no lo veía.


Título: Re: Duda sobre el n = 3
Publicado por: feriva en 20/04/2017, 01:16:31 pm
Hola feriva,

El planteamiento es bueno sí, pero el resultado no puede ser el absurdo por esa simple contradicción aritmética; por eso suponía el error aunque no lo veía.

Pero no lo “tires”, implica que en el caso de que “a” sea libre de cuadrados no existe la igualdad, tienes un teoremilla ahí; y a lo mejor a partir de eso puedes deducir alguna cosa más.

Saludos.


Título: Re: Duda sobre el n = 3
Publicado por: Proyecto_dos en 20/04/2017, 01:42:14 pm
Hola, no lo tiro no. Pasé el rubicón al escribir otra vez sobre el n = 3. Ahora o nunca. Lo que pasa es que voy a procurar no estresarme demasiado. De hecho he dejado unos estudios que estaba haciendo al volver otra vez a éstos temas de matemáticas y tengo mala conciencia. Esto tiene que estar listo de papeles antes del verano. La cuestión es cuánto de complicado lo voy a tener que hacer; si es mucho pues entonces lo dejo, para eso está la demostración de Euler


Título: Re: Duda sobre el n = 3
Publicado por: Proyecto_dos en 21/04/2017, 09:48:56 am
He escrito otra respuesta y la he eliminado. Disculpas, había un error


Título: Re: Duda sobre el n = 3
Publicado por: Proyecto_dos en 21/04/2017, 06:33:06 pm
Hola,


En vez de exponer todo el desarrollo de un argumento para acabar con una pregunta, pongo ésta directamente y me evito perder el tiempo y hacéroslo perder también a vosotros. Tengo una duda elemental. Supongamos esto: 

[texx]9u=3a-2b[/texx]

[texx]a,b,u[/texx]  enteros;  [texx]a\wedge b[/texx]  coprimos y " 3 " divide á " b ": ¿Puede dividir de alguna forma entera " 9 " á  [texx]3a-2b[/texx] ?

Gracias de antemano. Sdos,


Añadido posterior: Me he contestado; sí es posible claro. Ejp:  [texx]3\cdot{5}-2\cdot{3}[/texx]   ;D   Bueno por lo menos me he ahorrado un rollo de planteamiento


Título: Re: Duda sobre el n = 3
Publicado por: feriva en 21/04/2017, 07:30:12 pm
Hola,


En vez de exponer todo el desarrollo de un argumento para acabar con una pregunta, pongo ésta directamente y me evito perder el tiempo y hacéroslo perder también a vosotros. Tengo una duda elemental. Supongamos esto: 

[texx]9u=3a-2b[/texx]

[texx]a,b,u[/texx]  enteros;  [texx]a\wedge b[/texx]  coprimos y " 3 " divide á " b ": ¿Puede dividir de alguna forma entera " 9 " á  [texx]3a-2b[/texx] ?

Gracias de antemano. Sdos,


Añadido posterior: Me he contestado; sí es posible claro. Ejp:  [texx]3\cdot{5}-2\cdot{3}[/texx]   ;D   Bueno por lo menos me he ahorrado un rollo de planteamiento

Si no pudiera ser, la igualdad sería imposible. Si se despeja y se saca factor común 3, [texx]3(3u-a)=-2b
 [/texx]... se ve que sí puede ser; lo que no puede ser es que “b” sea múltiplo de 9, puesto que es coprimo con “a”, eso sí.

Saludos.