Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Francois en 28/01/2017, 01:00:06 am



Título: Serie
Publicado por: Francois en 28/01/2017, 01:00:06 am
Hola a todos .

Espero puedan ayudarme con el siguiente problema

Muestre que la serie :  [texx]\displaystyle\frac{1}{1^{2}}+\displaystyle\frac{1}{2^{3}}+\displaystyle\frac{1}{3^{2}}+\displaystyle\frac{1}{4^{3}}+...[/texx]

Es convergente pero que ni el Test de la Razón , ni el Test de la Raíz nos permite  concluir la convergencia.

Espero su ayuda.
Saludos!


Título: Re: Serie
Publicado por: delmar en 28/01/2017, 01:34:30 am
Hola

Dispongo de poco tiempo para formarlizar, pero voy a darte una pista.

Considera a esa serie como la suma de dos series no negativas  :

[texx]\displaystyle\frac{1}{1^2}+0+\displaystyle\frac{1}{3^2}+0+\displaystyle\frac{1}{5^2}+ ...+\displaystyle\frac{1}{(2n-1)^2}+0[/texx]


[texx]0+\displaystyle\frac{1}{2^3}+0+\displaystyle\frac{1}{4^3}+0 ...+\displaystyle\frac{1}{(2n)^3}[/texx]

Ahora observa que la primera serie, es parte de la serie [texx]\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}}[/texx], esta es convergente y en consecuencia acotada

Y la segunda de la serie [texx]\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{k^3}}[/texx], esta es convergente y acotada

Luego la primera y la segunda por ser partes tambien son acotadas y por ende convergentes y luego la suma (serie motivo del problema) tambien sera acotada y en consecuencia convergente.

Saludos









Título: Re: Serie
Publicado por: Francois en 28/01/2017, 02:21:16 am
El profesor comento que no se pueden separar asi por asi.

Creo que la justificación de ello es lo que dices de que la serie al ser convergente es luego acotado...no?

Porque el profesor me dijo que al separarlo es muy delicado y se debía justificar.

Saludos


Título: Re: Serie
Publicado por: Samir M. en 28/01/2017, 03:25:33 am
Hola.

No. La justificación es que, para poder meter mano a las series de ese modo, primero has de demostrar la convergencia (absoluta), ya que si no mediante simple reordenamiento se pueden llegar a resultados diabólicos (https://plus.maths.org/content/infinity-or-just-112). Una forma sencilla de demostrar la convergencia es mediante comparación usando la serie [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^3}}[/texx].

Saludos.

Añadido.


Título: Re: Serie
Publicado por: Luis Fuentes en 28/01/2017, 05:11:34 am
Hola

El profesor comento que no se pueden separar asi por asi.

Creo que la justificación de ello es lo que dices de que la serie al ser convergente es luego acotado...no?

Porque el profesor me dijo que al separarlo es muy delicado y se debía justificar.

Si la serie es de términos no negativos no hay ningún problema en las reordenaciones.

Saludos.


Título: Re: Serie
Publicado por: delmar en 28/01/2017, 08:22:35 pm
El profesor comento que no se pueden separar asi por asi.

Creo que la justificación de ello es lo que dices de que la serie al ser convergente es luego acotado...no?

Porque el profesor me dijo que al separarlo es muy delicado y se debía justificar.

Saludos

Entiendo tú preocupación; sin embargo observa :

Consideremos las siguientes series :

[texx]H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_k}, \ \ a_k=\displaystyle\frac{1}{k^2}, \ para \ k \ impar; \ \ a_k=0, \ \ para \ k \ par[/texx]

[texx]T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{b_k}, \ \ b_k=\displaystyle\frac{1}{k^3}, \ para \ k \ par; \ \ b_k=0, \ \ para \ k \ impar[/texx]

Denominemos a la serie suma : [texx]S_n=H_n+T_n[/texx]

Veamos a esta serie [texx]S_n[/texx]

[texx]S_1=H_1+T_1=a_1+b_1=\displaystyle\frac{1}{1^2}+0=\displaystyle\frac{1}{1^2}[/texx]

[texx]S_2=H_2+T_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)=(\displaystyle\frac{1}{1^2}+0)+(0+\displaystyle\frac{1}{2^3})=\displaystyle\frac{1}{1^2}+\displaystyle\frac{1}{2^3}[/texx]

[texx]S_3=H_3+T_3=(a_1+a_2+a_3)+(b_1+b_2+b_3)=(\displaystyle\frac{1}{1^2}+0+\displaystyle\frac{1}{3^2})+(0+\displaystyle\frac{1}{2^3}+0)=\displaystyle\frac{1}{1^2}+\displaystyle\frac{1}{2^3}+\displaystyle\frac{1}{3^2}[/texx]

[texx]S_4=H_4+T_4=(a_1+a_2+a_3+a_4)+(b_1+b_2+b_3+b_4)=(\displaystyle\frac{1}{1^2}+0+\displaystyle\frac{1}{3^2}+0)+(0+\displaystyle\frac{1}{2^3}+0\displaystyle\frac{1}{4^3})=\displaystyle\frac{1}{1^2}+\displaystyle\frac{1}{2^3}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\displaystyle\frac{1}{4^3}[/texx]

Y asi sucesivamente, en otras palabras la serie del problema es [texx]S_n[/texx] y es la suma de las otras dos series : [texx]S_n=H_n+T_n[/texx], ambas son series de sucesiones de términos no negativos.

Samir M. acertó con el criterio de convergencia para resolver el problema, se llama criterio de comparación, observa :

[texx]a_k\leq{\displaystyle\frac{1}{k^2}}, \ k\in{Z^+}[/texx]

[texx]\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}}[/texx] converge (esto se considera sabido) luego [texx]H_k=\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_k}[/texx] converge, por el criterio de comparación

[texx]b_k\leq{\displaystyle\frac{1}{k^3}}, \ k\in{Z^+}[/texx]

[texx]\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{k^3}}[/texx] converge (esto se considera sabido) luego [texx]T_k=\displaystyle\sum_{k=1}^n{b_k}[/texx] converge, por el criterio de comparación

Por lo tanto [texx]S_n[/texx] converge, por ser la suma de dos series convergentes.

Saludos