Matemática => Teorema de Fermat => Mensaje iniciado por: Gonzo en 23/08/2015, 06:17:24 am



Título: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 23/08/2015, 06:17:24 am
Hola voy a lanzar un argumento para demostrar que si existiera un contraejemplo (que no lo hay) del último teorema de Fermat (UTF)  las tres bases deberian tener un factor común. Básicamente es lo que establece la Conjetura de Beal. En principio considerar que todas la potencias siguen el siguiente patrón:

[texx]A^2 = (A-1)(A+1)+1[/texx]    [Equation 5]
[texx]A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A[/texx]   [Equation 6]
[texx]A^4 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^2 [/texx]    [Equation 7]
[texx]A^n = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^{n-2} [/texx]    [Equation 8]

Démonos cuenta que la Ecuación 5 indica que podemos producir potencias de grado 2 sin la necesidad, de que los dos números que producen su suma tengan un factor común. Esto es. 3*5+1=16. Obviamente A=4. Es de destacar que esto solo ocurre con las potencias de grado 2. Porque conforme la Ecuación 6, la suma de los dos términos sí que tendrian que tener un factor común.

Si consideramos el UTF con la siguiente expresión: [texx]A^y+(A+b)^y=(A+c)^y[/texx].  Entonces aplicamos el desarrollo del triángulo de Pascal en la potencia [texx](A+b)^y[/texx]. Esto es [texx](A^y+y\cdot A^{y-1}\cdot b+\ldots+y\cdot A\cdot b^{y-1}+b^y)[/texx]. Entonces es fácil ver que todos los sumandos del desarrollo tienen un factor común excepto b^y. Pero nos encontramos en potencias. Ellas tienen sus reglas. Entonces todas las potencias deben tener conforme la Ecuación 8 un factor común (potencias mayores que tres). Si igualamos [texx]A^y +(A^y+y\cdot A^{y-1}\cdot b\ldots+y\cdot A\cdot b^{y-1}+b^y)[/texx] a cualquier potencia mayor que dos. Esto es Equación 6, 7 o 8. Entonces despejamos [texx]b^y[/texx] y obtendremos que b necesariamente debe tener un factor común.  ¿Qué pensais?


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: robinlambada en 23/08/2015, 07:39:23 am
Hola Gonzo,bienvenido al foro.
Recuerda que debes leer y seguir las nomas del foro.
Te las dejo en el enlace.
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=678.0

Para que las fórmulas se muestren correctamente debes encerrarlas entre etiquetas . A modo de ejemplo. Escribes
[tex] A^2 = (A-1)(A+1)+1 [/tex] y se muestra.

[texx]  A^2 = (A-1)(A+1)+1[/texx]

Respecto a tu planteamiento, debo mirarlo con más tiempo. Pero seguro antes te responden personas muy preparadas y competentes en este asunto.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Willix en 23/08/2015, 08:23:16 am
Buenas, Gonzo.
Lo primero es que la conjetura de Beal habla de un factor primo común para [texx]A^{x} + B^{y} = C^{z}[/texx] y es importante tenerlo en mente para no desplazarse sin querer de una conjetura a otra.

En un punto de tu argumento desarrollas [texx](A+b)^{y}[/texx] y ahora, si no me equivoco, por el hecho de que hay un sumando [texx]b^{y}[/texx] usas como referencia tu ecuación 8.

[texx](n_{0}\cdot A^{y} + n_{1} \cdot A^{(y-1)}\cdot b + \cdots + n_{y-1} \cdot A \cdot b^{(y-1)}+ n_{y} \cdot b^{y}) =[/texx]
[texx]= (A+b)^{y} = \Big( \big((A+b)-1\big)\cdot \big((A+b)+1\big) + 1 \Big) \cdot (A+b)^{y-2}[/texx]
[texx]= \big((A+b)^{2} + (A+b) - (A+b) - 1 + 1\big) \cdot (A+b)^{y-2}[/texx]

Obviamente, haciendo eso que he puesto no se llega a ninguna parte; pero si no es eso lo que has hecho, no te he entendido.


Cita
Entonces todas las potencias deben tener conforme la Ecuación 8 un factor común (potencias mayores que tres). Si igualamos A^y +(A^y+y·A^(y-1)·b+…+y·A·b^(y-1)+b^y) a cualquier potencia mayor que dos (se sobre. Esto es Equación 6, 7 o 8. Entonces despejamos b^y y obtendremos que b necesariamente debe tener un factor común.

El asunto es que en tus ecuaciones (de la 6 a la 8), estás sacando como factor al propio A (lo cual es lógico); pero entonces en [texx](A+b)^{y}[/texx] si lo que quieres usar como argumento son tus ecuaciones, debes sacar como factor común [texx](A+b)^{y-2}[/texx]. Además, [texx]A^{y} + B^{y}[/texx] no podrás igualarlo a cualquier cosa, sino a [texx]C^{y}[/texx] que es el supuesto contraejemplo del que se parte.

Básicamente, estamos en este punto:

[texx]A^{y} + B^{y} = C^{y} \Longrightarrow[/texx]

[texx]A^{y} + (n_{0}\cdot A^{y} + n_{1} \cdot A^{(y-1)}\cdot b + \cdots + n_{y-1} \cdot A \cdot b^{(y-1)}+ n_{y} \cdot b^{y}) =[/texx]
[texx]m_{0}\cdot A^{y} + m_{1} \cdot A^{(y-1)}\cdot c + \cdots + m_{y-1} \cdot A \cdot c^{(y-1)}+ m_{y} \cdot c^{y}[/texx]



Básicamente, a partir de ahí me cuesta seguir lo que buscas. En un momento ves A casi como factor común y de ahí pasas a hacer algo con las "b"... No termino de ver tu proceso por tus palabras.

Dicho eso, llega el punto crítico. En toda igualdad se puede añadir o extraer todo factor no nulo que se desee manteniendo la veracidad de la igualdad. ¿En que se traduce eso? En que si querías extraer un factor diferente a [texx](A+b)^{y-2}[/texx], podías. Desde el principio podías. Ilustro el caso

[texx]p \left( \frac{A^{y}}{p} + \frac{B^{y}}{p} \right) = A^{y} + B^{y} = C^{y} = \frac{C^{y}}{p} \cdot p[/texx]

Es decir, lo que planteas es que si [texx]A^{y}+B^{y}=C^{y}[/texx] entonces puedes extraer un factor común. También si se diera que [texx]A^{y} + B^{y} \neq C^{y}[/texx] puedes extraerlo. Entonces, ¿cuál es el punto que planteas y que no termino de entender?

EDICIÓN TERMINADA.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 23/08/2015, 12:56:00 pm
Lo primero gracias a las respuestas. Seguidamente indicar que no me he expresado bien.

Para empezar indicar que [texx] (A+b)^3=A^3+3A^2b+3Ab^2+b^3 [/texx] y de forma general [texx] (A+b)^n=A^n+nA^{n-1}b+\ldots+nAb^{n-1}+b^n [/texx]. Esto no es más que el desarrollo de potencias mediante el Triángulo de Pascal. Si vemos la última expresión, todos los sumandos tienen un factor común, excepto b^n.
Willix, cierto que la Conjetura de Beal señala que las tres bases deben tener un factor común primo. Pero, si lo piensas detenidamente, sea el factor común el número que sea, podrá ser primo o no, si no lo es dicho número se podrá descomponer en un productos de números primos. Ejemplo. En este ejemplo [texx] 70^3 + 105^3 = 35^4 [/texx] el factor común es 35. Obviamente dicho número no es primo. Pero su descomposición, obviamente, si. 7*5. Por lo tanto lo que sea primo o no. Creo que es más importante que sea factor común.
Siguiendo con el mensaje inicial toda expresión de dos potencias puede expresarse con la siguiente expresión [texx] (A)^n+(A+b)^n [/texx] por lo tanto aplicamos el desarrollo comentado del Triángulo de Pascal y obtenemos la siguiente expresión [texx] A^y +(A^y+yA^{y-1}b+\ldots+yAb^{y-1}+b^y [/texx] expresión I, donde todos los sumandos tienen un factor común excepto [texx] b^y [/texx].
¿Hasta aqui de acuerdo?

Toda potencia cumple con la siguiente ecuación [texx] A^n = ((A-1)(A+1)+1)A^{n-2} [/texx] [Equation 8] [II].
Ahora igualamos la expresión I y la expresión II. Y si o si, [texx] b^y [/texx] al despejar dicha variable. Obtenemos una expresión que debe tener un factor común con A. ¿Creéis que el argumento está bien?


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: robinlambada en 23/08/2015, 06:34:03 pm
Hola. Si igualas la expresión I y la II. Obtienes:

(II) [texx]A^n=A^n+(A+b)^n[/texx] (I) [texx]\Rightarrow{}\: b=-A  [/texx]

Pero esto no tiene nada que ver con  [texx]A^{y} + B^{y} = C^{y}  [/texx]

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Willix en 23/08/2015, 08:13:06 pm
Cita
Para empezar indicar que  (A+b)^3=A^3+3A^2b+3Ab^2+b^3  y de forma general  (A+b)^n=A^n+nA^(n-1)b+\ldots+nAb^(n-1)+b^n . Esto no es más que el desarrollo de potencias mediante el Triángulo de Pascal. Si vemos la última expresión, todos los sumandos tienen un factor común, excepto b^n.

Esa parte precisamente era muy clara. Ahí no hay ninguna duda.


Cita
En este ejemplo  70^3 + 105^3 = 35^4 ...

El ejemplo de la conjetura de Beal me parece totalmente correcto; pero reincido en el cuidado de no trasponer de una conjetura a otra. Mi sentimiento de precaución no es porque no recordara que todo número compuesto es producto de primos; es por ser cauto y no igualar a algo que haga que tu planteamiento deje de ser el UTF.

Seguimos hacia delante.
I) [texx]A^{y} + (A+b)^{y} = A^{y} + (n_{0}\cdot A^{y} + n_{1} \cdot A^{(y-1)}\cdot b + \cdots + n_{y-1} \cdot A \cdot b^{(y-1)}+ n_{y} \cdot b^{y})[/texx],   con [texx]n_{i}[/texx] los correspondientes coeficientes binomiales.
II) [texx](A)^{y} = \big( (A-1) \cdot (A+1) + 1 \big) \cdot (A)^{y-2}[/texx]

Y ahora volvemos a lo que te recalqué en la respuesta anterior.La ecuación I) no lo puedes igualar a cualquier cosa; en particular no la puedes igualar a la que has intentado igualarla. Lo único que se sabe es, por el supuesto contraejemplo, que [texx]A^{y} + B^{y} = C^{y}[/texx]; pero nada de igualar a cualquier potencia de A. Te has salido del UTF.


Cita
Dicho eso, llega el punto crítico. En toda igualdad se puede añadir o extraer todo factor no nulo que se desee manteniendo la veracidad de la igualdad. ¿En que se traduce eso? En que si querías extraer un factor diferente a [texx](A+b)^{y-2}[/texx], podías. Desde el principio podías. Ilustro el caso

[texx]p \left( \frac{A^{y}}{p} + \frac{B^{y}}{p} \right) = A^{y} + B^{y} = C^{y} = \frac{C^{y}}{p} \cdot p[/texx]

Lo vuelvo a decir: si de extraer un factor se trataba, lo podrías haber hecho desde el principio. Y el caso se quedaba dentro del UTF:

[texx]\tilde{A} = \displaystyle \frac{A}{\sqrt[y]{p}} \in \mathbb{R}^{+}[/texx]

[texx]\tilde{B} = \displaystyle \frac{B}{\sqrt[y]{p}} \in \mathbb{R}^{+}[/texx]

[texx]\tilde{C} = \displaystyle \frac{C}{\sqrt[y]{p}} \in \mathbb{R}^{+}[/texx]

[texx]\tilde{A}^{x} + \tilde{B}^{y} = \tilde{C}^{y} \Longleftrightarrow A^{y} + B^{y} = C^{y}[/texx]


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 24/08/2015, 03:58:29 am
Chicos mil gracias.  De acuerdo con todo lo dicho.
Imaginemos que la base de II es A* n, pertenece a los N.
Y que la expression I tiene que alcanzar ser potencia. La unica forma es que b tenga un factor comun con A. Cierto?
Entonces hora si. Dejamos libres los exponents, todo ellos son mayores que dos. Y b tiene que tener un factor comun con A. Y obviamente la base de II es i gual a A*n. Este ultimo razonamiento demuestra la Conjetura de Beal?


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 24/08/2015, 05:45:43 am
Hola

Chicos mil gracias.  De acuerdo con todo lo dicho.
Imaginemos que la base de II es A* n, [A,n]\in{}N.

Ahí no sé que has querido decir con A*. ¿Es una nueva variable diferente de A?. Si es así no te lies con asteriscos y ponle otro nombre diferente. En otro caso no sé que has querido poner.

Cita
Y que la expression I tiene que alcanzar ser potencia. La unica forma es que b tenga un factor comun con A. Cierto?


No. No es cierto. O mejor dicho no está justificado. Esa afirmación es gratuita. Entiendo que afirmas que para que:

[texx]A^{y} + (A+b)^{y} = A^{y} + (n_{0}\cdot A^{y} + n_{1} \cdot A^{(y-1)}\cdot b + \cdots + n_{y-1} \cdot A \cdot b^{(y-1)}+ n_{y} \cdot b^{y})[/texx]

sea potencia de un entero, [texx]A[/texx] y [texx]b[/texx] tienen que tener un factor común; pero no has dado un sólo argumento que sostenga esa afirmación. Si piensas que si lo has dado, ¿cuál es?.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: feriva en 24/08/2015, 07:55:05 am
Hola voy a lanzar un argumento para demostrar que si existiera un contraejemplo (que no lo hay) del último teorema de Fermat (UTF)  las tres bases deberian tener un factor común. Básicamente es lo que establece la Conjetura de Beal.


Conocía desde hace tiempo esta conjetura pero nunca he pensado en ella; me parece difícil de probar. La cuestión está en por qué deberían tener un factor común; y eso, si es así, tendrá que ver con las potencias. Sospecho que tiene que estar relacionada (como supongo que también pasa en el UTF) con el hecho de que 2 es el único primo cuyo natural siguiente es también primo; hay muchos a los que les sigue su gemelo, hay muchos a los que les sigue otro a distancia de cuatro u otra distancia mayor... pero sólo hay un primo al que le sigue otro a una distancia particular sin que ocurra con ninguno más (el que esa distancia sea 1, la distancia mínima, es importante, sin duda, pero el 1 no tiene “tamaño”, no sabemos realmente “dónde está”). Creo que el intento de demostración tendría que usar esa particularidad de una manera “fuerte”, caracterizándola de algún modo; o esta particularidad u otra, alguna que realmente pueda decirnos algo, si no... sólo escribiremos letras que no llegarán a ningún sitio. Y no parece nada fácil.     

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 24/08/2015, 04:44:58 pm
Expresión I [texx] A^x +(A^y+yA^{y-1}b+\ldots+yAb^{y-1}+b^y)[/texx]
Expresión II [texx] (nA)^z = ((nA-1)(nA+1)+1)(nA)^(z-2) [/texx] donde n pertenece a los números enteros positivos.
Si igualamos I y II. Despejamos b. Obtenemos [texx] b=((An)^z-Ax)^(1/y)-A [/texx]. Expresión III.
La potencia [texx] (A+b)^y [/texx] . La desarrollo mediante el Triangúlo de Pascal. Que si, es fruto del binomio de Newton con sus coeficientes. Aunque yo me aclaro, me parece más fácil con la óptica establecida con el Triángulo de Pascal. Dicho Triángulo, muestra de forma fácil, que ningún desarrollo de ninguna potencia, sus coeficientes, mantienen por ellos mismos un factor común.  ¿Qué ocurriría si b de la Expresión I adoptara el valor de un número primo. Es decir [texx] 2^x+(2+5)^y=2^x+(2^y+y2^(y-1)5+\ldots+2\cdot{}5^(y-1)+5^y) [/texx]. Creo que nunca alcanzaría ser una potencia de ningún número entero, no creéis?.

En otras palabras, para que I, sea potencia de números enteros mayores que dos, debería ser igual a II. La variable b, conforme Conjetura de Beal, tiene que ser integra. Por lo tanto si b es un número integro, este deberá tener un factor común con A. Oberservemos Expresión III.

Los números primos son muy interesantes, al igual que la Conjetura de Riemman. Cierto que el 2 y el 3 son los únicos primos que les separa el 1. Pero es lógico, todos los primos son impares, excepto el 2, (si no serian divisibles de dos) por lo tanto no les queda más remedio que crecer a base de números pares. Porque si a un número impar le sumamos 1, automáticamente se convierte en par y ya no es primo.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: feriva en 24/08/2015, 05:36:39 pm


Los números primos son muy interesantes, al igual que la Conjetura de Riemman. Cierto que el 2 y el 3 son los únicos primos que les separa el 1. Pero es lógico, todos los primos son impares, excepto el 2, (si no serian divisibles de dos) por lo tanto no les queda más remedio que crecer a base de números pares. Porque si a un número impar le sumamos 1, automáticamente se convierte en par y ya no es primo.


Pero eso no diferencia al 2, también todos los múltiplos de 3 son “triares” (podríamos inventar la palabra) y los demás son “intriares”, y así podríamos hablar de “septares” o de los múltiplos de cualquier otro primo; si a cualquier múltiplo de 3 u otro primo que no sea el 2, le sumas 1, y nunca puede ser múltiplo de ese primo; por tanto, eso no caracteriza al 2.
Los pares no son más que los múltiplos de 2 y los impares no son más que no múltiplos de 2, sólo se diferencia por ser el primer primo y lo que conlleva al ser el único que es sucedido por un primo y antecedido por la unidad.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Willix en 24/08/2015, 09:43:13 pm
Expresión I [texx] A^x +(A^y+yA^{y-1}b+\ldots+yAb^{y-1}+b^y)[/texx]
Expresión II [texx] (nA)^z = ((nA-1)(nA+1)+1)(nA)^(z-2) [/texx] donde n pertenece a los números enteros positivos.
Si igualamos I y II ...

¿Estamos de acuerdo, primero y ante todo, en que ya no estamos en el UTF?

NO: Entonces mantenemos la idea original de que partíamos de un supuesto ejemplo del UTF. Teníamos un caso del tipo [texx]A^{y} + B^{y} = C^{y}[/texx] y ahora hemos cambiado a algo de la forma [texx]A^{x} + B^{y} = D^{z}[/texx] sin motivo aparente.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)


[texx]SI:[/texx] Entonces estamos hablando de algo de la forma [texx]A^{x} + B^{y} = D^{z}[/texx], pero que no tiene porqué cumplir el UTF. Perfecto.

¿De dónde sale II? ¿Impones desde el principio como condición que estás en el caso particular de una igualdad de la forma [texx]A^{x} + B^{y} = n^{z} C^{z}[/texx]  ?


[texx]NO:[/texx] Entonces debe haber un motivo para imponer que la igualdad de I con II dado que no vale igualar cualquier cosa a cualquier otra. ¿Cuál es tal motivo?

Spoiler (click para mostrar u ocultar)


[texx]SI:[/texx] Perfecto. Seguimos por aquí el razonamiento sin pegas.



Cita
Dicho Triángulo, muestra de forma fácil, que ningún desarrollo de ninguna potencia, sus coeficientes, mantienen por ellos mismos un factor común.

En el cómputo numérico te doy la razón: el resultado es el que es, se exprese como se exprese; pero vuelvo a decir que en el aspecto algebraico nada te impide extraer un factor común.



Cita
¿Qué ocurriría si b de la Expresión I adoptara el valor de un número primo. Es decir  [texx]2^x+(2+5)^y=2^x+(2^y+y2^(y-1)5+\ldots+2\cdot{}5^(y-1)+5^y)[/texx] . Creo que nunca alcanzaría ser una potencia de ningún número entero, no creéis?

Creer no supone nada hasta que se demuestre algo o lo contrario... ¡Es más!, planteas el caso particular [texx]A^{x} + (A+p)^{y} \neq m^{t}[/texx] de sumas de potencias enteras de bases enteras y con p un primo, ¿no? Eso es un caso particularmente opuesto al tuyo de inicial. Partías de que I equivalía a II --es decir, I se expresa como potencia de un entero-- y ahora dices que I no se puede expresar como potencia de un entero --ahora afirmas que I no equivale a II-- ¿Por qué sin haber probado aún nada tenemos una contradicción?



Cita
En otras palabras, para que I, sea potencia de números enteros mayores que dos, debería ser igual a II. La variable b, conforme Conjetura de Beal, tiene que ser integra. Por lo tanto si b es un número integro, este deberá tener un factor común con A. Oberservemos Expresión III.

Ni que decir que no hay nada que haga llegar a tanta conclusión (salvo a la conclusión de que no se tiene nada). Además de que si no tomabas como condición inicial que I = II estamos en el mismo punto que en tu post previo donde imponías igualdades sin ton ni son. Tampoco sé a qué te refieres con que b sea íntegro, pero para el caso...




PD: ¿Sabes porqué la conjetura de Beal toma como condición que los exponentes sean estrictamente mayores que 2? Porque para exponentes menores o iguales que dos se tienen el teorema de Fermat de la suma de cuadrados y las ternas pitagóricas.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 25/08/2015, 10:37:14 am
Hola. Desde Luego que el post lo tendria que haver titulado la Conjetura de Beal. En breve rerespondere a las indicaciones. Aunque  me a salta una duda. Si obtuvieramos una ecuacuacion con la que obtener t odos los valores  conocidos a la Conjetura (durangobill.com) . Podria decir que la conjetura esta r esuelta?


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 25/08/2015, 04:45:39 pm
Ambas expresiones I y II. Las obtengo al intentar modelizar los valores que cumplen la Conjetura. (http://durangobill.com/Beals22simple.txt). Peter Norving, supongo que tendrá más. Pero sus resultados no son públicos.
La ecuación general es [texx] A^x+(A+b)^y=(A±c)^z [/texx]. Dicha expresión la cumplen todos los valores nombrados. Obviamente A, b y c, tienen un factor común.
Willix, indicas que “En el cómputo numérico te doy la razón: el resultado es el que es, se exprese como se exprese; pero vuelvo a decir que en el aspecto algebraico nada te impide extraer un factor común.” Está claro. Pero para que cumpla conjetura, el factor común debe ser un número entero.

La expression III, [texx] b=((An)^z-A^x)^(1/y)-A [/texx], ¿no demuestra que I y II debén tener un factor común?. Porque cualquier número que obtengamos de dicha expresión que sea entero o integro, tendrá que tener un factor común con A. ¿Cierto? ¿Este razonamiento no demuestra que I y II deben tener un factor común, todos sus sumandos?

Igualar la expresión I y II, es el  intento de encontrar un modelo que se ajuste a la Conjetura e intentar demostrar que  deba haber un factor común.

Y la PD la contesto con http://gaussianos.com/beal-y-la-conjetura-de-los-100000-dolares/.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 25/08/2015, 05:23:38 pm
Hola

Ambas expresiones I y II. Las obtengo al intentar modelizar los valores que cumplen la Conjetura. (http://durangobill.com/Beals22simple.txt). Peter Norving, supongo que tendrá más. Pero sus resultados no son públicos.
La ecuación general es [texx] A^x+(A+b)^y=(A±c)^z [/texx]. Dicha expresión la cumplen todos los valores nombrados. Obviamente A, b y c, tienen un factor común.

Lo que aparece en la página que enlazas son ejemplos de valores para los cuáles se cumple la conjetura; no tiene nada de raro. Precisamente porque uno siempre encuentra casos donde se cumple y ninguno donde falla se sospecha que tal conjetura es cierta.

Cuando dices que "obviamente"   las variables implicadas tienen un factor común; supongo que te refieres que es obvio que tiene que ser así porque si no se hubiese tirado abajo la conjetura; pero no porque halla ningún razonamiento objetivo obvio conocido que nos lleve a estar seguros de que tal factor debe de existir.

Cita
La expression III, [texx] b=((An)^z-A^x)^(1/y)-A [/texx], ¿no demuestra que I y II debén tener un factor común?. Porque cualquier número que obtengamos de dicha expresión que sea entero o integro, tendrá que tener un factor común con A. ¿Cierto? ¿Este razonamiento no demuestra que I y II deben tener un factor común, todos sus sumandos?

Pero el problema es que desde el principio igualas las expresiones I, [texx]A^x+(A+b)^y[/texx] y II, [texx](nA)^z[/texx] y... claro.. si son iguales está claro que entonces [texx]b[/texx] tiene que ser divisible por [texx]A[/texx].

¿Pero por qué habían de ser iguales? Es decir eso no prueba que en el caso general [texx]A^x+(A+b)^y=(A+c)^z[/texx], los tres factores tengan que tener un factor común.

Dicho de otra manera y más en general, es trivial que si en la igualdad [texx]A^x+B^y=C^z[/texx] dos de los factores tienen un divisor primo común éste también divide al tercero; pero el problema es probar que necesariamente dada la igualdad existen esos dos factores con divisor primo común.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Willix en 25/08/2015, 09:00:37 pm
Cita de: Gonzo en Hoy a las 20:45:39
Cita
Ambas expresiones I y II. Las obtengo al intentar modelizar los valores que cumplen la Conjetura. (http://durangobill.com/Beals22simple.txt). Peter Norving, supongo que tendrá más. Pero sus resultados no son públicos.

Me alegra ver finalmente una base en todo este proceso. Desde aquel remoto "...igualamos [texx]A^y +(A^y+y\cdot A^{y-1}\cdot b\ldots+y\cdot A\cdot b^{y-1}+b^y)[/texx] a cualquier potencia de dos..." en el UTF hasta aquí nos has tenido en vela con el porqué de igualar cada I que ha aparecido con su II correspondiente.
Entonces I procede directamente de la fórmula en la conjetura de Beal y II de un modelo basado en comprobación numérica (tampoco es una ley probada). Doy por hecho que todos los ejemplos conocidos tienen como resultado un número del tipo II.

Cita
La ecuación general es  [texx]A^x+(A+b)^y=(A\pm c)^z[/texx] . Dicha expresión la cumplen todos los valores nombrados. Obviamente A, b y c, tienen un factor común.
Efectivamente todos los ejemplos conocidos cumplen la conjetura de Beal sobre el factor primo, si no estaría ya desechada; pero por obvio que parezca estamos en una conjetura.



Ahora que por fin hay un sentido en igualar I y II, se pueden comentar los resultados de igualar I y II para obtener III.
Cita
La expresión III  [texx]b=\big((An)^{z}-A^{x}\big)^{\frac{1}{y}} - A[/texx] ¿no demuestra que I y II deben tener un factor común?. Porque cualquier número que obtengamos de dicha expresión que sea entero o integro, tendrá que tener un factor común con A. ¿Cierto? ¿Este razonamiento no demuestra que I y II deben tener un factor común, todos sus sumandos?

Por desgracia no. El problema reside en que no hay nada (que no sean ejemplos) que haga de II una ley para la conjetura. Es un poco cíclico: de una conjetura conjeturo algo que confirma la conjetura. En este caso de la conjetura de Beal conjeturas que el cómputo es de la forma [texx](nA)^{z}[/texx] para obtener un factor común. Habría que probar que para cualquier A,b,x,y se pueden escoger algún n y algún z que forma que I=II.



Es tarde y vengo de salir, así que en todo el texto puede haber fallos. Lo revisaré mañana. Pero de nuevo, me alegra mucho que el planteamiento al fin este encauzado sin vacíos de justificaciones.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: robinlambada en 26/08/2015, 04:31:51 am
Hola, espero ayudar a aclarar a Gonzo su error y no liar más el tema.

Coincido plenamente con lo expuesto por el_manco. la clave está en que la ecuación que hay que probar que tienen un factor común todas las bases es: [texx] A^x+B^y=C^z [/texx] o también: [texx] A^x+(A+b)^y=(A±c)^z [/texx].

Pero tu has partido de: [texx]A^x+(A+b)^y=(nA)^z[/texx], es decir as supuesto (que no demostrado) que [texx]C=n\cdot{}A[/texx] es divisible entre A, y el propio A obviamente también es divisible por si mismo. Partes de que si dos bases en la ecuación son divisibles entre A, entonces el tercero también, pero eso es obvio. Debes demostrar como dice el manco que tu hipótesis no es tal y es un hecho. Es decir demostrar que necesariamente dos bases tienen un factor común.

Una sugerencia de demostración podría ser, partir de que las tres bases son primos relativos, (sin factores en común). y llegar a una contradicción. No puedes partir de algo que está implícito en lo que quieres demostrar (equivalente), pues partes como si ya fuera cierto.

Habría que probar que para cualquier A,b,x,y se pueden escoger algún n y algún z que forma que I=II.

No. Entonces como para [texx]2^3+(2+1)^3=35\neq{(n\cdot{}2})^z \,\, \forall{}\,\, n\,\, \wedge \,\, z\,\,\in{N}[/texx] La conjetura sería falsa.

No se trataría de demostrar que es una identidad que obviamente no lo es, en todo caso demostrar que para los casos en que [texx] A^x+(A+b)^y=C^z\Rightarrow{}C=n\cdot{}A [/texx]. (Si la suma de potencias es otra potencia ,  entonces  C es múltiplo de A [texx]C=n\cdot{}A[/texx] )

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Willix en 26/08/2015, 06:22:39 am
No sentencié en ningún momento que lo que dije que debería probar (siguiendo su línea de razonamiento) fuera verdad, robinlambada. Obviamente lo que tu has dicho es la base para demostrar la conjetura de Beal; pero él buscó una condición para C (básicamente la conjetura de Beal) para obtener el factor A en b y para ello necesita demostrar previamente su condición para C (sin usar la propia conjetura de Beal). En definitiva lo encaucé más como una búsqueda de un resultado previo que hace inmediata a la conjetura de Beal que como el camino para demostrar la propia conjetura.

También admito que anoche casi me se me mueren las últimas neuronas intentando poner una relación más o menos con sentido... Pero había tantas variables, tanto sueño...  :'(


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: robinlambada en 26/08/2015, 08:55:57 am
No sentencié en ningún momento que lo que dije que debería probar (siguiendo su línea de razonamiento) fuera verdad, robinlambada
Creo que no me has entendido. No se trata de sentenciar nada.

Solamente que lo que tu dices que Gonzo debería hacer para probar la conjetura, realmente no probaría la conjetura, pues tu impones que para demostrarla , esta debería ser  válida para cualquier A ,x y b
Habría que probar que para cualquier A,b,x,y se pueden escoger algún n y algún z que forma que I=II.

y esto es falso, pues la conjetura no se aplica para todos los valores naturales de A, x  y b , si no solo para los que cumplan la ecuación.

[texx]A^x+(A+b)^y=C^z[/texx] se debe probar A, A+b y C tienen al menos un factor primo común.

Como ejemplo, para probar que el teorema de Pitágoras tiene soluciones enteras [texx]A^2+B^2=C^2[/texx], no hay que probar que para cualquier valor entero de A y B existe  algún C entero, tal que [texx]A^2+B^2=C^2[/texx] , por que según tu razonamiento, para [texx]A=B=1[/texx]

[texx]1^2+1^2=(\sqrt[ ]{2})^2[/texx] y [texx]\sqrt[ ]{2}\not\in{Z}[/texx] , entonces podríamos concluir que el teorema de Pitágoras no tiene soluciones enteras. Lo cual es falso.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Willix en 26/08/2015, 09:58:02 am
Si, te he entendido.

No he dicho en mi respuesta de hoy que
Cita
Habría que probar que para cualquier A,b,x,y se pueden escoger algún n y algún z que forma que I=II.
sea correcto.

He dicho que para tomar el planteamiento de Gonzo como una prueba, II debe tener una base demostrada (y no simplemente comprobada); mi intención era plasmar que siguiendo la línea que seguía necesitaba un resultado previo y externo a la propia conjetura. En un esfuerzo de dar alguna idea de dicho resultado puse eso. Obviamente eso no sirve (ni por la expresión ni por los cuantificadores). Pero avisé de que iba a haber fallos en mi planteamiento: he ahí uno. Tampoco afirmo que haya tal resultado, dado que lo veo como un aspecto cíclico.

¡Saludos!  :)

PD: Con sentenciar me refiero simplemente a afirmar.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: robinlambada en 26/08/2015, 01:20:40 pm
No sentencié en ningún momento que lo que dije que debería probar (siguiendo su línea de razonamiento) fuera verdad, robinlambada.

No se trata de lo que Gonzo quiera probar  sea verdad o falsedad, tampoco si tu lo dijiste o no, ni yo tampoco creo que en ningún momento he dicho o dado a entender que tu lo hayas dicho. Y estoy de acuerdo en que no has dicho en ningún momento que la conjetura de Beal sea cierta o falsa.

Mi crítica como en todo momento he dicho se refiere a que, en este contexto:

Cita de: Gonzo en Hoy a las 20:45:39
Cita
La expresión III  [texx]b=\big((An)^{z}-A^{x}\big)^{\frac{1}{y}} - A[/texx] ¿no demuestra que I y II deben tener un factor común?. Porque cualquier número que obtengamos de dicha expresión que sea entero o integro, tendrá que tener un factor común con A. ¿Cierto? ¿Este razonamiento no demuestra que I y II deben tener un factor común, todos sus sumandos?

Por desgracia no. El problema reside en que no hay nada (que no sean ejemplos) que haga de II una ley para la conjetura. Es un poco cíclico: de una conjetura conjeturo algo que confirma la conjetura. En este caso de la conjetura de Beal conjeturas que el cómputo es de la forma [texx](nA)^{z}[/texx] para obtener un factor común. Habría que probar que para cualquier A,b,x,y se pueden escoger algún n y algún z que forma que I=II.

La última frase que dices es falsa:

"Habría que probar que para cualquier A,b,x,y se pueden escoger algún n y algún z que forma que I=II."

No he dicho en mi respuesta de hoy que
Cita
Habría que probar que para cualquier A,b,x,y se pueden escoger algún n y algún z que forma que I=II.
sea correcto.

Cierto no has dicho que tu afirmación sea cierta, que no lo es, pero das a entender a la gente de buena fe que cuando la dices es por que crees que es cierta, si a sabiendas de que una frase es falsa la pones como afirmación, estás mintiendo deliberadamente, que sinceramente NO creo que sea tu caso, pienso que la creías , por ello la pusiste.

A pesar de parecer pesado, discúlpame si lo soy, para que quede claro, como ejemplo.

Si yo afirmo:

"Para obtener el grado en matemáticas habría que estudiar la carrera de biología, y con el grado de biología automáticamente te conceden el de matemáticas"

Y Tu me replicas, esa frase es falsa.

Respondo: Yo no dije que "Para obtener el grado en matemáticas habría que estudiar la carrera de biología, y con el grado de biología automáticamente te conceden el de matemáticas" sea correcto

Y tu replicas: cierto, pero lo normal es que cuando alguien afirma algo,es que crea en la veracidad de lo que dice, al menos hasta que no se demuestre lo contrario, de lo contrario estaría mintiendo deliberadamente.

Bueno, centrándome en la frase dentro de su contexto, es decir en el contexto de probar la conjetura de Beal ó la del UTF.

Para probar la "posible" veracidad o falsedad de I=II, No habría que probar para cualquier valor de A,b,x,y se pueden escoger algún n y algún z que forma que I=II.

Por que la conjetura de Beal no se aplica para cualquier valor A,b,x e y , puesto que si se aplicara para cualquier valor de estas variables, la conjetura de Beal diría: Para cualquiera 2 potencias de bases enteras se tiene que su suma es también potencia y además su base tiene un factor común  con alguna base de los sumandos.
Pero  el  enunciado no dice eso, si no en caso de ser verdad para ciertos enteros positivos que [texx]A^{x} + B^{y} = C^{z}[/texx]

con x,y,z>2 , entonces las soluciones para A,B y C deben tener un factor común.

Si pretendiera ser cierta para cualquier A, b, x e y, como has afirmado, por contra-ejemplo sería falsa.

[texx]2^3+(2+1)^3=35\neq{(n\cdot{}2})^z \,\, \forall{}\,\, n\,\, \wedge \,\, z\,\,\in{N}[/texx]

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Willix en 26/08/2015, 02:26:03 pm
Verás, robinlambada, la frase que dije es la que dije y la dije avisando de que podía haber fallos porque no daba más de mi. Si de ahí sacas una presunción de mala fe o no es un asunto tuyo que eres el moderador, decidirás en consecuencia y yo no lo rebatiré porque no puedo añadir nada nuevo salvo que lo interpretas como que sabía que era mentira y lo puse en lugar de que no estaba seguro y a pesar de ello lo puse. Tampoco fue en cualquier caso la mejor opción por mi parte; en consecuencia, no voy a extenderme en ese sentido ni entrometerme en tu deber de moderador: sea lo que tenga que ser.



En cuanto a la parte que sigue sobre el tema del hilo; gracias por repetirlo para volver a dejármelo claro (e incluso citarme la conjetura de Beal...), pero ya te dije que llevabas razón. No es el primer post que hago diciendo que en cuanto aparecen muchos cuantificadores tiendo a liarme (más aún a las dos de la madrugada) y ahí me surgieron muchas posibilidades. Mas a pesar de ello, se puede sobreentender que cuando puse "para cualquier A, b, x e y" en un tema totalmente centrado en la conjetura de Beal no me quería salir de los casos de la conjetura de Beal (indiferentemente de que luego me equivocara con la implicación).

"Pues si querías decir eso haberlo dicho así" cabría llegar a pensarse. Pues también es verdad. Y como se puede sobreentender también que me refería a lo que tu crees y lo hecho no se cambia, sólo queda la opción de no extenderse y anotarlo para la próxima...

Saludos!  :)


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: robinlambada en 26/08/2015, 03:21:57 pm
Verás, robinlambada, la frase que dije es la que dije y la dije avisando de que podía haber fallos porque no daba más de mi. Si de ahí sacas una presunción de mala fe o no es un asunto tuyo que eres el moderador, decidirás en consecuencia y yo no lo rebatiré porque no puedo añadir nada nuevo salvo que lo interpretas como que sabía que era mentira y lo puse en lugar de que no estaba seguro y a pesar de ello lo puse.

???.
Si por casualidad crees que yo podría pensar que tu has obrado de mala fe, te repito que no lo creo en absoluto, quiero que esto te quede claro, pues ya lo puse en negrita para que no te cupiera duda, si te has sentido ofendido, lo siento, pero para nada creo haberte  ofendido, esto es lo que dije ( fíjate sobre todo en lo que quise recalcar (en negrita) que no creo que fuera tu caso, es decir, que no creo que actuaras de mala fe, que no has mentido deliberadamente):

Cierto no has dicho que tu afirmación sea cierta, que no lo es, pero das a entender a la gente de buena fe que cuando la dices es por que crees que es cierta, si a sabiendas de que una frase es falsa la pones como afirmación, estás mintiendo deliberadamente, que sinceramente NO creo que sea tu caso, pienso que la creías , por ello la pusiste.

Fijate que además el NO, lo puse en mayúsculas, para que no hubiera dudas. Pero a pesar de ello las ha habido.

Espero que te quede claro que NO creo que actuaras de mala fe, (solo era un ejemplo, de que uno normalmente se cree lo que dice)

Saludos


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 26/08/2015, 03:22:59 pm
Todo el lio de la Conjetura conforme señala la web gausisanos es porque existen expresiones de este tipo [texx] 2^7+17^3=71^2 [/texx]. Dichas expresiones, potencias con tres bases primas, ¿Por qué no las encontramos con potencias cuyos exponentes son todas mayores que tres? ¿Por qué?
Tras darles muchas vueltas, sospeche, que era debido a [texx]A^2 = (A-1)(A+1)+1[/texx] E1 y a [texx]A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A[/texx] E2.
Si en la ecuación aparece alguna potencia de grado dos, parece ser, que en las bases no tienen porque tener un factor común [texx] 7^3+13^2=8^3 [/texx] y [texx] 104^3+181^2=105^3 [/texx]. De estas expresiones hay pocas. A diferencia de los valores que cumplen la Conjetura que son infinitos. [texx] 2^n+2^n=2^(n+1) [/texx].
Por lo tanto conforme E1 vemos que los sumandos no tienen porque tener un factor común. Pero en E2, en potencias de grado 3 y demás, el factor común sí que está presente. Por lo tanto, (es una opinión que intento demostrar) la razón se encuentra en la flexibilidad de las potencias de grado 2. No es necesario que tengan un factor común. A diferencia de las potencias mayores que dos. Voy a intentar explicarme (en la siguiente reflexión al igual que la Conjetura se consideran que todas las potencias tienen un exponente mayor que dos):
Consideremos las siguientes expresiones:

[texx] A^3 = A^2(A-1)+A(A-1)+A [/texx] E4.
[texx] A^4 = A^3(A-1)+A^2(A-1)+A(A-1)+A [/texx] E5.
[texx]A^n=A^(n-1)(A-1)+\ldots+A^4(A-1)+A^3(A-1)+A^2(A-1)+A(A-1)+A[/texx]  E6.

Todas estas ecuaciones crecen con la suma de [texx] A^m(A-1) [/texx] E7 donde m pertenece a los números enteros positivos. Si consideramos la Conjetura con [texx] A^x+(A+b)^y [/texx]. E8. Dicha expresión y el tercer término de la Conjetura deben cumplir con E4, E5 y E6. Recordemos que todas estas expresiones crecen con E7. Por lo tanto, no es razonable, que el tercer término de la ecuación no este compuesto por A. ¿no creéis? Entonces supongo, que el tercer término es [texx] (A+c)^z=(Ad)^z [/texx].
Es decir que E8, su suma, tendriamos que obtener un algo que cumpla con la estructura de E4, E5 y E6. De este razonamiento, igualo I y II.




Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Willix en 26/08/2015, 06:28:18 pm
No te preocupes, robinlambada; me puse serio porque consideré el tema serio. Verdaderamente si te entendí de otra forma (de forma diametralmente opuesta) en cierto aspecto   :-[   Disculpa si te he hecho sentir incómodo.

Pero en cualquier caso, me ha venido bien de alguna manera; puesto que de la experiencia se aprende. He visto que de aquel post mío había varias cosas peligrosas en cuanto a interpretación y me sirve para ser más atento en el futuro.



En cuanto a Gonzo... Qué bien hilado está todo ahora (creo que no tengo ninguna duda sobre cuál es tu planteamiento).
Si consideramos la Conjetura con [texx] A^x+(A+b)^y [/texx]. E8. Dicha expresión y el tercer término de la Conjetura deben cumplir con E4, E5 y E6. Recordemos que todas estas expresiones crecen con E7. Por lo tanto, no es razonable, que el tercer término de la ecuación no este compuesto por A. ¿no creéis? Entonces supongo, que el tercer término es [texx] (A+c)^z=(Ad)^z [/texx].
Es decir que E8, su suma, tendriamos que obtener un algo que cumpla con la estructura de E4, E5 y E6. De este razonamiento, igualo I y II.

El problema lo tienes en b. En este caso no se tiene que [texx]C = (A d)^{z}[/texx] hasta que no se tenga el resultado que fuerce que b sea múltiplo de A. ¿Verdaderamente fuerza la ecuación [texx]\big[E6\big][/texx] aplicada sobre los sumandos de [texx]\big[E8\big][/texx] algo sobre b para poder afirmarlo sobre C?

Desarrollo lo que se tendría para [texx](A+b)^{y}[/texx]:

[texx](A+b)^{y} = (A+b)^{y-1}(A+b-1) +  \cdots + (A+b)^{2}(A+b-1) + (A+b)(A+b-1) + (A+b)[/texx]

Para cada potencia de [texx]A+b[/texx] se puede reducir el grado paulatinamente hasta tenerlo todo con sumas (que no será sino la expresión del Triángulo de Pascal). No obstante, a partir de ahí y mirando los tres últimos exponentes (sin olvidar la expresión general) se pueden discernir casos de qué pasará (si siguen siendo casos de ConjBeal, si dan condiciones asequibles sobre b, si dichas condiciones de b aportan exponentes enteros y mayores que 2 de las bases... y finalmente, cuando se tenga algo; si ese algo proporciona condiciones sobre C). Por ejemplo:

[texx]\cdots + (A+b-1)(A+b+1)(A+b-1) + (A+b)(A+b-1) + (A+b)[/texx]

Si se intenta coger [texx]A+b[/texx] como factor común no se puede salvo que [texx]b=0[/texx] porque [texx]A+b \geq A[/texx]
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Si se intenta coger [texx]A+b-1[/texx] tenemos problemas con el último término.
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Cosas como esas y más son las que siguen al punto al que llegas. No es nada fácil... Hay que buscar en todo momento soluciones válidas, no caer en falsas hipótesis, no caer en construcciones cíclicas, obtener los resultados previos necesarios a muchas incógnitas, no dejar de analizar qué tiene sentido y qué no... Pero es muy interesante ver cómo se plantean ese tipo de cosas --aun sin llegar a demostrarlo si quiera-- e intentar evitar el cúmulo de cosas que aparecen.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 27/08/2015, 08:27:57 am
Hola

Por lo tanto, no es razonable, que el tercer término de la ecuación no este compuesto por A. ¿no creéis? Entonces supongo, que el tercer término es [texx] (A+c)^z=(Ad)^z [/texx].

"No es razonable", no es un argumento sólido si se usa la palabra "razonable" en sentido coloquial. Lo que hay que encontrar es un argumento sólido fundamentado mediante una cadena de argumentos matemáticos, que justifique que tiene que ser así.

Nada parecido a eso hay en tu argumentación.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 28/08/2015, 01:22:59 pm
Si consideramos la Conjetura del siguiente modo, [texx] A^x+(A+n)^y= A^x+A^y+yA^(y-1)n+\ldots+yAn^(y-1)+n^y [/texx], observamos que n^y es el único sumando que puede no tener un factor común. Por la propiedad distributiva de la multiplicación sabemos que para que todos los sumandos nombrados se unifiquen en un solo producto [texx] (A+c)^z=(Ad)^z [/texx] el sumando [texx] n^y [/texx] debe tener un factor común con todos los demás. Es decir que si  no tiene el factor común de A, factor que comparte con todos los demás factores, nunca se podrán agrupar para formar potencia. Lo dicho solo lo incumplen las potencias de grado dos.

[texx] 2^7+17^3=71^2;2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+2+(17^2)\cdot{}16+17\cdot{}16 +17=(70\cdot{}72)+1; [/texx]
[texx]2(2^5+2^4+2^3+2^2+2+1+1+(17^2)\cdot{}8+17\cdot{}8)+17=70\cdot{}72+1; [/texx]
[texx] 2(2^5+2^4+2^3+2^2+2+1+1+(17^2)\cdot{}8+17\cdot{}8)+8\cdot{}2+1=70\cdot{}72+1; [/texx]
[texx] 2(2^5+2^4+2^3+2^2+2+1+1+17^2\cdot{}8+17\cdot{}8+8)+1=70\cdot{}72+1; [/texx]
[texx] 2\cdot{}(2520)+1=70\cdot{}72+1; 2\cdot{}(35\cdot{}72)+1=70\cdot{}72+1. [/texx]
 

La potencia [texx] 71^2 [/texx] la podemos expresar 70·72+1. Sin que tenga que tener un factor común. Por lo tanto puede ser suma de potencias de bases primas. Porque la expresión 70·72+1 no tiene un factor común. Pero si dicha potencia estuviera en grado 3, entonces la tendríamos que expresar (70·72+1)·71. Imponiendo el factor común a los dos potencias iniciales de la Conjetura.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 28/08/2015, 01:35:40 pm
Hola

Si consideramos la Conjetura del siguiente modo, [texx] A^x+(A+n)^y= A^x+A^y+yA^(y-1)n+\ldots+yAn^(y-1)+n^y [/texx], observamos que n^y es el único sumando que puede no tener un factor común. Por la propiedad distributiva de la multiplicación sabemos que para que todos los sumandos nombrados se unifiquen en un solo producto [texx]\color{red} (A+c)^z=(Ad)^z\color{black} [/texx] el sumando [texx] n^y [/texx] debe tener un factor común con todos los demás. Es decir que si  no tiene el factor común de A, factor que comparte con todos los demás factores, nunca se podrán agrupar para formar potencia.
Lo dicho solo lo incumplen las potencias de grado dos.

Vuelves a los mismo. La igualdad que marqué en rojo:

[texx]\color{red} (A+c)^z=(Ad)^z\color{black} [/texx]

te la sacas de la manga.

Es decir lo único que tu demuestras es que si:

 [texx] A^x+(A+n)^y=(Ad)^z[/texx]

Entonces los tres factores [texx]A,A+n[/texx] y Ad tienen un factor común, lo cuál es una trivialidad, una obviedad.

Pero no pruebas nada sobre lo que interesa, es decir que ocurre si:

 [texx] A^x+(A+n)^y=(A+c)^z[/texx]

Estás repitiendo cíclicamente ese error y no acabo de estar seguro de que entiendas la crítica.

Saludos.

P.D. Para poner exponentes hazlo entre llaves:

[tex]A^{n+1}[/tex] para obtener [texx]A^{n+1}[/texx]

y no:

[tex]A^(n+1)[/tex] con lo cuál se obtiene [texx]A^(n+1)[/texx]


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 28/08/2015, 01:49:06 pm
Yo no igualo. Solo digo que la expresión  [texx]  A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y [/texx] para que se agrupe en potencia, es necesario que [texx] n^y [/texx] tenga un factor común con el resto de los sumandos. Propiedad distributiva de la multiplicación.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 28/08/2015, 05:40:52 pm
Hola

Yo no igualo. Solo digo que la expresión  [texx]  A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y [/texx] para que se agrupe en potencia, es necesario que [texx] n^y [/texx] tenga un factor común con el resto de los sumandos. Propiedad distributiva de la multiplicación.

Esa afirmación en negrita no está demostrada, no está probada, no está justificada. Lo dices, pero no lo demuestras, que es la "madre del cordero". Desde luego la propiedad distributiva de la multiplicación no prueba nada. A priori no hay ningún motivo claro por el cuál [texx]n[/texx] tenga que tener un factor común con los demás términos.

A priori podría ser igual a [texx](A+c)^z[/texx] con [texx]c[/texx] también sin factores comunes y no has dado ningún motivo que justifique, que demuestre, que eso no pueda ocurrir.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 29/08/2015, 07:17:33 am
Tiempo atrás ya lo mencionamos, la secuencia de coeficientes del Triángulo de Pascal, por si sola, no tiene un factor común, porque en ambos extremos siempre tiene el 1. Por lo tanto el factor común lo tienen que aportar los números que se encuentren dentro del paréntesis. Con el objetivo de que todos los sumandos se puedan agrupar en una sola potencia de grado mayor que dos. Es decir las dos potencias iníciales se deben agrupar en una sola.
En referencia a la propiedad distributiva. La Conjetura indica que las tres potencias deben tener un exponente mayor que dos. Por lo tanto [texx] (A^{z-2}A^2; (A^{z-2}(((A-1)*(A+1)+1)) [/texx]. En el caso de que podamos expresar la potencia en forma de dos sumandos, estos sumandos deben tener un factor común. Porque su suma debe expresarse en una sola potencia [texx] (A^{z-2}A^2)[/texx]. El factor común no necesariamente debe ser A. Pero esta expresión, [texx] A^x+(A+n)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y [/texx] (I) tiene que reducirse a un producto de números enteros, es decir a una potencia. Todos los sumandos tienen un factor común que es A o A=factor común (Fc)*número entero. Dicho de otro modo:
[texx] Fc^x+Fc^y+y\cdot{}Fc^{y-1}n+\ldots +yFcn^{y-1}+n^y = Fc(Fc^{x-1}+yFc^{y-1}+\ldots +yFcn^{y-1}+yn^{y-1})+n^y [/texx].
Si n no tiene un factor común con Fc, la expresión I no alcanzara ser un producto tal que Fc·número entero y por consecuente una potencia. Recordemos que n^y es el único sumando que puede no tener un factor común con todos los demás sumandos.
Si I alcanza ser Fc·número entero, entonces, puede ser igual a Fc+Fc·(número entero-1), 2·Fc+Fc·(número entero-2), 3Fc+F·(número entero-3), etc. Por lo tanto el tercer componente de la Conjetura, si se expresa mediante dos números enteros también tiene factor común.



Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 30/08/2015, 06:47:29 am
Hola

Cita
En referencia a la propiedad distributiva. La Conjetura indica que las tres potencias deben tener un exponente mayor que dos. Por lo tanto [texx] (A^{z-2}A^2; (A^{z-2}(((A-1)*(A+1)+1)) [/texx]. En el caso de que podamos expresar la potencia en forma de dos sumandos, estos sumandos deben tener un factor común.

La afirmación que pongo en negrita no está demostrada.

Cita
Porque su suma debe expresarse en una sola potencia [texx] (A^{z-2}A^2)[/texx]. El factor común no necesariamente debe ser A. Pero esta expresión, [texx] A^x+(A+n)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y [/texx] (I) tiene que reducirse a un producto de números enteros, es decir a una potencia. Todos los sumandos tienen un factor común que es A o A=factor común (Fc)*número entero.

La afirmación que pongo en negrita es nuevamente gratuita, no está demostrada.

Cita
Dicho de otro modo:
[texx] Fc^x+Fc^y+y\cdot{}Fc^{y-1}n+\ldots +yFcn^{y-1}+n^y = Fc(Fc^{x-1}+yFc^{y-1}+\ldots +yFcn^{y-1}+yn^{y-1})+n^y [/texx].
Si n no tiene un factor común con Fc, la expresión I no alcanzara ser un producto tal que Fc·número entero y por consecuente una potencia. Recordemos que n^y es el único sumando que puede no tener un factor común con todos los demás sumandos.


Efectivamente si [texx]n[/texx] no tiene un factor común con [texx]F_c[/texx], entonces tal expresión [texx](F_c^x+(F_c+n)^y)[/texx] no dará un número múltiplo de [texx]F_c[/texx]; ¡pero eso es lo qué queremos demostrar (que si la suma es una potencia los tres factores tienen un divisor común)!. Es decir a priori no sabemos que tal expresión (I) tenga que tener factor común alguno con tal sumando; no podemos usar ese hecho para probar que [texx]n[/texx] y [texx]F_c[/texx] tienen un factor común.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 30/08/2015, 02:39:32 pm
Hola

Expresemos la Conjetura con [texx] A^x+(A+b)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y [/texx] (I). Entonces [texx] A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1})+n^y [/texx] . El sumando [texx] n^y [/texx] es el único que puede no tener un factor común. Recordemos que toda la expresión (I) tiene que representarse mediante un producto, en el caso de que sea potencia. Por lo tanto si la expresamos a modo de producto [texx] n^y [/texx] tiene un factor común con A. Si n^y no tiene un factor común con los demás sumandos no la podemos expresar en modo de producto y entonces nunca alcanzara ser potencia. Es decir [texx] A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1}+((n^y)/A)) [/texx]. Si [texx] ((n^y)/A) [/texx] (II) es un número entero la expresión podrá alcanzar ser un producto de números y por lo tanto puede ser potencia. Veamos que si (I) es potencia (II) tiene que ser igual a un número entero. Recordemos que todos los demás sumandos tienen un factor común. Si (II) no es igual a un número entero. (I) no alcanzara ser potencia. En otras palabras para que se cumpla la Conjetura (II) debe tener un factor común con los demás sumandos de (I) es condición necesaria que no suficiente.

¿Qué ocurriría si [texx] n^y [/texx] no tuviera un factor común? Pues que sería el único sumando que no tendría un factor común con los demás sumandos. Porque todos los demás tienen un factor común.

Veamos la siguiente expresión [texx] 3^3+4^3+5^3=6^3 [/texx] expresémosla mediante [texx] 3^3+(3+1)^3+(3+2)^3=(3+3)^3 [/texx]. (III) El 1 y el 2 del segundo y tercer sumando no tienen un factor común con 3. [texx]3^3+(3+1)^3+(3+2)^3= (3^3)+(3^3+3\cdot{}3^2\cdot{}1+3\cdot{}3\cdot{}1^2+1^3+(3^3+3\cdot{}3^2\cdot{}2+3\cdot{}3\cdot{}2^2+2^3)[/texx].

Démonos cuenta que 1^3 y 2^3 son los únicos que no tienen factor común. Pero si los sumamos, su suma es 9 y esta si que tiene un factor común con 3. Entonces podemos expresar la suma a modo de producto es decir 3·(número entero). Condición necesaria que no suficiente, para que (III) sea potencia.

Si intentamos obtener alguna potencia con [texx] 3^3+(3+1)^3 [/texx] es fácil observar que todos los sumandos tendrán un factor común excepto el 1. Entonces este ejemplo no lo podremos expresar a modo de producto. Recordemos que es condición necesaria, por lo tanto, no la podemos expresar en modo de producto y por lo tanto nunca alcanzará ser potencia.

Si dicho ejemplo lo generalizamos [texx] A^x+(A+n)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y [/texx] (I) vemos que para que alcance la condición necesaria, es decir que la podamos expresar a modo de producto n tiene que tener un factor común con A. Porque todos los demás sumandos tienen el factor común. Y tampoco hay un tercer sumando conforme el ejemplo que tenga otro número que se le pueda sumar para alcanzar el factor común. Recordemos que para que se cumpla la Conjetura debe cumplirse tambien la condición necesaria y por lo tanto, la n de la Expresión I tiene que tener un factor común con el resto de los sumandos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: feriva en 30/08/2015, 03:10:46 pm
Hola

Expresemos la Conjetura con [texx] A^x+(A+b)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y [/texx] (I). Entonces [texx] A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1})+n^y [/texx] . El sumando [texx] n^y [/texx] es el único que puede no tener un factor común. Recordemos que toda la expresión (I) tiene que representarse mediante un producto, en el caso de que sea potencia. Por lo tanto si la expresamos a modo de producto [texx] n^y [/texx] tiene un factor común con A. Si n^y no tiene un factor común con los demás sumandos no la podemos expresar en modo de producto y entonces nunca alcanzara ser potencia. Es decir [texx] A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1}+((n^y)/A)) [/texx]. Si [texx] ((n^y)/A) [/texx] (II) es un número entero la expresión podrá alcanzar ser un producto de números y por lo tanto puede ser potencia. Veamos que si (I) es potencia (II) tiene que ser igual a un número entero. Recordemos que todos los demás sumandos tienen un factor común. Si (II) no es igual a un número entero. (I) no alcanzara ser potencia. En otras palabras para que se cumpla la Conjetura (II) debe tener un factor común con los demás sumandos de (I) es condición necesaria que no suficiente.


Hola. Pero no veo que aquí  [texx] A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1}+((n^y)/A)) [/texx], "A" tenga que dividir a [texx]n^y[/texx] ni nada así, ese sumando será un entero al multiplicar por la distributiva porque "A" se cancela, es como si tienes [texx]3(\dfrac{7}{3})[/texx], tres no tiene ningún factor común con 7, pero esa expresión da un entero al multiplicar. Vamos, si te estoy entendiendo, que no sé.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 30/08/2015, 03:26:37 pm
Hola

Expresemos la Conjetura con [texx] A^x+(A+b)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y [/texx] (I). Entonces [texx] A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1})+n^y [/texx] . El sumando [texx] n^y [/texx] es el único que puede no tener un factor común. Recordemos que toda la expresión (I) tiene que representarse mediante un producto, en el caso de que sea potencia. Por lo tanto si la expresamos a modo de producto [texx] n^y [/texx] tiene un factor común con A. Si n^y no tiene un factor común con los demás sumandos no la podemos expresar en modo de producto y entonces nunca alcanzara ser potencia. Es decir [texx] A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1}+((n^y)/A)) [/texx]. Si [texx] ((n^y)/A) [/texx] (II) es un número entero la expresión podrá alcanzar ser un producto de números y por lo tanto puede ser potencia. Veamos que si (I) es potencia (II) tiene que ser igual a un número entero. Recordemos que todos los demás sumandos tienen un factor común. Si (II) no es igual a un número entero. (I) no alcanzara ser potencia. En otras palabras para que se cumpla la Conjetura (II) debe tener un factor común con los demás sumandos de (I) es condición necesaria que no suficiente.




Hola. Pero no veo que aquí  [texx] A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1}+((n^y)/A)) [/texx], "A" tenga que dividir a [texx]n^y[/texx] ni nada así, ese sumando será un entero al multiplicar por la distributiva porque "A" se cancela, es como si tienes [texx]3(\dfrac{7}{3})[/texx], tres no tiene ningún factor común con 7, pero esa expresión da un entero al multiplicar. Vamos, si te estoy entendiendo, que no sé.

Saludos.


Efectivamente al dividir el n^y entre A y al mismo tiempo incluirlo en el parentesis multiplicado por A, la resultante es n^y. La cuestión es que si n^y tiene un factor común con los demás sumandos, entonces pudede cumplir conjetura. En caso contrario no la cumplira.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 31/08/2015, 05:32:41 pm
Hola

Efectivamente al dividir el n^y entre A y al mismo tiempo incluirlo en el parentesis multiplicado por A, la resultante es n^y. La cuestión es que si n^y tiene un factor común con los demás sumandos, entonces pudede cumplir conjetura. En caso contrario no la cumplira.

¡Pero en eso si estamos de acuerdo!.

Si en:

[texx]A^x+(A+n)^y=(A+b)^z[/texx]

[texx]n[/texx] y [texx]A[/texx] no tiene factores comunes, entonces la conjetura no se cumpliría; y equivalentemente, si la conjetura se cumple [texx]n[/texx] y [texx]A[/texx] deben de tener factores comunes.

Si es eso lo que estás queriendo decir todo el tiempo, nada que objetar; pero debes de tener claro que ahí no estás probando en absoluto la conjetura, son reescribiéndola mínimamente de una forma (trivialmente) equivalente. ¿Lo tienes claro?.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 31/08/2015, 06:12:04 pm
Me cuesta.
[texx]A^x+(A+n)^y[/texx].
Dicha expresion ha de alcanzar ser un producto,  condicion necesaria para llegar a ser potencia.  De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicacion, si solo uno de los sumandos no comparte factor comun, la expresion, toda eĺla  no la podremos agrupar en un producto, por lo tanto, la conjetura no cumple.  Esto no implica que  los fres factores compartan ffactor comun si la conjetura cumple?


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 31/08/2015, 06:21:53 pm
Hola

Esto no implica que  los fres factores compartan ffactor comun si la conjetura cumple?

Sin entrar en los razonamientos que te lleven a hacer esa afirmación. ¡Qué los tres factores comparten factor común si la conjetura cumple, es una obviedad, es justo lo que dice la conjetura!.

Entonces cualquier cosa que puedas deducir bajo la hipótesis de que la conjetura se cumpla no te va a servir para probar que efectivamente se cumple, porque si desde el principio suponemos que tal conjetura es cierta ya no tenemos nada que probar.

Así que si realmente crees que estás probando la conjetura, evita trabajar bajo el condicionante "si la conjetura se cumple...", porque en el momento que lo uses ya no estás demostrando nada útil de cara a su verificación.

Saludos.




Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 31/08/2015, 06:42:15 pm
[texx]A^x+(A+n)^y[/texx].

Dicha expresion ha de alcanzar ser un producto,  condicion necesaria para llegar a ser potencia.  De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicacion, si solo uno de los sumandos no comparte factor comun, la expresion, toda eĺla  no la podremos agrupar en un producto, por lo tanto, la conjetura no cumple.  Esto no implica que  los fres factores compartan factor comun si la expresion llega a ser potencia?

Rectifico.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 01/09/2015, 05:09:48 am
Hola

[texx]A^x+(A+n)^y[/texx].

Dicha expresion ha de alcanzar ser un producto,  condicion necesaria para llegar a ser potencia.

Correcto.

Cita
  De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicacion, si solo uno de los sumandos no comparte factor comun, la expresion, toda eĺla  no la podremos agrupar en un producto, por lo tanto, la conjetura no cumple.

Falso.

Por ejemplo si tienes:

[texx]5^7+(5+6)^3=79456=2^5\cdot 13\cdot 191[/texx]

Los factores [texx]A=5[/texx] y [texx]n=6[/texx] no tienen factor común  y sin embargo la expresión [texx]A^5+(A+n)^3=79456[/texx] se factoriza en un producto de varios factores primos distintos (con alguno de ellos elevado a una cierta potencia).

Evidentemente este ejemplo no tira abajo la conjeutra de Beal, porque [texx]79456[/texx] no es una potencia no trivial de otro entero, pero si tira abajo tu arguemento de que para que [texx]A^x+(A+n)^y[/texx] sea un producto [texx]A[/texx] y [texx]n[/texx] han de tener factores comunes.

Si tu en realidad querías decir que para que [texx]A^x+(A+n)^y[/texx] sea una potencia de un entero, entonces [texx]A[/texx] y [texx]n[/texx] han de tener factores comunes, entonces probablemente estés en lo cierto porque eso es exactamente lo que afirma la conjetura de Beal; pero el problema es dar un argumento para demostrar ese hecho. Y no lo has dado (ni tu ni nadie, porque en otro caso tal conjetura estaría probada).

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 01/09/2015, 03:44:05 pm
El argumento es que toda potencia la podemos expresar mediante [texx] A^n = A^{n-1}(A-1) +\ldots+A^4(A-1)+A^3(A-1)+A^2(A-1)+A(A-1)+A [/texx]. Y que con la expresión que mencionamos [texx] A^x+(A+n)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y [/texx] observamos que n^y no está multiplicado por A. Por lo tanto podemos deducir que si la expresión alcanza ser potencia n^y comparte factor común.
Y que [texx]A^2 = (A-1)(A+1)+1[/texx] E1 y [texx]A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A[/texx] E2. E1 indica que podemos obtener potencias de grado 2, mediante la suma de dos números con o sin factor común. Pero E2 nos indica que la potencias de grado tres (y mayores), si la expresamos en suma de dos números, comparten factor común.
Es lo único que puedo decir.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 01/09/2015, 05:31:27 pm
Hola

El argumento es que toda potencia la podemos expresar mediante [texx] A^n = A^{n-1}(A-1) +\ldots+A^4(A-1)+A^3(A-1)+A^2(A-1)+A(A-1)+A [/texx]. Y que con la expresión que mencionamos [texx] A^x+(A+n)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y [/texx] observamos que n^y no está multiplicado por A. Por lo tanto podemos deducir que si la expresión alcanza ser potencia n^y comparte factor común.

No. Podemos decirlo, pero no hay ninguna base que sostenga esa afirmación.

Cita
Y que [texx]A^2 = (A-1)(A+1)+1[/texx] E1 y [texx]A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A[/texx] E2. E1 indica que podemos obtener potencias de grado 2, mediante la suma de dos números con o sin factor común. Pero E2 nos indica que la potencias de grado tres (y mayores), si la expresamos en suma de dos números, comparten factor común.


No. Lo que llamas E2 no indica que las potencias de grado tres y mayores si la expresamos en suma de dos número compartan factor común.

Por ejemplo:

[texx]3^3=27=14+13[/texx]

y ni [texx]3,13,14 [/texx] son coprimos, sin factores comunes

Cita
Es lo único que puedo decir.

Pues lo que has dicho no es en absoluto ninguna prueba de la conjetura de Beal.

Fíjate que estoy intentando ser lo más concreto posible en mi crítica; es difícil, porque lo que argumentas en mi opinión no hay por donde cogerlo para poder aproximarlo a una posible demostración.

Si sigues pensando que tienes una demostración de la conjetura de Beal y piensas seguir defendiéndola, intenta expresarlo de otra manera; si vas a repetir lo mismo creo que no hay mucho más que decir. Que cada cuál saque sus conclusiones.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 01/09/2015, 05:55:56 pm
Cita
No. Podemos decirlo, pero no hay ninguna base que sostenga esa afirmación.

La base es que todas las potencias son suma de un mismo número. Por lo tanto no es lógico que todas los sumandos tengan un factor comun menos uno.

Cita
No. Lo que llamas E2 no indica que las potencias de grado tres y mayores si la expresamos en suma de dos número compartan factor común.

Me refiero a suma de potencias.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 02/09/2015, 05:32:09 am
Hola

La base es que todas las potencias son suma de un mismo número.

¿Qué significado exacto se supone que tiene esta frase? ¿Qué quiere decir qué las potencias son suma de un mismo número?.


Cita
Por lo tanto no es lógico que todas los sumandos tengan un factor comun menos uno.

Cuando dices que no es "lógico", no me queda claro si lo usas en forma coloquial o de manera rigurosa (que es como debe de usarse en matemáticas).

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Sea como sea, decir por si solo "no es lógico" no es un argumento. ¿Por qué no es lógico? ¿Qué hecho matemático concreto se "violaría" si no tuviesen tal factor común?.

Cita
Cita
No. Lo que llamas E2 no indica que las potencias de grado tres y mayores si la expresamos en suma de dos número compartan factor común.

Me refiero a suma de potencias.

El problema es que el hecho de que tu te refieras a una u otra cosa no modifica por si solo la validez o no del argumento; la cuestión es indicar que hace que tu argumento si valga para suma de potencias y no para una suma en la que el exponente de las potencias es uno.

Por ejemplo cuando escribes:

[texx]A^x+(A+n)^y=A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y[/texx]

La fórmula y todas las consecuencias que extraes de ellas siguen siendo válidas si los exponentes [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] son uno.

[texx]A^1+(A+n)^1=A^1+A^1+n[/texx]

de nuevo el único término no multiplicado por [texx]A[/texx] (como tu dices) es [texx]n^1=n[/texx].

Y tu afirmas que eso imposibilita que esa suma pueda dar una potencia de grado tres o superior sin factores comunes; y este ejemplo ([texx]A=13[/texx], [texx]n=1[/texx]):

[texx]13+13+1=27=3^3[/texx]

muestra que no es así, que SI puede obtenerse una potencia mayor que tres sin factores comunes.

Entonces no basta que digas "es que yo me refería a suma de potencias", es decir no basta que excluyas sin más el caso particular [texx]x=1[/texx] [texx]y=1[/texx]. El problema es, ¿qué hecho concreto hace que tu argumento falle para [texx]x=1[/texx] e [texx]y=1[/texx] pero (según tu) funcione cuando [texx]x>1[/texx] e [texx]y>1[/texx]?.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: feriva en 02/09/2015, 07:19:17 am


La base es que todas las potencias son suma de un mismo número. Por lo tanto no es lógico que todas los sumandos tengan un factor comun menos uno.


Si te refieres a que, si existe un factor común, cada sumando se puede escribir como suma de un mismo número repetido las veces que sea, pues claro, es obvio

[texx]ax+az= a+a+a...\,\,equis\,\,veces\,\,+a+a+a...  \,\, ceta  \,\,veces[/texx]


Pero por qué tiene que haber un factor común, cuál es el argumento, qué absurdo aparece si no es así; eso es lo que tienes que encontrar y hacérselo ver a los demás, demostrar es “mostrar” algo para que todos lo vean, y aquí parece ser que nadie ve ningún argumento demostrativo, sólo muestras una intuición.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 04/09/2015, 04:49:03 pm
Sean las siguientes expresiones:
[texx]A^z=A^{z-n}(A-1)+\ldots+A^3(A-1)+A^2(A-1)+A(A-1)+A=A\cdot{}m[/texx] [1]
donde A, z y m son números enteros. [texx]A^z=((A-1)(A+1)+1)A^{z-2}=((A-1)(A+1)A^{z-2}+A^{z-2})[/texx] ahora sumamos y restamos b en los dos sumandos [texx] ((A-1)(A+1)A^{z-2}+b+A^{z-2}-b)[/texx]. Consideremos las dos potencias de forma separada. [texx]((A-1)(A+1)A^{z-2}+b)[/texx] simplificamos [texx]((A^{z}-A^{z-2}+b)[/texx] [2] recordemos la expresión [1]. Por lo tanto solo consideramos los casos en que [2] es potencia es decir [texx]((A^{z}-A^{z-2}+b)=A\cdot{}n [/texx]. Siendo n un número entero. Si despejamos b y es integro, posee un factor común con A. La siguiente potencia [texx] A^{z-2}-b =A\cdot{}j  [/texx]  [3]. Donde j es un número entero. Al igual que la primera solo consideramos los casos en que [3] sea potencia. Si despejamos b también tiene un factor común conforme con la potencia [1]. Entonces A·m= A·n+ A·j.

Dicho razonamiento no funciona con [texx]A^2=(A-1)(A+1)+1=A\cdot{}A[/texx] [4] ya que [texx]A^2=(A-1)(A+1)-b+1+b[/texx] separamos las potencias [texx](A-1)(A+1)-b=A^2-1-b [/texx]. Fijémonos que A^2-1 no tienen la restricción del factor común. La segunda potencia [texx]1+b[/texx] sigue sin tener la restricción del factor común. Y fijemos que su estructura responde la de la ecuación [4]. Ejemplo [texx]5^2 = 24+1=24-8+1+8=16+9[/texx].



Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 06/09/2015, 07:25:10 am
Desde otra perspectiva. Sea A=B·n donde B y n son coprimos. Y m es un número entero.
[texx]A^z=A^{z-1}(A-1)+\ldots+A^3(A-1)+A^2(A-1)+A(A-1)+A=B\cdot{}n[/texx]·m [1].
Supongamos que queremos obtener la expresión [1], es decir la potencia mediante [texx](Bc)^x+(Bc+t)^y[/texx] [2] donde B, c y t son coprimos. Entonces [texx](Bc)^x+(Bc)^y+y((Bc)^{y-1}\cdot{}t+\ldots+y(Bc)t^{y-1}+t^y [/texx]. Supongamos que todos los exponentes son mayores que tres, por lo tanto todas las potencias responden a [texx]A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A[/texx]. Retomemos [2] [texx](Bc)^x+(Bc+t)^y=[todos los sumandos con fc]\cdot{}Bc+t^y [/texx]. Partíamos de la expresión [1] B·m·n entonces igualamos con [2] y llegamos a una incongruencia ya que B·m·n ≠[todos los sumandos con fc]·Bc+t^y. Porque recordemos que B, n, c y t son coprimos. Y en consecuencia [] Bc+t^y, en este caso, todos los exponentes mayores que dos, nunca alcanzara la expresión B·m·n.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 07/09/2015, 06:29:50 am
Hola

Sean las siguientes expresiones:
[texx]A^z=A^{z-n}(A-1)+\ldots+A^3(A-1)+A^2(A-1)+A(A-1)+A=A\cdot{}m[/texx] [1]
donde A, z y m son números enteros. [texx]A^z=((A-1)(A+1)+1)A^{z-2}=((A-1)(A+1)A^{z-2}+A^{z-2})[/texx] ahora sumamos y restamos b en los dos sumandos [texx] ((A-1)(A+1)A^{z-2}+b+A^{z-2}-b)[/texx]. Consideremos las dos potencias de forma separada. [texx]((A-1)(A+1)A^{z-2}+b)[/texx] simplificamos [texx]((A^{z}-A^{z-2}+b)[/texx] [2] recordemos la expresión [1]. Por lo tanto solo consideramos los casos en que [2] es potencia es decir [texx]((A^{z}-A^{z-2}+b)=A\cdot{}n [/texx].

No. Cuando escribes [texx]((A^{z}-A^{z-2}+b)=A\cdot{}n [/texx] no estás considerando un caso en el que [texx]((A^{z}-A^{z-2}+b)[/texx] es potencia; estás imponindo que sea múltiplo de [texx]A[/texx] al igualar a [texx]A\cdot n[/texx]. Si quieres considerar el caso en el que es potencia deberías de escribir:

[texx]((A^{z}-A^{z-2}+b)=C^k [/texx]

o si prefieres:

[texx]((A^{z}-A^{z-2}+b)=(A+c)^k [/texx]

Insisto entonces a ver si queda claro: utilizas sin justificación alguna que esa expresión es un múltiplo de [texx]A[/texx].

Cita
Siendo n un número entero. Si despejamos b y es integro, posee un factor común con A.

Bajo el supueso de que la expresión [2] es múltiplo de [texx]A[/texx], es una trivialidad que [texx]b[/texx] también lo es.

Cita
La siguiente potencia [texx] A^{z-2}-b =A\cdot{}j  [/texx]  [3]. Donde j es un número entero. Al igual que la primera solo consideramos los casos en que [3] sea potencia. Si despejamos b también tiene un factor común conforme con la potencia [1]. Entonces A·m= A·n+ A·j.

Más de lo mismo. Te sacas de la manga el igualar expresiones de la forma [texx]A^{z-2}-n[/texx] a múltiplos de [texx]A[/texx].

Desde otra perspectiva. Sea A=B·n donde B y n son coprimos. Y m es un número entero.
[texx]A^z=A^{z-1}(A-1)+\ldots+A^3(A-1)+A^2(A-1)+A(A-1)+A=B\cdot{}n[/texx]·m [1].
Supongamos que queremos obtener la expresión [1], es decir la potencia mediante [texx](Bc)^x+(Bc+t)^y[/texx] [2] donde B, c y t son coprimos. Entonces [texx](Bc)^x+(Bc)^y+y((Bc)^{y-1}\cdot{}t+\ldots+y(Bc)t^{y-1}+t^y [/texx]. Supongamos que todos los exponentes son mayores que tres, por lo tanto todas las potencias responden a [texx]A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A[/texx]. Retomemos [2] [texx](Bc)^x+(Bc+t)^y=[todos los sumandos con fc]\cdot{}Bc+t^y [/texx]. Partíamos de la expresión [1] B·m·n entonces igualamos con [2] y llegamos a una incongruencia ya que B·m·n ≠[todos los sumandos con fc]·Bc+t^y. Porque recordemos que B, n, c y t son coprimos. Y en consecuencia [] Bc+t^y, en este caso, todos los exponentes mayores que dos, nunca alcanzara la expresión B·m·n.

Aquí nuevamente estás demostrando una cosa que es trivial, obvia, y que no aporta nada.

Partes de la igualdad:

[texx](Bc)^x+(Bc+t)^y=(Bn)^z[/texx]

y muestras que es imposible que [texx]t[/texx] y [texx]B[/texx] sean coprimos. Eso es obvio y no sirve nada. Está claro que si en la expresión:

[texx]P^x+Q^t=R^z[/texx]

dos de los sumandos tienen un factor común (en tu caso [texx]P=BC[/texx] y [texx]R=BC[/texx] tienen a [texx]B[/texx] por factor común), el tercero (en tu caso [texx]Q=Bc+t[/texx]) también tiene ese factor común (en tu caso [texx]B[/texx]).

Pero no es ese caso de particular el que realmente queremos probar. Lo que queremos probar, lo que dice la conjetura de Beal, es que si tenemos

[texx]P^x+Q^t=R^z[/texx]

con exponentes enteros superiores a dos, entonces los tres factores [texx]P,Q,R[/texx] tienen un divisor común. Y esto ha de demostrarse sin suponer que dos de ellos ya tienen el factor común (ya que ese caso es obvio y es el único que estás demostrando en toda tu argumentación).

Saludos.

P.D. Sería bueno que más allá de reescribir una y otra vez tus mismas ideas con pequeños cambios, si vuelves a responder hagas referencia explícita a las críticas y comentarios que te estoy haciendo; porque francamente, no me queda nada claro que los estés entendiendo.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 07/09/2015, 03:46:50 pm
el_manco tienes toda la razón.
Mil gracias.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 07/09/2015, 06:01:49 pm
Aunque dices que:

Cita
Partes de la igualdad:

[texx](Bc)^x+(Bc+t)^y=(Bn)^z[/texx]

y muestras que es imposible que [texx]t[/texx] y [texx]B[/texx] sean coprimos. Eso es obvio...

Entonces t y B tienen un factor comun para que  exista la tercera potencia. Y obviamente tendra un factor comun con t o/y B.




Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 08/09/2015, 04:47:16 am
Entonces ???????


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 08/09/2015, 04:53:21 am
Hola

Aunque dices que:

Cita
Partes de la igualdad:

[texx](Bc)^x+(Bc+t)^y=(Bn)^z[/texx]

y muestras que es imposible que [texx]t[/texx] y [texx]B[/texx] sean coprimos. Eso es obvio...

Entonces t y B tienen un factor comun para que  exista la tercera potencia. Y obviamente tendra un factor comun con t o/y B.

¡Pero vuelves a lo mismo!.

Si partimos de la igualdad [texx](Bc)^x+(Bc+t)^y=(Bn)^z[/texx]... ¡claro qué se deduce que [texx]t[/texx] y [texx]B[/texx] tienen un factor común!.

Pero eso no es la conjetura de Beal. Lo qué ésta pretende probar es esto (y me autocito):

Pero no es ese caso de particular el que realmente queremos probar. Lo que queremos probar, lo que dice la conjetura de Beal, es que si tenemos

[texx]P^x+Q^t=R^z[/texx]

con exponentes enteros superiores a dos, entonces los tres factores [texx]P,Q,R[/texx] tienen un divisor común. Y esto ha de demostarse sin suponer que dos de ellos ya tienen el factor común (ya que ese caso es obvio y es el único que estás demostrando en toda tu argumentación).

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: feriva en 08/09/2015, 07:55:57 am


Hola, Gonzo. Si es que además la forma de atacar un problema de esta dificultad no es ésa, tienes que intentar demostrar casos particulares o pequeñas cosas que puedan estar relacionadas.

Por ejemplo, parte de esta desigualdad:

[texx]a+b \neq c[/texx]

donde “a,b,c” son primos distintos.

Intenta demostrar que no es posible transformar esa desigualdad en una igualdad elevando los elementos de la terna “a,b,c” a distintas potencias mayores que 2.

Hay algo que se demuestra rápido: la suma de dos impares es un par, por lo que alguno de esos números, al ser distintos, tiene que ser 2 si se quiere llegar a una igualdad (porque la potencia de un par es otro par y análogamente con los impares).

Entonces intenta demostrar que con esto (siendo “a,c” primos)

[texx]a+2 \neq c[/texx]

no se puede llegar a una igualdad por medio de elevar los elementos a distintas potencias mayores que 2.

Visto de otra manera, el problema es éste: dos primos pueden sumar otro primo, por ejemplo, 17+2=19 y así con muchos primos gemelos; y son coprimos por ser primos, evidentemente, no tienen un factor común. Entonces, cómo podemos asegurar que, por ejemplo, no se puede transformar esto [texx]13+2 \neq 23[/texx] en una igualdad mediante la potenciación de esos números (es un ejemplo cualquiera entre los infinitos que hay, sería demostrarlo en general, pero puedes empezar por algunos casos particulares para observar cosas).

De entrada, por las condiciones, en el ejemplo no hay factores comunes, así que no intentes que los haya, porque son primos, no los hay por definición; lo que se pide es demostrar que no es posible llegar a la igualdad potenciando los números, no que si no fueran primos pasaría no sé qué.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 12/10/2015, 02:38:15 pm
Hola.

Sea la siguiente expresión:
[texx] 2^7+17^3=71^2[/texx]. Recordemos que [texx] A^n = ((A-1)(A+1)+1)A^{n-2} [/texx]. Entonces [texx] 2^7+17^3=71^2[/texx] por lo tanto [texx] (2^5)*3+(2^5)+16*17*18+17[/texx] sacamos, en la medida de lo posible un factor común y obtenemos [texx] 16*(2*3+2+17*18+1)+1[/texx] [1]. Ahora recordemos que [texx] 17^3=16*17*18+17 [/texx] entonces [texx] 17^3=16*(17*18+1)+1 [/texx]. [2]. Si intentamos obtener la expresión [2] de [1]. Partimos de la expresión [1] [texx] 16*(17(18+((2*3+2)/17))+1)+1[/texx]. Llegamos a la conclusión que si las bases iníciales 2 y 17 no comparten factor común [texx]\ldots((2*3+2)/17)\ldots[/texx] no obtendremos un número entero y entonces no podremos obtener una potencia de grado mayor que dos.

Ahora consideramos las potencias de este tipo [texx] 11^3+37^3=228^2[/texx]. Entonces [texx] 10*11*12+11+36*37*38+37[/texx] sacamos, en la medida de lo posible un factor común y obtenemos [texx]12*(10*11+1+3*37*38+3)[/texx] [3]. Ahora recordemos que [texx] 12^3=11*12*13+12=12*(11*13+1)[/texx] [4]. Si intentamos obtener la expresión [4] de [3]. Partimos de la expresión [3] [texx] 12(10*11+1+3*37*38+3)[/texx]. Igualamos [3]. y [4].  [texx] 12*(10*11+1+3*37*38+3)=12*(11*13+1) [/texx]. Simplificamos [texx] (10*11+1+3*37*38+3)=(11*13+1) [/texx] entonces [texx] 11*(10+(3*37*38+3)/11)+1=11*13+1 [/texx] Llegamos a la conclusión que si las bases iníciales 11 y 37 no comparten factor común [texx]\ldots(3*37*38+3)/11)\ldots[/texx] no obtendremos un número entero y entonces no podremos obtener una potencia de grado mayor que dos.

Este razonamiento expresado de forma genérica, ¿demostraría la conjetura de Beal en el caso de que la tercera potencia sea dos?


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 13/10/2015, 05:50:13 am
Hola

Sea la siguiente expresión:
[texx] 2^7+17^3=71^2[/texx]. Recordemos que [texx] A^n = ((A-1)(A+1)+1)A^{n-2} [/texx]. Entonces [texx] 2^7+17^3=71^2[/texx] por lo tanto [texx] (2^5)*3+(2^5)+16*17*18+17[/texx] sacamos, en la medida de lo posible un factor común y obtenemos [texx] 16*(2*3+2+17*18+1)+1[/texx] [1]. Ahora recordemos que [texx] 17^3=16*17*18+17 [/texx] entonces [texx] 17^3=16*(17*18+1)+1 [/texx]. [2]. Si intentamos obtener la expresión [2] de [1]. Partimos de la expresión [1] [texx] 16*(17(18+((2*3+2)/17))+1)+1[/texx]. Llegamos a la conclusión que si las bases iníciales 2 y 17 no comparten factor común [texx]\ldots((2*3+2)/17)\ldots[/texx] no obtendremos un número entero y entonces no podremos obtener una potencia de grado mayor que dos.

Ahora consideramos las potencias de este tipo [texx] 11^3+37^3=228^2[/texx]. Entonces [texx] 10*11*12+11+36*37*38+37[/texx] sacamos, en la medida de lo posible un factor común y obtenemos [texx]12*(10*11+1+3*37*38+3)[/texx] [3]. Ahora recordemos que [texx] 12^3=11*12*13+12=12*(11*13+1)[/texx] [4]. Si intentamos obtener la expresión [4] de [3]. Partimos de la expresión [3] [texx] 12(10*11+1+3*37*38+3)[/texx]. Igualamos [3]. y [4].  [texx] 12*(10*11+1+3*37*38+3)=12*(11*13+1) [/texx]. Simplificamos [texx] (10*11+1+3*37*38+3)=(11*13+1) [/texx] entonces [texx] 11*(10+(3*37*38+3)/11)+1=11*13+1 [/texx] Llegamos a la conclusión que si las bases iníciales 11 y 37 no comparten factor común [texx]\ldots(3*37*38+3)/11)\ldots[/texx] no obtendremos un número entero y entonces no podremos obtener una potencia de grado mayor que dos.

Este razonamiento expresado de forma genérica, ¿demostraría la conjetura de Beal en el caso de que la tercera potencia sea dos?

Pero antes de nada y lo más importante. ¿Qué sentido tienes que diga que eso puede demostrar la conjetuda de Beal en el caso de qué la tercera potencia sea dos, si precisamente la conjetura de Beal se refiere a los casos en los que la tercera potencia NO es dos?.

Además cuando hablas de "obtener [2] de [1]". Eso es una vaguedad. Las expresiones que pones con número concreto son las que son; no sé que se entiende de manera objetiva por obtener una de otra.

Finalmente, difícilmente de unos ejemplos se podrá extraer una demostración de general nada en estos casos; cosa diferente es proponer un camino general e ilustrar la idea con unos ejemplos.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 13/10/2015, 01:59:19 pm
Cita
¿Qué sentido tienes que diga que eso puede demostrar la conjetuda de Beal en el caso de qué la tercera potencia sea dos, si precisamente la conjetura de Beal se refiere a los casos en los que la tercera potencia NO es dos?.

Intento demostrar que con dos bases primas, ambas con exponentes mayores que dos, la tercera base solo puede alcanzar ser potencia de dos. Porque si no hay un factor común [texx]\ldots((2*3+2)/17)\ldots[/texx]en las dos bases iníciales el resultado de esta división no será nunca un número entero y por lo tanto no obtendremos una potencia mayor que dos.
La conjetura de Fermat Catalan señala que existen un número finito de estas expresiones donde las tres bases son primas y solo existe un exponente menor que tres. Siendo los demás mayores que dos. Por lo tanto hay pocas expresiones de este tipo. Y posiblemente son las expresiones que más se acercan a un posible contraejemplo de la Conjetura de Beal.

Cita
Además cuando hablas de "obtener [2] de [1]". Eso es una vaguedad. Las expresiones que pones con número concreto son las que son; no sé que se entiende de manera objetiva por obtener una de otra
.

[texx] 2^7+17^3=71^2[/texx]; [texx] (2^5)*3+(2^5)+16*17*18+17[/texx]; [texx] 16*(2*3+2+17*18+1)+1[/texx]. Es lógico pensar que si la suma de ambas potencias alcanzara ser potencia con un exponente mayor que dos esta deberá ser. [texx] 17^n [/texx]. Ya que [texx] 17^3=16*17*18+17 [/texx]; [texx] 17^3=16*(17*18+1)+1 [/texx]. El problema es lo que esta dentro del paréntesis que mientras que ambas bases no compartan un factor común nunca alcanzará ser un número entero. Esto es [texx]\ldots((2*3+2)/17)\ldots[/texx].


Finalmente, difícilmente de unos ejemplos se podrá extraer una demostración de general nada en estos casos; cosa diferente es proponer un camino general e ilustrar la idea con unos ejemplos.

Ejemplos de este tipo, existen pero pocos [texx] 2^7+17^3=71^2 [/texx]. [texx] 112^3+57^3=1261^2[/texx]. [texx] 1064^3+305^3=35113^2 [/texx]. Más o menos podríamos aplicar la misma sistemática para intentar ilustrar que en este caso, dos potencias con bases primas con exponentes mayores que dos, su resultado nunca alcanzara ser un potencia mayor que dos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 13/10/2015, 05:24:25 pm
Hola

Cita
Intento demostrar que con dos bases primas, ambas con exponentes mayores que dos, la tercera base solo puede alcanzar ser potencia de dos. Porque si no hay un factor común [texx]\ldots((2*3+2)/17)\ldots[/texx]en las dos bases iníciales el resultado de esta división no será nunca un número entero y por lo tanto no obtendremos una potencia mayor que dos.

Entonces directamente intentas probar la conjetura de Beal, sin tapujos.

Cita
[texx] 2^7+17^3=71^2[/texx]; [texx] (2^5)*3+(2^5)+16*17*18+17[/texx]; [texx] 16*(2*3+2+17*18+1)+1[/texx]. Es lógico pensar que si la suma de ambas potencias alcanzara ser potencia con un exponente mayor que dos esta deberá ser. [texx] 17^n [/texx]. Ya que [texx] 17^3=16*17*18+17 [/texx]; [texx] 17^3=16*(17*18+1)+1 [/texx]. El problema es lo que esta dentro del paréntesis que mientras que ambas bases no compartan un factor común nunca alcanzará ser un número entero. Esto es [texx]\ldots((2*3+2)/17)\ldots[/texx].

No hay ninguna idea ahí que vea que se pueda generalizar; tan siquiera me cuesta ver un atisbo de argumento ahí.  Simplemente dices que arreglando las cuentas como a ti te parece no llegas a una potencia mayor que dos si no hay factores comunes; pero no das ninguna razón objetiva para que sea cierta. En el ejemplo concreto, la razón obvia es que de hecho no da una potencia mayor que dos de un número entero, pero nada más.

Si crees que estoy equivocado, muestra claramente ese argumento general. Me temo que sigues dándole vueltas a las ideas que ya has expuesto a lo largo del hilo.

Finalmente, difícilmente de unos ejemplos se podrá extraer una demostración de general nada en estos casos; cosa diferente es proponer un camino general e ilustrar la idea con unos ejemplos.

Cita
Ejemplos de este tipo, existen pero pocos [texx] 2^7+17^3=71^2 [/texx]. [texx] 112^3+57^3=1261^2[/texx]. [texx] 1064^3+305^3=35113^2 [/texx]. Más o menos podríamos aplicar la misma sistemática para intentar ilustrar que en este caso, dos potencias con bases primas con exponentes mayores que dos, su resultado nunca alcanzara ser un potencia mayor que dos.

Vuelvo a lo mismo; si crees que hay alguna "sistemática", algo generalizable en tus ideas; expón como se haría. Pero relee todo el hilo y los comentarios que te ido haciendo para no repetir errores. En general cuando dices que "se llega a la conclusión..." no hay ninguna relación entre la conclusión que afirmas y tu exposición previa.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 05/11/2015, 05:32:58 pm
Hola.
 Recordemos [texx]A^2 = (A-1)(A+1)+1[/texx] [1]  [texx]A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A[/texx] [2] y [texx]A^n = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^{n-2} [/texx] [3].


A continuación voy sugerir basandome en las expresiones conocidas que más se ajustan a un posible contraejemplo de la Conjetura de Beal. Claro está que todas ellas con un exponente de grado 2.

[texx]2^{7} + 17^{3} = 71^{2}[/texx]. Dichos números responden [1]. Es decir podemos obtener un factor común de las dos primeras potencias de la forma [texx] 16*(2*3+2+17*18+1)+1 [/texx]. Para que dicha expresión alcanzará [2] entonces implicaría que esta última tendria que ser [texx] 16*(17*18+1) [/texx]. En el caso hipotético que hubiera un contraejemplo el factor común de las dos potencias sería C en este caso 16. Es decir la base de la tercera potencia. Si partimos que las dos potencias iníciales son primos relativos, entonces al obtener el factor común se debería extender a todos los  números de la ecuación [2]. Es decir [texx] 16*(17*18+1) [/texx]. Pero dicha estructura no se puede obtener con dos bases primas. Porque la ecuación que obtenemos es [texx] 16*(2*3+2+17*18+1)+1 [/texx]. Por lo tanto el 2*3+2 y el 1 lo impiden. ¿Qué creis?


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 06/11/2015, 06:54:19 am
Hola

Hola.
 Recordemos [texx]A^2 = (A-1)(A+1)+1[/texx] [1]  [texx]A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A[/texx] [2] y [texx]A^n = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^{n-2} [/texx] [3].


A continuación voy sugerir basandome en las expresiones conocidas que más se ajustan a un posible contraejemplo de la Conjetura de Beal. Claro está que todas ellas con un exponente de grado 2.

[texx]2^{7} + 17^{3} = 71^{2}[/texx]. Dichos números responden [1]. Es decir podemos obtener un factor común de las dos primeras potencias de la forma [texx] 16*(2*3+2+17*18+1)+1 [/texx]. Para que dicha expresión alcanzará [2] entonces implicaría que esta última tendria que ser [texx] 16*(17*18+1) [/texx]. En el caso hipotético que hubiera un contraejemplo el factor común de las dos potencias sería C en este caso 16. Es decir la base de la tercera potencia. Si partimos que las dos potencias iníciales son primos relativos, entonces al obtener el factor común se debería extender a todos los  números de la ecuación [2]. Es decir [texx] 16*(17*18+1) [/texx]. Pero dicha estructura no se puede obtener con dos bases primas. Porque la ecuación que obtenemos es [texx] 16*(2*3+2+17*18+1)+1 [/texx]. Por lo tanto el 2*3+2 y el 1 lo impiden. ¿Qué creis?

Yo no tengo nada más que decir sobre el tema; sigues dando vueltas a lo mismo, sigues con vaguedades. Sigues con ejemplos con una "estructura" forzada que no tiene porque aparecer en el caso general y por tanto no veo que se saque nada en limpio de ellas. Las objecciones que ido exponiendo siguen siendo aplicables.

Suerte.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 15/11/2015, 04:18:41 pm
Hola.
“Sigues con ejemplos con una "estructura" forzada que no tiene porque aparecer en el caso general”. El_manco dígame usted un ejemplo (potencia) que no cumpla con la ecuación [1], [2] y [3].

Supongamos que A, B, C, D y E son números enteros y que 2A+1 es un número impar y que 2A es un número par. (x, y, x mayor o igual que 3).
En consecuencia:
[texx] (2A+1)^x+(2B+1)^y = (2C+1)^z; 2D \neq{} 2E+1 [/texx]. Las tres bases no pueden ser impares.
Si las tres bases son pares, hay un factor común conforme señala la Conjetura de Beal.
[texx] (2A)^x+(2B+1)^y = (2C)^z; 2D+1 \neq{} 2E [/texx]. Tampoco es posible dos bases pares y una impar.
[texx] (2A)^x+(2B+1)^y = (2C+1)^z; 2D+1 = 2E+1 [/texx]. Si que es posible dos bases impares y una par.
Por lo tanto señalamos que si hubiera un contraejemplo este contendría dos bases impares y una par.

Después de observar los ejemplos que más se acercan a un posible contraejemplo de la Conjetura, los clasifico en dos tipos.

Tipo 1.

[texx] 2^7+17^3=71^2; 112^3+57^3=1261^2; 1064^3+305^3=35113^2; 43^8+96222^3=30042907^2 [/texx].
Es decir que siguen la siguiente sistemática.
Sea A, B, C, D, E números enteros. Y x,y iguales o mayores que 3 y z=2.
[texx](2*A)^{x} + (2*B+1)^{3} = (2*C+1)^{2}[/texx];

[texx] 2*D+1= 2*E+1 [/texx]. Observemos que dicha expresión nunca alcanzará la ecuación [2] y [3].

Tipo 2.

 [texx] 11^3+37^3=228^2; 17^7+76271^3=21063928^2; 781^3+4019^3=255720^2; 3^5+11^4=122^2 [/texx].
Siguen la siguiente sistemática.
Sean A, B (estos dos impares), C (par), x, y, z (estos tres mayores o iguales que 3), m y n. Números enteros. Entonces:
Cn = (A+1) y Cm = (B-1); A=(Cn-1) y B= (Cm+1).
Recordemos [1], [2] y [3]. Por lo tanto.
[texx] A^x = (Cn-1)^x = (Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((Cn)+ ((Cn-1)^{x-2}) [/texx];
[texx] B^y = (Cm+1)^y = (Cm) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2)+ ((Cm+1)^{y-2}) [/texx];
[texx] C^z = (C)^z = (C-1) ((C)^{z-2})((C+1)+ ((C)^{z-2}) [/texx] [4];

Vamos a suponer que existe un contraejemplo y vamos a intentar encontrarlo (con el patrón de valores conocidos).

[texx] A^x + B^y = C^z [/texx];
[texx] ((Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((Cn)+ ((Cn-1)^{x-2}) + (Cm) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2)+ ((Cm+1)^{y-2}); [/texx];
[texx] C(((Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((n)+ (m) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2))+n[ ]+m[ ] [/texx];
Y aquí llegamos a la contradicción.
Si sacamos un factor común de [4]. [texx] ((C)^{z-2}) ((C-1) (C+1)+ 1) [/texx] [4].

[texx] (((Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((n)+ (m) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2)) \neq{} ((C-1) (C+1) [/texx]
[texx] n[ ]+m[ ] \neq{} 1 [/texx].


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 17/11/2015, 09:05:14 am
Hola

Hola.
“Sigues con ejemplos con una "estructura" forzada que no tiene porque aparecer en el caso general”. El_manco dígame usted un ejemplo (potencia) que no cumpla con la ecuación [1], [2] y [3].

Las ecuaciones [1],[2] y [3] si te refieres a estas:

Recordemos [texx]A^2 = (A-1)(A+1)+1[/texx] [1]  [texx]A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A[/texx] [2] y [texx]A^n = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^{n-2} [/texx] [3].

Son identidades. Se cumplen siempre. El problema no está en eso; el problema es que cuando tu obligas o decides (no se sabe muy bien con que criterio) si es posible "encajar" esas identidades en otras ecuaciones.

Por ejemplo:

Tipo 1.

Cita
[texx] 2^7+17^3=71^2; 112^3+57^3=1261^2; 1064^3+305^3=35113^2; 43^8+96222^3=30042907^2 [/texx].
Es decir que siguen la siguiente sistemática.
Sea A, B, C, D, E números enteros. Y x,y iguales o mayores que 3 y z=2.
[texx](2*A)^{x} + (2*B+1)^{3} = (2*C+1)^{2}[/texx];

[texx] 2*D+1= 2*E+1 [/texx]. Observemos que dicha expresión nunca alcanzará la ecuación [2] y [3].

La frase "dicha expresión nunca alcanzará la ecuación [2] y [3]" no tiene ningun significado; no se entiende que quieres decir con ella. Las ecuaciones no se alcanzan (es decir el concepto "alcanzar una ecuación" no tiene sentido. Las expresiones [2] y [3] como dije son identidaes que se cumplen siempre; pero no hay ninguna relación entre ellas (o no has sido capaz hasta ahora de explicarla) y lo que pones después.

Cita
Vamos a suponer que existe un contraejemplo y vamos a intentar encontrarlo (con el patrón de valores conocidos).

[texx] A^x + B^y = C^z [/texx];
[texx] ((Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((Cn)+ ((Cn-1)^{x-2}) + (Cm) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2)+ ((Cm+1)^{y-2}); [/texx];
[texx] C(((Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((n)+ (m) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2))+n[ ]+m[ ] [/texx];
Y aquí llegamos a la contradicción.
Si sacamos un factor común de [4]. [texx] ((C)^{z-2}) ((C-1) (C+1)+ 1) [/texx] [4].

[texx] (((Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((n)+ (m) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2)) \neq{} ((C-1) (C+1) [/texx]
[texx] n[ ]+m[ ] \neq{} 1 [/texx].

Aquí no se entiende nada.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 17/11/2015, 04:11:43 pm
Hola.

[texx](2*A)^{x} + (2*B+1)^{3} = (2*C+1)^{2}[/texx]. Dicha ecuación si la desarrollamos la podemos escribir. [texx] 2*D+1= 2*E+1 [/texx]. Es decir, [texx] (2*A)^{x} +((DTP)+1)= 2*E+1 [/texx]. Siendo DTP el desarrollo de la potencia mediante el triángulo de Pascal (que es un entero multiplicado por dos). Entonces si agrupamos (la suma de las dos potencias inciales) [texx] 2*D+1 [/texx]. Todos los términos no poseen un factor común conforme [texx]A^n = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^{n-2} [/texx]. Por lo tanto, en el mejor de los casos, la suma de las potencias, solo podrá ser potencia de grado dos. Eso implicaría que ningún ejemplo del Tipo 1, su suma, alcance, pueda ser potencia de grado mayor que dos. ¿Se entiende?




Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 28/12/2015, 01:16:12 pm
Hola

Hola.

[texx](2*A)^{x} + (2*B+1)^{3} = (2*C+1)^{2}[/texx]. Dicha ecuación si la desarrollamos la podemos escribir. [texx] 2*D+1= 2*E+1 [/texx]. Es decir, [texx] (2*A)^{x} +((DTP)+1)= 2*E+1 [/texx]. Siendo DTP el desarrollo de la potencia mediante el triángulo de Pascal (que es un entero multiplicado por dos). Entonces si agrupamos (la suma de las dos potencias inciales) [texx] 2*D+1 [/texx]. Todos los términos no poseen un factor común conforme [texx]A^n = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^{n-2} [/texx]. Por lo tanto, en el mejor de los casos, la suma de las potencias, solo podrá ser potencia de grado dos. Eso implicaría que ningún ejemplo del Tipo 1, su suma, alcance, pueda ser potencia de grado mayor que dos. ¿Se entiende?

No. No se entiende. ¿Qué términos son los que no tienen una factor común?. Qué cada un de los términos no sean divisibles por un número no implica que la suma no pueda ser divisible por ese número.

Saludos.


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 30/12/2015, 03:55:05 pm
Hola.
Siguientemente voy a indicar todos los posibles casos que nos podemos encontrar frente a la ecuación de la Conjetura de Beal.
Supongamos que A, B, C, D y E son números enteros y que 2A+1 es un número impar y que 2A es un número par. (x, y, z mayor o igual que 3).
En consecuencia:
Caso 1.
Para empezar indiquemos que al nombrar (tp) indico el desarrollo de la potencia mediante el triángulo de Pascal.
[texx] (2A+1)^x+(2B+1)^y = (2C+1)^z; ((2A)^x+2(tp)+1) + ((2B)^y+2(tp)+1) \neq{} 2E+1 [/texx]. Veamos que la izquierda de la desigualdad siempre será un número par. Caso contrario en el derecho donde siempre aparecerá un uno que obliga a ser el número de la derecha un número impar por lo tanto las tres bases no pueden ser impares.
Caso 2.
Si las tres bases son pares, hay un factor común conforme señala la Conjetura de Beal.
Caso 3
[texx] (2A)^x+(2B+1)^y = (2C)^z; 2D+1 \neq{} 2E [/texx]. Tampoco es posible dos bases pares y una impar.
Caso 4
[texx] (2A)^x+(2B+1)^y = (2C+1)^z; 2D+1 = 2E+1 [/texx]. Si que es posible dos bases impares y una par.

Por lo tanto señalamos que si hubiera un contraejemplo este contendría dos bases impares y una par. ¿Cierto?


Título: Re: ¿Deberia existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 30/12/2015, 06:44:36 pm
Hola

Por lo tanto señalamos que si hubiera un contraejemplo este contendría dos bases impares y una par. ¿Cierto?

Pues claro; eso es una trivialidad que ya fue comentada antes:

Aquí nuevamente estás demostrando una cosa que es trivial, obvia, y que no aporta nada.

Partes de la igualdad:

[texx](Bc)^x+(Bc+t)^y=(Bn)^z[/texx]

y muestras que es imposible que [texx]t[/texx] y [texx]B[/texx] sean coprimos. Eso es obvio y no sirve nada. Está claro que si en la expresión:

[texx]P^x+Q^t=R^z[/texx]

dos de los sumandos tienen un factor común (en tu caso [texx]P=BC[/texx] y [texx]R=BC[/texx] tienen a [texx]B[/texx] por factor común), el tercero (en tu caso [texx]Q=Bc+t[/texx]) también tiene ese factor común (en tu caso [texx]B[/texx]).

Pero no es ese caso de particular el que realmente queremos probar. Lo que queremos probar, lo que dice la conjetura de Beal, es que si tenemos

[texx]P^x+Q^t=R^z[/texx]

con exponentes enteros superiores a dos, entonces los tres factores [texx]P,Q,R[/texx] tienen un divisor común. Y esto ha de demostrarse sin suponer que dos de ellos ya tienen el factor común (ya que ese caso es obvio y es el único que estás demostrando en toda tu argumentación).

Si dos de los términos tienen un factor común, entonces el tercero también. Eso es trivial, inmediato. Por tanto si dos de ellos son pares el tercero también.

Así que si aspiramos a un contrajemplo, los tres números han de ser coprimos dos a dos (en particular, como dices, no puede haber dos pares).

Saludos.

P.D. Estás dando vueltas en círculo sobre una idea, que con toda sinceridad, no hay un sólo indicio de que lleve a ninguna conclusión útil.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 01/01/2016, 06:16:44 am
Ciertamente no creo que exista un contraejemplo. Ya que, solo por estadística ya tendría que haber aparecido, con tanta fuerza bruta aplicada a la ecuación. Solo intento encontrar todas los posibles casos en que podria aparecer un contraejemplo y alcanzar la contradicción que demuestre que no existe.

Pero hay por ahí fuentes de la red que dicen que si el japonés Shinichi Mochizuki ha demostrado la conjetura abc entonces el UTF se podría demostrar de un plumazo y esto demostraría que existen varios contraejemplos a la Conjetura de Beal. Me gustaría saber si alguien puede arrojar algo de luz sobre esto.
En esta noticia hay algo. http://elpais.com/elpais/2015/12/26/ciencia/1451122090_210428.html

En fin, feliz año a todo el mundo.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 02/01/2016, 07:56:33 am
Hola

Ciertamente no creo que exista un contraejemplo. Ya que, solo por estadística ya tendría que haber aparecido, con tanta fuerza bruta aplicada a la ecuación. Solo intento encontrar todas los posibles casos en que podria aparecer un contraejemplo y alcanzar la contradicción que demuestre que no existe.

Bien, pero esto útlimo, no lo estás consiguiendo. Lo cuál no es ningún demérito, porque la conjetura sigue abierta: ni tu ni nadie ha podido probarla hasta ahora.

Cita
Pero hay por ahí fuentes de la red que dicen que si el japonés Shinichi Mochizuki ha demostrado la conjetura abc entonces el UTF se podría demostrar de un plumazo y esto demostraría que existen varios contraejemplos a la Conjetura de Beal. Me gustaría saber si alguien puede arrojar algo de luz sobre esto.
En esta noticia hay algo. http://elpais.com/elpais/2015/12/26/ciencia/1451122090_210428.html

Pues si los matemáticos expertos en el tema todavía no han desmenuzado la presunta prueba de Mochizuki, poco más puedo decir. El problema es que su demostración se basa en toda una nueva teoría desarrollada por él, y hasta entender ésta es difícil verificar la validez de la prueba. Eso si, la frase final del artículo de elpais me parece demasiado pesimista: "si Mochizuki no escribe un artículo que se entienda, puede que el asunto nunca llegue a resolverse." Si la teoría es "buena" tarde o temprano se entenderá y seguro se podrá explicar de forma más comprensible para el matemático común.

Una puntualización, eso si, no es cierto que la validez de la conjetura abc implique que existen varios contraejemplos de la Conjetura de Beal; lo que implica es que a lo sumo existirían un número finito de contraejemplos de la conjeutra, cosa bien distinta a lo que apuntabas.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 02/01/2016, 12:18:09 pm
Hola

Cita
Una puntualización, eso si, no es cierto que la validez de la conjetura abc implique que existen varios contraejemplos de la Conjetura de Beal; lo que implica es que a lo sumo existirían un número finito de contraejemplos de la conjeutra, cosa bien distinta a lo que apuntabas.

Dicha afirmación ¿la decis en base a que?

¿En que os basais? (link, razonamiento, deducción, etc).


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 02/01/2016, 07:31:46 pm
Hola

Hola

Cita
Una puntualización, eso si, no es cierto que la validez de la conjetura abc implique que existen varios contraejemplos de la Conjetura de Beal; lo que implica es que a lo sumo existirían un número finito de contraejemplos de la conjeutra, cosa bien distinta a lo que apuntabas.

Dicha afirmación ¿la decis en base a que?

¿En que os basais? (link, razonamiento, deducción, etc).

Para ser sincero simplemente me fié de lo que dice la Wikipedia en inglés (https://en.wikipedia.org/wiki/Beal%27s_conjecture#Relation_to_other_conjectures):

"The abc conjecture would imply that there are at most finitely many counterexamples to Beal's conjecture."

En estas notas, página 67 ejercicio 6.4.2. plantea como ejercicio probar ese hecho:

https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/2793857/Elkies%20-%20ABCs%20of%20Number%20Theory.pdf?sequence=2

En la página 6 de este paper se dice lo mismo y se esboza la idea:

http://arxiv.org/pdf/1004.0430.pdf

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 02/10/2016, 03:08:27 pm
Hola. Recordemos la siguiente las siguientes expresiones:
[texx]A^2 = (A-1)(A+1)+1[/texx]    [Ecuación 1]
[texx]A^3 = ((A-1) A (A+1)+ A) [/texx]   [Ecuación 2]
[texx]A^4 = ((A-1) A^2 (A+1)+ A^2) [/texx]    [Ecuación 3]
[texx]A^n = ((A-1) A^{n-2} (A+1)+ A^{n-2}) [/texx]    [Ecuación 4]
Seguidamente en la Ecuación 2, en adelante E2. [texx]A^3 = ((A-1) A (A+1)+ A) [/texx]. Llamemos [texx] ((A-1) A (A+1) [/texx] núcleo y a A extremo. A continuación enumeramos distintos casos para intentar demostrar la conjetura.

Caso A^3+B^3= (A+B)^3
Modelicemos la suma [texx] A^3+B^3 [/texx]. Para ello aplicamos la E2. Solo en lo referente al núcleo. Obteniendo.
[texx] (A-1)A(A+1) + (B-1)B(B+1)= (A+B)(A^2 - AB+B^2-1) [/texx].
El 1 desaparecería de dicha ecuación si le añadimos los extremos A + B. Esto es. [texx] (A-1)A(A+1) + A (B-1)B(B+1) +B= (A+B)(A^2-AB+B^2) [/texx]. E5.
El siguiente paso es modelizar. [texx] (A+B)^n[/texx]. Para ello introducimos una nueva ecuación E6. Esto es:
[texx] ((A^2)((A+B)^{(n-2)})) + ((B^2)((A+B)^{(n-2)} + ((2AB)((A+B)^{(n-2)})) [/texx];
[texx] ((A+B)^{(n-2)}) (A^2 + B^2 +2AB) [/texx] E6.
Observemos E5 y E6, respectivamente. Adoptando este última el grado de 3.
[texx] (A+B)(A^2+AB+B^2) = ((A+B)) (A^2 + B^2 +2AB) [/texx]. Rápidamente, nos viene a la cabeza el UTF. Y si, si igualamos simplificamos ambas expresiones obtenemos [texx] (A+B)(A^2 - AB+B^2) = ((A+B)) (A^2 + B^2 +2AB) [/texx]; [texx] -AB= +2AB [/texx]. Llegamos a una contradicción. Entonces podemos decir que [texx] A^3+B^3 = (A+B)^3 [/texx] nunca tendrá solución con número enteros. Ya que ninguno de estos puede satisfacer [texx] -AB= +2AB [/texx].
Caso A^4+B^4= (A+B)^3
Modelizamos [texx] A^4+B^4 [/texx]. Para ello aplicamos la E3. Solo en lo referente al núcleo. La obtención en principio es irrelevante. Añadamos la siguiente parte de la igualdad. Esto es:
[texx] A^4+B^4 = ((A+B)) (A^2 + B^2 +2AB) [/texx];
[texx] (A^4+B^4)/(A+B) = (A^2 + B^2 +2AB) [/texx];
[texx] (((2a^4)/(a+b))-(a^3)+(a^2)b-a(b^2)+(b^3)) = (A^2 + B^2 +2AB) [/texx];
En esta última expresión podemos ver que la división [texx] (((2a^4)/(a+b)) [/texx] condiciona a toda la ecuación. Ya que, si su resultado no es un número entero la conjetura no se cumple. Si analizamos dicha expresión observamos que para que el resultado sea entero a y b deben tener un factor común. En caso contrario el resultado no es un número entero y entonces no cumple conjetura.
Encontramos los siguientes ejemplos, entre otros, [texx] 4^4+4^4=8^3; 32^4+32^4=128^3; 108^4+108^4=648^3; 256^4+256^4=2048^3; 289^4+578^4=4913^3; 500^4+500^4=5000^3[/texx].

Caso A^5+B^5= (A+B)^3
 [texx] (((A^3)(A-1)(A+1)+( B^3)(B-1)(B+1)))+(A^3)+(B^3)= ((A+B)^(1)) (A^2 + B^2 +2AB) [/texx];
 [texx] (((A^3)(A-1)(A+1)+( B^3)(B-1)(B+1))/(A+B))+(A^3)/(A+B)+(B^3)/(A+B))= (A^2 + B^2 +2AB) [/texx];
Si alguna de los quebrados, su resultado no es integro, entonces la conjetura no cumple. Por lo tanto conforme, el caso [texx] A^4+B^4= (A+B)^3[/texx], a y b comparten factor común. De no ser así [texx] (A^2 + B^2 +2AB) [/texx] sería igual a un número distinto de un entero.
Encontramos los siguientes ejemplos, entre otros, [texx] 2^5+2^5=4^3; 16^5+16^5=128^3; 54^5+54^5=972^3; 66^5+33^5=1089^3 [/texx].

Caso A^n+B^n= (A+B)^m
Siendo n y m ambos mayores que tres e íntegros.
[texx] (((A^{(n-2)})(A-1)(A+1)+( B^{(n-2)})(B-1)(B+1)))+(A^{(n-2)})+(B^{(n-2)})= ((A+B)^{(m-2)}) (A^2 + B^2 +2AB) [/texx];
 [texx](((A^3)(A-1)(A+1)+(B^3)(B-1)(B+1))/((A+B)^(m-2)))+(A^3)/((A+B)^(m-2)))+(B^3)/((A+B)^(m-2))))= (A^2 + B^2 +2AB) [/texx];
Si alguna de los quebrados, su resultado no es integro, entonces la conjetura no cumple. Por lo tanto conforme lo comentado A y B deben poseer un factor común.

Resumiendo y desde otro punto de vista. Para intentar resolver la conjetura propongo la siguiente ecuación:
[texx] A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n [/texx] llamémosla E7; Siendo AB() el desarrollo de los sumandos intermedios de las potencias establecidas conforme el Triangulo de Pascal. Si nos fijamos en los sumandos intermedios del Triangulo, todos ellos tendrán el factor común de (A.B). Nombrada E7 indicar que solo pueden existir tres casos en los que pueda cumplirse la conjetura.
Caso A.
[texx] A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n [/texx]; [texx] A^n + AB()+ B^n = (A+B)^n [/texx];
[texx] C^m+ B^n = (A+B)^n [/texx]; donde [texx] C^m = A^n + AB() [/texx]. Pero siempre con la restricción del factor común, en A y B, de lo contrario la conjetura no cumple. Esto es. [texx] A^n + B^n+ AB() = (A+B) (A+B)^{n-1} [/texx]; [texx] (A^n + B^n + AB())/((A+B)) = (A+B)^{n-1} [/texx]. Si [texx] (A^n, B^n y AB()) [/texx] no comparte factor común con (A+B) entonces [texx] (A+B)^{n-1} [/texx] no sería igual a un número entero.
Caso B.
Es el Caso A, con el matiz de que [texx] C^m = B^n + AB() [/texx].
Ejemplo. [texx]7^3+7^4=14^3[/texx].

Caso C.
[texx] A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n [/texx]; [texx] A^n + B^n = (A+B)^n - AB() [/texx]. Coincidiendo con el Caso A y B, en aquello de la restricción.
Ejemplo. [texx]3^3+6^3=3^5[/texx]; Es decir [texx]3^3+6^3+2·3^5=9^3[/texx]. Siendo [texx] 2·3^5 [/texx] la suma de los sumandos intermedios del Triangulo de Pascal. En este caso [texx] 9^3-2·3^5 = 3^6-2·3^5 = 3^5(3-2) = 3^5 [/texx].

Si lo enunciado fuera cierto, estaríamos en condiciones de responder a la pregunta inicial.

Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 03/10/2016, 07:18:42 am
Hola

Hola. Recordemos la siguiente las siguientes expresiones:
[texx]A^2 = (A-1)(A+1)+1[/texx]    [Ecuación 1]
[texx]A^3 = ((A-1) A (A+1)+ A) [/texx]   [Ecuación 2]
[texx]A^4 = ((A-1) A^2 (A+1)+ A^2) [/texx]    [Ecuación 3]
[texx]A^n = ((A-1) A^{n-2} (A+1)+ A^{n-2}) [/texx]    [Ecuación 4]
Seguidamente en la Ecuación 2, en adelante E2. [texx]A^3 = ((A-1) A (A+1)+ A) [/texx]. Llamemos [texx] ((A-1) A (A+1) [/texx] núcleo y a A extremo. A continuación enumeramos distintos casos para intentar demostrar la conjetura.

Continuas empeñado en explotar unas identidades triviales, que al menos a lo largo de todo este hilo, han demostrado no servir para nada de cara a clarificar o explorar la conjetura de Beal o el Teorema de Fermat.

Cita
Caso A^3+B^3= (A+B)^3
Modelicemos la suma [texx] A^3+B^3 [/texx]. Para ello aplicamos la E2. Solo en lo referente al núcleo. Obteniendo.
[texx] (A-1)A(A+1) + (B-1)B(B+1)= (A+B)(A^2 - AB+B^2-1) [/texx].

¿A qué viene partir de esa igualdad? Para números positivos esa igualdad nunca se cumple. Pero en cualquier caso no se entiende a que viene. Lo mismo para las expresiones análogas que manejas a continuación.

Cita
[texx] C^m+ B^n = (A+B)^n [/texx]; donde [texx] C^m = A^n + AB() [/texx].


Aquí de repente metes una tercera variable la C, lo cuál si podría tener un mínimo de sentido como punto de partida (trivial) para estudiar la conjetura de Beal. Pero lo estropeas en cuanto impones después que  [texx] C^m = A^n + AB() [/texx], con lo cuál de nuevo tratas un caso muy particular sin interés.

Cita
Si lo enunciado fuera cierto, estaríamos en condiciones de responder a la pregunta inicial.

No sé que quieres decir con esa frase.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 03/10/2016, 10:21:54 am
Cita del Manco
Cita
“Continuas empeñado en explotar unas identidades triviales, que al menos a lo largo de todo este hilo, han demostrado no servir para nada de cara a clarificar o explorar la conjetura de Beal o el Teorema de Fermat.”

E1, E2, E3 y E4 muestran que el núcleo y el extremo de la potencia en los grados 3, 4 y siguientes siempre poseerán un factor común con el núcleo. Afirmación que no ocurre en las potencias de grado 2. Conforme la E1. Dicho lo cual, puede ser la razón por la que, la conjetura no se cumple siempre que una de las tres potencias sea menor que 3.
Dichas entidades muestran con facilidad, ver la hoja de Excel adjunta (descomposición), que si las dos potencias iníciales conforme conjetura, poseen el mismo grado, entonces su suma siempre tendrá el factor común de A + B. Es decir. [texx]A^n + B^n= (A+B)*x [/texx]. Siempre que n sea mayor que 2.
Que si, que no son la panacea, pero ayudan a comprender el comportamiento de las potencias.
La E6 [texx] (A+B)^n = ((A^2)((A+B)^{(n-2)})) + ((B^2)((A+B)^{(n-2)} + ((2AB)((A+B)^{(n-2)})) [/texx] la obtuve con el jugueteo de las E1, E2, E3 y E4.

Cita del Manco.
Cita
“¿A qué viene partir de esa igualdad? Para números positivos esa igualdad nunca se cumple. Pero en cualquier caso no se entiende a que viene. Lo mismo para las expresiones análogas que manejas a continuación.”

Cierto es que es obvio plantear el caso Caso A^3+B^3= (A+B)^3. Pero también es cierto que por la semblanza con el UTF decidí incluirlo.
En el Caso A^4+B^4= (A+B)^3. Simplemente indico que para este caso, para que cumpla conjetura la división [texx] (((2A^4)/(A+B)) [/texx], su resultado tiene que ser un entero. Esta afirmación obliga que A y B posea un factor común. Esto es, [texx] (((2·3^4)/(3+2)) [/texx]. 3 y 2 no comparten ningún divisor por lo tanto el resultado no es un número entero y por consiguiente no cumple conjetura. Ver la pestaña (2a^4)(a+b) del archivo de Excel (descomposición).
En general [texx] (((A^{(n-2)})(A-1)(A+1)+( B^{(n-2)})(B-1)(B+1)))+(A^{(n-2)})+(B^{(n-2)})= ((A+B)^{(m-2)}) (A^2 + B^2 +2AB) [/texx];
[texx](((A^{(n-2)})(A-1)(A+1)+(B^{n-2})(B-1)(B+1))/((A+B)^{m-2}))+(A^3)/((A+B)^{m-2}))+(B^3)/((A+B)^{m-2})))= (A^2 + B^2 +2AB) [/texx].
Ósea que si uno de los siguientes sumandos [texx] A^n + B^n [/texx] no es divisible entre (A+B) entonces el resultado de la suma es un número no entero. Igual a [texx] (A^2 + B^2 +2AB) [/texx]. No cumpliéndose entonces la conjetura. Ya que A y B son inicialmente números enteros y por tanto su suma tiene que ser entera.

Cita del Manco.
Cita
“Aquí de repente metes una tercera variable la C, lo cual si podría tener un mínimo de sentido como punto de partida (trivial) para estudiar la conjetura de Beal. Pero lo estropeas en cuanto impones después que [texx]C^m=A^n+AB()[/texx], con lo cual de nuevo tratas un caso muy particular sin interés..”

Señor impone la conjetura y los componentes conforme el Triangulo de Pascal. La siguiente igualdad [texx] A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n [/texx] no es más que la igualdad establecida por Pascal. Después la siguiente suma [texx] A^n + B^n+ AB() [/texx] tiene que agruparse conforme la conjetura, no es que yo imponga, es condición necesaria de la conjetura que en la suma solo se establezcan dos potencias, por lo tanto la variable C es suma de [texx] A^n + AB() [/texx] o [texx] B^n+ AB() [/texx] o quizás (ya demasiado rebuscado) parcialmente de A, B e íntegramente de AB().
El Caso C en el que AB() resta a la tercera potencia obteniendo ejemplos tal cual Ejemplo. [texx]3^3+6^3=3^5[/texx]; Es decir [texx]3^3+6^3+2·33^5=9^3[/texx]. Siendo [texx] 2·3^5 [/texx] la suma de los sumandos intermedios del Triangulo de Pascal. En este caso [texx] 9^3-2·3^5 = 3^6-2·3^5 = 3^5(3-2) = 3^5 [/texx].
Simplemente, con la condición de la conjetura, y las sumas de Pascal creó un modelo con los que justificar el porqué de la existencia de un factor común conforme la conjetura.

Cita:
Cita
“Si lo enunciado fuera cierto, estaríamos en condiciones de responder a la pregunta inicial”.

Si lo enunciado es cierto, cualquier terna de potencias mayores que dos, con bases integras, implicaría que A, B y C tendrían un factor común conforme conjetura. Y en el caso hipotético, de que existiera un contraejemplo a UTF, que no existe, tendría un factor común.

En definitiva todas las posibles soluciones de la conjetura se inician desde [texx] A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n [/texx]. No se conoce, o tal vez, no exista ninguna suma de potencias conforme conjetura que no cumplan dicha entidad.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 04/10/2016, 06:12:38 am
Hola
 
 No tengo mucho más que decir.

Todo lo que expones me parecen vaguedades; si crees que de ahí se puede sacar una demostración de la conjetura de Beal o del teorema de Fermat, exponla. En otro caso todo es especulativo: tu puedes decir que te parece que tus observaciones son un avance, o que nos dejan a las puertas de una demostración; yo no veo un sólo indicio para tal conclusión.

Cita
Cita del Manco.
Cita
“Aquí de repente metes una tercera variable la C, lo cual si podría tener un mínimo de sentido como punto de partida (trivial) para estudiar la conjetura de Beal. Pero lo estropeas en cuanto impones después que [texx]C^m=A^n+AB()[/texx], con lo cual de nuevo tratas un caso muy particular sin interés..”

Señor impone la conjetura y los componentes conforme el Triangulo de Pascal. La siguiente igualdad [texx] A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n [/texx] no es más que la igualdad establecida por Pascal.
Después la siguiente suma [texx] A^n + B^n+ AB() [/texx] tiene que agruparse conforme la conjetura, no es que yo imponga, es condición necesaria de la conjetura que en la suma solo se establezcan dos potencias, por lo tanto la variable C es suma de [texx] A^n + AB() [/texx] o [texx] B^n+ AB() [/texx] o quizás (ya demasiado rebuscado) parcialmente de A, B e íntegramente de AB(). [/quote]

De acuerdo; no estaba entiendo bien la notación [texx]AB().[/texx] Te refieres a un múltiplo de [texx]AB[/texx].

Correcto. Si [texx]C^m+ B^n = (A+B)^n[/texx], entonces [texx]C^m-A^n[/texx] es múltiplo de [texx]AB[/texx].

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 04/10/2016, 07:03:39 am
[texx] A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n [/texx]; [texx] A^n + B^n+ AB() =(A+B) (A+B)^{n-1} [/texx];
[texx] (A^n)/(A+B) + (B^n)/(A+B)+ (AB())/(A+B) = (A+B)^{n-1} [/texx];
Si uno de los sumandos de la izquierda no es un entero. Entonces implicaría que [texx] (A+B)^{n-1} [/texx] es igual a un número no integro. Por lo tanto vulnera el enunciado de la conjetura. Por lo tanto para no infringir el enunciado inicial de la conjetura, [texx] (A+B)^{n-1} [/texx] obligatoriamente es igual a un entero. Dicho esto, los sumandos de la izquierda, si o si, deben ser todos igual a un número entero. Obviamente después agruparse para obtener dos potencias, conforme conjetura. Para que esto se produzca, necesariamente, A y B, comparten factor común. ¿Esto demuestra que A, B, C, (conforme conjetura) poseen un factor común?.
Si esto es verdad. Si todas las potencias, conforme conjetura, poseen un factor común, acorde con lo señalado, Entonces Fermat se puede demostrar sencillamente. Esto es.
Toda expresión que se ajuste al UTF puede escribirse de la siguiente forma
[texx] A^3+(A+n)^3 = 2A^3+3nA^2+3n^2A+n^3 [/texx]. De acuerdo con la conjetura de Beal, todas las bases poseen un factor común, entonces la segunda potencia la podemos escribir [texx] (A+n)^3 [/texx]. Compartiendo (A+n) un factor común con A.
Fijémonos que el dos inicial [texx] A^3+(A+n)^3 = 2A^3+3nA^2+3n^2A+n^3 [/texx] que impide que esta expresión pueda ser una potencia de grado 3. Lo mismo ocurre con las potencias de grado 4 y demás. Debido a que la expresión desarrollada de una potencia de dos números de grado 3 es [texx] A^3+3nA^2+3n^2A+n^3 [/texx] y por extensión todas las demás de grado 3, 4, 5 etc. El primer término [texx] 2A^3 [/texx] es independiente de n, por lo tanto, adopte, el valor que adopte n, dicha expresión nunca llegara a alcanzar, sera igual a la expresión [texx] A^3+3nA^2+3n^2A+n^3 [/texx] conforme señalaba Fermat y Adres Wile. Y por extensión lo mismo ocurren con el grado 4, 5, 6, etc. ¿Esto demuestra Fermat?


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 04/10/2016, 07:56:27 am
Hola

[texx] A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n [/texx]; [texx] A^n + B^n+ AB() =(A+B) (A+B)^{n-1} [/texx];
[texx] (A^n)/(A+B) + (B^n)/(A+B)+ (AB())/(A+B) = (A+B)^{n-1} [/texx];
Si uno de los sumandos de la izquierda no es un entero. Entonces implicaría que [texx] (A+B)^{n-1} [/texx] es igual a un número no integro. Por lo tanto vulnera el enunciado de la conjetura. Por lo tanto para no infringir el enunciado inicial de la conjetura, [texx] (A+B)^{n-1} [/texx] obligatoriamente es igual a un entero. Dicho esto, los sumandos de la izquierda, si o si, deben ser todos igual a un número entero. Obviamente después agruparse para obtener dos potencias, conforme conjetura. Para que esto se produzca, necesariamente, A y B, comparten factor común. ¿Esto demuestra que A, B, C, (conforme conjetura) poseen un factor común?.

En todo lo que has escrito ahí no aparece ninguna [texx]C[/texx]. Entonces, al menos sin más aclaración, no se puede sacar ninguna conclusión sobre ella.

Cita
Si esto es verdad. Si todas las potencias, conforme conjetura, poseen un factor común, acorde con lo señalado, Entonces Fermat se puede demostrar sencillamente. Esto es.

Hay una frase que repites constantemente: "conforme a conjetura". Pero no me queda claro en que sentido la usas:

- No sé si te refieres a que tus argumentos demuestran que la conjetura es cierta.
- O si te refieres a que los casos que analizas son ejemplos donde la conjetura se cumple, pero ojo, eso no quiere decir que la demuestre. Son sólo ejemplos.
- O si estas dando por supuesto que la conjetura es cierta y la utilizas como parte de tus argumentos; en ese caso nada de lo que concluyas con ese punto de partida serviría para probarla porque partes de su veracidad.

Cita
Toda expresión que se ajuste al UTF puede escribirse de la siguiente forma
[texx] A^3+(A+n)^3 = 2A^3+3nA^2+3n^2A+n^3 [/texx].

Ahí ya no entiendo que quieres decir. La ecuación que trata el UFT para grado tres es:

[texx]A^3+B^3=C^3[/texx]

Cierto que [texx]B[/texx] puede escribirse como [texx]B=A+n[/texx] (y para eso no hace falta usar conjetura alguna), con lo que tendríamos:

[texx]A^3+(A+n)^3=C^3[/texx]

y si quieres de ahí:

[texx]2A^3+3nA^2+3n^2A+n^3=C^3[/texx]

A partir de ahí dices:

Cita
De acuerdo con la conjetura de Beal, todas las bases poseen un factor común, entonces la segunda potencia la podemos escribir [texx] (A+n)^3 [/texx]. Compartiendo (A+n) un factor común con A.
Fijémonos que el dos inicial [texx] A^3+(A+n)^3 = 2A^3+3nA^2+3n^2A+n^3 [/texx] que impide que esta expresión pueda ser una potencia de grado 3.

Y aquí vuelve mi duda sobre lo que quieres decir con "de acuerdo con la conjetura de Beal". ¿Significa que estás suponiendo que tal conjetura es cierta?. Desde luego si damos por buena la conjetura de Beal, entonces automáticamente es cierto el Teorema de Fermat. La razón es muy simple, conocida por todo el mundo (aparece en la Wikipedia) y la expliqué por ejemplo aquí: (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=90555.msg364864#msg364864)

Si, la veracidad de la conjetura de Beal implica el Teorema de Fermat.

Pero la justifiación es muy directa. Si el Teorema de Fermat fuese falso, existirían enteros coprimos [texx]A,B,C[/texx] tales que [texx]A^n+B^n=C^n[/texx] con [texx]n>2[/texx], pero eso contradice directamente la conjetura de Beal.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 04/10/2016, 10:28:58 am
C agrupa en potencia a A y AB () o B y AB (), en general. Es decir los tres sumandos se agrupan en dos potencias conforme a la conjetura (con las condiciones indicadas en la conjetura).
Respecto Fermat. Si lo dicho es cierto. Los tres sumandos, las dos potencias iniciales poseen factor comun, entonces podemos indicar Fermat de la siguiente manera. A^n+(A+x)^n=(A+y)^n. Obteniendo una contradiccion. La suma de la primera potencia, en el caso n=3, es igual A^n+A^n+3A^2x+3Ax^2+x^3. Las dos A^n se suman tal que 2A^n. Esta peculiaridad impide obtener el (A+y)^n. Porque si observamos el triangulo de pascal ninguna potencia posee dicha peculiaridad. Por lo tanto fermat, wiles estaban en lo cierto.
Perdon por la sintaxis, ya que estoy con el movil.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 04/10/2016, 11:49:55 am
Hola

C agrupa en potencia a A y AB () o B y AB (), en general. Es decir los tres sumandos se agrupan en dos potencias conforme a la conjetura (con las condiciones indicadas en la conjetura).

No entiendo la frase: " los tres sumandos se agrupan en dos potencias conforme a la conjetura".

Si cuando dices "conforme a la conjetura" te refieres simplemente a las hipótesis de la conjetura, estás son simplemente tener tres naturales cumpliendo la ecuación:

[texx]A^x+B^y=C^z[/texx]

así que si solo te refieres a eso cuando dices "conforme a conjetura" es más claro e igual de poco trabajoso decir "bajo el supuesto de que [texx]A^x+B^y=C^z[/texx]", especificando si procede los exponentes [texx]x,y,z[/texx] concretos con los que quieras trabajar.

Cita
Respecto Fermat. Si lo dicho es cierto.

¿Exactamente y sin vaguedades e imprecisiones, qué es "lo dicho"?.

Cita
Los tres sumandos, las dos potencias iniciales poseen factor común, entonces podemos indicar Fermat de la siguiente manera. A^n+(A+x)^n=(A+y)^n.


Por primera vez en estos mensajes lo escribes bien, usando tres variables.
Cita
Obteniendo una contradiccion. La suma de la primera potencia, en el caso n=3, es igual A^n+A^n+3A^2x+3Ax^2+x^3. Las dos A^n se suman tal que 2A^n. Esta peculiaridad impide obtener el (A+y)^n.

Para [texx]n= 3[/texx] lo que obtiene es:

[texx]2A^n+3A^2x+3Ax^2+x^3=A^n+3A^2y+3Ay^2+y^3[/texx]

o si simplificas el [texx]A^n[/texx]:

[texx]A^n+3A^2x+3Ax^2+x^3=3A^2y+3Ay^2+y^3[/texx]

Pero no veo ninguna contradicción ahí. No veo que hayas dado ningún argumento que impida que esa igualdad sea posible.

Cita
Porque si observamos el triangulo de pascal ninguna potencia posee dicha peculiaridad.

¿Qué peculiariad? Observar unos coeficientes combinatorios, por si solo no va a justificar ninguna contradicción. Supuesto que la haya tienes que explicar de manera precisa en qué consiste. Quiero que quede claro para ser honesto, que con esto no sugiero que ya tengas la idea y te falte explicarla bien; lo que creo que es que no hay ninguna idea útil en todo lo que has dicho para sustentar esa contradicción.

Cita
Perdon por la sintaxis, ya que estoy con el movil.

Bien. Pero tómate tu tiempo si quieres para escribir con calma cuando puedas desde un dispositivo más amable.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 08/10/2016, 08:53:47 am
Hola. Cierto es que lo siguiente es irrelevante.
[texx] A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n [/texx]; [texx] A^n + B^n+ AB() =(A+B) (A+B)^{n-1} [/texx];
[texx] (A^n)/(A+B) + (B^n)/(A+B)+ (AB())/(A+B) = (A+B)^{n-1} [/texx];
Si uno de los sumandos de la izquierda no es un entero.
Es irrelevante porque por ejemplo [texx]7^3+7^4=14^3[/texx] no lo cumple.
Entonces volvemos al inicio, para el caso n=3:
[texx] A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3 [/texx]; [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx].
[texx]( A+B)^3-3AB(A+B) = ((A+B)^2-3AB)(A+B) [/texx]. Entonces para que esta expresión sea igual a potencia. [texx]((A+B)^2-3AB)=(A+B)^m [/texx]. En consecuencia 3AB debería poseer un factor común con (A+B). Esto solo ocurre si A y B poseen un factor común. Porque si sumamos dos números sin ningún factor común. Por ejemplo 2 + 3 = 5 y 2*3 = 6. Entonces [texx](A+B)^2-3AB=(A+B)^2 [/texx]; [texx](2+3)^2-3·2·3=(2+3)^m [/texx]; [texx](5)^2-18=(5)^m [/texx]. Observamos que no obtenemos la potencia deseada.
En cambio si A y B si que poseen un factor común [texx](3+6)^2-3·3·6=(3+6)^m [/texx]; [texx](9)^2-2·3^3=(9)^m [/texx]; [texx](3)^4-2·3^3=(3)^2·m [/texx]; [texx]3·(3)^3-2·3^3=(3)^2·m [/texx]; [texx] 3^3=(3)^2·m [/texx]. Si que puede ser potencia.
Dicho lo cual la entidad [texx]((A+B)^2-3AB)=(A+B)^m [/texx] requiere que A y B posean un factor común.
Consecuentemente [texx] A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n [/texx]; [texx] (A+B)·x+ AB() = (A+B)^n [/texx]. Siendo x un número entero. ¿Con esto quedaría demostrado que A, B, C (enunciado de la conjetura) tienen un factor común?
Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: mente oscura en 08/10/2016, 10:58:57 pm

...

[texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx].
[texx]( A+B)^3-3AB(A+B) = ((A+B)^2-3AB)(A+B) [/texx].

Hola.

Hasta aquí, de acuerdo.


Entonces para que esta expresión sea igual a potencia. [texx]((A+B)^2-3AB)=(A+B)^m [/texx].


Eso, es lo que no veo porqué tiene que ser así.

Estás presuponiendo que, la base de la potencia es [texx]A+B[/texx].

En UTF, para n=3, sería:

[texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx]

[texx](A+B)(A^2-AB+B^2)=(A+B)^3-3AB(A+B) [/texx]

[texx]r^3=(A^2-AB+B^2)=(A+B)^2-3AB[/texx]

Por lo que "r", no puede ser divisible por ningún divisor de "A+B".

Un cordial saludo.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 09/10/2016, 05:26:12 pm
Entonces para que esta expresión sea igual a potencia. [texx]((A+B)^2-3AB)=(A+B)^m [/texx].
Eso, es lo que no veo porqué tiene que ser así.
Estás presuponiendo que, la base de la potencia es [texx]A+B[/texx].
 
Cierto Mente Oscura, estoy suponiendo que, la base de la potencia es [texx]A+B[/texx]. Pero es que dicha potencia, si o si, es la base [texx]A+B[/texx] o un producto en el que participa [texx]A+B[/texx].
Si vemos la expresión [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx]. Si de ella queremos obtener potencia. Entonces, a mi entender, bajo mejor opinión, [texx] ((A+B)^2-3AB)[/texx] tiene que ser igual (me refiero única y exclusivamente a la base) a [texx](A+B)^m [/texx] donde entonces 3AB debería poseer un factor común con (A+B). Esto solo ocurre si A y B poseen un factor común. Porque si sumamos dos números sin ningún factor común. Por ejemplo 2 + 3 = 5 y 2·3 = 6 (recordemos la expresión 3AB). Es decir, [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB); (2+3)((2+3)^2-3·2·3) [/texx]. Observamos que si no hay un factor común entre A y B [texx] ((A+B)^2-3AB)[/texx] no pueden agruparse para posteriormente agruparse con la formación de la potencia definitiva. Porque recordemos que la suma de dos números sin factor común, su suma es un tercer número que no goza de factor común con los dos iníciales.
Respecto lo de Fermat, indicar que si A=3 y B=6 entonces 9 es divisor de todos y cada uno de los componentes.
Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 11/10/2016, 06:10:26 am
Hola

Entonces para que esta expresión sea igual a potencia. [texx]((A+B)^2-3AB)=(A+B)^m [/texx].
Eso, es lo que no veo porqué tiene que ser así.
Estás presuponiendo que, la base de la potencia es [texx]A+B[/texx].
 
Cierto Mente Oscura, estoy suponiendo que, la base de la potencia es [texx]A+B[/texx]. Pero es que dicha potencia, si o si, es la base [texx]A+B[/texx] o un producto en el que participa [texx]A+B[/texx].

Pero no es lo mismo que digas que la base [texx]A+B[/texx] (que es una situación muy particular), que el hecho de que la base tenga como factor a [texx]A+B[/texx].

Es decir, si [texx]A^3+B^3=C^3[/texx] es cierto que [texx]C^3[/texx] tiene que ser divisible por [texx]A+B[/texx], es decir, [texx]C^3=(A+B)k[/texx], donde [texx]k [/texx]es otro factor.

Pero no tiene porque ocurrir que necesariamente [texx]C^3=(A+B)[/texx].

Cita
Si vemos la expresión [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx]. Si de ella queremos obtener potencia. Entonces, a mi entender, bajo mejor opinión, [texx] ((A+B)^2-3AB)[/texx] tiene que ser igual (me refiero única y exclusivamente a la base) a [texx](A+B)^m [/texx] donde entonces 3AB debería poseer un factor común con (A+B).

"A mi entender" o "bajo mejor opinión" no son argumentos. La cuestión es muy sencilla (y me centro en el caso del Teorema de Fermat de grado tres). Hay que estudiar si es posible números enteros no nulos verificando:

[texx]A^3+B^3=C^3[/texx]

y tu te empeñas sin ninguna justificación sólida en tomar [texx]C=A+B[/texx].

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 11/10/2016, 01:44:18 pm
Hola:
[texx] A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3 [/texx]; [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx].
[texx]( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx].
Manco es aquí donde entra la K. Es decir [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K[/texx].
Viendo esta expresión [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] simplemente indico que si A y B no comparten factor común [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] dicha expresión nunca será igual a una potencia. Es decir, [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB); (2+3)((2+3)^2-3·2·3); 5·((25-18)); 5·7 [/texx]. Obviamente no forma potencia.
Insisto, para que formen potencia [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx].entonces [texx] ((A+B)^2 [/texx] y [texx]  3AB) [/texx] tienen que poseer un factor común. Y la única forma es que A y B tengan factor común.
La expresión [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx], los dos primeros componentes (A+B) siempre tendrá su factor común “obviedad” por lo tanto lo que produce que [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] sea potencia o no, es que [texx] ((A+B)^2 [/texx] y [texx]  3AB) [/texx] compartan factor común y para eso A y B deben tener un factor común.
De acuerdo con el Manco, [texx] C^3 = (A+B))·k[/texx], es decir [texx] A^3+ B^3 = (A+B))·k[/texx].
En lenguaje del enunciado de la Conjetura de Beal, A + B, tiene un factor común con C. Junto con lo indicado que A y B deben tener un factor común (recordemos para que [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] sea potencia [texx] ((A+B)^2 [/texx] y [texx]  3AB) [/texx] compartan factor común y para eso A y B deben tener un factor común). Por lo tanto, se cumple la conjetura de Beal si A y B tienen un factor común.

En definitiva, para que[texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] sea potencia, nos encontramos con dos casos:
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx] donde m es igual o mayor que tres.
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx] donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo.
En los dos casos [texx] (A+B)^2 [/texx] y [texx]  3AB [/texx] comparten el  factor común (A+B) y para eso A y B deben tener un factor común.
Atentamente.



Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 13/10/2016, 06:09:06 am
Hola

Hola:
[texx] A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3 [/texx]; [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx].
[texx]( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx].
Manco es aquí donde entra la K. Es decir [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K[/texx].
Viendo esta expresión [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] simplemente indico que si A y B no comparten factor común [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] dicha expresión nunca será igual a una potencia.

El problema es que no demuestras la afirmación en rojo. No das ningún argumento que justifique que es cierta.

Cita
Es decir, [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB); (2+3)((2+3)^2-3·2·3); 5·((25-18)); 5·7 [/texx]. Obviamente no forma potencia.

Un ejemplo no dice nada. ¿Quién asegura que para otros números no pudiera ocurrir?.

Cita
Insisto, para que formen potencia [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx].entonces [texx] ((A+B)^2 [/texx] y [texx]  3AB) [/texx] tienen que poseer un factor común. Y la única forma es que A y B tengan factor común.

Insistes y lo puedes repetir mil veces. Pero no lo justificas.

Cita
La expresión [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx], los dos primeros componentes (A+B) siempre tendrá su factor común “obviedad” por lo tanto lo que produce que [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] sea potencia o no, es que [texx] ((A+B)^2 [/texx] y [texx]  3AB) [/texx] compartan factor común y para eso A y B deben tener un factor común.

Y vuelta a repetirlo sin mayor justificación.

Te voy a poner un ejemplo. ¿Y la expresión [texx](A+B)((A+B)^2+2705AB)[/texx]? ¿Puede ser una potencia sin que [texx](A+B)^2[/texx] y [texx]2705AB[/texx] compartan factor común?¿Sin qué [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] compartan factor común?.

Yo puedo decirte y repetirte mil veces, pues no no es posible. Por ejemplo, [texx](2+3)((2+3)^2+2705*2*3)=81275[/texx] que no es una potencia. ¿Ves?. ¡Es obvio, está claro!.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 13/10/2016, 03:36:01 pm
Hola.
Si [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] es potencia, nos encontramos con dos casos:
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx] donde m es igual o mayor que tres.
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx] donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo.
Tomemos el b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx]; [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx]; [texx]((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^{n-1} (k^n)[/texx]; [texx]((A+B)^2-((A+B)^{n-1} (k^n) = 3AB [/texx]; [texx] 3AB = ((A+B)^2-((A+B)^{n-1} (k^n) [/texx]. Introducimos T, siendo un entero positivo. [texx] 3AB = ((A+B)^m(k^n))T [/texx]; [texx] T= (3AB)/ (A+B)^m(k^n) [/texx]; [texx] T/(k^n) = (3AB)/ (A+B)^m [/texx]. T/(k^n) es un entero para que la conjetura cumpla, sustituyámosla por Z. [texx] Z = (3AB)/ (A+B)^m [/texx]. Recordemos que la suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común [texx] Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m [/texx]. No obteniendo el entero deseado.
Cita del Manco.
Pero estaría metiendo la pata. Por ejemplo para A=14 y B=13 se tiene que: [texx] (14+13)((14+13)^2+2705*14*13)=13312053=237^3[/texx].
Señor eso es trampa. Porque si [texx] (A+B)^3[/texx] por consiguiente 3.14.13. Recordemos el triangulo de pascal.
Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 14/10/2016, 06:42:07 am
Hola

Hola.
Si [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] es potencia, nos encontramos con dos casos:
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx] donde m es igual o mayor que tres.
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx] donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo.

No. Eso no es así (y si piensas que esas son las dos posibilidades tienes que demostarlo).

Suponiendo que [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son coprimos, es decir, sin factores primos comunes,  ([texx]A+B[/texx] y [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] también son coprimos) lo que se deduce de que  [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m [/texx] sea potencia es que [texx]C[/texx] se debe de descomponer [texx]C=C_1C_2[/texx] en dos factores coprimos [texx]C_1[/texx] y [texx]C_2[/texx] de manera que:

[texx]A+B=C_1^m[/texx]
[texx](A+B)^2-3AB=C_2^m[/texx]

Cita
Cita del Manco.
Pero estaría metiendo la pata. Por ejemplo para A=14 y B=13 se tiene que: [texx] (14+13)((14+13)^2+2705*14*13)=13312053=237^3[/texx].
Señor eso es trampa. Porque si [texx] (A+B)^3[/texx] por consiguiente 3.14.13. Recordemos el triangulo de pascal.

Lo que te indico es que tu simple afirmación de que [texx](A+B)^2-3AB[/texx] no puede ser una potencia no llega para afirmar que lo sea, porque esa simple afirmación se puede hacer igualmente sobre [texx](A+B)^2+2705AB[/texx].

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 14/10/2016, 04:16:39 pm
Hola.
[texx] A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx]. Trato o tratamos de encontrar el porque de que A y B compartan factor común. En este caso concreto, [texx] A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx], para cumplir conjetura, [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] es potencia. Si no es potencia no hablamos de la Conjetura de Beal.
Nos guste o no nos guste, [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] esta expresión, hablamos de la Conjetura de Beal, al adoptar forma de potencia, si o si, el factor [texx] (A+B) [/texx] esta. Si estuviéramos frente la operación suma, puede o no puede estar. Por lo tanto, solo puede adoptar una de estas formas.
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx].
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx].
Creo que en esta cuestión hay poco que demostrar. No veo donde esta el problema.

Cita



Suponiendo que [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son coprimos, es decir, sin factores primos comunes,  ([texx]A+B[/texx] y [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] también son coprimos) lo que se deduce de que  [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m [/texx] sea potencia es que [texx]C[/texx] se debe de descomponer [texx]C=C_1C_2[/texx] en dos factores coprimos [texx]C_1[/texx] y [texx]C_2[/texx] de manera que:

[texx]A+B=C_1^m[/texx]
[texx](A+B)^2-3AB=C_2^m[/texx]



Opción que no he profundizado. ¿Puede usted facilitarnos algún ejemplo que cumpla con C^m?


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 15/10/2016, 06:12:14 pm
Hola

Hola.
[texx] A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx]. Trato o tratamos de encontrar el porque de que A y B compartan factor común. En este caso concreto, [texx] A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx], para cumplir conjetura, [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] es potencia. Si no es potencia no hablamos de la Conjetura de Beal.

Si de acuerdo. Estamos bajo el supuesto de que:

 [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m[/texx]

para algún [texx]C[/texx] sin factores primos comunes con [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] y queremos ver que eso es imposible; que nos lleva a una contradicción. Si eres capaz de probar tal imposibilidad tendríamos demostrada la conjetura de Beal (al menos el caso particular de exponente [texx]3[/texx] de los dos primeros enteros).

Lo que pasa que hasta ahora no has sido capaz en absoluto de probar tal imposibildiad.

Cita
Nos guste o no nos guste, [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] esta expresión, hablamos de la Conjetura de Beal, al adoptar forma de potencia, si o si, el factor [texx] (A+B) [/texx] esta.

¿Qué tipo de argumento matemático es "si o si?. No obstante si entendemos bien la afirmación estoy de acuerdo con ella. De manera precisa:

i) Dado que [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son coprimos, es fácil ver que [texx](A+B)[/texx] y [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] también son coprimos.

ii) Por otro lado por el teorema fundamental de la aritmética [texx]C[/texx] se puede escribir como producto de primos:

[texx]C=\underbrace{p_1^{k_1}\ldots p_s^{k_2}}_{C_1}\underbrace{q_1^{n_1}\ldots q_s^{n_s}}_{C_2}[/texx]

de esos primos unos serán factores de [texx](A+B)[/texx] (les he llamado [texx]p_i[/texx]) y otros de [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] (les he llamado [texx]q_i[/texx])

y por tanto:

De (i) y (ii) se deduce que:

[texx](A+B)((A+B)^2-3AB)=C^m=(C_1)^m(C_2)^m[/texx]

con [texx]C_1^m=A+B[/texx] y [texx]C_2^m=((A+B)^2-3AB)[/texx].

Cita
Por lo tanto, solo puede adoptar una de estas formas.
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx].

Esa primera forma correspondería ya queda claro de lo que he dicho antes que no puede darse (a no ser que [texx]m=1[/texx])

Cita
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx].

Está segunda forma tampoco. Sólo si [texx]n=1[/texx].

Es decir en ningún caso aparece en [texx]C^m[/texx] el factor [texx](A+B)[/texx] elevado a una potencia mayor que uno.

Si puede darse sin embargo el caso que indico. Y no has sido capaz de demostar que es imposible (¡yo tampoco soy capaz, eh, qué si fuese tendría una prueba de la conjetura de Beal y ni la tengo ni aspiro a tenerla!).

Cita
Cita
Suponiendo que [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son coprimos, es decir, sin factores primos comunes,  ([texx]A+B[/texx] y [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] también son coprimos) lo que se deduce de que  [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m [/texx] sea potencia es que [texx]C[/texx] se debe de descomponer [texx]C=C_1C_2[/texx] en dos factores coprimos [texx]C_1[/texx] y [texx]C_2[/texx] de manera que:

[texx]A+B=C_1^m[/texx]
[texx](A+B)^2-3AB=C_2^m[/texx]
l
Opción que no he profundizado. ¿Puede usted facilitarnos algún ejemplo que cumpla con [texx]C^m[/texx]?

No te entiendo. ¿Un ejemplo exactamente de qué y en qué condiciones?.  Desde luego no puedo ponerte un ejemplo de  [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m[/texx] con [texx]A,B,C[/texx] coprimos porque entonces tendría un contraejemplo a la conjetura de Beal y probaría que es falsa; como es lógico no tengo tal contraejemplo. Nadie lo ha encontrado. Pero eso no prueba la conjetura, pero si hace sospechar a todo el mundo que es cierta.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 16/10/2016, 04:26:33 am
Hola:
[texx] A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3 [/texx]; [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx].
[texx]( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx]; [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K[/texx].
Dos casos:
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx] donde m es igual o mayor que tres.
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx] donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo. A+B y K son coprimos ente si. ([texx] 6144^3+3072^3=192^5=2^6*3[/texx]).

Consideremos el caso b.
[texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx];
[texx]((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^{n-1} (k^n)[/texx];
[texx] (A+B)^2 = ((A+B)^{n-1} (k^n) +3AB [/texx]; [texx] (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} (k^n) =3AB [/texx];
De [texx] (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} k^n [/texx] saquemos un factor común y el resto llamémosle Z.
[texx](3AB) = ((Z(A+B) [/texx]; [texx] Z = (3AB)/ (A+B) [/texx]. La suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común [texx] Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m [/texx]. No obteniendo el entero deseado.
¿Todo lo dicho no demuestra que en este caso concreto [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx] A y B posen un factor común?
Independientemente de la respuesta. En el caso n=3 de la conjetura de Beal, no hemos ni nombrado el siguiente caso. [texx] A^3 + B^3+3AB(A+B) = (A+B)^3) [/texx]. Donde los tres sumandos de la izquierda se agrupan en dos potencias.
Por no hablar del n= 4, 6, 8, etc. En donde A^n  +B^n, su suma no siempre contiene el factor común de A+B. Dicho factor común solo es constante si n=3,5,7, etc.


 
Cita

Si de acuerdo. Estamos bajo el supuesto de que:

 [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m[/texx]

para algún [texx]C[/texx] sin factores primos comunes con [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] y queremos ver que eso es imposible; que nos lleva a una contradicción. Si eres capaz de probar tal imposibilidad tendríamos demostrada la conjetura de Beal (al menos el caso particular de exponente [texx]3[/texx] de los dos primeros enteros).


Si se pudiera expresar en forma de quebrado, seria más facil.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 16/10/2016, 10:37:16 am
Hola

[texx] A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3 [/texx]; [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx].
[texx]( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx]; [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K[/texx].
Dos casos:
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx] donde m es igual o mayor que tres.
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx] donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo. A+B y K son coprimos ente si. ([texx] 6144^3+3072^3=192^5=2^6*3[/texx]).

Consideremos el caso b.
[texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx];
[texx]((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^{n-1} (k^n)[/texx];
[texx] (A+B)^2 = ((A+B)^{n-1} (k^n) +3AB [/texx]; [texx] (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} (k^n) =3AB [/texx];
De [texx] (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} k^n [/texx] saquemos un factor común y el resto llamémosle Z.
[texx](3AB) = ((Z(A+B) [/texx]; [texx] Z = (3AB)/ (A+B) [/texx]. La suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común [texx] Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m [/texx]. No obteniendo el entero deseado.

Aquí has repetido exactamente lo mismo que en tus mensajes anteriores. Y ya te he explicado lo que está mal ahí. Debes de leerlos con calama y preguntar o discutir tus dudas u objecciones.

Resumo la cuestión:

Los casos (a) y (b) que indicas efectivamente no pueden darse. Pero eso no llega para probar que no puedan existir [texx]A,B,C[/texx] sin factores comunes con: [texx]A^3+B^3=C^m[/texx], porque siguiendo tus líneas argumentales podría ocurrir que:

[texx]A^3+B^3=(A+B)((A+B)^2-3AB)=C_1^3C_2^3[/texx] con [texx](A+B)=C_1^3[/texx] y [texx](A+B)^2-3AB=C_2^3[/texx] y [texx]C_1,C_2[/texx] coprimos

Y no has dado ningnr argumento que descarte esa posibilidad.

Cita
¿Todo lo dicho no demuestra que en este caso concreto [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx] A y B posen un factor común?

Si por "este caso concreto" te refieres a probar que si [texx]A^3+B^3=C^m[/texx] entonces [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] tienen un factor común, entonce NO, lo dicho no lo demuestra por lo que acabo de comentarte arriba.

Si por "este caso concreto" te refieres a otra cosa no sé exactamente qué cosa es esa. Explícalo.
 
Cita
Si se pudiera expresar en forma de quebrado, seria más facil.

No sé que quieres decir con eso.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 16/10/2016, 03:21:35 pm
Hola

Cita

Los casos (a) y (b) que indicas efectivamente no pueden darse. Pero eso no llega para probar que no puedan existir [texx]A,B,C[/texx] sin factores comunes con: [texx]A^3+B^3=C^m[/texx], porque siguiendo tus líneas argumentales podría ocurrir que:

[texx]A^3+B^3=(A+B)((A+B)^2-3AB)=C_1^3C_2^3[/texx] con [texx](A+B)=C_1^3[/texx] y [texx](A+B)^2-3AB=C_2^3[/texx] y [texx]C_1,C_2[/texx] coprimos


Pero para que eso ocurre implica que A y B sean coprimos, cosa que descartamos con [texx](3AB) = ((Z(A+B) [/texx]; [texx] Z = (3AB)/ (A+B) [/texx]. La suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común [texx] Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m [/texx]. No obteniendo el entero deseado.
Señor si A y B son coprimos Z no es un entero. Dicha acción vulnera la conjetura ya que implicaria que [texx](3AB) = (Z(A+B) [/texx]; 3AB= número no entero. Por consiguiente A o B, o los dos, no serian integros.
En referencia al caso concreto, me refiero a [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx]. Los dos sumandos iniciales con potencias de grado 3 y a su lado todo el pitote que tiene que ser potencia.

Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 17/10/2016, 06:28:17 am
Hola

Cita
Los casos (a) y (b) que indicas efectivamente no pueden darse. Pero eso no llega para probar que no puedan existir [texx]A,B,C[/texx] sin factores comunes con: [texx]A^3+B^3=C^m[/texx], porque siguiendo tus líneas argumentales podría ocurrir que:

[texx]A^3+B^3=(A+B)((A+B)^2-3AB)=C_1^3C_2^3[/texx] con [texx](A+B)=C_1^3[/texx] y [texx](A+B)^2-3AB=C_2^3[/texx] y [texx]C_1,C_2[/texx] coprimos


Pero para que eso ocurre implica que A y B sean coprimos, cosa que descartamos con [texx](3AB) = ((Z(A+B) [/texx]; [texx] Z = (3AB)/ (A+B) [/texx]. La suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común [texx] Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m [/texx]. No obteniendo el entero deseado.
Señor si A y B son coprimos Z no es un entero. Dicha acción vulnera la conjetura ya que implicaria que [texx](3AB) = (Z(A+B) [/texx]; 3AB= número no entero. Por consiguiente A o B, o los dos, no serian integros.

Me estás repitiendo el mismo argumento que usaste para descartar tu caso (b):

[texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx] con [texx]n>1[/texx]

El argumento es correcto para descartar ese caso, pero NO para descartar el que te indico que, escrito de otra forma sería:

[texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) =(A+B)k[/texx] con [texx](A+B)=C_1^m[/texx] y [texx]k=C_2^m[/texx] coprimos.

El problema es lo que tu hacías en tu caso b, ahora no puedes aplicarlo. Tu tenías:

[texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) =(A+B)^nk^n[/texx]

y simplificando:

[texx]((A+B)^2-3AB) =(A+B)^{n-1}k^n[/texx] (*)

Ahora si [texx]n>1[/texx] tendrías que [texx](A+B)[/texx] divide a [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] que contradice el hecho de que A y B sean coprimos. Así razonas tu y está bien.

¡Pero el problema es que puede ocurrir que [texx]n=1[/texx]! Con lo cual la expresión (*) simplemente es:

[texx]((A+B)^2-3AB) =k[/texx]

y de ahí NO se deduce que [texx](A+B)[/texx] divide [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx], porlo que NO se llega a ninguna imposibildad.

Fíjate además (por si esto te confunde) que aunque yo tome [texx]n=1[/texx] no quiere decir que el término de la derecha no sea potencia superior a dos,  ya que como te indiqué mas arriba puede ocurrir que [texx](A+B)=C_1^m[/texx] y [texx]k=C_2^m[/texx].


Cita
En referencia al caso concreto, me refiero a [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx]. Los dos sumandos iniciales con potencias de grado 3 y a su lado todo el pitote que tiene que ser potencia.

Supongo que te refieres al caso:

[texx]A^3+B^3=C^m[/texx]

Te empeñas en para describir el caso, poner  [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx] que no es más que una identidad, una igualdad que se cumple siempre y no aporta una información completa sobre el caso al cuál te estás refiriendo.

Saludos.

P.D. Llevas unas serie de mensajes repitiendo lo mismo sin contestar de manera explícita a mis objecciones.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 22/10/2016, 11:26:45 am
Hola.
Cita
i) Dado que [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son coprimos, es fácil ver que [texx](A+B)[/texx] y [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] también son coprimos.

ii) Por otro lado por el teorema fundamental de la aritmética [texx]C[/texx] se puede escribir como producto de primos:

[texx]C=\underbrace{p_1^{k_1}\ldots p_s^{k_2}}_{C_1}\underbrace{q_1^{n_1}\ldots q_s^{n_s}}_{C_2}[/texx]

de esos primos unos serán factores de [texx](A+B)[/texx] (les he llamado [texx]p_i[/texx]) y otros de [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] (les he llamado [texx]q_i[/texx])

y por tanto:

De (i) y (ii) se deduce que:

[texx](A+B)((A+B)^2-3AB)=C^m=(C_1)^m(C_2)^m[/texx] con [texx]C_1^m=A+B[/texx] y [texx]C_2^m=((A+B)^2-3AB)[/texx].
Cierto. Buscamos valores de A y B que cumplan con [texx]C_2^m=((A+B)^2-3AB)[/texx]. Hallamos los siguientes (tienen que haber más).
A, B, [texx]C_2^m [/texx];
18, 19, [texx] 7^3 [/texx].
15, 176, [texx] 13^4 [/texx].
16, 55, [texx] 7^4 [/texx].
17, 90, [texx] 19^3 [/texx].
Efectivamente hay valores que cumplen con la primera premisa. Pero, ¿cumplirán con la segunda? [texx]C_1^m=A+B[/texx].
Con cualquiera de los valores indicados procedemos. Simplificamos la primera premisa. Estos es, [texx]C_2^m=((A+B)^2-3AB)=A^2+B^2+2AB-3AB= A^2+B^2-AB [/texx]. Introducimos uno de los valores. [texx] 18^2+19^2-18·19 = 7^3 [/texx]. De la primera premisa queremos obtener la segunda. Por lo tanto. [texx] (18^2)/18+(19^2)/18-18·19/18 = (7^3)/18; 18+(19^2)/18= (7^3)/18 +19 [/texx]. Observemos que [texx] (19^2)/18 [/texx]. Nunca será un número entero. Recordemos que A y B son coprimos. Por lo tanto al intentar obtener de la primera la segunda premisa nos encontramos que [texx] (B^2)/A [/texx] nunca será un entero, ya era una condición inicial que A y B sean coprimos. Por lo tanto aquí surge la contradicción deseada y por tanto demostrada la Conjetura de Beal en el caso [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx] donde las dos primera potencias son de grado 3 y la tercera de grado mayor que 3.

Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 24/10/2016, 06:25:15 am
Hola

Cierto. Buscamos valores de A y B que cumplan con [texx]C_2^m=((A+B)^2-3AB)[/texx]. Hallamos los siguientes (tienen que haber más).
A, B, [texx]C_2^m [/texx];
18, 19, [texx] 7^3 [/texx].
15, 176, [texx] 13^4 [/texx].
16, 55, [texx] 7^4 [/texx].
17, 90, [texx] 19^3 [/texx].
Efectivamente hay valores que cumplen con la primera premisa. Pero, ¿cumplirán con la segunda? [texx]C_1^m=A+B[/texx].
Con cualquiera de los valores indicados procedemos. Simplificamos la primera premisa. Estos es, [texx]C_2^m=((A+B)^2-3AB)=A^2+B^2+2AB-3AB= A^2+B^2-AB [/texx]. Introducimos uno de los valores. [texx] 18^2+19^2-18·19 = 7^3 [/texx]. De la primera premisa queremos obtener la segunda.

Hasta aquí más o menos de acuerdo. El único matriz es que ejemplos concretos no valen para demostrar nada. Pero si los quieres utilizar para introducir la idea y  luego generalizar, perfecto, no hay problema en eso.

 
Cita
Por lo tanto. [texx] (18^2)/18+(19^2)/18-18·19/18 = (7^3)/18; 18+(19^2)/18= (7^3)/18 +19 [/texx]. Observemos que [texx] (19^2)/18 [/texx]. Nunca será un número entero.

Aquí no entiendo lo que haces.

¿A qué viene dividir por 18?. ¿Por qué había de ser divisible por 18?. No viene a cuento. No tiene nada que ver con las ecuaciones que yo habías establecido. No tiene nada que ver con añadir la condición [texx]C_1^m=A+B[/texx].

Cita
Recordemos que A y B son coprimos. Por lo tanto al intentar obtener de la primera la segunda premisa nos encontramos que [texx] (B^2)/A [/texx] nunca será un entero, ya era una condición inicial que A y B sean coprimos. Por lo tanto aquí surge la contradicción deseada y por tanto demostrada la Conjetura de Beal en el caso [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx] donde las dos primera potencias son de grado 3 y la tercera de grado mayor que 3.

Es decir tu simplemente divides [texx]C_2^m=A^2+B^2+AB[/texx] por [texx]A[/texx] y efectivamente no es divisible, no da entero. ¿Pero por qué habría de serlo?. Eso no contradice ninguna premisa.

Entonces no llegas a ninguna contradicción.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 24/10/2016, 03:14:25 pm
HOla.

Intento encontrar la contradicción mediante:
[texx]C_1^m=A+B[/texx] y [texx]C_2^m=((A^2+B^2-AB)[/texx].
De la segunda expresión. [texx]C_2^m=((A^2+B^2-AB); A= (C_2^m)/A-((B^2)/A)+B [/texx].
De la primera [texx]C_1^m=A+B[/texx]; [texx]C_1^m-B=A[/texx].
Igualamos. [texx] (C_2^m)/A-((B^2)/A)+B = C_1^m-B[/texx]. ¿No deducimos de ahí una contradicción? Si A, B y las dos C son todas ellas son enteras y cooprimas.

Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 25/10/2016, 05:13:48 am
Hola

Intento encontrar la contradicción mediante:
[texx]C_1^m=A+B[/texx] y [texx]C_2^m=((A^2+B^2-AB)[/texx].
De la segunda expresión. [texx]C_2^m=((A^2+B^2-AB); A= (C_2^m)/A-((B^2)/A)+B [/texx].
De la primera [texx]C_1^m=A+B[/texx]; [texx]C_1^m-B=A[/texx].
Igualamos. [texx] (C_2^m)/A-((B^2)/A)+B = C_1^m-B[/texx]. ¿No deducimos de ahí una contradicción? Si A, B y las dos C son todas ellas son enteras y cooprimas.

Tu lo que haces es, de [texx]C_2^m=(A^2+B^2-AB)[/texx] despejas [texx]A[/texx]:

[texx]A=\dfrac{C_2^m-B^2}{A}+B[/texx]

Lo mismo en  [texx]C_1^m=A+B[/texx]:

[texx]A=C_1^m-B[/texx]

Igualando:

[texx]C_1^m-B=\dfrac{C_2^m-B^2}{A}+B[/texx]

¿Dónde está la contradicción? Lo único que deducimos ahí es que [texx]C_2^m-B^2[/texx] tiene que ser divisible por [texx]A[/texx]. ¿Y por qué no va a poder serlo?. Es perfectamente compatible con que [texx]C_1^m,C_2^m,A,B[/texx] sean coprimos.

Por ejemplo si [texx]A=12[/texx], [texx]B=17[/texx], [texx]C_2^m=12^1+17^2-12\cdot 17=229[/texx], [texx]C_1^m=A+B=29[/texx].

Fíjate que en ese ejemplo el "problema" está en que [texx]229[/texx] y [texx]29[/texx] no son potencias de ningún número entero (¡si lo fuesen tendria un contraejemplo a la conjetura de Beal!), pero lo que quiero que entiendas con él es que no hay ninguna contradicción en las ecuaciones que has expuesto por el hecho de que los términos sean coprimos. Entonces en cualquier argumento válido habría que usar de manera decisiva (¡y correcta!) que los números [texx]C_2^m[/texx] y [texx]C_1^m [/texx]son potencias.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 05/11/2016, 10:23:16 am
Hola.
Cierto no hay contradicción.
Veámoslo desde la siguiente perspectiva.
[texx] a^2+b^2-ab=C^m [/texx]; supongamos que [texx] b=a+n [/texx].
Recordemos la siguiente entidad. [texx] (a+n)^2=(a+n+1)·(a+n-1)+1 [/texx]. Sustituimos.
[texx] a^2+(a+n)^2-a(a+n)=C^m [/texx]; [texx] a^2+(a+n+1)·(a+n-1)+1 -a(a+n)=C^m [/texx].
Despejemos la n. [texx] n=(1/2)·(-(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a) [/texx].
La segunda condición establecía que [texx]a+b=T^m [/texx]. Sustituimos [texx] b=a+n [/texx].
[texx]a+a+n=T^m [/texx]; [texx]2a+n=T^m [/texx]; [texx]n=T^m-2a [/texx].
Igualemos las dos n.
[texx] (1/2)·(-(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a) = T^m-2a [/texx].
Introduzcamos dicha ecuación en https://www.wolframalpha.com/examples/EquationSolving.html y despejemos a.
[texx] a= (1/6)·(3T^m-((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} [/texx]. Donde [texx] C^m = a^2+b^2-ab [/texx] y [texx] T^m = a+b [/texx]. Sustituimos.
[texx] a= (1/6)·(3(a+b)-((3)^{1/2})(4(a^2+b^2-ab)-(a+b)^2)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(4(a^2+b^2-ab)-(a+b)^2)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(4a^2+4b^2-4ab-a^2-b^2-2ab)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(3a^2+3b^2-6ab)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})·9·(a^2+b^2-2ab)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 9/6)((3)^{1/2})·(a^2+b^2-2ab)^{1/2}[/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 3/2)((3)^{1/2})·(a^2+b^2-2ab)^{1/2} [/texx];
Si a dicha ecuación le introducimos valores (hoja de cálculo adjunta) observamos que a y b solo cumplen con la ecuación, si a y b son iguales. Inicialmente a y b eran coprimos. ¿Puede ser esta la contradicción que verifica la conjetura de Beal en este caso concreto?


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 05/11/2016, 01:41:40 pm
Hola

 Pero has comenzado despejando en dos ecuaciones, para hallar [texx]a[/texx]  y[texx] b=T^m-[/texx]a en función de [texx]C[/texx] y [texx]T[/texx] y luego le das la vuelta asunto volviendo a poner [texx]C[/texx] y [texx]T [/texx]en función de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx], con lo cuál lo único que obtienes es una identidad, una igualdad que se cumple siempre.

 Lo que pasa es que tienes un error en las cuentas, y un matiz que omites:

Cierto no hay contradicción.
Veámoslo desde la siguiente perspectiva.
[texx] a^2+b^2-ab=C^m [/texx]; supongamos que [texx] b=a+n [/texx].
Recordemos la siguiente entidad. [texx] (a+n)^2=(a+n+1)·(a+n-1)+1 [/texx]. Sustituimos.
[texx] a^2+(a+n)^2-a(a+n)=C^m [/texx]; [texx] a^2+(a+n+1)·(a+n-1)+1 -a(a+n)=C^m [/texx].
Despejemos la n. [texx] n=(1/2)·(-(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a) [/texx].
La segunda condición establecía que [texx]a+b=T^m [/texx]. Sustituimos [texx] b=a+n [/texx].
[texx]a+a+n=T^m [/texx]; [texx]2a+n=T^m [/texx]; [texx]n=T^m-2a [/texx].
Igualemos las dos n.
[texx] (1/2)·(-(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a) = T^m-2a [/texx].
Introduzcamos dicha ecuación en https://www.wolframalpha.com/examples/EquationSolving.html y despejemos a.
[texx] a= (1/6)·(3T^m-((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} [/texx].

Ahí está el matiz. En realidad la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones:

[texx] a= (1/6)·(3T^m-((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} [/texx]

y

[texx] a= (1/6)·(3T^m+((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} [/texx]

la primera corresponde al caso [texx]a\leq b[/texx] y la segunda al caso [texx]a\geq b[/texx].

Si te quedas con la primera (como has hecho) es que suponemos que [texx]a\leq b[/texx].

Cita
Donde [texx] C^m = a^2+b^2-ab [/texx] y [texx] T^m = a+b [/texx]. Sustituimos.
[texx] a= (1/6)·(3(a+b)-((3)^{1/2})(4(a^2+b^2-ab)-(a+b)^2)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(4(a^2+b^2-ab)-(a+b)^2)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(4a^2+4b^2-4ab-a^2-b^2-2ab)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(3a^2+3b^2-6ab)^{1/2} [/texx];
[texx] \color{red}a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})·9·(a^2+b^2-2ab)^{1/2}\color{black} [/texx];

La línea en rojo está mal.

Sería:

[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(3^{1/2})(a^2+b^2-2ab)^{1/2}=\dfrac{1}{2}(a+b)-\dfrac{3}{6}((a-b)^2)^{1/2}=\dfrac{1}{2}(a+b)-\dfrac{1}{2}|a-b| [/texx]

Como hemos dicho que [texx]a\leq b[/texx] tenemos que [texx]|a-b|=b-a[/texx] y queda:

[texx]a=\dfrac{1}{2}(a+b)-\dfrac{1}{2}(b-a)=a[/texx]

Una identidad.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 06/11/2016, 06:13:30 am

Hola.
Cita
Ahí está el matiz. En realidad la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones:

[texx] a= (1/6)·(3T^m-((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} [/texx]

y

[texx] a= (1/6)·(3T^m+((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} [/texx]

la primera corresponde al caso [texx]a\leq b[/texx] y la segunda al caso [texx]a\geq b[/texx].

Si te quedas con la primera (como has hecho) es que suponemos que [texx]a\leq b[/texx].


No entiendo. Porque al principio establecia que b=a+n. Dicha condición fuerza que a sea menor que b.
Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 06/11/2016, 06:19:40 am
Hola

No entiendo. Porque al principio establecia que b=a+n. Dicha condición fuerza que a sea menor que b.
Atentamente.

Si, pero si pretendías que [texx]n[/texx] representase un número positivo, entonces has elegido mal la solución de la ecuación de segundo grado:

[texx]a^2+(a+n+1)·(a+n-1)+1 -a(a+n)=C^m[/texx]

que tiene dos soluciones. Tu has tomado:

[texx]n=(1/2)·(-(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a)[/texx]

que es claramente negativo. Si quisieses que fuese positivo tendrías que haber tomado la otra solución:

[texx]n=(1/2)·(\color{red}+\color{black}(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a)[/texx]

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 12/11/2016, 10:47:01 am
Hola.
[texx] a^2+b^2-ab=C^m [/texx]. Despejemos a.
Dos soluciones.
[texx] a = (b - [-3 b^2 + 4 C^m]^{1/2})/2 [/texx].
[texx] a = (b + [-3 b^2 + 4 C^m]^{1/2})/2 [/texx].
Seguimos con la positiva. Esto es:
[texx] a = (b + [-3 b^2 + 4 C^m]^{1/2})/2 [/texx]. Donde b, sustituimos [texx] b= T^m-a[/texx].
[texx] a=(1/2)(((T^m)-a))+(1/2)(4C^m-3((T^m)-a)^2)^{1/2} [/texx]. Despejamos [texx] T^m [/texx].
Dos soluciones.
[texx] T = 2^{-1/m}((4 C^m-3 a^2)^{1/2}+3 a)^{1/m} [/texx].
[texx] T = 2^{-1/m}(-(4 C^m-3 a^2)^{1/2}+3 a)^{1/m} [/texx].
Con la primera solución no obtenemos ningún tipo de resultado. Pero con la segunda si. Pero aquí me asalta la duda. Con la segunda solución, ¿es correcto?
Si seguimos con la segunda.
[texx] T^m = (1/2)·(-(4 C^m-3 a^2)^{1/2}+3 a) [/texx]. Donde [texx] C^m =a^2+b^2-ab [/texx].
[texx] T^m = (1/2)·( -(4 (a^2+b^2-ab)-3 a^2)^{1/2}+3 a) [/texx];
[texx] T^m = (1/2)·(-(4a^2+4b^2-4ab-3 a^2))^{1/2}+3 a) [/texx];
[texx] T^m = (1/2)·(-(a^2+4b^2-4ab)^{1/2}+3 a) [/texx]. Donde [texx] T^m =a+b [/texx].
[texx] a+b = (1/2)·(-(a^2+4b^2-4ab)^{1/2}+3 a) [/texx];
[texx] 2(a+b) = (-(a^2+4b^2-4ab)^{1/2}+3 a) [/texx];
[texx] 2a+2b-3a= -(a^2+4b^2-4ab)^{1/2}[/texx];
[texx] (2b-a)^{1/2}= -(a^2+4b^2-4ab)[/texx]. Si resolvemos esta ecuación. [texx] a=2b[/texx].
Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 14/11/2016, 08:01:37 am
Hola

[texx] 2a+2b-3a= -(a^2+4b^2-4ab)^{1/2}[/texx];
[texx]\color{red} (2b-a)^{1/2}= -(a^2+4b^2-4ab)\color{black}[/texx]. Si resolvemos esta ecuación. [texx] a=2b[/texx].
Atentamente.

Ese último paso está mal. Lo que deberías de hacer es elevar ambos términos al cuadrado quedando:

[texx](2b-a)^2=a^2+4b^2-4ab[/texx]

que es una identidad.

Y añado un comentario general: lo único que estas haciendo es partir de un sistema de ecuaciones:

[texx]a^2+b^2-ab=C^m[/texx]
[texx]a+b=T^m[/texx]

 hallar unas variables en función de las otras y luego sustituir las soluciones de nuevo en las ecuaciones. Si lo haces correctamente llegarás siempre a identidades.

Es fácil sin embargo cometer errores basados en que las ecuaciones que se obtienen son de segundo grado, con dos posibles soluciones; eso nos obliga a elegir una; esa elección condicionan que las soluciones cumplan ciertas características; si luego en las cuentas no somos coherentes con ellas, podemos llegar a aparentes contradicciones o conclusiones erróneas.

Lo que tiene que quedarte claro es que el sistema anterior al menos tiene soluciones reales, sin más que dar valores a nuestro gusto a [texx]a,b[/texx]. Entonces de ese tipo de cuentas que haces donde es indiferente que los números sean reales o enteros no puedes esperar llegar a ninguna conclusión útil.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 17/11/2016, 05:53:59 pm
Hola.
[texx] 2a+2b-3a= -(a^2+4b^2-4ab)^{1/2}[/texx];
[texx] 2a+2b-3a= (-a^2-4b^2+4ab)^{1/2}[/texx] (i);
Centrémonos en esta entidad [texx](-a^2-4b^2+4ab)^{1/2}[/texx]. Introduzcamos valores, solo obtenemos números negativos. No permitidos en las raíces cuadradas.
Si igualamos [texx](-a^2-4b^2+4ab)^{1/2}[/texx] a cero, resolvemos la ecuación,[texx] a=2b[/texx]. Es el único valor que posibilita que la entidad (i) tenga valores reales. En caso contrario [texx] 2a+2b-3a= (-N)^{1/2}[/texx], donde –N es un número negativo. No permitido en las raíces cuadradas. Por lo tanto la única opción es que ,[texx] a=2b[/texx].
Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 18/11/2016, 06:46:48 am
Hola

Hola.
[texx] 2a+2b-3a= -(a^2+4b^2-4ab)^{1/2}[/texx];
[texx] 2a+2b-3a= (-a^2-4b^2+4ab)^{1/2}[/texx] (i);

No puedes meter el signo menos dentro de la raíz. Es falso que [texx]-\sqrt{x}=\sqrt{-x}[/texx].

Deberías de reflexionar sobre lo que te he dicho aquí para evitar perder el tiempo:

Lo que tiene que quedarte claro es que el sistema anterior al menos tiene soluciones reales, sin más que dar valores a nuestro gusto a [texx]a,b[/texx]. Entonces de ese tipo de cuentas que haces donde es indiferente que los números sean reales o enteros no puedes esperar llegar a ninguna conclusión útil.

Lo que quiero decir con esto es que tomando cualquier par de valores de [texx]a,b,m[/texx] (por ejemplo respectivamente [texx]2,3,5[/texx]), puedes escoger valores reales de [texx]C[/texx] y [texx]T[/texx] que cumplan las ecuaciones:

[texx]a^2+b^2-ab=C^m[/texx]
[texx]a+b=T^m[/texx]

En mi ejemplo: [texx]C=\sqrt[5]{2^2+3^2-2\cdot 3}=\sqrt[5]{7}[/texx] y [texx]T=\sqrt[5]{2+3}=\sqrt[5]{5}[/texx].

Entonces no puedes pretender que tu razonamiento anterior, donde sólo has usando transformaciones algebraicas donde no se usa para nada decisivo que los números implicados son enteros, lleven a contradicción ni imposición alguna. No puedes por ejemplo pretender deducir de esas ecuaciones (sin usar troncalmente el carácter entero de todas las variables) que [texx]a=2b[/texx], cuando tenemos ejemplos donde [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] toman valores cualesquiera (acabamos de ver [texx]a=2[/texx] y [texx]b=3[/texx], [texx]a\neq 2b[/texx]).

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 20/12/2016, 03:45:16 pm
Hola.
[texx]A^m=a+b[/texx] (supongamos que a y b son 2 números primos);
[texx]B^m=a^2+b^2-a.b[/texx];
Consideremos que [texx]B=A+n[/texx];
[texx]((a+b)^{1/m}+n)^m=a^2+b^2-a.b[/texx];
[texx](a+b).((a+b)^{1/m}+n)^m=(a^2+b^2-a.b) (a+b) [/texx];
La expresión [texx](a^2+b^2-a.b) (a+b) [/texx] es igual a [texx]a^3+b^3[/texx].
[texx](a+b).((a+b)^{1/m}+n)^m= a^3+b^3 [/texx]; (despejamos n)
[texx] n = ((a^3 + b^3)^{1/m} - a (a + b)^{1/m} - b (a + b)^{1/m})/(a + b) [/texx];
Donde [texx] a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(b+a) [/texx].
[texx] n = ((a+b)^3-3ab(b+a))^{1/m} - a (a + b)^{1/m} - b (a + b)^{1/m})/(a + b) [/texx];
[texx] n = ((a+b)((a+b)^2-3ab))^{1/m} – (a+b) (a + b)^{1/m}))/(a + b) [/texx];
[texx] n = ((a+b)((a+b)^2-3ab))^{1/m}/(a + b) – (a + b)^{1/m})) [/texx];
[texx] n = ((a+b)((a^2+b^2+2ab-3ab))^{1/m}/(a + b) – (a + b)^{1/m})) [/texx];
[texx] n = ((a+b)((a^2+b^2-ab))^{1/m}/(a + b) – (a + b)^{1/m})) [/texx];

Supongamos que [texx] (a + b)^{1/m} [/texx] es un número entero.
Si dividimos [texx] (a + b)^{1/m} [/texx] entre [texx] (a + b)[/texx] obtendremos un número menor que 1.
La expresión [texx] ((a+b)((a^2+b^2-ab))^{1/m}/(a + b)[/texx] para que sea igual a un número entero el número resultante de esta expresión [texx] ((a^2+b^2-ab))^{1/m}[/texx] tendría que ser igual a un número con un factor común de (a+b). Situación que no se produce si a y b son primos.
Si [texx] ((a^2+b^2-ab))^{1/m}[/texx] es igual a un número con factor común de (a+b) entonces multiplicado por [texx] (a + b)^{1/m} [/texx] podríamos obtener un número múltiplo de (a+b) con ello la n seria un número entero. Cumpliendo con la conjetura.
Pero si a y b son primos entre ellos, entonces de [texx] ((a^2+b^2-ab))^{1/m}[/texx] no resulta ningún número múltiplo de (a+b) y con ello n no es un número entero. Deduciendo que la conjetura no se cumple si a y b son primos entre si.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 21/12/2016, 07:28:24 am
Hola

[texx](a+b).((a+b)^{1/m}+n)^m= a^3+b^3 [/texx]; (despejamos n)
[texx]\color{red} n = ((a^3 + b^3)^{1/m} - a (a + b)^{1/m} - b (a + b)^{1/m})/(a + b) \color{black}[/texx];

Está mal despejado. Sería:

[texx]n=\dfrac{(a^3+b^3)^{1/m}}{(a+b)^{1/m}}-(a+b)^{1/m}[/texx]

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 02/01/2017, 01:09:02 pm
Sea [texx] A^n=a+b[/texx] y [texx]  B^n=a^2+b^2-ab[/texx]. Siendo A, B, a y b, números enteros todos ellos primos. Todas las variables que a continuación se nombran son siempre números enteros.
Consideremos la ecuación [texx] A^n=a+b[/texx] tal que [texx] A^n=(z*m+t)+(z*ñ+j) [/texx]; Dicha expresión para ser igual a potencia cumplirá con [texx] t+j=z*s[/texx].
Consideremos la ecuación [texx] B^n=a^2+b^2-ab[/texx]  tal que [texx] B^n=(z*m+t)^2+(z*ñ+j)^2-(z*m+t)*(z*ñ+j) [/texx]. Dicha expresión para ser igual a potencia [texx] t^2+j^2-t*j=z*h[/texx].
En ambas ecuaciones todas las sumas y productos comparten factor común z, excepto [texx] t+j[/texx]  y [texx] t^2+j^2-t*j[/texx]. Supongamos que [texx]B=z[/texx] . Lanzamos el primer caso.
(i). [texx] t+j=z*s[/texx]. En este caso. Fuerza que [texx] t^2+j^2-t*j≠z*h[/texx]. Porque la suma de dos números primos no comparte factor común con el producto de aquellos. En este caso la segunda ecuación, todas las sumas y productos comparten factor común excepto [texx] 3t*j[/texx]. Esto es:
[texx] B^n=(z*m+t)^2+(z*ñ+j)^2-(z*m+t)*(z*ñ+j) [/texx];
[texx] B^n= (z*m)^2+2zmt+t^2+(z*ñ)^2+2zñj+j^2-zmzñ-zmj-tzñ-tj[/texx];
[texx] B^n= (z*m)^2+2zmt+(z*ñ)^2+2zñj-zmzñ-zmj-tzñ+t^2+j^2-tj[/texx];
[texx] B^n= (z*m)^2+2zmt+(z*ñ)^2+2zñj-zmzñ-zmj-tzñ+(t+j)^2-2tj-tj[/texx];
[texx] B^n= (z*m)^2+2zmt+(z*ñ)^2+2zñj-zmzñ-zmj-tzñ+(t+j)^2-3tj[/texx];
[texx] B^n= (z*m)^2+2zmt+(z*ñ)^2+2zñj-zmzñ-zmj-tzñ+(z*s)^2-3tj (*)[/texx];
Al principio de este caso indico que, [texx] t+j=z*s[/texx]. De donde si considero que z no pose factor común de 3. Esta última ecuación no será nunca potencia. Cierto?


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 02/01/2017, 06:40:35 pm
Hola

Sea [texx] A^n=a+b[/texx] y [texx]  B^n=a^2+b^2-ab[/texx]. Siendo A, B, a y b, números enteros todos ellos primos. Todas las variables que a continuación se nombran son siempre números enteros.
Consideremos la ecuación [texx] A^n=a+b[/texx] tal que [texx] A^n=(z*m+t)+(z*ñ+j) [/texx]; Dicha expresión para ser igual a potencia cumplirá con [texx] t+j=z*s[/texx].

Ya no sé de donde te sacas eso. No sé si [texx]z,m,ñ,s[/texx] son números enteros cualesquiera ó les exijes algo. En principio tal como está no es cierto.

Por ejemplo:

[texx]7^5=(17\cdot 401+3)+(17\cdot 587+8)[/texx]

pero [texx]8+3\neq 17\cdot s[/texx] para ningún [texx]s[/texx] entero.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 02/01/2017, 06:52:00 pm
B=z. Es decir, en el ejemplo 7 y 17 tienen que ser el mismo entero. Obviamente no lo son.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 02/01/2017, 07:11:34 pm
Hola

B=z. Es decir, en el ejemplo 7 y 17 tienen que ser el mismo entero. Obviamente no lo son.

Si desde el principio todo lo que haces sólo es válido para [texx]z=B[/texx], ¡no uses una variable [texx]z[/texx] distinta de [texx]B[/texx]!. Desde el principo usa simplemente [texx]B[/texx] (no hables de ninguna [texx]z[/texx] que sólo aporta confusión).

Entonces tendrías que:

[texx]A^n=a+b[/texx]
[texx]B^n=a^2+b^2-ab[/texx]

y escribes [texx]a=Bm+t[/texx] y [texx]b=Bñ+j[/texx] y afirmas que de ahí se deduce que [texx]t+j[/texx] es múltiplo de [texx]B[/texx].

Sigo sin ver como pruebas esa afirmación. Lo que haces equivale a trabar módulo [texx]B[/texx], es decir;

[texx]a=t[/texx] mod [texx]B[/texx]
[texx]b=j[/texx] mod [texx]B[/texx]

Tienes:

[texx]
A^n=t+j[/texx]
[texx]t^2+j^2=tj[/texx]

Afirmas que [texx]t+j[/texx] tiene que ser [texx]0[/texx] mod [texx]B[/texx].

No veo de donde sale.

Si piensas que eso es cierto tienes que demostrarlo.

Saludos.

P.D. Además si [texx]t+j[/texx] fuese múltiplo de [texx]B,[/texx] entonces [texx]A[/texx] sería múltiplo de [texx]B[/texx] lo cual contradice que [texx]A[/texx] y [texx]B [/texx]sean coprimos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 07/01/2017, 09:30:53 am
Hola.
[texx] A^n=a+b[/texx] .
[texx]  B^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Si a y b son primos:
[texx] (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3 ab (a + b) [/texx]. Despejamos ab.
[texx] ab =((a + b)^3 -a^3-b^3)/3(a+b)[/texx]; [texx] ab =((a^2)b+a(b^2))/(a+b)[/texx].
a*b no será un número entero. Porque la suma de dos números primos no comparte factor común con el producto de aquellos.
Entonces [texx]  B^n[/texx]. tampoco es un número entero.
Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: feriva en 07/01/2017, 11:58:52 am

[texx] A^n=a+b[/texx] .
[texx]  B^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Si a y b son primos:
[texx] (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3 ab (a + b) [/texx]. Despejamos ab.
[texx] ab =((a + b)^3 -a^3-b^3)/3(a+b)[/texx]; [texx] ab =((a^2)b+a(b^2))/(a+b)[/texx].
a*b no será un número entero. Porque la suma de dos números primos no comparte factor común con el producto de aquellos.

[texx]ab=((a^{2})b+a(b^{2}))/(a+b)
 [/texx]

[texx]\dfrac{a^{2}b+ab^{2}}{a+b}=a(\dfrac{ab+b^{2}}{a+b})=ab\Rightarrow
 [/texx]

[texx](\dfrac{ab+b^{2}}{a+b})=b
 [/texx]

[texx]ab+ab^{2}=ab+ab^{2}
 [/texx]

Hola.

Se llega a un identidad.

Siendo dos primos cualesquiera, por ejemplo 2 y 3

 Editado

[texx]\dfrac{2^{2}*3+2*3^{2}}{2+3}=\dfrac{12+18}{5}=\dfrac{30}{5}=6=2*3
 [/texx] 

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: sugata en 07/01/2017, 12:09:51 pm
Tienes un error de tipeo en la última fracción. El denominador es 5


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: feriva en 07/01/2017, 12:40:58 pm
Tienes un error de tipeo en la última fracción. El denominador es 5


¿Estás insinuando que soy un despistado? :D

Voy a editar, gracias.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: sugata en 07/01/2017, 01:05:13 pm
Tanto darle a la "tecla", en alguna te puedes equivocar ;)


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 08/01/2017, 07:03:59 pm
Hola.
[texx] A^n=a+b[/texx] .
[texx]  B^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Consideremos n=3. Y consideremos la siguiente expresión.
[texx] (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 [/texx];
[texx] c = (A^6 - 3 a b)^{1/3}- A^3[/texx]. Donde [texx] A^3=a+b[/texx].
Démosle valores a y b para calcular c, ver archivo adjunto. Y los valores que adopta c son todos negativos.
Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 09/01/2017, 08:22:44 am
Hola

Hola.
[texx] A^n=a+b[/texx] .
[texx]  B^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Consideremos n=3. Y consideremos la siguiente expresión.
[texx] (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 [/texx];
[texx] c = (A^6 - 3 a b)^{1/3}- A^3[/texx]. Donde [texx] A^3=a+b[/texx].
Démosle valores a y b para calcular c, ver archivo adjunto. Y los valores que adopta c son todos negativos.
Atentamente.


La hoja excel que adjuntas es confusa; no se sabe que valores de a,b estás escogiendo.

Sea como sea de aquí:

Cita
[texx] A^n=a+b[/texx] .
[texx]  B^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Consideremos n=3. Y consideremos la siguiente expresión.
[texx] (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 [/texx];

Se entiende que estás tomando [texx]B=A^3+c[/texx]. ¿Por qué había de ser [texx]c[/texx] positivo? ¿Por qué habría de ocurrir que [texx]B>A^3[/texx]?. No ocurre, pero eso no contradice nada.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 09/01/2017, 12:52:14 pm
Si de acuerdo. Estamos bajo el supuesto de que:
 [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m[/texx]
para algún [texx]C[/texx] sin factores primos comunes con [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] y queremos ver que eso es imposible; que nos lleva a una contradicción. Si eres capaz de probar tal imposibilidad tendríamos demostrada la conjetura de Beal (al menos el caso particular de exponente [texx]3[/texx] de los dos primeros enteros).
 
[texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m[/texx];
[texx] (A+B)<((A+B)^2-3AB)[/texx];
[texx] (A+B)^2-3AB)[/texx] siempre será mayor que [texx] (A+B)[/texx];
Entonces:
[texx] A^n=a+b[/texx] .
[texx]  B^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
[texx] A^n< B^n [/texx] .
Consideremos n=3. Y consideremos la siguiente expresión.
[texx] B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 [/texx]; Porque [texx] A^n< B^n [/texx]. Y por lo tanto c tiene que ser positivo. Pero no.
[texx] c = (A^6 - 3 a b)^{1/3} - A^3[/texx]. Donde [texx] A^3=a+b[/texx].
Asignemosle valores a y b para calcular c, ver archivo adjunto. Y los valores que adopta c son todos negativos. Ahí encontramos la contradicción.
Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 10/01/2017, 06:36:09 am
Hola

[texx] A^n=a+b[/texx] .
[texx]  B^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
[texx] A^n< B^n [/texx] .
Consideremos n=3. Y consideremos la siguiente expresión.
[texx] B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 [/texx]; Porque [texx] A^n< B^n [/texx]. Y por lo tanto c tiene que ser positivo. Pero no.
[texx] c = (A^6 - 3 a b)^{1/3} - A^3[/texx]. Donde [texx] A^3=a+b[/texx].
Asignemosle valores a y b para calcular c, ver archivo adjunto. Y los valores que adopta c son todos negativos. Ahí encontramos la contradicción.

Pero tu escribes:

[texx]B^3= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3[/texx]

Por tanto [texx]B=A^3+c[/texx], es decir, no estás llamando [texx]c=B-A[/texx], que SI tendría que ser positivo; por el contrario estás tomando [texx]c=B-A^3[/texx] que NO tiene porque ser negativo.

Fíjate que vuelves a caer en un argumento donde no se utiliza para nada el carácter entero de los números implicados. Vuelve a estar vigente esto:

Entonces de ese tipo de cuentas que haces donde es indiferente que los números sean reales o enteros no puedes esperar llegar a ninguna conclusión útil.[/b]

Saludos.

P.D. Llevas decenas de mensajes empeñado en encontrar una contradicción con argumentos llenos de errores cada vez más de bulto, cada vez más precipitados. Me parece que tienes el prejuicio infundado de que tu idea inicial tiene que llevarte al éxito si o si, por encima de lo que los indicios muestran. Obviamente eres libre de seguir en esa idea, pero en cualquier caso creo que deberías de trabajar con más cuidado y de manera más reflexiva los razonamientos y operaciones que haces.



Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 10/01/2017, 03:23:12 pm
Hola.  No entiendo su mensaje.  ¿c=B-A?
De [texx] B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 [/texx] despejo [texx] c = (A^6 - 3 a b)^{1/3} - A^3[/texx].
¿Porque A no puede estar elevado al cubo?
En la siguiente expresión, [texx] B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 [/texx], ¿en qué me equivoco?
Adjunto el nuevo Excel, que ratifica mi idea. Es más, en dicho archivo se puede ver, segunda pestaña, que [texx] c = (A^6 - 3 a b)^{1/3} - A^3[/texx], c, siempre es negativo.

Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 11/01/2017, 06:16:59 am
Hola

Hola.  No entiendo su mensaje.  ¿c=B-A?
De [texx] B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 [/texx] despejo [texx] c = (A^6 - 3 a b)^{1/3} - A^3[/texx].
¿Porque A no puede estar elevado al cubo?
En la siguiente expresión, [texx] B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 [/texx], ¿en qué me equivoco?
Adjunto el nuevo Excel, que ratifica mi idea. Es más, en dicho archivo se puede ver, segunda pestaña, que [texx] c = (A^6 - 3 a b)^{1/3} - A^3[/texx], c, siempre es negativo.

"Rebobinemos":

1) En tu primer mensaje de esta nueva línea argumental tu de aquí:

Cita
[texx] A^n=a+b[/texx] .
[texx]  B^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Consideremos n=3. Y consideremos la siguiente expresión.
[texx] (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 [/texx];

dices que es contradictorio que [texx]c[/texx] sea negativo. De estas esas expresiones se deduce que necesariamente estás tomando [texx]c=B-A^3[/texx]. ¿Estás de acuerdo en esto? ¿Estás de acuerdo en que estás tomando [texx]c=B-A^3[/texx]?. Si no estás tomando ese valor de c, las expresiones anteriores están mal, la expresión en rojo no se deduce de las anteriores.

2) Cuando yo te indico que no veo motivo por el cuál es contradictorio que [texx]c[/texx] sea negativo, me contestas:

Si de acuerdo. Estamos bajo el supuesto de que:
 [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m[/texx]
para algún [texx]C[/texx] sin factores primos comunes con [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] y queremos ver que eso es imposible; que nos lleva a una contradicción. Si eres capaz de probar tal imposibilidad tendríamos demostrada la conjetura de Beal (al menos el caso particular de exponente [texx]3[/texx] de los dos primeros enteros).
 
[texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m[/texx];
[texx] (A+B)<((A+B)^2-3AB)[/texx];
[texx] (A+B)^2-3AB)[/texx] siempre será mayor que [texx] (A+B)[/texx];
Entonces:
[texx] A^n=a+b[/texx] .
[texx]  B^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
[texx] A^n< B^n [/texx] .
Consideremos n=3. Y consideremos la siguiente expresión.
[texx] B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 [/texx]; Porque [texx] A^n< B^n [/texx]. Y por lo tanto c tiene que ser positivo.

Pero de [texx]A^n<B^n[/texx] lo que se deduce es que [texx]A<B[/texx], es decir, que [texx]B-A>0[/texx] pero NO se deduce necesariamente que [texx]c=B-A^3>0[/texx]. Por tanto es falso que ahí hayas razonado que [texx]c=B-A^3[/texx] tenga que ser positivo.

3) Sigues ignorando esto:

Entonces de ese tipo de cuentas que haces donde es indiferente que los números sean reales o enteros no puedes esperar llegar a ninguna conclusión útil.[/b]

 ¿Lo entiendes? Si lo comprendes, te ahorraras dar muchos palos de ciego. En particular verías que tu argumento actual es imposible que lleve a contradicción alguna.

 Por favor, indica de manera precisa y argumentada el primero de estos tres puntos con el que no estás de acuerdo.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 12/01/2017, 02:03:38 pm
Entiendo. Esto es una barbaridad.  [texx] B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 [/texx]. Con reflexión y tiempo se ve claramente que c es negativa. Sin llegar a ningún tipo de contradicción.
Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 05/03/2017, 06:58:44 pm
Hola,
[texx] B^n=a+b[/texx]
[texx] A^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Hay íntegros que cumplen con la segunda condición. Con a y b con y sin factor común.
Pero qué ocurre si [texx] A^n=(a+b)^3-3ab[/texx]. Pues que, no existe valor para a y b que cumplan con dicha condición. Considerando que todas las variables son enteras. Independientemente de que si a y b tienen o no factor común. ¿Por qué?
[texx] (a+b)^3 - 3ab=a^3+b^3+3ab(a+b-1)[/texx].
Observemos que [texx] a^3+b^3+3ab(a+b-1)[/texx] nunca será igual a [texx] a^3+b^3+3ab(a+b)[/texx] ni a otra expresión que podamos obtener con el triángulo de Pascal.
Este razonamiento se puede extender a [texx] (a+b)^6 - 3ab[/texx].
Suponiendo que se cumplen las dos condiciones iniciales y suponiendo que todos los exponentes son iguales o mayores que 3. Esto es:
[texx] B^3=a+b[/texx].
[texx] A^n=(a+b)^{3*2}-3ab[/texx]; [texx] A^n=(a+b)^6-3ab[/texx].
Por lo tanto, [texx] A^n=(a+b)^6-3ab[/texx], nunca tendrá soluciones con números enteros.
Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 06/03/2017, 07:08:44 am
Hola

 No se entiende demasiado de tu último mensaje:

 1) Realmente no das ninguna justificación sólida de tus afirmaciones.
 2) No se sabe a que viene esa disquisición.

 Detallo el asunto:

Hola,
[texx] B^n=a+b[/texx]
[texx] A^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Hay íntegros que cumplen con la segunda condición. Con a y b con y sin factor común.
Pero qué ocurre si [texx] A^n=(a+b)^3-3ab[/texx]. Pues que, no existe valor para a y b que cumplan con dicha condición. Considerando que todas las variables son enteras. Independientemente de que si a y b tienen o no factor común. ¿Por qué?
[texx] (a+b)^3 - 3ab=a^3+b^3+3ab(a+b-1)[/texx].
Observemos que [texx] a^3+b^3+3ab(a+b-1)[/texx] nunca será igual a [texx] a^3+b^3+3ab(a+b)[/texx] ni a otra expresión que podamos obtener con el triángulo de Pascal.

Que [texx](a+b)^3\neq a^3+b^3+3ab(a+b-1)[/texx] si [texx]a,b\neq 0[/texx] es una obviedad. Pero eso no tiene nada que ver o no dice nada sobre si [texx](a+b)^3-3ab[/texx] puede o no ser una potencia enésima. Es decir de ahí no se deduce que no puedan existir enteros verificando la ecuación  [texx] A^n=(a+b)^3-3ab[/texx].

Cita
Este razonamiento se puede extender a [texx] (a+b)^6 - 3ab[/texx].

Como te he dicho, el razonamiento esta mal, así que no hay nada que extender.

Cita
Suponiendo que se cumplen las dos condiciones iniciales y suponiendo que todos los exponentes son iguales o mayores que 3. Esto es:
[texx] B^3=a+b[/texx].
[texx] A^n=(a+b)^{3*2}-3ab[/texx]; [texx] A^n=(a+b)^6-3ab[/texx].
Por lo tanto, [texx] A^n=(a+b)^6-3ab[/texx], nunca tendrá soluciones con números enteros.

Por una parte no has probado nada de esto y por otra tampoco sé a que viene.

Las ecuaciones que estabas estudiando:

[texx]B^n=a+b[/texx]
[texx]A^n=(a+b)^2-3ab[/texx]

venían a cuento (surgían de manera natural) al estudiar la ecuación [texx]C^n=a^3+b^3.[/texx]

Pero por ejemplo estudiar:

[texx]B^n=a+b[/texx]
[texx]A^n=(a+b)^6-3ab[/texx]

ya no sé a que viene.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 15/04/2017, 01:37:21 pm
Hola.
[texx]A^n=a+b[/texx].
[texx] B^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Lanzo la siguiente duda.
Supongamos que
[texx] B^3=(a+b)^2-3ab[/texx] y que operando llegamos a:
[texx] B^3=(a^3+b^3)/(a+b) [/texx] y [texx] B^3=3/2(a^2+b^2)-1/2(a+b)^2 [/texx].
Donde [texx] (a+b)^2 = A^6 [/texx]. Porque incialmente consideramos [texx] A^3=a+b[/texx].
Igualamos tal que [texx] (a^3+b^3)/(a+b)=3/2(a^2+b^2)-1/2(A)^6 [/texx]. Despejamos a.
Dos soluciones. [texx] a = -b - A^3 [/texx] y [texx] a =-b + A^3 [/texx]. Donde [texx] A^3=a+b[/texx]. La primera solución 2a=-2b y de la segunda a = a. Por lo tanto, a=-b.
¿Dicha igualdad, a=-b, contradice las condiciones iniciales? y por lo tanto verifica que es imposible este caso particular.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 16/04/2017, 06:29:16 pm
Hola

[texx]A^n=a+b[/texx].
[texx] B^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Lanzo la siguiente duda.
Supongamos que
[texx] B^3=(a+b)^2-3ab[/texx] y que operando llegamos a:
[texx] B^3=(a^3+b^3)/(a+b) [/texx] y [texx] B^3=3/2(a^2+b^2)-1/2(a+b)^2 [/texx].
Donde [texx] (a+b)^2 = A^6 [/texx]. Porque incialmente consideramos [texx] A^3=a+b[/texx].
Igualamos tal que [texx] (a^3+b^3)/(a+b)=3/2(a^2+b^2)-1/2(A)^6 [/texx]. Despejamos a.
Dos soluciones. [texx] a = -b - A^3 [/texx] y [texx] a =-b + A^3 [/texx]. Donde [texx] A^3=a+b[/texx]. La primera solución 2a=-2b y de la segunda a = a. Por lo tanto, a=-b.
¿Dicha igualdad, a=-b, contradice las condiciones iniciales? y por lo tanto verifica que es imposible este caso particular.

Si [texx]a=-b[/texx] queda descartada porque, entre otras coas, estamos suponiendo que [texx]a,b[/texx] son enteros positivos.

Pero la que no queda descartada es la solución trivial [texx]a=a[/texx], que obviamente es cierta. Así que el razonamiento que planteas no concluye nada útil.

Es lógico porque tan solo manejas identidades.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 14/05/2017, 05:02:20 pm
Hola.
Tiempo atrás:
[texx]a+b=c^3 [/texx] y [texx] (a+b)^2-3ab=d^3 [/texx] donde d y c son coprimos.
Por lo tanto, [texx] (a+b)^2-3ab=d^3 [/texx]; [texx] (a+b)^2=d^3 +3ab [/texx]. En esta última expresión la forzamos para que cumpla con la primera de las condiciones iniciales:
[texx] (a+b)^2=d^3 +3ab [/texx]; [texx] (c^3)^2=d^3 +3ab [/texx]; [texx] (c^2)^3=d^3 +3ab [/texx]. Sustituimos [texx] d=a+e [/texx]. Por lo tanto, [texx] (c^2)^3=(a+e)^3 +3ab [/texx]. Triángulo de Pascal. [texx] (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e) +3ab [/texx]; [texx] (c^2)^3=(a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab)[/texx]. Dicha expresión [texx] (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e)+ab) [/texx] en concreto [texx] (a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab) [/texx]. Para ser igual a potencia de grado 3 debería cumplir con [texx] a*b=0 [/texx]. Condición imposible con el caso planteado.
¿Cierto?
Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 15/05/2017, 07:43:40 am
Hola

[texx]a+b=c^3 [/texx] y [texx] (a+b)^2-3ab=d^3 [/texx] donde d y c son coprimos.
Por lo tanto, [texx] (a+b)^2-3ab=d^3 [/texx]; [texx] (a+b)^2=d^3 +3ab [/texx]. En esta última expresión la forzamos para que cumpla con la primera de las condiciones iniciales:
[texx] (a+b)^2=d^3 +3ab [/texx]; [texx] (c^3)^2=d^3 +3ab [/texx]; [texx] (c^2)^3=d^3 +3ab [/texx]. Sustituimos [texx] d=a+e [/texx]. Por lo tanto, [texx] (c^2)^3=(a+e)^3 +3ab [/texx]. Triángulo de Pascal. [texx] (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e) +3ab [/texx]; [texx] (c^2)^3=(a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab)[/texx]. Dicha expresión [texx] (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e)+ab) [/texx] en concreto [texx] (a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab) [/texx]. Para ser igual a potencia de grado 3 debería cumplir con [texx] a*b=0 [/texx]. Condición imposible con el caso planteado.
¿Cierto?

No sé si es cierta o no la afirmación en rojo, pero en caso de serlo tienes que demostralo. ¿Por qué tiene que cumplirse que [texx]ab=0[/texx]?.

Saludos.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 15/05/2017, 04:20:19 pm
Hola.
[texx] (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)[/texx].
Toda potencia de grado 3, de cualquier entero, la podemos expresar mediante la ecuación facilitada por el Triángulo de Pascal mediante enteros. Excepto [texx] 1^3[/texx].
Para cada entero, su suma, [texx] (a+b)^3[/texx], la indicamos tal que, [texx] a^3+b^3+3ab(a+b)[/texx]. Para cada par de [texx] a^3+b^3[/texx] tan solo existe un [texx] 3ab(a+b)[/texx], de tal modo que su suma proporciona una potencia de grado 3. Si añadimos a [texx] 3ab(a+b)[/texx], [texx] 3ae[/texx], de dicha ecuación, no obtenemos potencia de grado 3. Quizás obtengamos otra potencia, o quizás no.
Es decir, con [texx] a^3+b^3[/texx] solo formaremos potencia de grado 3, si y solo si, le sumamos [texx] 3ab(a+b)[/texx]. Si a este último término le sumamos un [texx] 3ae[/texx], podemos obtener potencia o no, pero nunca una potencia de grado 3. Porque con [texx] a^3+b^3[/texx] única y exclusivamente obtenemos potencia de grado 3 si sumamos [texx] 3ab(a+b)[/texx].
¿Cierto?
Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 16/05/2017, 06:19:26 am
Hola

Hola.
[texx] (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)[/texx].
Toda potencia de grado 3, de cualquier entero, la podemos expresar mediante la ecuación facilitada por el Triángulo de Pascal mediante enteros. Excepto [texx] 1^3[/texx].
Para cada entero, su suma, [texx] (a+b)^3[/texx], la indicamos tal que, [texx] a^3+b^3+3ab(a+b)[/texx]. Para cada par de [texx] a^3+b^3[/texx] tan solo existe un [texx] 3ab(a+b)[/texx], de tal modo que su suma proporciona una potencia de grado 3. Si añadimos a [texx] 3ab(a+b)[/texx], [texx] 3ae[/texx], de dicha ecuación, no obtenemos potencia de grado 3. Quizás obtengamos otra potencia, o quizás no.
Es decir, con [texx] a^3+b^3[/texx] solo formaremos potencia de grado 3, si y solo si, le sumamos [texx] 3ab(a+b)[/texx]. Si a este último término le sumamos un [texx] 3ae[/texx], podemos obtener potencia o no, pero nunca una potencia de grado 3. Porque con [texx] a^3+b^3[/texx] única y exclusivamente obtenemos potencia de grado 3 si sumamos [texx] 3ab(a+b)[/texx].
¿Cierto?

No, no es cierto.

Las afirmaciones que marco en rojo son falsas.

Por ejemplo para [texx]a=2[/texx] y [texx]b=\color{red}7\color{black}[/texx]:

[texx]2^3+7^{\color{red}3\color{black}}+\underbrace{3\cdot 2\cdot 7(\color{red}1404\color{black})}_{\neq 3ab(a+b)}=39^3[/texx]

Fíjate que aunque yo no fuese capaz de encontrar un ejemplo que mostrase que son falsas, serían en cualquier caso afirmaciones gratuitas, que no habrías justificado convenientemente. Pero es que aun encima hay contraejemplos.

Saludos.

CORREGIDO


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Gonzo en 16/05/2017, 11:01:13 am
Hola.

El contraejemplo no se ajusta a lo establecido.

Atentamente.


Título: Re: ¿Debería existir un factor común en un contraejemplo del UTF?
Publicado por: Luis Fuentes en 16/05/2017, 11:53:43 am
Hola

El contraejemplo no se ajusta a lo establecido.

Perdón, me equivoqué al copiarlo. Ya está corregido.

Saludos.


Título: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 02/12/2017, 06:39:38 am
Hola.
Recordemos que
[texx]a^2 = (a-1)(a + 1)+1[/texx]
[texx]a^3 = (a-1)(a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^4 = (a-1)(a^3 + a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] expresión (i), donde a es un número entero positivo y que
[texx]2^3=1·2·3+2[/texx] y [texx](2a+1)^3=2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx]

Estas entidades se cumplen siempre, pues analicemos el siguiente caso concreto:
[texx]2^3 + (2a+1)^3 [/texx];
[texx]2·3 + 2 + 2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx];
[texx]2·(3 + 1 + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 [/texx];
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] ecuación (ii) si comparamos esta ecuación con (i).
Podemos decir que para que (ii) cumpla con (i);
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1[/texx];
[texx] 2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 +1)+1 [/texx] = [texx](2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1 [/texx];
[texx]( a·(2a+1)(2a+2)+a+1)[/texx] = [texx](3^{n-1}...+ 3^2+1)[/texx];
[texx]( a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx] = [texx]((3^2)(3^{n-3}...)+ 1)[/texx];
O sea [texx]((3^2)(3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx] es decir el primer paréntesis [texx]((3^2)[/texx] comparte factor común con el segundo [texx]((3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx] excepto el 1. Claramente esta condición no se cumple con [texx]·(a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx]. Por lo tanto este caso concreto cumple la conjetura de Beal. ¿Cierto?


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 05/12/2017, 02:43:45 pm
Hola

Hola.
Recordemos que
[texx]a^2 = (a-1)(a + 1)+1[/texx]
[texx]a^3 = (a-1)(a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^4 = (a-1)(a^3 + a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] expresión (i), donde a es un número entero positivo y que
[texx]2^3=1·2·3+2[/texx] y [texx](2a+1)^3=2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx]

Estas entidades se cumplen siempre, pues analicemos el siguiente caso concreto:
[texx]2^3 + (2a+1)^3 [/texx];
[texx]2·3 + 2 + 2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx];
[texx]2·(3 + 1 + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 [/texx];
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] ecuación (ii) si comparamos esta ecuación con (i).
Podemos decir que para que (ii) cumpla con (i);
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1[/texx];
[texx] 2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 +1)+1 [/texx] = [texx](2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1 [/texx];
[texx]( a·(2a+1)(2a+2)+a+1)[/texx] = [texx](3^{n-1}...+ 3^2+1)[/texx];
[texx]( a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx] = [texx]((3^2)(3^{n-3}...)+ 1)[/texx];
O sea [texx]((3^2)(3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx] es decir el primer paréntesis [texx]((3^2)[/texx] comparte factor común con el segundo [texx]((3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx] excepto el 1. Claramente esta condición no se cumple con [texx]·(a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx]. Por lo tanto este caso concreto cumple la conjetura de Beal. ¿Cierto?

No, no está bien. Ese argumento no es concluyente. No he revisado las cuentas totalmente, pero aun admitiéndolas como buenas el razonamiento final no está bien.

Tu tienes dos expresiones factorizadas de distinta manera que pueden corresponder a un mismo número, pero no tienen porque ser la misma factorización. De manera que lo que se cumpla para una no tiene que ser cierto para la otra. Por ejemplo:

[texx]80=5(3\cdot 5+1)=8\cdot (9+1)[/texx]

En la primera factorización [texx]5(3\cdot 5+1)[/texx] el segundo factor menos uno comparte un divisor común con el primero.

En la segunda factorización [texx]8(9+1)[/texx] esto no se da y sin embargo ambas son factorizaciones correctas del [texx]80[/texx].

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 05/12/2017, 03:22:41 pm
Hola.

No, no está bien. Ese argumento no es concluyente. No he revisado las cuentas totalmente, pero aun admitiéndolas como buenas el razonamiento final no está bien.

Tu tienes dos expresiones factorizadas de distinta manera que pueden corresponder a un mismo número, pero no tienen porque ser la misma factorización. De manera que lo que se cumpla para una no tiene que ser cierto para la otra. Por ejemplo:

[texx]80=5(3\cdot 5+1)=8\cdot (9+1)[/texx]

En la primera factorización [texx]5(3\cdot 5+1)[/texx] el segundo factor menos uno comparte un divisor común con el primero.

En la segunda factorización [texx]8(9+1)[/texx] esto no se da y sin embargo ambas son factorizaciones correctas del [texx]80[/texx].
 

En la factorización que yo propongo, los dos primeros números (de ambas factorizaciones) son los mismos, en este caso es el 2 inicial:
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1[/texx];
[texx]2·( ... + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)( ... + 3 + 1)+1[/texx];

Fijese que donde los puntos suspensivos (arriba) deberia poner (abajo) y que excepto los puntos suspensivos todo lo demás coincide.

[texx]( a·(2a+1)(2a+2)+a)[/texx] = [texx](3^{n-1}+...+ 3^2)[/texx];
[texx]( a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx] = [texx]((3^2)(3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx];

El primer paréntesis [texx]((3^2)[/texx] comparte factor común con el segundo [texx]((3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx] excepto el 1. Claramente esta condición no se cumple con [texx]·(a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx]. Por lo tanto este caso concreto cumple la conjetura de Beal. ¿Cierto?


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 05/12/2017, 03:34:35 pm
Hola

En la factorización que yo propongo, los dos primeros números (de ambas factorizaciones) son los mismos, en este caso es el 2 inicial:
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1[/texx];
[texx]2·( ... + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)( ... + 3 + 1)+1[/texx];

Fijese que donde los puntos suspensivos deberia poner:

[texx]( a·(2a+1)(2a+2)+a)[/texx] = [texx](3^{n-1}+...+ 3^2)[/texx];
[texx]( a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx] = [texx]((3^2)(3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx];

El primer paréntesis [texx]((3^2)[/texx] comparte factor común con el segundo [texx]((3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx] excepto el 1. Claramente esta condición no se cumple con [texx]·(a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx]. Por lo tanto este caso concreto cumple la conjetura de Beal. ¿Cierto?

No. Esa demostración no está bien, no es concluyente. El motivo es exactamente el mismo que te comenté en mi mensaje anterior. Un mismo número puede tener muchas factorizaciones distintas; algunas cumplirán que el primer factor respecto al segundo cumplira tal o cual condición y otras no. Y te acabo de poner un ejemplo.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 06/12/2017, 07:11:17 am
Hola.
Esta en lo cierto porque si donde los puntos suspensivos ponemos un 58, entonces:
[texx]2·( ... + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)( ... + 3 + 1)+1[/texx];
[texx]2·( 58 + 3 + 1)+1 = 5^3 [/texx].
Pero obviamente el 58 no cumple con [texx]( a·(2a+1)(2a+2)+a)[/texx]. Si resolvemos la ecuación a no es un número natural positivo. Por lo tanto, ¿que ocurre si precisamos un poco mas?
[texx]2·(( a·(2a+1)(2a+2)+a) + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)( 3^{n-1}+...+ 3^2 + 3 + 1)+1[/texx];
Entonces [texx]a = 3^2[/texx].
[texx]2·(( 3^2·(2a+1)(2a+2)+3^2) + 3 + 1)+1 [/texx];
[texx]2·((3^2·(2a+1)(2a+2)+3^2 + 3+1)+1[/texx]=[texx](2)( 3^{n-1}+...+ 3^2 + 3 + 1)+1[/texx].
Si extendemos la sustitución a todas las a:
[texx]2·((3^2·(2a+1)(2a+2)) [/texx]=[texx](2)( 3^{n-1}+...+3^3) [/texx];
[texx]2·(36 a^2 + 54 a + 18) [/texx]=[texx](2)( 3^{n-1}+...+3^3) [/texx];
[texx]2·(36 (3^2)^2 + 54 (3^2) + 18) [/texx]=[texx](2)( 3^{n-1}+...+3^3) [/texx];
[texx](36 (3^2)^2 + 54 (3^2) + 18) [/texx]=[texx]( 3^{n-1}+...+3^3) [/texx];
[texx](36 (3^2)^2 + 54 (3^2) + 18) [/texx]=[texx](3^3(3^{n-4}+...+ 3+1) [/texx];
Si dividimos [texx](36 (3^2)^2 + 54 (3^2) + 18) [/texx] entre [texx] 3^3 [/texx] el resultado es 128,666666 y para cumplir con la ecuación (i) dicho resultado tendría que ser entero por tanto (ii) nunca será igual a (i).
Aclaración:
[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] (i)
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] (ii).

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 16/12/2017, 10:03:37 am
Hola, siguiendo la sistemática establecida para el caso [texx]2^3 + (2a+1)^3 [/texx] demuestro que para [texx]2^n + (2a+1)^3 [/texx] siendo n mayor o igual que 3 la conjetura de Beal sigue cumpliendose.
Recordemos que
[texx]a^2 = (a-1)(a + 1)+1[/texx]
[texx]a^3 = (a-1)(a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^4 = (a-1)(a^3 + a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] expresión (i), donde a es un número entero positivo y que
[texx]2^n=1·2^{n-2}·3+2^{n-2} [/texx] y [texx](2a+1)^3=2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx].

Recordemos que las dos últimas expresiones no es más que la aplicación directa de [texx]a^n=(a-1)·(a^{n-2})·(a+1)+ a^{n-2} [/texx] siendo a un número entero positivo y n un entero mayor o igual que 3.

Estas entidades se cumplen siempre, pues analicemos el siguiente caso concreto:

[texx]2^n + (2a+1)^3 [/texx];
[texx] 1·2^{n-2}·3+2^{n-2} + 2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx];
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 [/texx]; Ecuación (iii), dicha ecuación la comparamos con [texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] Ecuación (i) porque si queremos que (iii) sea igual a una potencia de grado 3 o mayor debe cumplir con lo dispuesto en la Ecuación (i). Igualamos ambas expresiones:

[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];

En la parte izquierda de la igualdad, dentro del paréntesis necesitamos un 1. Para que (iii) y (i) sean iguales. Entonces a solo puede adoptar dos valores. a=2 y a=1. Si a no adopta uno de estos dos valores nunca obtendremos un 1 dentro del paréntesis de la parte izquierda de la igualdad, entonces:

Caso [texx]2^n + (2a+1)^3 [/texx] con a=2.

[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + 2·(2a+1)(2a+2)+2)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
[texx] 4·(1·2^{n-4}·3+2^{n-4} + 2·(2a+1)(a+1)+1)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
Simplificamos y sustituimos todas las a de la parte izquierda de la igualdad por 2 y actualizo los valores de la igualdad de la parte derecha, esto es:
[texx] (1·2^{n-4}·3+2^{n-4} + 2·(5)(3)) = (5^{n-1} ... + 5^2 + 5 )[/texx];
[texx] (1·2^{n-4}·3+2^{n-4} + 2·(5)(3)) = (5)(5^{n-2} ... + 5 + 1 )[/texx];
[texx] (1·2^{n-4}·3+2^{n-4} + 2·(5)(3)) = (5)(5^{n-2} ... + 5 + 1 )[/texx];
[texx] (2^{n-2} + 2·(5)(3)) = (5)(5^{n-2} ... + 5 + 1 )[/texx];
La primera parte de la igualdad, su suma, debe ser divisible entre 5 obteniendo un número integro. En caso contrario demuestro nuevamente que para este caso concreto la conjetura es cierta.
[texx] 5((2^{n-2})/5 + 2·(3)) = (5)(5^{n-2} ... + 5 + 1 )[/texx];
Recordemos que las potencias de 2 son 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512... Observemos que se repiten los últimos dígitos, es decir, 2, 4, 8, ...6, etc. Dichos enteros no son divisibles entre 5 por tanto la primera operación del primer paréntesis nunca será un número entero. Por tanto podemos afirmar que para este caso concreto la conjetura cumple.

Caso [texx]2^n + (2a+1)^3 [/texx] con a=1.

Aplicamos la misma secuencia que en el caso a=2.
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + 2·(2+1)(2+2)+1)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + 2·(3)(4)+1)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + 2·(3)(4)) = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a) [/texx];
[texx] (1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + 2·(3)(4)) = (3^{n-1} ... + 3^2 + 3) [/texx];
[texx] (1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + 2·(3)(4)) = 3·(3^{n-2} ... + 3 + 1) [/texx];
[texx] 3·(1·2^{n-3}+(2^{n-3}/3) + 2·4) = 3·(3^{n-2} ... + 3 + 1) [/texx];

Observemos que [texx] (2^{n-3}/3) [/texx] nunca será igual a un número entero. Por lo tanto este caso también cumple con conjetura. ¿Cierto?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 17/12/2017, 06:28:39 am
Hola

Hola, siguiendo la sistemática establecida para el caso [texx]2^3 + (2a+1)^3 [/texx] demuestro que para [texx]2^n + (2a+1)^3 [/texx] siendo n mayor o igual que 3 la conjetura de Beal sigue cumpliendose.
Recordemos que
[texx]a^2 = (a-1)(a + 1)+1[/texx]
[texx]a^3 = (a-1)(a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^4 = (a-1)(a^3 + a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] expresión (i), donde a es un número entero positivo y que
[texx]2^n=1·2^{n-2}·3+2^{n-2} [/texx] y [texx](2a+1)^3=2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx]. Recordemos que las dos últimas expresiones no es más que la aplicación directa de [texx]a^n=(a-1)·(a^{n-2})·(a+1)+ a^{n-2} [/texx] siendo a un número entero positivo y n un entero mayor o igual que 3.
Estas entidades se cumplen siempre, pues analicemos el siguiente caso concreto:
[texx]2^n + (2a+1)^3 [/texx];
[texx] 1·2^{n-2}·3+2^{n-2} + 2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx];
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 [/texx]; Ecuación (iii), dicha ecuación la comparamos con [texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] Ecuación (i) porque si queremos que (iii) sea igual a una potencia de grado 3 o mayor debe cumplir con lo dispuesto en la Ecuación (i). Igualamos ambas expresiones:
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
En la parte izquierda de la igualdad, dentro del paréntesis necesitamos un 1. Para que (iii) y (i) sean iguales. Entonces a solo puede adoptar dos valores. a=2 y a=1. Si a no adopta uno de estos dos valores nunca obtendremos un 1 dentro del paréntesis de la parte izquierda de la igualdad, entonces:

Está mal. Sigues cometiendo una, y otra, y otra, y otra vez el mismo error.

Un mismo número puede descomponerse como producto de dos factores de muchas formas distintas; igualando dos de ellas nada (a prioiri) asegura que tengan que ser la misma y por tanto no tiene sentido igualar factor a factor.

Además incluso dos posibles valores iguales podrían corresponder a polinomios muy diferentes evaluados en puntos distintos.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 17/12/2017, 06:52:00 am
Cierto que un producto se pude descomponer de muchas formas distintas.

Pero, dos productos que deben contener el mismos resultado Ecuación (i) y Ecuación (ii) y Ecuación (iii), al adoptar la estructura de la Ecuación (i) entonces y solo entonces el producto restante deber ser el mismo.

[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] (i)

Quiero decir, cualquier potencia de grado 3 o mayor, réstele un 1 y adopta la estructura de (i) (el producto). Si no adopta dicha estructura es porque no es potencia. (i) es una disposición muy concreta (posiblemente muy forzada) que solo cumplen las potencias, y para ser tal, debe cumplirla, en caso contrario, no es una potencia.
¿Cierto?

Luis, intente aplicar la sistemática establecida en el siguiente caso.

[texx]3^3+6^3=3^5[/texx]. Es decir:
[texx]2·3·4+3+5·6·7+6=3^5[/texx]. Ahora intente que [texx]2·3·4+3+5·6·7+6[/texx] cumpla con (i) [texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx].

¿Existen muchas posibilidades de factorización, en este caso concreto?

Aplicando esta sistemática solo hay una posible factorización.

¿Cierto?


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 18/12/2017, 09:18:31 am
Hola

Cierto que un producto se pude descomponer de muchas formas distintas.

Pero, dos productos que deben contener el mismos resultado Ecuación (i) y Ecuación (ii) y Ecuación (iii), al adoptar la estructura de la Ecuación (i) entonces y solo entonces el producto restante deber ser el mismo.

[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] (i)

Quiero decir, cualquier potencia de grado 3 o mayor, réstele un 1 y adopta la estructura de (i) (el producto). Si no adopta dicha estructura es porque no es potencia. (i) es una disposición muy concreta (posiblemente muy forzada) que solo cumplen las potencias, y para ser tal, debe cumplirla, en caso contrario, no es una potencia.
¿Cierto?

Luis, intente aplicar la sistemática establecida en el siguiente caso.

[texx]3^3+6^3=3^5[/texx]. Es decir:
[texx]2·3·4+3+5·6·7+6=3^5[/texx]. Ahora intente que [texx]2·3·4+3+5·6·7+6[/texx] cumpla con (i) [texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx].

¿Existen muchas posibilidades de factorización, en este caso concreto?

Aplicando esta sistemática solo hay una posible factorización.

¿Cierto?

Dada una potencia enésima [texx]a^n[/texx] sólo puede escribirse de la forma  [texx](x-1)(x^{n-1} ... + x^2 + x + 1)+1[/texx] si [texx]a=x[/texx]. En ese sentido está la unicidad.

Pero eso no quiere decir que si tu tienes [texx]a^n[/texx] factorizada como [texx]a^n=(y-1)f(y)[/texx] donde [texx]f(y)[/texx] es una función cualquiera de [texx]y[/texx], tenga que cumplirse que [texx]y-1=a-1[/texx] y que [texx]f(y)=a^{n-1}+\ldots+a^2+a+1.[/texx] Eso es lo que usas y está mal.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 18/12/2017, 02:31:46 pm
Hola.

Luis en los dos casos propuestos (x-1) = (y-1), además, [texx] a^n=(y-1)f(y)+1 [/texx] y no [texx] a^n=(y-1)f(y) [/texx]

Es decir en las proposiciones no hay tantas variables, o si lo prefiere x=y=a y f(y)=f(x)=f(a). Además, f(y) es una función bien determinada no cualquiera.

Mi planteamiento es el siguiente:

(a-1)(a)(a+1) + a + (b-1)(b)(b+1)+ b. De esta expresión intento obtener un 1 y al mismo tiempo que los restantes sumandos, todos ellos, tengan un factor común (c-1) y adopten la siguiente sistemática [texx] (c^n…c^2+c+1) [/texx]. ¿Cierto? ¿Sigue estando mal?


Ejemplo:

[texx]2·3·4+3+5·6·7+6=3^5[/texx];

[texx]2·3·4+3+5·6·7+6[/texx]; En este punto hay dos posibilidades.

[texx]2·3·4+3+5·6·7+5+1[/texx] ó [texx]2·3·4+2+1+5·6·7+6[/texx];

En la primera ecuación (izquierda de la ó) obtenemos un 1 tal que (i) pero el resto de los sumandos no poseen un factor común. Pero en la segunda si. Hay un 1 y el resto de los sumandos poseen un factor común tal que (i). Por lo tanto seguimos con la segunda, observemos que solo hay una posible factorización tal que (i).

[texx]2·3·4+2+5·6·7+6+1 [/texx];

[texx]2(3·4+1+5·3·7+3)+1 [/texx];

[texx]2(3·4+5·3·7+3+1)+1 [/texx] =[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] (i);

Es en este punto es donde igualamos con (i) y (a-1) es igual al factor común es decir 2. Si (a-1)=2 entonces a=3. Demonos cuenta que es el factor comun quien establece el valor de (a-1) siempre que dentro del parentesis haya un 1, es decir:

[texx](3·4+5·3·7+3+1)[/texx]. Seguidamente:

[texx]2(3·4+5·3·7+3+1)+1 [/texx] =[texx] (2)(3^{n-1} ... + 3^2 + 3 + 1)+1[/texx]; Simplificamos.

[texx](3·4+5·3·7+3+1)[/texx] =[texx] (3^{n-1} ... + 3^2 + 3 + 1)[/texx];

[texx](3(4+5·7+1)+1)[/texx] =[texx] (3^{n-1} ... + 3^2 + 3 + 1)[/texx]; Simplificamos de nuevo.

[texx](3(4+5·7+1))[/texx] =[texx] (3(3^{n-2} ... + 3 + 1))[/texx]; Nuevamente.

[texx]((4+5·7))[/texx] =[texx] ((3^{n-2} ... + 3))[/texx];

[texx]((3^3+3^2+3))[/texx] =[texx] ((3^{n-2} ... + 3))[/texx];

En este ejemplo concreto donde están la x y la y. Dichas variables son la misma, es decir a. ¿Cierto?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 18/12/2017, 07:49:41 pm
Hola

Luis en los dos casos propuestos (x-1) = (y-1), además, [texx] a^n=(y-1)f(y)+1 [/texx] y no [texx] a^n=(y-1)f(y) [/texx]

Es decir en las proposiciones no hay tantas variables, o si lo prefiere x=y=a y f(y)=f(x)=f(a). Además, f(y) es una función bien determinada no cualquiera.

Es indiferente que aparecezca o no ese [texx]+1[/texx]. Sigues sin entender que asignas ciertos valores sin que haya ningún motivo para hacerlo.

Cita
Mi planteamiento es el siguiente:

(a-1)(a)(a+1) + a + (b-1)(b)(b+1)+ b. De esta expresión intento obtener un 1 y al mismo tiempo que los restantes sumandos, todos ellos, tengan un factor común (c-1) y adopten la siguiente sistemática [texx] (c^n…c^2+c+1) [/texx]. ¿Cierto? ¿Sigue estando mal?

Esto es una vaguedad; siempre que has concretado un poco más, has cometido errores gruesos.

Cita
Ejemplo:

[texx]2·3·4+3+5·6·7+6=3^5[/texx];

[texx]2·3·4+3+5·6·7+6[/texx]; En este punto hay dos posibilidades.

[texx]2·3·4+3+5·6·7+5+1[/texx] ó [texx]2·3·4+2+1+5·6·7+6[/texx];

En la primera ecuación (izquierda de la ó) obtenemos un 1 tal que (i) pero el resto de los sumandos no poseen un factor común. Pero en la segunda si. Hay un 1 y el resto de los sumandos poseen un factor común tal que (i). Por lo tanto seguimos con la segunda, observemos que solo hay una posible factorización tal que (i).

[texx]2·3·4+2+5·6·7+6+1 [/texx];

[texx]2(3·4+1+5·3·7+3)+1 [/texx];

[texx]2(3·4+5·3·7+3+1)+1 [/texx] =[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] (i);

Es en este punto es donde igualamos con (i) y (a-1) es igual al factor común es decir 2. Si (a-1)=2 entonces a=3. Demonos cuenta que es el factor comun quien establece el valor de (a-1) siempre que dentro del parentesis haya un 1, es decir:

Ese es el error. De la expresión en rojo no se deduce que necesariamente [texx]a-1=2.[/texx]  Por ejemplo:

[texx]2(3\cdot 4+5\cdot 3\cdot 7+3+1)=242=11\cdot 22[/texx]

Entonces, ¿por qué no [texx]a-1=11[/texx] ó [texx]a-1=22[/texx]?.

Es en ese sentido en el que digo que igualas factores que no tienen porque ser iguales.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 19/12/2017, 02:55:46 pm
En relación al 1, dicho número es transcendental, es decir inicialmente adopta la siguiente formula [texx] (a-1)(a+1)+1=a^2 [/texx] y [texx] (a-1)a(a+1)+a =a^3[/texx]. Este escenario puede provocar que de la suma de dos potencias sin factor común podamos obtener una tercera, siempre que alguna de las tres potencias sea de grado 2.

¿Pero porque no existen tres potencias todas ellas con exponentes mayores o igual que 3 que no necesiten tener un factor común? De esta duda surgió.

[texx] (a-1)a(a+1)+a =a^3 [/texx];
[texx] (a-1)a(a+1)+a-1+1=(a-1)(a(a+1)+1)+1=(a-1)(a^2+a+1)+1=a^3 [/texx]. Por la similitud con [texx] (a-1)(a+1)+1=a^2 [/texx].

Si aparece esta última si que hay potencias sin factor común y si las tres potencias son iguales o mayores a la primera las potencias necesariamente tienen que tener un factor común.

Pero todo lo dicho son suposiciones que supongo, al igual que, todos los datos suponen que la conjetura es cierta, excepto la Conjetura ABC.

Aunque la razón primordial es que la ecuación (i) es una condición exigente con los números, con la cual se reduce significativamente el número de variables.

Si desaparece dicho 1 entonces a^n=(y-1)f(y) y las factorizaciones se vuelven no infinitas, pero si con una gran cantidad de posibilidades que dificulta obtener algo en concreto. Por lo tanto, creo que dicho 1 ayuda a establecer un orden en la factorización.

En relación a [texx] 2(3·4+5·3·7+3+1) [/texx] donde [texx] (a-1)=2[/texx]. Es decir (a-1)(f(a)+1)+1 donde f(a), todos sus sumandos, tienen que poseer un factor común en caso contrario no cumple con f(a)=a^n…a^2+a. Todas estos requisitos son condición necesaria que no suficiente para la ecuación sea igual a una potencia. Claro esta dentro de cada caso, con su debida concretización.

Por lo tanto mis propuestas de demostración se basan, en que la suma de dos potencias cumplan con los siguientes requisitos (siendo condición necesaria que no suficiente):

1.   Que toda la expresión adopte la siguiente estructura (a-1)(f(a)+1)+1.
2.   f(a) todos sus sumandos deben tener un factor común.
3.   Si los dos requisitos se cumplen entonces (a-1)(f(a)+1)+1 puede o no, entrar en el olimpo de las potencias.

Obviamente si eliminamos el 1 entramos en un profundo caos, porque las factorizaciones pueden ser casi casi infinitas. ¿Cierto?


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 19/12/2017, 03:19:34 pm
Hola

En relación al 1, dicho número es transcendental, es decir inicialmente adopta la siguiente formula [texx] (a-1)(a+1)+1=a^2 [/texx] y [texx] (a-1)a(a+1)+a =a^3[/texx]. Este escenario puede provocar que de la suma de dos potencias sin factor común podamos obtener una tercera, siempre que alguna de las tres potencias sea de grado 2.

¿Pero porque no existen tres potencias todas ellas con exponentes mayores o igual que 3 que no necesiten tener un factor común? De esta duda surgió.

[texx] (a-1)a(a+1)+a =a^3 [/texx];
[texx] (a-1)a(a+1)+a-1+1=(a-1)(a(a+1)+1)+1=(a-1)(a^2+a+1)+1=a^3 [/texx]. Por la similitud con [texx] (a-1)(a+1)+1=a^2 [/texx].

Si aparece esta última si que hay potencias sin factor común y si las tres potencias son iguales o mayores a la primera las potencias necesariamente tienen que tener un factor común.

Pero todo lo dicho son suposiciones que supongo, al igual que, todos los datos suponen que la conjetura es cierta, excepto la Conjetura ABC.

Aunque la razón primordial es que la ecuación (i) es una condición exigente con los números, con la cual se reduce significativamente el número de variables.

Si desaparece dicho 1 entonces a^n=(y-1)f(y) y las factorizaciones se vuelven no infinitas, pero si con una gran cantidad de posibilidades que dificulta obtener algo en concreto. Por lo tanto, creo que dicho 1 ayuda a establecer un orden en la factorización.

En relación a [texx] 2(3·4+5·3·7+3+1) [/texx] donde [texx] (a-1)=2[/texx]. Es decir (a-1)(f(a)+1)+1 donde f(a), todos sus sumandos, tienen que poseer un factor común en caso contrario no cumple con f(a)=a^n…a^2+a. Todas estos requisitos son condición necesaria que no suficiente para la ecuación sea igual a una potencia. Claro esta dentro de cada caso, con su debida concretización.

Por lo tanto mis propuestas de demostración se basan, en que la suma de dos potencias cumplan con los siguientes requisitos (siendo condición necesaria que no suficiente):

1.   Que toda la expresión adopte la siguiente estructura (a-1)(f(a)+1)+1.
2.   f(a) todos sus sumandos deben tener un factor común.
3.   Si los dos requisitos se cumplen entonces (a-1)(f(a)+1)+1 puede o no, entrar en el olimpo de las potencias.

Obviamente si eliminamos el 1 entramos en un profundo caos, porque las factorizaciones pueden ser casi casi infinitas. ¿Cierto?

Sobre todo esto por lo que tiene de vago, no digo nada.

Si insisto (y he argumentado) en que todos los intentos que has hecho de concretar esa idea están mal.

Saludos.



Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 22/12/2017, 04:32:52 pm
Hola.

Proponer tres casos muy breves, mediante una sistemática muy sencilla, primero dos ejemplos para verificar que el procedimiento es cierto y luego propuesta de un caso concreto.

Consideremos el siguiente ejemplo: [texx] 3^3 + 6^3 = 3^5[/texx]; por tanto [texx] a^3 + 2a^3 = a^5[/texx].

Si el procedimiento propuesto funciona, una de las posibles soluciones tendría que ser 3. ¿Cierto?

[texx] a^3 + 2a^3 = (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1)+1 [/texx];
[texx] a^3 + 2a^3 -1= (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1) [/texx];
[texx] (a^3 + 2a^3 -1)/(a-1) = (a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1) [/texx];
[texx] (a^3 + 2a^3 -1)/(a-1)[/texx]; Esta ecuación tiene que proporcionar un número entero. Simplificamos dicha expresión:
[texx] 3 a^2 + 3 a + 2/(a - 1) + 3 [/texx];

Los únicos valores que puede adoptar la a para que facilite un número entero es 2 y 3. Si a=2 la ecuación es igual a 24, si a=3 la ecuación devuelve 3^5. Dicha sistemática funciona. ¿Cierto?

Un nuevo ejemplo.

[texx] 70^3 + 105^3 = 35^4[/texx] =[texx] (2a)^3+(3a)^3 = a^4[/texx].
[texx] (2a)^3+(3a)^3 = (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1)+1 [/texx];
[texx] ((2a)^3+(3a)^3)-1 = (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1) [/texx];
[texx] (((2a)^3+(3a)^3)-1)/(a-1)= (a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1) [/texx];
[texx] (((2a)^3+(3a)^3)-1)/(a-1) = número entero [/texx];
[texx] 35 + 34/(-1 + a) + 35 a + 35 a^2 [/texx];

Los únicos valores que cumplen con la condición son 35, 18, 3 y 2. El único que proporciona una potencia es 35. ¿Cierto?

Para finalizar apliquemos la sistemática descrita en un caso concreto:

[texx] 2^3+(2a+1)^3 = (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1)+1 [/texx];
[texx] 2^3+(2a+1)^3 -1 = (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1) [/texx];
[texx] (2^3+(2a+1)^3 -1)/ (a-1) = (a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1) [/texx];

Simplificamos la primera expresión:

[texx] 8 a^2 + 20 a + 34/(a - 1) + 26 [/texx];

Los únicos valores que puede adoptar a para que la expresión facilite un número entero son 35, 18, 3 y 2. Y obviamente ninguno de ellos arroja una potencia, porque en su caso seria un contraejemplo que ya hubiera indicado los ordenadores,

¿Cierto? ¿Dicho razonamiento demuestra este caso concreto?

¿Luis esta vez en que me equivoco?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 23/12/2017, 12:52:01 pm
Hola.

Esta mal porque la a de ambos lados de la igualdad no tiene porque coincidir.

[texx] 2^3+(2a+1)^3 = (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1)+1 [/texx]

ATentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 27/12/2017, 03:50:30 pm
Hola.

[texx] 2^3+(2a+1)^3=(2b+1)^3 [/texx]. Intento demostrar que es imposible esta igualdad.

[texx] 2^3+2a(2a+1)(2a-1)+2a+1= 2b(2b+1)(2b-1)+2b+1 [/texx];

[texx] 2^3+2a(2a+1)(2a-1)+2a= 2b(2b+1)(2b-1)+2b [/texx]; Dividimos toda la expresión entre 2.

[texx] 2^2+a(2a+1)(2a-1)+a= b(2b+1)(2b-1)+b [/texx]; Simplificamos.

[texx] 4a^3+6a^2+3a+4= 4b^3+6b^2+3b [/texx].

Si damos valores a la ecuación [texx] 4a^3+6a^2+3a [/texx] vemos que la unicidad de [texx] 4a^3+6a^2+3a [/texx] es mucho mayor que 4. Por tanto el 4 impide que la ecuación de la derecha sea igual a la de la izquierda. Dicha sistemática se puede aplicar para cualquier  [texx] 2^n+(2a+1)^n=(2b+1)^n [/texx]. ¿Cierto?

¿Luis esta bien o mal?

De todas formas, este bien o mal, a priori no le veo relevancia con la conjetura de Beal.

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 28/12/2017, 06:48:32 am
Hola

¿Luis esta bien o mal?

Pues "así asá". El problema es que el razonamiento final no está bien expresado, no está concretado.

[texx] 2^3+(2a+1)^3=(2b+1)^3 [/texx]. Intento demostrar que es imposible esta igualdad.

[texx] 2^3+2a(2a+1)(2a-1)+2a+1= 2b(2b+1)(2b-1)+2b+1 [/texx];

[texx] 2^3+2a(2a+1)(2a-1)+2a= 2b(2b+1)(2b-1)+2b [/texx]; Dividimos toda la expresión entre 2.

[texx] 2^2+a(2a+1)(2a-1)+a= b(2b+1)(2b-1)+b [/texx]; Simplificamos.

[texx] 4a^3+6a^2+3a+4= 4b^3+6b^2+3b [/texx].

Si damos valores a la ecuación [texx] 4a^3+6a^2+3a [/texx] vemos que la unicidad de [texx] 4a^3+6a^2+3a [/texx] es mucho mayor que 4.

Esa frase es un galimatías. ¿Qué se supone que quiere decir que la unicidad de una expresión sea mayor que algo?¿Cómo se supone que se cuantifica una unicidad?. Además si el argumento pasa por dar valores así de manera imprecisa, eso no es sólido.

En realidad ver que la ecuación:

[texx]2^3+x^3=y^3 [/texx]

no tiene soluciones enteras positivas es trivial. De la ecuación se deduce inmediatamente que [texx]y>x[/texx] e [texx]y,x[/texx] tienen la misma paridad; por tanto [texx]y\geq (x+2).[/texx] Tendríamos así que:

[texx]8=2^3=y^3-x^3\geq (x+2)^3-x^3=6x^2+12x+8\geq 6\cdot 1^2+12\cdot 1+7=26[/texx].  ¡Contradicción!.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 28/12/2017, 02:44:40 pm
Hola.
Me lie con el concepto de unicidad.


De la ecuación se deduce inmediatamente que [texx]y>x[/texx] e [texx]y,x[/texx] tienen la misma paridad; por tanto [texx]y\geq (x+2).[/texx] Tendríamos así que:

[texx]8=2^3=y^3-x^3\geq (x+2)^3-x^3=6x^2+12x+8\geq 6\cdot 1^2+12\cdot 1+7=26[/texx].  ¡Contradicción!

Luis que precisión, concisión, eficacia, eficiencia, etc.

Pero, ¿que ocurriría si [texx]2^n=y^3-x^3 [/texx]?

[texx]2^n=y^3-x^3\geq (x+2)^3-x^3=6x^2+12x+8\geq 6\cdot 1^2+12\cdot 1+7=26[/texx]. ¿Contradicción?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 29/12/2017, 06:02:47 am
Hola

Pero, ¿que ocurriría si [texx]2^n=y^3-x^3 [/texx]?

[texx]2^n=y^3-x^3\geq (x+2)^3-x^3=6x^2+12x+8\geq 6\cdot 1^2+12\cdot 1+7=26[/texx]. ¿Contradicción?

No, ahí a prioiri no hay ninguna contradicción. Llegamos a que [texx]2^n\geq 26[/texx] lo cual es posible para [texx]n\geq 5[/texx].

En el caso inicial para [texx]n=3,[/texx] si había contradicción porque es falso que [texx]2^3\geq 26[/texx].

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 07/01/2018, 06:36:27 am
Hola.

Sean a y b dos números primos tal que:

[texx] (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 [/texx] recordemos el Triangulo de Pascal.
[texx] (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2) [/texx];

Para complir la conjetura de Beal [texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx] tiene que ser potencia, por lo tanto;

[texx] (3a^2+3ab+b^2)=b^2, b^3, b^4,..., b^n [/texx].

UTF.

[texx] (a+b)^3= a^3+b(b^2) [/texx];
[texx] (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2) [/texx];
[texx] b^2 = 3a^2+3ab+b^2 [/texx]; [texx] 0 = 3a^2+3ab [/texx]. Contradicción.

Beal.

[texx] (a+b)^3= a^3+b(b^n) [/texx]; n es un integro mayor o igual que 3.
[texx] (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2) [/texx];
[texx] b^n = 3a^2+3ab+b^2 [/texx]; Despejamos la a.

[texx] a = \displaystyle\frac{1}{6} (\sqrt[ ]{3} \sqrt[ ]{b^2 (4 b^{n-2} - 1)} - 3 b) [/texx].

Por tanto, a esta en función de b. Contradiciendo que a y b sean primos. ¿Cierto?

¿Luis en que me equivoco esta vez?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 07/01/2018, 06:42:33 pm
Hola

Sean a y b dos números primos tal que:

[texx] (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 [/texx] recordemos el Triangulo de Pascal.
[texx] (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2) [/texx];

Para complir la conjetura de Beal [texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx] tiene que ser potencia, por lo tanto;

[texx] (3a^2+3ab+b^2)=b^2, b^3, b^4,..., b^n [/texx].

¿Pero por qué una potencia de [texx]b[/texx] y no de cualquier otro número?.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 08/01/2018, 01:41:45 pm
Hola.

[texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx]

b es un número primo. 2, 3, 5, 7, 11, 13...

Un número primo, solo es potencia si se multiplica por el mismo o un número con el que posea un factor común, posiblemente si multiplicáramos el 2 o cualquier otro número primo por el resto de los infinitos números primos (finitas o infinitas veces) nunca obtendríamos ninguna potencia. ¿Cierto?

Por tanto [texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx] en este caso concreto, (quizás me equivoque) dicha ecuación, considerando que b es un número primo, solo puede ser potencia si [texx] (3a^2+3ab+b^2) [/texx] es igual a una potencia de b o un número con factor común de dicho primo.

Es decir, [texx] 7(7^2)(3^3) [/texx] donde b = 7 y [texx] (3a^2+3ab+b^2) = (7^2)(3^3) [/texx] ¿Cierto?

Cualquier otro número que no sea b o no contenga un factor común con b, su producto con b no será potencia. ¿Cierto?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 09/01/2018, 06:54:28 am
Hola

Hola.

[texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx]

b es un número primo. 2, 3, 5, 7, 11, 13...

Un número primo, solo es potencia si se multiplica por el mismo o un número con el que posea un factor común, posiblemente si multiplicáramos el 2 o cualquier otro número primo por el resto de los infinitos números primos (finitas o infinitas veces) nunca obtendríamos ninguna potencia. ¿Cierto?

Por tanto [texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx] en este caso concreto, (quizás me equivoque) dicha ecuación, considerando que b es un número primo, solo puede ser potencia si [texx] (3a^2+3ab+b^2) [/texx] es igual a una potencia de b o un número con factor común de dicho primo.

Es decir, [texx] 7(7^2)(3^3) [/texx] donde b = 7 y [texx] (3a^2+3ab+b^2) = (7^2)(3^3) [/texx] ¿Cierto?

Cualquier otro número que no sea b o no contenga un factor común con b, su producto con b no será potencia. ¿Cierto?

Si, eso si. Es decir [texx]b[/texx] es primo y [texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx] es una [texx]n[/texx]-sima potencia entonces:

[texx]b(3a^2+3ab+b^2)=b^nk^n[/texx]

Saludos.

P.D. Añado además que estás estudiando un caso muy particular. Por ejemplo si hablamos de la ecuación de Fermat [texx]x^3+y^3=z^3[/texx] te estás centrando en el caso en el que [texx]x[/texx] es primo y [texx]z-x[/texx] es primo.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 09/01/2018, 03:41:41 pm
Hola.

Beal

[texx] b^{n-1}c^n = 3a^2+3ab+b^2 [/texx]; Despejamos la a.

[texx] a = \displaystyle\frac{1}{6} (\sqrt[ ]{3} \sqrt[ ]{b^2 (4 b^{n-2}c^{n} - 1)} - 3 b) [/texx].

Si este razonamiento lo extendiéramos, mediante el triangulo de Pascal a todas las potencias, ¿estaria demostrada la conjetura de Beal?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 09/01/2018, 06:34:44 pm
Hola

Beal

[texx] b^{n-1}c^n = 3a^2+3ab+b^2 [/texx]; Despejamos la a.

No hace falta que despejes nada; de esa expresión se deduce que [texx]b[/texx] es divisor de [texx]3a^2[/texx]. Dado que [texx]b[/texx] es primo y [texx]a[/texx] también, o [texx]b=3[/texx] o [texx]b=a[/texx].

Cita
Si este razonamiento lo extendiéramos, mediante el triangulo de Pascal a todas las potencias, ¿estaria demostrada la conjetura de Beal?

Pero no sé si eres consciente del comentario que te hice en mi anterior mensaje:

P.D. Añado además que estás estudiando un caso muy particular. Por ejemplo si hablamos de la ecuación de Fermat [texx]x^3+y^3=z^3[/texx] te estás centrando en el caso en el que [texx]x[/texx] es primo y [texx]z-x[/texx] es primo.

No sólo es particular que estés tomando la potencia [texx]3[/texx]; estás tomando además una situación nada general, considerando un factor primo y que se diferencia del segundo en otro primo. El caso general sería considerar los factore coprimos, es decir, sin divisores comunes (pero no necesariamente primos), que es bien distinto.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 10/01/2018, 04:30:41 pm
Hola.

Lanzo dos casos, para intentar, obtener la sistemática general para la conjetura de Beal. Siendo a y b coprimos.

[texx] a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 =(a+b)^4 [/texx];
[texx] a^4+b^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3 =(a+b)^4 [/texx];
[texx] a^4+b(b^3+4a^3+6a^2b+4ab^2) =(a+b)^4 [/texx];

De acuerdo con Luis [texx] b^3+4a^3+6a^2b+4ab^2 =b^{n-1}K^n[/texx] a es divisible con b contradiciendo que son coprimos.

Esta sistemática se puede extender a todos los grados del triángulo de Pascal tal que [texx] a^n+(Kb)^{n+c} =(a+b)^n [/texx] donde k y c son números enteros positivos. ¿Cierto?

Añado un nuevo caso:

[texx] a^4+ b^4=(a+b)^4-(4a^3b+6a^2b^2+4ab^3) [/texx];
[texx] a^4+ b^4=(a+b)^4-((a+b)(-((2a^4)/(a+b)) +2a^3+2a^2b+4ab^2)) [/texx];

[texx] \displaystyle\frac{2a^4}{(a+b)} [/texx]. Esta ecuación para que facilite un numeró integro, a y b deben tener un factor común. ¿Cierto? Bueno pues, con mucha paciencia, quizás esta sistemática se pueda extender a todos los grados en este caso concreto. ¿Cierto? Mediante una ecuación que generalice esta situación concreta tal que [texx]a^n +b^n = (a+b)^{n+c} [/texx] donde c es un número integro positivo. ¿Cierto?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 12/01/2018, 02:47:01 pm
Hola.

Sean a y b coprimos y t1, t2 coeficientes del triangulo de Pascal.


1) [texx] a^n+(Kb)^{n+c} =(a+b)^n [/texx]

Apliquemos el triangulo de Pascal:

[texx] a^n+t1a^{n-1} b+...+t1ab^{n-1}+b^n =(a+b)^n[/texx];
[texx] a^n+ b^n+t1a^{n-1} b+...+ t1ab^{n-1}=(a+b)^n [/texx];
[texx] a^n+ b(b^{n-1}+t1a^{n-1} +...+ t1ab^{n-2}) =(a+b)^n [/texx];

De toda la expresión [texx] b(b^{n-1}+t1a^{n-1} +...+t1ab^{n-2}) [/texx] (i), el producto [texx] t1a^{n-1} [/texx] es el único que no pose b, por lo tanto, para que sea (i) potencia a ha de ser divisible o tener un factor común con b. ¿Cierto?


2) [texx]a^n +b^n = (K(a+b))^{n+c} [/texx]


n par
[texx] a^n+ b^n=(a+b)^n-( t1a^{n-1}b+ ...+ t1ab^{n-1}) [/texx];
[texx] a^n+ b^n=(a+b)^n-((a+b)(-\displaystyle\frac{2a^n}{(a+b)}+f(a,b))) [/texx];
La f(a,b) representa una suma de potencias de a y b sin ningún tipo de quebrado.


n impar
[texx] a^n+ b^n=(a+b)^n-( t1a^{n-1}b+ ...+ t1ab^{n-1}) [/texx];
[texx] a^n+ b^n=(a+b)^n-((a+b)^2)(-\displaystyle\frac{2a^n}{(a+b)^2}+f(a,b))) [/texx];

La f(a,b) representa una suma de potencias de a y b sin ningún tipo de quebrado.

[texx] \displaystyle\frac{2a^n}{(a+b)} [/texx]. Esta ecuación para que facilite un numeró integro, a y b deben tener un factor común.

Este razonamiento demuestra la conjetura de Beal.


¿Luis en que me equivoco?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 12/01/2018, 08:03:05 pm
Hola

 No has prestado atención al comentario que hice al final de mi último mensaje.

P.D. Añado además que estás estudiando un caso muy particular. Por ejemplo si hablamos de la ecuación de Fermat [texx]x^3+y^3=z^3[/texx] te estás centrando en el caso en el que [texx]x[/texx] es primo y [texx]z-x[/texx] es primo.

No sólo es particular que estés tomando la potencia [texx]3[/texx]; estás tomando además una situación nada general, considerando un factor primo y que se diferencia del segundo en otro primo. El caso general sería considerar los factore coprimos, es decir, sin divisores comunes (pero no necesariamente primos), que es bien distinto.

Entonces, sin ir más lejos el caso más sencillo que era este:



Beal

[texx] b^{n-1}c^n = 3a^2+3ab+b^2 [/texx]; Despejamos la a.

No hace falta que despejes nada; de esa expresión se deduce que [texx]b[/texx] es divisor de [texx]3a^2[/texx]. Dado que [texx]b[/texx] es primo y [texx]a[/texx] también, o [texx]b=3[/texx] o [texx]b=a[/texx].

Ya no funciona si [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] son sólo coprimos, pero no necesariamente primos.

En ese caso que [texx]b(3a^2+3ab+b^2)[/texx] sea una potencia NO significa que ésta sea de la forma [texx]b^nk^n[/texx]. Por ejemplo [texx]b[/texx] podría ser de la forma [texx]b=s^n [/texx], de manera que que [texx]b(3a^2+3ab+b^2)[/texx] fuese una enésima potencia simplemente significaría que [texx](3a^2+3ab+b^2)[/texx] también lo es pero ya sin ninguna relación con [texx]b[/texx].

Esto ya invalida tus pretendidas generalizaciones.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 13/01/2018, 10:43:52 am
Hola.

Luis haber si lo entendido. Sea a y b coprimos y n potencia mayor o igual que 3.

[texx] (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2) [/texx];


[texx] b=x^n[/texx];

[texx] 3a^2+3ab+b^2=y^n[/texx];


[texx] 3a^2+3a x^n + x^{2n} = y^n[/texx];

[texx] 3a x^n + x^{2n} = y^n - 3a^2 [/texx];

[texx] x^n (3a+ x^{2})= y^n - 3a^2 [/texx];

[texx] (3a+ x^{2})= \displaystyle\frac{ y^n - 3a^2}{ x^n } [/texx];

Sustituimos [texx] 3a^2+3ab+b^2=y^n[/texx] y [texx] b=x^n[/texx].

[texx] (3a+ x^{2})= \displaystyle\frac{ 3a^2+3ab+b^2- 3a^2}{ b } [/texx];

[texx] (3a+ x^{2})= \displaystyle\frac{ 3ab+b^2}{ b } [/texx];

Simplifico.

[texx] (3a+ x^{2})= \displaystyle\frac{ 3a+b}{ 1 } [/texx];

[texx] 3a + x^2 = 3a +b [/texx];

[texx] x^2 = b [/texx];

La n inicialmente la propusimos mayor o igual que 3, que no 2, por lo tanto contracción. ¿Cierto?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 13/01/2018, 10:56:03 am
Hola

 Por una simple manipulación de una ecuación no puedes pretender llegar a una contradicción (sin usar al menos de manera decisiva el carácter entero de los números). Sólo eso debería de hacerte sospechar que tienes un error de bulto.

 Este paso está mal:


[texx] \color{blue}3a x^n + x^{2n}\color{black} = y^n - 3a^2 [/texx];
[texx] x^n  (3a+ \color{red}x^{2}\color{black}) = y^n - 3a^2 [/texx];

Al sacar factor común te queda en realidad: [texx]3a x^n + x^{2n}= x^n(3a+\color{red}x^n\color{black})[/texx].

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 20/01/2018, 05:16:04 am
Hola.

Sean a y b dos números íntegros coprimos.

[texx] (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 [/texx] recordemos el Triangulo de Pascal.

[texx] (a+b)^3= a^3+ab(3a+3b)+b^3 [/texx].

Consideremos que [texx] ab(3a+3b)+b^3 [/texx] es igual a una potencia.

Rápidamente se deduce que el resultado de la suma es un número multiplicado por b, es decir [texx] ba(3a+3b)+b^3 =b^n [/texx] o [texx] ab(3a+3b)+b^3 =x^n·b^n [/texx] siendo n igual o mayor que 3. Condición de la conjetura.

[texx] ab(3a+3b)+b^3 =x^n·b^n [/texx];

[texx] x^n·b^n = ab(3a+3b)+b^3 [/texx];

[texx] x^n·b^n - b^3 = ab(3a+3b)[/texx]. Dividimos todo entre b.

[texx] x^n·b^{n-1} - b^2 = a(3a+3b) [/texx];

[texx] x^n·b^{n-1} - b^2 = 3a^2+3ba [/texx]. Volvemos a dividir entre b.

[texx] x^n·b^{n-2} - b = \displaystyle\frac{ 3a^2}{ b } +3a [/texx];

[texx] x^n·b^{n-2} - b = 3( \displaystyle\frac{ a^2}{ b } +a) [/texx].

[texx]a^2 [/texx] y b son divisibles (contradicción), si no son divisibles el reusultado no es un número entero. ¿Cierto?


Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 23/01/2018, 12:54:53 pm
Hola

Sean a y b dos números íntegros coprimos.

[texx] (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 [/texx] recordemos el Triangulo de Pascal.

[texx] (a+b)^3= a^3+ab(3a+3b)+b^3 [/texx].

Consideremos que [texx] ab(3a+3b)+b^3 [/texx] es igual a una potencia.

Rápidamente se deduce que el resultado de la suma es un número multiplicado por b, es decir [texx] ba(3a+3b)+b^3 =b^n [/texx] o [texx] ab(3a+3b)+b^3 =x^n·b^n [/texx] siendo n igual o mayor que 3. Condición de la conjetura.

Ya te dije que eso no tiene porque ser así:

En ese caso que [texx]b(3a^2+3ab+b^2)[/texx] sea una potencia NO significa que ésta sea de la forma [texx]b^nk^n[/texx]. Por ejemplo [texx]b[/texx] podría ser de la forma [texx]b=s^n [/texx], de manera que que [texx]b(3a^2+3ab+b^2)[/texx] fuese una enésima potencia simplemente significaría que [texx](3a^2+3ab+b^2)[/texx] también lo es pero ya sin ninguna relación con [texx]b[/texx].

Esto ya invalida tus pretendidas generalizaciones.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 23/01/2018, 04:47:40 pm
Hola.

Luis respecto a:
[texx] ab(3a+3b)+b^3 [/texx].

Consideremos dos números [texx] xj + yj [/texx], su suma es un número multiplicado por j. De las infinitas soluciones solo reflejo las de la conjetura, es decir que la suma sea [texx] z^n·j^n [/texx]. Seguidamente sumo, resto y multiplico.

Que [texx] 3a^2+3ab+b^2=y^n[/texx] sea o no cierto, es irrelevante para el siguiente razonamiento:

[texx] x^n·b^n = ab(3a+3b)+b^3 [/texx];

[texx] x^n·b^n - b^3 = ab(3a+3b)[/texx]. Dividimos todo entre b.

[texx] x^n·b^{n-1} - b^2 = a(3a+3b) [/texx];

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 23/01/2018, 06:16:41 pm
Hola

Hola.

Luis respecto a:
[texx] ab(3a+3b)+b^3 [/texx].

Consideremos dos números [texx] xj + yj [/texx], su suma es un número multiplicado por j. De las infinitas soluciones solo reflejo las de la conjetura, es decir que la suma sea [texx] z^n·j^n [/texx]. Seguidamente sumo, resto y multiplico.

Que [texx] 3a^2+3ab+b^2=y^n[/texx] sea o no cierto, es irrelevante para el siguiente razonamiento:

[texx] x^n·b^n = ab(3a+3b)+b^3 [/texx];

[texx] x^n·b^n - b^3 = ab(3a+3b)[/texx]. Dividimos todo entre b.

[texx] x^n·b^{n-1} - b^2 = a(3a+3b) [/texx];

No has entendido lo que te he indicado. Lo que te estoy diciendo que [texx] ab(3a+3b)+b^3 [/texx] puede ser una potencia enésima que no sea de la forma [texx]b^nx^n[/texx]. Puede ser de la forma [texx]bx^n[/texx]. De manera que al dividir por [texx]d[/texx] te queda:

[texx] x^n - b^2 = a(3a+3b) [/texx]

y ahí no obtienes ninguna contradicción con la coprimalidad de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx].

Eso puede ocurrir si [texx]b[/texx] es de la forma [texx]b=k^n[/texx].

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 27/01/2018, 04:43:14 am
Hola.

Luis, ¿este razonamiento es erróneo?

[texx] b^2+3a^2+3ab=x^n [/texx]. Dividimos todo entre 3.

[texx] \displaystyle\frac{ b^2}{ 3 }+a^2+ab=\displaystyle\frac{ x^n }{ 3 } [/texx];

Por tanto, para que la que ecuación cumpla, consideremos que [texx] b=3c; x^n=(3d)^n [/texx].

[texx] 3^2c^2+3a^2+3a3c=(3d)^n [/texx];

[texx] 3^2c^2+3a^2+3^2ac=3^nd^n [/texx] dividimos todo por 3.

[texx] 3c^2+a^2+3ac=3^{n-1}d^n [/texx];

[texx] a^2+3ac=3^{n-1}d^n -3c^2 [/texx];

[texx] a(a+3c) = 3(3^{n-2}d^n -c^2) [/texx];

Recordemos que [texx] a [/texx] y [texx] b=3c [/texx] son coprimos. Su suma es un número sin ningún factor común con a y b.

Por tanto [texx] a(a+3c) [/texx] es igual a un número multipliado por 3, por lo tanto, necesariamente a es igual a 3. ¿Cierto?


Atentamente.



Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 27/01/2018, 06:06:34 am
Hola

Luis, ¿este razonamiento es erróneo?

[texx] b^2+3a^2+3ab=x^n [/texx]. Dividimos todo entre 3.

[texx] \displaystyle\frac{ b^2}{ 3 }+a^2+ab=\displaystyle\frac{ x^n }{ 3 } [/texx];

Por tanto, para que la que ecuación cumpla, consideremos que [texx] b=3c; x^n=(3d)^n [/texx].

Ahí ya está mal. Lo que se deduce de ahí es que [texx]b^2-x^n[/texx] es divisible por [texx]3[/texx], pero no necesariamente que individualmente [texx]b[/texx] sea divisible por [texx]3[/texx] y [texx]x^n[/texx] también sea divisible por [texx]3[/texx].

Cita
[texx] a(a+3c) = 3(3^{n-2}d^n -c^2) [/texx];

Recordemos que [texx] a [/texx] y [texx] b=3c [/texx] son coprimos. Su suma es un número sin ningún factor común con a y b.

Por tanto [texx] a(a+3c) [/texx] es igual a un número multipliado por 3, por lo tanto, necesariamente a es igual a 3. ¿Cierto?

Aunque ya no tiene importancia porque viene del error inicial, de manera precisa lo que deducirías de ahí es que [texx]a[/texx] ó [texx]a+3c[/texx] es múltiplo de [texx]3[/texx] y por tanto que a es múltiplo de [texx]3[/texx] en cualquier caso, pero no necesariamente que [texx]a=3[/texx].

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 07/02/2018, 03:24:35 pm
Hola.

¿En que me equivoco esta vez?

[texx] x^n-b^2=a(3a+3b)[/texx] donde [texx] b=k^n[/texx];

[texx] x^n-k^{2n}=a(3a+3k^n)[/texx];

[texx] x^n = k^{2n} + a(3a+3k^n)[/texx]; Hagamos la siguiente suposición [texx] x^n = (a+k)^n[/texx].

[texx] (a+k)^n = k^{2n} + a(3a+3k^n)[/texx];

[texx] (a)^n+ak()+k^n = k^{2n} + a(3a+3k^n)[/texx]; Dos casos.

i. [texx] (a)^n+k^n = k^{2n}; ak()= a(3a+3k^n)[/texx]; No cumple lo establecido. Porque . [texx] (a)^n=k^n[/texx].

ii. [texx] a(a^{n-1}+k())+k^n=k^{2n} +a(3a+3k^n)[/texx]; [texx] k^n=f(a)[/texx]

¿Cierto?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 08/02/2018, 07:24:10 am
Hola

Hola.

¿En que me equivoco esta vez?

[texx] x^n-b^2=a(3a+3b)[/texx] donde [texx] b=k^n[/texx];

[texx] x^n-k^{2n}=a(3a+3k^n)[/texx];

[texx] x^n = k^{2n} + a(3a+3k^n)[/texx]; Hagamos la siguiente suposición [texx] x^n = (a+k)^n[/texx].


Hace esa suposición te coloca ya muy lejos del caso general. Estarías analizando sólo una ecuación del tipo:

[texx](a+k^n)^3=a^3+k^n(a+k)^n[/texx] (*)

Cita
[texx] (a+k)^n = k^{2n} + a(3a+3k^n)[/texx];

[texx] (a)^n+ak()+k^n = k^{2n} + a(3a+3k^n)[/texx]; Dos casos.

i. [texx] (a)^n+k^n = k^{2n}; ak()= a(3a+3k^n)[/texx]; No cumple lo establecido. Porque . [texx] (a)^n=k^n[/texx].

ii. [texx] a(a^{n-1}+k())+k^n=k^{2n} +a(3a+3k^n)[/texx]; [texx] k^n=f(a)[/texx]

Si, efectivamente la relación (*) te permite despejar [texx]k[/texx] en función de [texx]a[/texx].

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 09/02/2018, 04:31:38 am
Hola.

Recordemos que:

a y b dos números íntegros coprimos.

[texx] (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 [/texx] recordemos el Triangulo de Pascal.

[texx] (a+b)^3= a^3+ab(3a+3b)+b^3 [/texx].

Consideremos que [texx] ab(3a+3b)+b^3 [/texx] es igual a una potencia.

Rápidamente se deduce que el resultado de la suma es un número multiplicado por b, es decir [texx] ba(3a+3b)+b^3 =b^n [/texx] o [texx] ab(3a+3b)+b^3 =x^n·b^n [/texx] siendo n igual o mayor que 3. Condición de la conjetura.

[texx] ab(3a+3b)+b^3 =x^n·b^n [/texx];

[texx] x^n·b^n = ab(3a+3b)+b^3 [/texx];
 

[texx] x^n·b^n - b^3 = ab(3a+3b)[/texx]. Dividimos todo entre b.

[texx] x^n·b^{n-1} - b^2 = a(3a+3b) [/texx];

[texx] x^n·b^{n-1} - b^2 = 3a^2+3ba [/texx]. Volvemos a dividir entre b.

[texx] x^n·b^{n-2} - b = \displaystyle\frac{ 3a^2}{ b } +3a [/texx];

[texx] x^n·b^{n-2} - b = 3( \displaystyle\frac{ a^2}{ b } +a) [/texx].

[texx]a^2 [/texx] y b son divisibles (contradicción), si no son divisibles el reusultado no es un número entero.

Luis decía que cabría la posibilidad de:

[texx] x^n·b = ab(3a+3b)+b^3 [/texx]. Donde [texx] b = k^n [/texx]. En este caso concreto el caso general:

[texx] (a+k^n)^3 = a^3+k^{3n}+3ak^n(a+k^n) [/texx]

Consideremos que [texx] k^{3n} +3ak^n(a+k^n) [/texx] es potencia enésima.

[texx] k^n(k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx];

Consideremos que [texx] (k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx] es igual a potencia enésima.

Por lo tanto [texx] (k+d)^n = (k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx]. Pero si se cumpliera la igualdad, de acuerdo con el triángulo de Pascal [texx] 3a= kd[/texx]. Y todas las variables estarían en función de a.

¿Cierto?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 09/02/2018, 06:29:43 am
Hola

Cita
Por lo tanto [texx] (k+d)^n = (k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx]. Pero si se cumpliera la igualdad, de acuerdo con el triángulo de Pascal [texx] 3a= kd[/texx]. Y todas las variables estarían en función de a.

¿Cierto?

No, no está bien.

No veo ningún motivo para que la igualdad azul se deduzca la afirmación que haces en rojo.

Si sigues pensando que tu afirmación es correcta detalla al máximo su justificación.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 10/02/2018, 07:39:58 am
Hola.

Consideremos que [texx] (k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx] es igual a potencia enésima.

[texx] (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx];

[texx] k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx];

[texx] kd()+d^n = 3a(a+k^n) + k^n [/texx];

[texx] kd()+d^n = 3a^2+3ak^n + k^n [/texx];

[texx] kd()+d^n = 3a^2+ k^n(3a+1) [/texx];

[texx] kd()+d^n = 3a^2+ k(k^{n-1})(3a+1) [/texx];

[texx] kd()+d^n =  k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2 [/texx];

[texx] kd()+d^n [/texx] los dos sumandos poseen un factor común.

Por lo tanto [texx] k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2 [/texx], ¿debe tener un factor común? para que cumplan con la igualdad.

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 11/02/2018, 05:14:25 am
Hola.

Consideremos que [texx] (k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx] es igual a potencia enésima.

[texx] (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx];

[texx] k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx];

Pero si considero que [texx] (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx]. ¿Por qué no puedo considerar que [texx] (k+k)^n = k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx]?
Porque [texx] (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n)) + k^n [/texx]. Todo seria mucho más fácil.

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 11/02/2018, 06:30:55 am
Hola

Hola.

Consideremos que [texx] (k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx] es igual a potencia enésima.

[texx] (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx];

[texx] k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx];

[texx] kd()+d^n = 3a(a+k^n) + k^n [/texx];

[texx] kd()+d^n = 3a^2+3ak^n + k^n [/texx];

[texx] kd()+d^n = 3a^2+ k^n(3a+1) [/texx];

[texx] kd()+d^n = 3a^2+ k(k^{n-1})(3a+1) [/texx];

[texx] kd()+d^n =  k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2 [/texx];

[texx] kd()+d^n [/texx] los dos sumandos poseen un factor común.

Por lo tanto [texx] k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2 [/texx], ¿debe tener un factor común? para que cumplan con la igualdad.

Si te refieres a si [texx]k(k^{n-1})(3a+1)[/texx] y [texx]3a^2[/texx] tienen que tener un factor común, la respuesta es NO necesariamente. Nada de lo anterior impide que esos dos sumandos puedan ser coprimos.

Consideremos que [texx] (k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx] es igual a potencia enésima.

[texx] (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx];

[texx] k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx];

Pero si considero que [texx] (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx]. ¿Por qué no puedo considerar que [texx] (k+k)^n = k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx]?
Porque [texx] (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n)) + k^n [/texx]. Todo seria mucho más fácil.

Pero no sé que quieres decir con eso. Si tomas [texx]d=k[/texx] estás tomando un caso particular y ...¡claro que sería más sencillo!.

Es como si en el teorema de Fermat en vez de [texx]x^n+y^n=z^n[/texx] tomo [texx]x^n+x^n=z^n[/texx] y entonces es trivial que no existe solución entera.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 11/02/2018, 07:09:53 am
Hola.

Consideremos que [texx] (k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx] es igual a potencia enésima.

[texx] k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx];

Mediante similitud con el triángulo de Pascal (fijémonos en los extremos [texx] k^n +… + k^n [/texx]) no podemos considerar que:

[texx] (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx]

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 11/02/2018, 08:14:07 am
Hola

Hola

 No entiendo nada.

Consideremos que [texx] (k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx] es igual a potencia enésima.

¿Y qué tiene que ver eso con lo que pones a continuación?.

Cita
[texx] k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx];

Mediante similitud con el triángulo de Pascal (fijémonos en los extremos [texx] k^n +… + k^n [/texx]) no podemos considerar que:

[texx] (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx]

No estoy seguro de entenderte. En general si tienes [texx]k^n +3a(a+k^n) + k^n[/texx] nada garantiza que sea igual a [texx](k+k)^n[/texx]. Sólo será igual para una valor concreto de [texx]a[/texx].

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 11/02/2018, 08:50:55 am
Hola.

Si, si que lo ha entendido.

[texx] (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx]

En este caso [texx] 3a() = k^2() [/texx] por tanto a depende de k, recordemos que [texx] b=k^n[/texx] por tanto en este caso concreto a y b poseen un factor común.

Pero decir que [texx] (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx] tiene que cumplirse para todas los valores en que [texx]  k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx] sea potencia enésima, es muy arriesgado. ¿Cierto?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 12/02/2018, 06:29:22 am
Hola

Pero decir que [texx] (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx] tiene que cumplirse para todas los valores en que [texx]  k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx] sea potencia enésima, es muy arriesgado. ¿Cierto?

No es que sea arriesgado ni no arriesgado. Simplemente si se pretende defender esa afirmación habría que argumentarlo. Y yo no veo ningún motivo por el cual tenga que ser así. Es decir es una suposición gratuita.

Por otra parte no sé porque insistes en [texx]  k^n +3a(a+k^n) + k^n [/texx] si lo que tienes de tu desarrollo previo es que [texx](k^{2n} +3a(a+k^n))[/texx] es potencia enésima.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 12/02/2018, 04:50:36 pm

Hola.

Cierto que [texx] (k)^{2n} = k^n + k^n [/texx] esta mal.

Pero.

[texx] (k+d)^{2n} = k^{2n} +3a(a+k^n) [/texx];

[texx] k^{2n} + kd() + d^{2n}  = k^{2n} +3a(a+k^n) [/texx];

[texx] kd() + d^{2n}  = 3a(a+k^n) [/texx];

[texx] d(k()+d^{2n-1}) = 3a(a+k^n) [/texx];

[texx] (k()+d^{2n-1}) = \displaystyle\frac{ (3a(a+k^n))}{ d } [/texx];

i. [texx] \displaystyle\frac{(a+k^n)}{ d } [/texx]

ii. [texx] \displaystyle\frac{(3a)}{ d } [/texx];

En alguno de los dos casos mencionados, las divisiones deberían ser igual a un número íntegro. i. y ii, si alguno de los dos cumple con lo establecido, entonces d tendría un factor común con alguno de los dividendos. ¿Cierto?

Atentamente.




Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 12/02/2018, 08:34:07 pm
Hola

Cierto que [texx] (k)^{2n} = k^n + k^n [/texx] esta mal.

Pero.

[texx] (k+d)^{2n} = k^{2n} +3a(a+k^n) [/texx];

[texx] k^{2n} + kd() + d^{2n}  = k^{2n} +3a(a+k^n) [/texx];

[texx] kd() + d^{2n}  = 3a(a+k^n) [/texx];

[texx] d(k()+d^{2n-1}) = 3a(a+k^n) [/texx];

[texx] (k()+d^{2n-1}) = \displaystyle\frac{ (3a(a+k^n))}{ d } [/texx];

i. [texx] \displaystyle\frac{(a+k^n)}{ d } [/texx]

ii. [texx] \displaystyle\frac{(3a)}{ d } [/texx];

En alguno de los dos casos mencionados, las divisiones deberían ser igual a un número íntegro. i. y ii, si alguno de los dos cumple con lo establecido, entonces d tendría un factor común con alguno de los dividendos. ¿Cierto?

No exactamente. No tiene porque ocurrir (no al menos sin algún argumento adicional) que (i) o (ii) sean enteros. Algún factor primo de [texx]d[/texx] podría ser divisor de [texx]3a[/texx] y otros de [texx]a+k^n[/texx].

Ahora si supones [texx]a[/texx] y [texx]k[/texx] coprimos, entonces [texx]a[/texx] y [texx]d[/texx] también tienen que ser coprimos luego se deduce que [texx]\dfrac{3(a+k^n)}{d}[/texx] es entero.

No, ni siquiera [texx]a[/texx] y [texx]d[/texx] tienen porque ser coprimos.

Saludos.

CORREGIDO


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 13/02/2018, 01:15:37 pm

Hola.

a y k son coprimos. Pero, ¿por que a y d tienen que ser coprimos?

Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 14/02/2018, 06:37:45 am
Hola

a y k son coprimos. Pero, ¿por que a y d tienen que ser coprimos?

Tienes razón, me confundí; no tienen tan siquiera porque ser coprimos.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 24/02/2018, 11:53:44 am

Hola.

Consideremos que [texx] (k^{2n} +3a(a+k^n)) [/texx] es igual a potencia enésima.

[texx] (k^{2n} + 3ak^n + 3a^2) [/texx]; si [texx] n=3 [/texx]

[texx] (k^6 + 3ak^3 + 3a^2) [/texx] dicha expresión en caso de ser potencia debería asemejarse a:

[texx] (k^2+a)^3 [/texx];

[texx] k^6+3k^2a(k^2+a)+a^3 [/texx];

Igualamos:

[texx]  k^6 + 3ak^3 + 3a^2 = k^6 + 3k^2a(k^2+a)+a^3  [/texx] simplifico:

[texx]   3k^3 + 3a = 3k^2(k^2+a)+a^2  [/texx];

[texx]   3k^3 - 3k^2(k^2+a) = a^2 - 3a  [/texx];

[texx]   3k^2(k - (k^2+a)) = a(a-3)  [/texx];

Contradicción porque [texx] 3k^2(k - (k^2+a)) [/texx] es negativo.

¿Cierto?


Atentamente.




Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 26/02/2018, 05:44:18 am
Hola

[texx] (k^{2n} + 3ak^n + 3a^2) [/texx]; si [texx] n=3 [/texx]

[texx] (k^6 + 3ak^3 + 3a^2) [/texx] dicha expresión en caso de ser potencia debería asemejarse a:

[texx] (k^2+a)^3 [/texx];

No. Esa afirmación es absolutamente gratuita. No tiene porque ser una potencia precisamente de [texx](k^2+a)[/texx].

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 11/03/2018, 06:21:53 am

Hola.

[texx] k^{2n} + 3ak^n + 3a^2 [/texx]. Suponiendo que la expresión es igual a:

 [texx] (k + b)^{2n} [/texx].

[texx] k^{2n} + 3ak^n + 3a^2 = (k + b)^{2n} [/texx]. Para  [texx] n = 2 [/texx];

[texx] k^{4} + 3ak^2 + 3a^2 = (k + b)^{4} [/texx];

[texx] k^{4} + 3ak^2 + 3a^2 = k^4 + 4kb(2k^2 + 3kb + 2b^2) + b^4 [/texx]. Simplifico y agrupo:

[texx] 3ak^2 + 3a^2 = 4kb(2k^2 + 3kb + 2b^2) + b^4 [/texx];

[texx] 3ak^2 - 4kb(2k^2 + 3kb + 2b^2) = + b^4 - 3a^2 [/texx];

[texx] k( 3ak - 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) = + b^4 - 3a^2 [/texx]; Introduzco dos condiciones.

[texx] ( 3ak > 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) [/texx] y [texx]  b^4 > 3a^2 [/texx]. ¿Cierto?

¿Estas dos condiciones son necesarias? Si la contestación es positiva, entonces:


[texx] ( 3ak > 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) [/texx] despejo a:

[texx] a> \displaystyle\frac{4b(2k^2 + 3kb + 2b^2))}{ 3k } [/texx]

Dicha a si la introduzco en [texx]  b^4 > 3a^2 [/texx]. Recordemos segunda condición.

[texx]  b^4 > 3(\displaystyle\frac{4b(2k^2 + 3kb + 2b^2))}{ 3k })^2 [/texx]. Opero:

[texx]  3b^2k^2 > 16(2b^2+3bk+2k^2)^2 [/texx]. Dicha afirmación, ¿es una contradicción?


Atentamente.




Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 12/03/2018, 06:53:27 am
Hola

[texx] k^{2n} + 3ak^n + 3a^2 [/texx]. Suponiendo que la expresión es igual a:

 [texx] (k + b)^{2n} [/texx].

[texx] k^{2n} + 3ak^n + 3a^2 = (k + b)^{2n} [/texx]. Para  [texx] n = 2 [/texx];

[texx] k^{4} + 3ak^2 + 3a^2 = (k + b)^{4} [/texx];

[texx] k^{4} + 3ak^2 + 3a^2 = k^4 + \color{red}4\color{black}kb(2k^2 + 3kb + 2b^2) + b^4 [/texx]. Simplifico y agrupo:

Ese [texx]4[/texx] debe de ser un [texx]2[/texx].

Cita
[texx] 3ak^2 + 3a^2 = 4kb(2k^2 + 3kb + 2b^2) + b^4 [/texx];

[texx] 3ak^2 - 4kb(2k^2 + 3kb + 2b^2) = + b^4 - 3a^2 [/texx];

[texx] k( 3ak - 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) = + b^4 - 3a^2 [/texx]; Introduzco dos condiciones.

[texx] ( 3ak > 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) [/texx] y [texx]  b^4 > 3a^2 [/texx]. ¿Cierto?

¿Estas dos condiciones son necesarias?

No, no lo son en absoluto. Lo único que sabemos es que:

[texx] 3ak - 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)[/texx] y  [texx]+ b^4 - 3a^2 [/texx]

tienen el mismo signo: en principio pueden ser ambos negativos o ambos positivos.  (*)

Cita
[texx] ( 3ak > 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) [/texx] despejo a:

[texx] a> \displaystyle\frac{4b(2k^2 + 3kb + 2b^2))}{ 3k } [/texx]

Dicha a si la introduzco en [texx]  b^4 > 3a^2 [/texx]. Recordemos segunda condición.

[texx]  b^4 > 3(\displaystyle\frac{4b(2k^2 + 3kb + 2b^2))}{ 3k })^2 [/texx]. Opero:

[texx]  3b^2k^2 > 16(2b^2+3bk+2k^2)^2 [/texx]. Dicha afirmación, ¿es una contradicción?

Puede verse y aun corrigiendo el coeficiente que te dije al principio que esa desigualdad es imposible; pero con eso sólo se deduce que en (*) son ambos negativos.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 12/03/2018, 08:42:57 am

Hola.

Cierto el 4 es un 2.

[texx] k( 3ak - 2b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) = + b^4 - 3a^2 [/texx].

Pero si son ambos negativos si despejo [texx]  b^4 [/texx] entonces es igual a número negativo. ¿Cierto?


Atentamente.



Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 12/03/2018, 08:53:06 am
Hola

Cierto el 4 es un 2.

[texx] k( 3ak - 2b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) = + b^4 - 3a^2 [/texx].

Pero si son ambos negativos si despejo [texx]  b^4 [/texx] entonces es igual a número negativo. ¿Cierto?

No, no es cierto. [texx]b^4[/texx] no tiene por qué ser igual a un número negativo.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 16/03/2018, 08:30:42 am


Hola.


[texx] ( 3ak < 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) [/texx] y [texx]  b^4 < 3a^2 [/texx].

Las dos condiciones son negativas:

[texx]  b^4 < 3a^2 [/texx] despejo [texx] a > \displaystyle\frac{b^2}{ 3^{1/2} } [/texx].

Introducimos la a en la condición:

[texx] ( 3ak < 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) [/texx];

[texx]3\displaystyle\frac{b^2}{ 3^{1/2} }k < 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)[/texx];


Si multiplicamos cualquier número entero por [texx] \displaystyle\frac{3^{1/2} }{3 }[/texx] el número resultante siempre será un número con decimales, es decir nuca será entero, ¿cierto?


Atentamente.



Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 16/03/2018, 08:36:02 am
Hola

[texx] ( 3ak < 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) [/texx] y [texx]  b^4 < 3a^2 [/texx].

Las dos condiciones son negativas:

[texx]  b^4 < 3a^2 [/texx] despejo [texx] a > \displaystyle\frac{b^2}{ 3^{1/2} } [/texx].

Introducimos la a en la condición:

[texx] ( 3ak < 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) [/texx];

[texx]3\displaystyle\frac{b^2}{ 3^{1/2} }k < 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)[/texx];


Si multiplicamos cualquier número entero por [texx] \displaystyle\frac{3^{1/2} }{3 }[/texx] el número resultante siempre será un número con decimales, es decir nuca será entero, ¿cierto?

Si, más aun, siempre será un número irracional; desde luego no entero. Pero no sé muy bien que conclusión quieres sacar de ahí, por que lo que tienes es una desigualdad. Y no hay ningún problema o contradicción en que exista una desigualdad entre enteros e irracionales.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 16/03/2018, 09:16:31 am

Hola.

[texx] (b^2)k < 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) ( \displaystyle\frac{3^{1/2} }{3 }) [/texx];


Pero si despejo [texx] b^2 [/texx] ó  [texx]  k [/texx] el resultado no es un número entero. ¿Cierto?


Atentamente.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Luis Fuentes en 16/03/2018, 09:45:28 am
Hola

[texx] (b^2)k < 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) ( \displaystyle\frac{3^{1/2} }{3 }) [/texx];


Pero si despejo [texx] b^2 [/texx] ó  [texx]  k [/texx] el resultado no es un número entero. ¿Cierto?

Si... ¿Y bien...? Eso no tiene nada de raro.

Es cierto por ejemplo que: [texx]1<\sqrt{2}[/texx].

No acabo de ver a donde quieres llegar a parar con todo eso.

Saludos.


Título: Re: Conjetura de Beal
Publicado por: Gonzo en 16/03/2018, 12:12:18 pm
Hola.

Confundi igualdad con desigualdad.

Por lo tanto, cualquiera de las dos variables que despeje no tiene porque ser "=" pero si "<" ó ">".

Atentamente.