Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Francois en 03 Febrero, 2017, 16:38



Título: Caracterización del supremo
Publicado por: Francois en 03 Febrero, 2017, 16:38
Buenas a todos.
Estoy viendo sobre los [texx]\limsup[/texx] y [texx]\liminf[/texx] para una sucesión acotada.
El enunciado es de la siguiente manera:

Sea [texx]\left\{{x_{n}}\right\}[/texx] una sucesión y [texx]b=\limsup(x_{n})[/texx]
Entonces debo probar lo siguiente:

(1) Si [texx]b<r \Rightarrow{x_{n}<r}[/texx] , a partir de un cierto subíndice.
(2)Si [texx] r<b\Rightarrow{r<x_{n}}[/texx] , frecuentemente.

Para la prueba de (1) hice lo siguiente:

Sea [texx]B=\left\{{y_{n}}\right\}[/texx] luego [texx]\inf(B)=b[/texx] , luego por definición de ínfimo existe un  positivo [texx]\epsilon[/texx] tal que este [texx] y_{n_{0}}[/texx]
cumple que  [texx]y_{n_{0}}<b+\epsilon[/texx].

Estos se definen [texx]y_{n_{0}}=\sup_{m\geq{n_{0}}}x_{m}<b+\epsilon[/texx]
Luego [texx] x_{m}<b+\epsilon[/texx] , [texx]m\geq{n_{0}}[/texx] y tomando [texx]\epsilon=r-b[/texx] se tiene  [texx]x_{m}<r[/texx], [texx]\forall{m}\geq{n_{0}}[/texx]

Como podría hacer para el caso (2) ?  ¿Se hace algo similar? Porque cuando hago los cálculos no cuadran y tampoco sé como justificar ese  "frecuentemente" .

Espero su ayuda
Saludos!


Título: Re: Caracterización del supremo
Publicado por: delmar en 03 Febrero, 2017, 20:17
Hola Francois

La demostración del punto 1, es cierta.

Para el punto 2, la idea es encontrar sucesiones que la cumplan, es decir ejemplos, han de haber varios. A ojo de águila la siguiente sucesión : [texx]\left\{{x_n, \ x_n=1, \ para  \ n \ impar,  \ x_n=-1, \ para \ n \ par, \ n\in{Z^+}}\right\}[/texx]
Creo que es conveniente que fundamentes (expliques) el por que cumplen la condición 2
En este caso denominando :
[texx]Y_n=\left\{{x_p, \ p\geq{n}}\right\}, \ n\in{Z^+}[/texx]

[texx]y_n=sup (Y_n)[/texx] Haciendo las cuentas [texx]y_n=1, \ n\in{Z^+}[/texx]

[texx]B=\left\{{y_n}\right\}[/texx]

[texx]b=inf (B)=1[/texx]

Considerando [texx]r=1/2<b[/texx] no se puede afirmar lo de 1; pero si lo de 2, han de haber otros ejemplos mucho mejores; pero este es simple.

Saludos



Título: Re: Caracterización del supremo
Publicado por: Francois en 06 Febrero, 2017, 02:14
Hola delmar gracias por tu ayuda.

Quieres decirme que la prueba de (2)
Se hace por contradicción?

Porque dices hay que buscar ejemplos,
Pero eso  es suficiente para probar(2)?

Entiendo tu ejemplo pero ese "r" que le pones
En este caso 1/2 ,pero si r=2 ?cumple (1).
O sea depende del "r" para saber si la sucesión
Cae en caso (1) o (2)?



Saludos.


Título: Re: Caracterización del supremo
Publicado por: EnRlquE en 07 Febrero, 2017, 19:03
Hola Francois.

 Sobre esto:

Porque dices hay que buscar ejemplos,
Pero eso  es suficiente para probar(2)?

 delmar ha detallado cómo es que el punto [texx](2)[/texx] de tu pregunta inicial se verifica en el ejemplo que propone. Esto nos puede ayudar para probar lo siguiente: En las condiciones del punto (2), explicadas en el mensaje inicial, existe una subsucesión [texx](x_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}[/texx] de [texx](x_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/texx] tal que [texx]x_{n_{k}}>r[/texx] para todo [texx]k\in\mathbb{N}.[/texx] Me parece que esto es lo que se pide probar en el problema.

 Para probarlo podemos proceder del siguiente modo:

[texx]\bullet[/texx] De la definición de límite superior se desprende que existe un término de la sucesión [texx]x_{n_{1}}[/texx] tal que [texx]x_{n_{1}}>r.[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Como [texx]b=\limsup x_{n}=\limsup x_{n+n_{1}},[/texx] deducimos que existe [texx]x_{n_{2}}[/texx] con [texx]n_{2}>n_{1}[/texx] tal que [texx]x_{n_{2}}>r.[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Por el proceso anterior podemos definir inductivamente una subsucesión [texx](x_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}[/texx] tal que [texx]x_{n_{k}}>r[/texx] para todo [texx]k\in\mathbb{N}.[/texx]

Este método se puede afinar un poco para asegurar que los términos de la subsucesión que construimos son todos los que verifican la desigualdad [texx]x_{n}>r.[/texx] Alternativamente podemos probar lo que queremos de la siguiente forma ("no constructiva"):

[texx]\bullet[/texx] El conjunto [texx]A=\{n\in\mathbb{N}:\,x_{n}>r\}[/texx] es infinito, ya que [texx]\limsup x_{n}=b>r[/texx] (si el conjunto fuera finito, tendríamos que [texx]\limsup x_{n}\leq r[/texx]), por tanto la subsucesión [texx](x_{n})_{n\in A}[/texx] de [texx](x_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/texx] satisface lo que necesitamos.

 Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.


Título: Re: Caracterización del supremo
Publicado por: Francois en 10 Febrero, 2017, 18:26
Hola Enrique gracias por la ayuda .

Entiendo todo lo q has hecho excepto
El segundo punto.

Que existe el [texx]x_{n_{2}}[/texx].
Podrías detallarlo por favor?

Saludos!


Título: Re: Caracterización del supremo
Publicado por: EnRlquE en 10 Febrero, 2017, 19:15
Hola Francois.

 Claro, tenemos que el límite superior de la sucesión de términos [texx]\{x_{1},x_{2},x_{3},\dots\}[/texx] es el mismo que si consideráramos la subsucesión de términos [texx]\{x_{n_{1}+1},x_{n_{1}+2},x_{n_{1}+3},\dots\},[/texx] empezando en [texx]n_{1}.[/texx] Este limite superior es [texx]b[/texx]. Como [texx]b>r,[/texx] por la definición de límite superior, tenemos que de entre todos los términos [texx]x_{n_{1}+1},x_{n_{1}+2},x_{n_{1}+3},\dots[/texx] tiene que existir algún [texx]x_{n_{1}+k}[/texx] tal que [texx]x_{n_{1}+k}>r.[/texx] Finalmente podemos llamar [texx]n_{2}=n_{1}+k.[/texx]

 Si tienes alguna otra duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.