Matemática => Sistemas Dinámicos - Teoría del Caos => Mensaje iniciado por: JorgeFC en 29/05/2015, 04:41:52 pm



Título: Problema sistema dinámico.
Publicado por: JorgeFC en 29/05/2015, 04:41:52 pm
Se considera el sistema dinámico lineal
A(n + 1) = 3A(n) + λn + 5, n = 0, 1, 2, . . . con λ ∈ R.
   a) Determinar la solución general del sistema homogéneo asociado.
   b) Estudiar para qué valores de λ el sistema inicial tiene puntos de equilibrio y determinarlos. Estudiar la estabilidad de los 
   mismos.
   c) En el caso concreto en que λ = 2, es decir, para el sistema dinámico A(n + 1) = 3A(n) + 2n + 5, n = 0, 1, 2, . . .
      i) Encontrar una solución particular de la forma αn + β con α, β ∈ R.
      ii) Escribir la solución general.
      iii) Encontrar la solución que verifica A(1) = 2.


Título: Re: Problema sistema dinámico.
Publicado por: Luis Fuentes en 30/05/2015, 05:58:06 am
Hola

Se considera el sistema dinámico lineal
A(n + 1) = 3A(n) + λn + 5, n = 0, 1, 2, . . . con λ ∈ R.
   a) Determinar la solución general del sistema homogéneo asociado.
   b) Estudiar para qué valores de λ el sistema inicial tiene puntos de equilibrio y determinarlos. Estudiar la estabilidad de los 
   mismos.
   c) En el caso concreto en que λ = 2, es decir, para el sistema dinámico A(n + 1) = 3A(n) + 2n + 5, n = 0, 1, 2, . . .
      i) Encontrar una solución particular de la forma αn + β con α, β ∈ R.
      ii) Escribir la solución general.
      iii) Encontrar la solución que verifica A(1) = 2.

El procedimiento para resolver ecuaciones de recurrencia lineales es totalmente mecánico y sistemático. Si te proponen este ejercicio presupongo que te lo deben de haber explicado. Entonces: ¿qué has intentado? ¿qué dudas concretas tienes?.

Saludos.

P.D. Apuntes sobre el tema:

http://ocw.upm.es/matematica-aplicada/matematica-discreta/contenidos/material-de-clase/tema-4
http://www.x.edu.uy/inet/Ecuaciones_recurrencia_INET.pdf



Título: Re: Problema sistema dinámico.
Publicado por: JorgeFC en 30/05/2015, 08:28:57 am
Hola

El procedimiento para resolver ecuaciones de recurrencia lineales es totalmente mecánico y sistemático. Si te proponen este ejercicio presupongo que te lo deben de haber explicado. Entonces: ¿qué has intentado? ¿qué dudas concretas tienes?.

Saludos.

P.D. Apuntes sobre el tema:

http://ocw.upm.es/matematica-aplicada/matematica-discreta/contenidos/material-de-clase/tema-4
http://www.x.edu.uy/inet/Ecuaciones_recurrencia_INET.pdf


El problema era ese, que no me han explicado nada acerca de este tipo de sistemas, en los que A(n+1)=f(A(n),n). Es decir, no sabía como trabajar en caso de que hubiese dependencia de n. Los apuntes me han venido genial, muchas gracias.
La única duda que me queda es en el apartado b), ¿el único punto de equilibrio posible supondría que λ=0?


Título: Re: Problema sistema dinámico.
Publicado por: Luis Fuentes en 30/05/2015, 11:38:16 am
Hola

El problema era ese, que no me han explicado nada acerca de este tipo de sistemas, en los que A(n+1)=f(A(n),n). Es decir, no sabía como trabajar en caso de que hubiese dependencia de n. Los apuntes me han venido genial, muchas gracias.
La única duda que me queda es en el apartado b), ¿el único punto de equilibrio posible supondría que λ=0?

Si, efectivamente.

Para que exista un punto de equilibro [texx]A(n)=k_0[/texx] tiene que cumplirse que:

[texx]k_0=3k_0+\lambda n+5[/texx]

[texx]2k_0=-\lambda n-5[/texx]

La única posibilidad de que no dependa de [texx]n[/texx], es que [texx]\lambda[/texx] sea nulo.

Saludos.