Matemática => Teoría de números => Mensaje iniciado por: Gaussito en 21/05/2016, 10:15:56 pm



Título: Cúmulos de primos
Publicado por: Gaussito en 21/05/2016, 10:15:56 pm
He estado formulando esta conjetura sobre números primos que he llamado: cúmulo de números primos, para referirme a la acumulación de primos cercanos en números grandes. El planteamiento surge de mi sorpresa cuando imagino números naturales grandes, donde los números primos escasean, y sin embargo podemos encontrar números primos que sean gemelos, es decir, cuya diferencia es 2 (los cuales se cree que son infinitos, aunque nadie lo haya demostrado).

Entonces me pregunto, si en números de 1 millón de cifras podemos encontrar 2 números primos tan cercanos ¿Será posible encontrar tres números primos cercanos, o quizás 4, o 5? En general, que tan cercanos podemos encontrar dichos números primos cuando hablamos de números grandes, considerando que a medida que n se hace más grande, es menos probable que sea primo (creo que esta probabilidad tiende a cero cuando n se va al infinito).

Para definir de forma más precisa mi planteamiento, me he dado a la tarea de construir una definición y someterla al estudio de los buenos matemáticos de este foro (para los que tengan tiempo de sobra, jejejeje):

Denominaremos cúmulo de n primos en m a partir de b, a la cantidad de n primos que puedan encontrarse en un conjunto de m números consecutivos mayores que b, y los representaremos a través de la triada [texx]CP( n , m , b )[/texx].

En este sentido, la conjetura que dice que los primos gemelos son infinitos, quedaría representado en mi nomenclatura de esta forma:

Para cualquier b natural existe un [texx]CP(2 , 3 , b)[/texx];

donde el 2 significa la cantidad de primos (en este caso dos), 3 representa los números que deben ser consecutivos (p , p+1 , p+2 , donde p y p+2 son primos), y finalmente b significa que los tres números consecutivos deben ser mayores que cualquier natural dado.

Con esta notación podríamos por ejemplo, demostrar que no existe un cúmulo de 3 primos en un intervalo de 5 naturales consecutivos mayores que 4. Usando la notación que propongo quedaría así:

No existe un [texx]CP( 3 ,  5 , 4)[/texx];

con esto querría decir que nunca vamos a encontrar en un intervalo de 5 naturales consecutivos mayores que 4, a 3 números primos (fíjense que esto sólo es cierto con números mayores que 3, puesto que si no colocamos esta restricción, tenemos que los números primos 3, 5 y 7, son tres números primos que existen en un intervalo de 5 naturales consecutivos).

Ahora bien, una vez definidos los cúmulos de primos, me atrevo a hacer la siguiente conjetura, muy parecida al Último Teorema de Fermat, y para darme aires de importancia, voy a decir que he encontrado una demostración maravillosa para la conjetura que voy a formular, pero los caracteres de este foro son muy escasos para escribirla, jejejejejejejeje. Dice así:

"No existe un cúmulo de primos [texx]CP ( 3 , m , b)[/texx] para cualquier m y b que pertenezcan a los naturales"

En otras palabras, supongamos que m = 100 (les recuerdo que m representa el número de naturales consecutivos), siempre existirá un b a partir del cual, en ningún grupo de 100 números consecutivos encontraremos a 3 números primos. Fíjense que lo que digo no es algo trivial, porque la conjetura afirmo que es cierta para cualquier m, no importa lo grande que sea. Ahora imaginemos un [texx]m = 10^{1000}[/texx], entonces yo afirmo que existe un b, a partir del cual, en ningún conjunto [texx]10^{1000}[/texx] naturales consecutivos, nos vamos a encontrar a 3 números primos.

Digo que esta conjetura se parece al Último Teorema de Fermat, debido a que la conjetura supongo que no es cierta para n = 2, debido a que si los primos gemelos son infinitos, siempre encontraremos cúmulos de primos con 2 primos consecutivos. Sin embargo para n > 2, creo que siempre es cierta.

Para finalizar reitero lo que he definido como cúmulos de primos, es una triada ordenada de números naturales, tal que sus elementos significan: CP ( número de primos en el intervalo , tamaño del intervalo , número al cual los números primos deben ser mayor).

Saludos.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: Gaussito en 22/05/2016, 01:38:18 am
Ups, creo que el comentario anterior, aunque detallado, es demasiado largo, por eso voy a repetir mi conjetura para el que no tenga tiempo de leer lo mucho que escribí:

Conjetura: "Sea m la cantidad de números naturales en un intervalo [a , b], entonces para cualquier m existe un [texx]a\in{N}[/texx], tal que en el conjunto de números de [a , b], no hay tres números primos".

Saludos.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: Luis Fuentes en 22/05/2016, 05:46:01 am
Hola

 Antes de nada fijemos bien la conjetura que quieres hacer. Yo creo que no es esta:

Ups, creo que el comentario anterior, aunque detallado, es demasiado largo, por eso voy a repetir mi conjetura para el que no tenga tiempo de leer lo mucho que escribí:

Conjetura: "Sea m la cantidad de números naturales en un intervalo [a , b], entonces para cualquier m existe un [texx]a\in{N}[/texx], tal que en el conjunto de números de [a , b], no hay tres números primos".

Saludos.

Esa es claramente cierta. Dado un natural [texx]m[/texx], en el intervalo [texx][(m+1)!+2,(m+1)!+m+1][/texx] no existe ningún primo.

Lo que creo que tu afirmas es que dado cualquier natural [texx]m[/texx], existe un [texx]a_0[/texx] tal que para todo [texx]a\geq a_0[/texx] en el intervalo [texx][a,a+m-1][/texx] no existen tres primos.

Saludos.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: feriva en 22/05/2016, 06:15:38 am

Hola Gaussito; puede que ya sepas esto (seguramente sí) pero por si acaso lo cuento:

Se puede demostrar que existen intervalos de tantos números consecutivos como queramos de manera que no haya ningún primo.

La idea es usar la noción de factorial

Si [texx]n!=2\cdot3\cdot4\cdot...n
 [/texx] el número “n!” es múltiplo, lógicamente, de “n” y todos los menores que “n”.

Por tanto, el número

[texx]n!+2
 [/texx] será múltiplo de 2 dado que es suma de dos pares

[texx]n!+3
 [/texx] análogamente será múltiplo de 3

[texx]n!+4
 [/texx] será de 4

...

[texx]n!+n
 [/texx] será de “n”

Estos números son evidentemente consecutivos, pues

[texx](n!+3)-(n!+2)=1
 [/texx]

[texx](n!+4)-(n!+2)=2
 [/texx]

[texx](n!+5)-(n!+2)=3
 [/texx]

...

Por tanto, basta con tomar un “n” tan grande como se quiera para tener un intervalo tan grande como se quiera de números compuestos consecutivos; donde no habrá ningún primo.

Saludos.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: Gaussito en 22/05/2016, 09:41:35 am

Lo que creo que tu afirmas es que dado cualquier natural [texx]m[/texx], existe un [texx]a_0[/texx] tal que para todo [texx]a\geq a_0[/texx] en el intervalo [texx][a,a+m-1][/texx] no existen tres primos.


Y para no variar, tienes razón, eso que escribiste es lo que quise decir. Yo lo veo como una proposición opuesta a la conjetura de que los primos gemelos son infinitos, hablando en términos coloquiales, me atrevería a afirmar que los números trillizos (cúmulos de primos de 3 elementos) no son infinitos.

Una consecuencia inmediata de mi afirmación, sería que tampoco existen infinitos cúmulos de 4, 5, 6, ....., n, primos. Es decir, aunque es posible encontrar 10 primos en un conjunto de 100 números consecutivos, a medida que los números son más grandes, es imposible encontrar otros 10 primos en un conjunto de 100 consecutivos.

Saludos.

PD. Feriva, eso que muestras no lo sabía, aunque creo que esa respuesta no debería ir en este hilo, sino en la otra conjetura que abrí: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=88756.msg356459;topicseen#msg356459 (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=88756.msg356459;topicseen#msg356459), sería la respuesta perfecta para responder mi otra inquietud.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: feriva en 22/05/2016, 10:18:26 am


PD. Feriva, eso que muestras no lo sabía, aunque creo que esa respuesta no debería ir en este hilo, sino en la otra conjetura que abrí: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=88756.msg356459;topicseen#msg356459 (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=88756.msg356459;topicseen#msg356459), sería la respuesta perfecta para responder mi otra inquietud.

Sí, es que la puse antes de ver este hilo, si no lo hubiera hecho como dices, lo siento.

Saludos.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: Luis Fuentes en 23/05/2016, 07:08:02 am
Hola


Lo que creo que tu afirmas es que dado cualquier natural [texx]m[/texx], existe un [texx]a_0[/texx] tal que para todo [texx]a\geq a_0[/texx] en el intervalo [texx][a,a+m-1][/texx] no existen tres primos.


Y para no variar, tienes razón, eso que escribiste es lo que quise decir. Yo lo veo como una proposición opuesta a la conjetura de que los primos gemelos son infinitos, hablando en términos coloquiales, me atrevería a afirmar que los números trillizos (cúmulos de primos de 3 elementos) no son infinitos.

Una consecuencia inmediata de mi afirmación, sería que tampoco existen infinitos cúmulos de 4, 5, 6, ....., n, primos. Es decir, aunque es posible encontrar 10 primos en un conjunto de 100 números consecutivos, a medida que los números son más grandes, es imposible encontrar otros 10 primos en un conjunto de 100 consecutivos.

Parece que se sospecha que tu conjetura es falsa, porque precisamente está conjeturado lo contrario (ojo, si non está probado todavía no se sabe quien lleva razón). Mira este artículo:

http://www.ams.org/journals/bull/2015-52-02/S0273-0979-2015-01480-1/S0273-0979-2015-01480-1.pdf

Hay que leerlo con un poco de cuidado para distinguir bien que cosas si están probadas y cuáles son meras conjeturas.

En la página 5, en la conjetura 1.3 se afirma que: para cualquier entero [texx]n\geq 2[/texx], existe una cota [texx]B_n[/texx] tal que hay infinitos intervalos de longitud [texx]B_n+1[/texx] con al menos [texx]n[/texx] primos.

En particular para [texx]n=3[/texx], habría infinitos intervalos de longitud [texx]B_3+1[/texx] con al menos [texx]3[/texx] primos. Eso supondría que tu conjetura es falsa para [texx]m>B_3[/texx].

Saludos.

CORREGIDO (gracias geómetracat). No pone conjetura, sino corolario. Así que parece que está probado y por tanto la conjetura de Gaussito no se cumple.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: Gaussito en 24/05/2016, 10:47:28 pm
Revisando el material...

Aunque como siempre, el material que adjunta El_manco está muy alejado de mi bajo nivel, sin embargo haré un esfuerzo para ver que puedo asimilar  :banghead:

Una pregunta que me surge con esos [texx]B_n[/texx], es si ya se sabe su valor o la forma de generarlos? Es decir, en concreto cuánto vale [texx]B_3[/texx], si esto ya está determinado, sería más fácil analizar la situación.

Por otro lado, al revisar algo mas sobre las referencias del El_manco, veo que ya está demostrado que existen cúmulos de 2 primos en intervalos de 70 millones de números consecutivos, lo que significa un avance en estos estudios.

Saludos.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: Luis Fuentes en 25/05/2016, 04:52:59 am
Hola

Una pregunta que me surge con esos [texx]B_n[/texx], es si ya se sabe su valor o la forma de generarlos? Es decir, en concreto cuánto vale [texx]B_3[/texx], si esto ya está determinado, sería más fácil analizar la situación.

En principio (habría que leer el artículo con calma y la bibliografía la que hace referencia) es sólo una conjetura; es decir no está demostrado. Pudiera ser además que se probase la existencia de esas cotas, pero no necesariamente su valor.

Saludos.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: feriva en 25/05/2016, 06:42:41 am

Hola, Gaussito.


Cita
Una consecuencia inmediata de mi afirmación, sería que tampoco existen infinitos cúmulos de 4, 5, 6, ....., n, primos. 

En esto que afirmas no reparé el otro día; si interpreto bien lo que quieres decir, no lo veo yo. Toma [texx]n>N[/texx] tan grande como quieras, entonces entre [texx]n[/texx] y [texx]2n[/texx] habrá 1 ó 2 ó 3... ó “N” primos, por el postulado de Bertrand. Y, por tanto, un cúmulo de la cantidad que sea. Como podemos tomar infinitos “n” tendremos una cantidad infinita de cúmulos para la cantidad “N” que sea (si tenemos más, no dejamos de tener esa cantidad “N”, que haya más no niega que haya “N” primos, para eso tendríamos que tener menos).

Además, piensa que tomado un [texx]n[/texx], después, podemos hacer [texx]2n=k[/texx] y tomar un intervalo [texx](k,2k)[/texx] donde también habrá primos siempre. Pero en el intervalo [texx](0,k)[/texx], es decir, [texx](0,2n)[/texx], habrá más primos que en [texx](k,2k)[/texx] (o sea, que en [texx](2n,4n)[/texx]) y en esa cantidad está contenida la cantidad “N” que hemos considerado anteriormente). Y así siempre desde el principio hasta no acabar nunca. Esto me lleva a pensar (no sé si podría demostrarlo bien ahora, lo dejo como hipótesis) que existen infinitos cúmulos con una cantidad “N” de primos indefinidamente grande.

(pero repito que a lo mejor no estoy interpretando bien lo que quieres decir ahí)

Saludos.   


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: Luis Fuentes en 25/05/2016, 07:26:46 am
Hola

Cita
Una consecuencia inmediata de mi afirmación, sería que tampoco existen infinitos cúmulos de 4, 5, 6, ....., n, primos. 

En esto que afirmas no reparé el otro día; si interpreto bien lo que quieres decir, no lo veo yo. Toma [texx]n>N[/texx] tan grande como quieras, entonces entre [texx]n[/texx] y [texx]2n[/texx] habrá 1 ó 2 ó 3... ó “N” primos, por el postulado de Bertrand. Y, por tanto, un cúmulo de la cantidad que sea. Como podemos tomar infinitos “n” tendremos una cantidad infinita de cúmulos para la cantidad “N” que sea (si tenemos más, no dejamos de tener esa cantidad “N”, que haya más no niega que haya “N” primos, para eso tendríamos que tener menos).

Además, piensa que tomado un [texx]n[/texx], después, podemos hacer [texx]2n=k[/texx] y tomar un intervalo [texx](k,2k)[/texx] donde también habrá primos siempre. Pero en el intervalo [texx](0,k)[/texx], es decir, [texx](0,2n)[/texx], habrá más primos que en [texx](k,2k)[/texx] (o sea, que en [texx](2n,4n)[/texx]) y en esa cantidad está contenida la cantidad “N” que hemos considerado anteriormente). Y así siempre desde el principio hasta no acabar nunca. Esto me lleva a pensar (no sé si podría demostrarlo bien ahora, lo dejo como hipótesis) que existen infinitos cúmulos con una cantidad “N” de primos indefinidamente grande.

(pero repito que a lo mejor no estoy interpretando bien lo que quieres decir ahí)  

Eso no contradice lo que conjetura Gaussito. Él dice que si fijas una longitud de intervalo [texx]m[/texx], no hay infinitos intervalos de longitud [texx]m[/texx] donde aparecen tres o más primos.

Saludos.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: feriva en 25/05/2016, 07:31:01 am


 Él dice que si fijas una longitud de intervalo [texx]m[/texx], no hay infinitos intervalos de longitud [texx]m[/texx] donde aparecen tres o más primos.



Una pregunta sobre una cuestión parecida (no sé si implicaría exactamente la idea de Gaussito o habría algún matiz):

Supongamos que no existen infinitos gemelos, ni infinitos primos seguidos a distancia de 4 (todo esto sin otros primos de por medio) ni infinitos a distancia de 6, etc.

 ¿implicaría esto que, a partir de alguna cota, de algún número natural muy grande, todos los primos consecutivos estuvieran a distancias diferentes entre ellos? A priori mi intuición me dice que es difícil de decidir, a mí me cuesta ver ahí, no sabría a qué carta apostar.

Es decir, el planteamiento es un poco éste: supongamos cuatro distancias [texx]d_1<d_2<d_3<d_4[/texx] y a partir de un cierto “n” ya no hay primos a esas distancias; entonces, si a partir de ahí sí hay dos primos a una distancia [texx]d_5>d_4[/texx], entre medias no podrá haber ningún primo que, respecto de ésos, esté a una distancia de las dichas anteriormente.

Gracias de antemano.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: Luis Fuentes en 25/05/2016, 09:54:55 am
Hola

Una pregunta sobre una cuestión parecida (no sé si implicaría exactamente la idea de Gaussito o habría algún matiz):

Supongamos que no existen infinitos gemelos, ni infinitos primos seguidos a distancia de 4 (todo esto sin otros primos de por medio) ni infinitos a distancia de 6, etc.

 ¿implicaría esto que, a partir de alguna cota, de algún número natural muy grande, todos los primos consecutivos estuvieran a distancias diferentes entre ellos? A priori mi intuición me dice que es difícil de decidir, a mí me cuesta ver ahí, no sabría a qué carta apostar.

En primer lugar suponer que no existen infinitos gemelos es ya una apuesta arriesgada.

Por otra parte que el número de primos a cualquier distancia fija sea finito, no implicaría que a partir de alguna cota todos los primos estén a distancia diferente. Podría ocurrir, por ejemplo, que siempre existan tripletes de primos equidistanciados (cada vez a distancias más grandes).

Saludos.



Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: geómetracat en 25/05/2016, 10:31:16 am
Una conversación muy interesante. Si me permitís, un par de comentarios sobre el tema.

El primero aunque no es de relevancia directa sobre el tema que se está tratando, arroja cierta luz sobre el comportamiento de los primos y además es uno de los grandes teoremas sobre primos que se han demostrado últimamente. Lo comento por si alguien no lo conoce. El teorema de Green-Tao afirma que dado cualquier número natural [texx]k>0[/texx], existe una progresión aritmética de longitud [texx]k[/texx] donde todos sus elementos son primos.

El segundo, más relevante para la discusión, es que recuerdo haber ido hace un par de años a una conferencia de un tal James Maynard donde hablaba de este tipo de problemas. En particular, parecía que usando técnicas de cribaje se habían hecho avances importantes hacia una demostración de la conjetura de los primos gemelos y también hacia problemas del mismo tipo que los que estáis hablando aquí. Esto está muy alejado de mi campo así que tampoco puedo aportar mucho, pero igual sería buena idea echar un vistazo a los papers de este hombre.

Tras una búsqueda en google he encontrado éste que parece bastante relevante:

http://arxiv.org/abs/1311.4600 (http://arxiv.org/abs/1311.4600)

En particular, el resultado principal de este paper implica que dado cualquier natural [texx]m[/texx], existe otro natural [texx]C[/texx] tal que existen infinitos intervalos de [texx]C[/texx] números naturales consecutivos con [texx]m[/texx] primos. Parece que esto demuestra que la conjetura original de Gaussito es falsa.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: feriva en 25/05/2016, 10:43:21 am


En primer lugar suponer que no existen infinitos gemelos es ya una apuesta arriesgada.

No era una apuesta, era por hacer la suposición de Gaussito, yo creo que hay infinitos primos gemelos.

Cita
Por otra parte que el número de primos a cualquier distancia fija sea finito, no implicaría que a partir de alguna cota todos los primos estén a distancia diferente. Podría ocurrir, por ejemplo, que siempre existan tripletes de primos equidistanciados (cada vez a distancias más grandes).

Qué tonto he estado ahí, pues claro, de hecho en el ejemplo que pongo podría haber varios primos a esa distancia [texx]/d_5[/texx] que digo.


Gracias.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: feriva en 25/05/2016, 10:46:06 am

En particular, el resultado principal de este paper implica que dado cualquier natural [texx]m[/texx], existe otro natural [texx]C[/texx] tal que existen infinitos intervalos de [texx]C[/texx] números naturales consecutivos con [texx]m[/texx] primos. Parece que esto demuestra que la conjetura original de Gaussito es falsa.

Gracias; era de sospechar (en cuanto al documento, en mi caso, es mucho arroz para tan poco pollo, pero tengo confianza en que la demostración no tenga pegas).

Saludos.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: Luis Fuentes en 25/05/2016, 10:53:07 am
Hola

Tras una búsqueda en google he encontrado éste que parece bastante relevante:

http://arxiv.org/abs/1311.4600 (http://arxiv.org/abs/1311.4600)

En particular, el resultado principal de este paper implica que dado cualquier natural [texx]m[/texx], existe otro natural [texx]C[/texx] tal que existen infinitos intervalos de [texx]C[/texx] números naturales consecutivos con [texx]m[/texx] primos. Parece que esto demuestra que la conjetura original de Gaussito es falsa.

Ese resultado es exactamente el que indiqué aquí:

En la página 5, en la conjetura 1.3 se afirma que: para cualquier entero [texx]n\geq 2[/texx], existe una cota [texx]B_n[/texx] tal que hay infinitos intervalos de longitud [texx]B_n+1[/texx] con al menos [texx]n[/texx] primos.

En particular para [texx]n=3[/texx], habría infinitos intervalos de longitud [texx]B_3+1[/texx] con al menos [texx]3[/texx] primos. Eso supondría que tu conjetura es falsa para [texx]m>B_3[/texx].

Lo que no tengo tan claro es que efectivamente esté probado; yo lo encontré como conjetura en el artículo:

A. Granville. "Primes in intervals of bounded lenghts (http://www.ams.org/journals/bull/2015-52-02/S0273-0979-2015-01480-1/S0273-0979-2015-01480-1.pdf)" Bulletin of the AMS.Volume 52, Number 2, April 2015, Pages 171–222

donde se citan varios resultados precisamente el artículo de Maynard al que te refieres.

Ten en cuenta que algunos resultados de Mayanard se prueban dando por cierta alguna que otra conjetura.

En primer lugar suponer que no existen infinitos gemelos es ya una apuesta arriesgada.

No era una apuesta, era por hacer la suposición de Gaussito, yo creo que hay infinitos primos gemelos.

Gaussito no supone que haya un número finito de primos gemelos. El conjetura a partir de tríos de primos a distancia menor que una constante. En ese sentido hace la similitud con el Teorema de Fermat, en cuanto que se cumpliría un cierto resultado para [texx]n=2[/texx] (primos) pero no para [texx]n>2[/texx].

Saludos.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: geómetracat en 25/05/2016, 11:05:56 am
Pues tienes toda la razón. Pero en ese artículo precisamente lo ponen como corolario del teorema de Maynard, ¿no? ¿Dónde dice que sea una conjetura?


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: feriva en 25/05/2016, 11:08:05 am


Gaussito no supone que haya un número finito de primos gemelos.
No apuesto porque haya un número finito, no decía de Gaussito, apuesto porque haya infinitos, pero que tomaba su hipótesis

Ah, perdón he leído mal

Saludos.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: Luis Fuentes en 25/05/2016, 11:14:47 am
Hola

Pues tienes toda la razón. Pero en ese artículo precisamente lo ponen como corolario del teorema de Maynard, ¿no? ¿Dónde dice que sea una conjetura?

¡Ah, pues parece que tienes razón!. En la página 5, donde dice Corollary 1.3.. ¡juro que en su momento leí conjetura! y de hecho así lo había puesto en mi mensaje anterior:

En la página 5, en la conjetura 1.3 se afirma que: para cualquier entero [texx]n\geq 2[/texx], existe una cota [texx]B_n[/texx] tal que hay infinitos intervalos de longitud [texx]B_n+1[/texx] con al menos [texx]n[/texx] primos.

Leí mal...   :D

Saludos.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: geómetracat en 25/05/2016, 11:21:59 am
Jaja, me lo había imaginado. Como al principio del artículo no hacen más que poner conjeturas varias...

Bueno, parece que esto resuelve el asunto.

Por cierto, gracias por el artículo de Granville, parece un buen sitio donde aprender algo sobre el tema para un lego. Desde luego, se ve más asequible que el de Maynard.


Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: Gaussito en 26/05/2016, 03:37:08 am
Como decimos en Venezuela, "Eso es mucho camisón pa Petra" o haciendo alusión a Vigotsky, esto está fuera de mi zona de desarrollo próximo, sin embargo estoy haciendo un inimaginable esfuerzo para entender un poco.

Una observación algo tonta de la demostración de Tao, es que los números primos que forman dicha progresión geométrica terminan siempre en la misma cifra (1, 3, 7 o 9), o en otras palabras, la razón de la progresión aritmética es múltiplo de 10. Algo que no veo, es cómo la demostración de que hay progresiones geométricas de primos del tamaño que sean, tenga relación con la conjetura que realicé, por más que lo pienso no le encuentro relación. Pero voy a seguir revisando y luego comentaré.

Gracias a todos por los excelentes aportes.

Saludos.



Título: Re: Cúmulos de primos
Publicado por: Luis Fuentes en 26/05/2016, 05:05:30 am
Hola

Una observación algo tonta de la demostración de Tao, es que los números primos que forman dicha progresión geométrica terminan siempre en la misma cifra (1, 3, 7 o 9), o en otras palabras, la razón de la progresión aritmética es múltiplo de 10. Algo que no veo, es cómo la demostración de que hay progresiones geométricas de primos del tamaño que sean, tenga relación con la conjetura que realicé, por más que lo pienso no le encuentro relación. Pero voy a seguir revisando y luego comentaré.

Aritméticas, no geométricas.

Por que en realidad el corolario que tumba por completo tu conjetura, se basa en un resultado algo más fuerte que la simple existencia de progresiones aritméticas de primos de cualquier longitud (El Teorema de Mayanard-Tao que se cita en el artículo de Granville en la página 5); existen infinitas de estas progresiones y todas ellas con las misma razón. Eso hace que para cada valor de [texx]m[/texx], puede darse una cierta longitud de intervalo [texx]B_m[/texx] de manera que existan infinitos intervalos de tal longitud con [texx]m[/texx] primos.

Saludos.