Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: geoman en 11/04/2016, 03:40:09 pm



Título: Integrabilidad Riemann-Lebesgue
Publicado por: geoman en 11/04/2016, 03:40:09 pm
Me piden probar que la función [texx]\frac{x^{t}-1}{log(x)} [/texx] es int.Riemann y Lebesgue en [texx](0,1)[/texx] con [texx]t\in (-1,0)[/texx]

Mis ideas:

La función no cambia de signo en [texx](0,1)[/texx] para cualquiera [texx]p\in (-1,0)[/texx]

El límite de [texx]x\rightarrow{1^{-}}=p[/texx]

El limite de[texx] x\rightarrow{0^{+}}=\infty[/texx]

Si vemos que es int Riemann en sentido impropio concluimos el enunciado, ahora bien he intentado utilizar teoremas como derivación bajo el signo integral pero no se verifican las hipótesis, ¿soluciones?


Título: Re: Integrabilidad Riemann-Lebesgue
Publicado por: Luis Fuentes en 12/04/2016, 05:57:58 am
Hola

Me piden probar que la función [texx]\frac{x^{t}-1}{log(x)} [/texx] es int.Riemann y Lebesgue en [texx](0,1)[/texx] con [texx]t\in (-1,0)[/texx]

Mis ideas:

La función no cambia de signo en [texx](0,1)[/texx] para cualquiera [texx]\color{red}p\color{black}\in (-1,0)[/texx]

El límite de [texx]x\rightarrow{1^{-}}=\color{red}p\color{black}[/texx]

Supongo que ahí donde has puesto [texx]p[/texx] querías poner [texx]t[/texx]. La consecuencia de eso es que la integral "no da problemas" en [texx]1[/texx], porque la función puede extenderse con continuidad a ese punto.

Cita
El limite de[texx] x\rightarrow{0^{+}}=\infty[/texx]

Si vemos que es int Riemann en sentido impropio concluimos el enunciado, ahora bien he intentado utilizar teoremas como derivación bajo el signo integral pero no se verifican las hipótesis, ¿soluciones?

Tienes que:

[texx]\left|\dfrac{x^t-1}{log(x)}\right|=\left|\dfrac{1-x^{-t}}{x^{-t}log(x)}\right|\leq \dfrac{1}{x^{-t}|log(x)|}[/texx]

Si [texx]x<1/3[/texx]:

[texx]\dfrac{1}{x^{-t}|log(x)|}<x^t[/texx]

y la integral [texx]\displaystyle\int_{0}^{1/3}x^t[/texx] con [texx]t\in (-1,0)[/texx] es convergente.

Saludos.


Título: Re: Integrabilidad Riemann-Lebesgue
Publicado por: geoman en 12/04/2016, 02:38:22 pm
Como pruebas la ultima desigualdad para x<1/3


Título: Re: Integrabilidad Riemann-Lebesgue
Publicado por: Luis Fuentes en 13/04/2016, 04:47:37 am
Hola

Como pruebas la ultima desigualdad para x<1/3

Tenemos:

[texx]x<1/3\quad \Rightarrow{}\quad x<1/e \quad \Rightarrow{}\quad log(x)<-1\quad \Rightarrow{}\quad -log(x)>1\quad \Rightarrow{}\quad |log(x)|>1\quad \Rightarrow{}\quad\dfrac{1}{|log(x)|}<1[/texx]

Saludos.