Matemática => Lógica => Mensaje iniciado por: Eleal en 19 Diciembre, 2007, 14:32



Título: Duda axioma de extensión
Publicado por: Eleal en 19 Diciembre, 2007, 14:32
En un libro de teoría de conjuntos, el autor enuncia el axioma de extensión así:

[texx](x\in{A}\Leftrightarrow{x\in{B}})\Longrightarrow{}{A=B}[/texx]

Pero, ¿por qué no una doble implicación?




Título: Re: Duda axioma de extensión
Publicado por: Jabato en 19 Diciembre, 2007, 15:16
Yo creo que el axioma de extensión debe enunciarse con doble implicación, pero es posible que el enunciado general, en origen, estuviera definido solo con una implicación simple.

Si dos conjuntos tienen los mismos elementos son iguales, aunque eso parece que podría plantear alguna dificultad, ya que son afirmaciones distintas, enunciarlo en esa forma puede dejar un hueco para admitir que dos conjuntos iguales podrían tener elementos distintos, y eso es claramente erróneo, digo yo, la implicación debe ser doble, es decir, dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos, esa debería ser la redacción correcta, y la formulación que corresponde a esa redacción es la de la doble implicación.


[texx](x\in{A}\Leftrightarrow{x\in{B}})\Longrightarrow{}{A=B}[/texx]


En mi opinión esa formulación es incorrecta.

Saludos, Jabato.


Título: Re: Duda axioma de extensión
Publicado por: Jabato en 19 Diciembre, 2007, 15:29
Fíjate que en Wilkipedia aparece también expresado en esa forma, en el texto con la expresión "si y solo si", y sin embargo en la formulación aparece como implicación sencilla. Eso para mí es un error grave. Después más abajo de la página utiliza el símbolo [texx]\equiv{}[/texx], que hace referencia a la equivalencia de ambas proposiciones.

http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel (http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel)


Creo que la idea original establece que un conjunto queda perfectamente definido por su extensión (sus elementos), lo que viene a decir que si dos conjuntos son iguales tienen la misma extensión y si tienen la misma extensión son iguales. La implicación debe ser doble, sin duda.


Saludos, Jabato.


Título: Re: Duda axioma de extensión
Publicado por: Eleal en 19 Diciembre, 2007, 17:09
Fíjate que en Wilkipedia aparece también expresado en esa forma, en el texto con la expresión "si y solo si", y sin embargo en la formulación aparece como implicación sencilla. Eso para mí es un error grave...

¿Será que el que redactó el artículo de la Wikipedia tomó los axiomas del libro que estaba leyendo?


Título: Re: Duda axioma de extensión
Publicado por: Fernando Revilla en 19 Diciembre, 2007, 18:04
Veamos, el axioma de extensión de la teoría formal ZF usualmente está redactado en los siguientes términos:

[texx](x_1=x_2\Leftrightarrow{(\forall{x_3}})(x_3\in{x_1}\Leftrightarrow{x_3\in{x_2}}))[/texx]

Lo que ocurre es que el sistema de primer orden de la teoría ZF es una extensión del sistema de primer orden [texx]K[/texx] del cálculo de predicados al que se le añaden los tres axiomas clásicos de la igualdad.

El tercer axioma de igualdad ( el relativo a sustituir términos en predicados ) permite demostrar la implicación de izquierda a derecha ( es decir, sería un teorema de ZF). Así que es correcto poner solo una implicación, lo que ocurre es que se usa la doble por cuestiones de claridad.

Saludos, Phidias.