Matemática => Topología Algebraica => Mensaje iniciado por: cbrg en 11/05/2015, 08:05:47 pm



Título: Proyección canónica como espacio recubridor y grupo fundamentales .
Publicado por: cbrg en 11/05/2015, 08:05:47 pm
 hola, me podrían ayudar a resolver este ejercicio.

En [texx]\mathbb{R}^3[/texx] se considera el subespacio

[texx] X = \left\{{ x\in{\mathbb{R}^3} \textsf{ tal que }  x_1^2 + x_2^2 = 1 \textsf{,}  x_3 =0}\right\} \cup{ \left\{{x\in{\mathbb{R}^3} \textsf{tal que } x_2^2 + x_3^2 =1 \textsf{,}x_1=0 }\right\}}  [/texx]


en otras palabras  la unión de dos circunferencias de centro el origen y radio uno trazadas ,respectivamente ,en los planos  [texx]x_3=0[/texx] y [texx]x_1=0[/texx].

A su vez en X se considera la relación de equivalencia xRx' si y solo si [texx]x=\pm{x'}[/texx] . Sea Y el espacio cociente ,dotado de la topología cociente , y [texx] p :X\longrightarrow{Y}[/texx]  la proyección canónica.


a) Probar que p: [texx]X\longrightarrow{Y}[/texx] es un espacio recubridor.
b) Calcular el grupo fundamental de X.
c) Calcular el grupo fundamental de Y.                                                                                                   


Título: Re: Proyección canónica como espacio recubridor y grupo fundamentales .
Publicado por: Luis Fuentes en 12/05/2015, 07:02:19 am
Hola

 Bienvenida al foro.

hola, me podrían ayudar a resolver este ejercicio.

En [texx]\mathbb{R}^3[/texx] se considera el subespacio \mathbb{}

[texx] X = \left\{{ x\in{\mathbb{R}^3} \textsf{ tal que }  x_1^2 + x_2^2 = 1 \textsf{,}  x_3 =0}\right\} \cup{ \left\{{x\in{\mathbb{R}^3} \textsf{tal que } x_2^2 + x_3^2 =1 \textsf{,}x_1=0 }\right\}}  [/texx].
 
en otras palabras  la unión de dos circunferencias de centro el origen y radio uno trazadas ,respectivamente ,en los planos  [texx]x_3=0[/texx] y [texx]x_1=0[/texx].

A su vez en X se considera la relación de equivalencia xRx' si y solo si [texx]x=\pm{x'}[/texx] . Sea Y el espacio cociente ,dotado de la topología cociente , y [texx] p :X\longrightarrow{Y}[/texx]  la proyección canónica.


a) Probar que p: [texx]X\longrightarrow{Y}[/texx] es un espacio recubridor.
b) Calcular el grupo fundamental de X.
c) Calcular el grupo fundamental de Y.                                                                                                   

 Te doy algunas indicaciones.

 Es claro que [texx]p[/texx] es continua y sobreyectiva por ser la aplicación proyección de un cociente. Para ver que es una cubierta para cada punto [texx]
  • \in Y[/tex] tienes que probar que existe un entorno [texx]U\subset Y[/texx] tal que [texx]p^{-1}(U) [/texx] es unión disjunta de abiertos homeomorfos a [texx]U[/texx].

     Para ello basta que tomes para cada [texx]x\in X[/texx] un abierto [texx]U_x[/texx] tal que [texx]U_x[/texx] sea disjunto con [texx]-U_x[/texx], de forma que la restricción de la proyección restringida a tal abierto será un homeomorfismo.

     En ese caso dado [texx]
    • \in Y[/tex], si tomas [texx]U=p(U_x)[/texx] tendrás que [texx]p^{-1}(U)=U_x\cup -U_x[/texx]

       En cuanto a los grupos fundamentales, puedes ver que el espacio [texx]X [/texx] es homótopo a tres circunferencias pegadas por un punto. Es bien conocido (http://en.wikipedia.org/wiki/Bouquet_of_circles) que su grupo fundamental es el grupo libre con tres generadores.

       Al hacer el cociente que identifica puntos antipodales cada en cada una de las dos circunferencias que forman [texx]X[/texx] identificamos las semicircunferencias superior e inferior. Los dos puntos de corte de ambas circunferencias se identifican en uno solo. El conjuto cociente corresponde por tanto a dos circunferencias pegadas por un punto. Su grupo fundamental es el grupo libre con tres generadores.

       En el contexto de la teoría de cubiertas, sabemos que la aplicación [texx]p_*:\pi_1(X)\longrightarrow{}\pi_1(Y)[/texx] es inyectiva. Si [texx]Y[/texx] está generado por los lazos [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx], se tiene que [texx]p_*(\pi_1(X))[/texx] (que es un subgrupo de [texx]\pi_1(Y)[/texx] isomorfo al grupo fundamental de [texx]X[/texx]) está generado por [texx]a^2,b^2,ab[/texx].

       El dibujo ilustra este hecho.

      (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=81988.0;attach=15492)

      Saludos.
    [/texx]
[/texx]


Título: Re: Proyección canónica como espacio recubridor y grupo fundamentales .
Publicado por: cbrg en 19/05/2015, 11:06:31 pm
Muchas gracias por las indicaciones.


Título: Re: Proyección canónica como espacio recubridor y grupo fundamentales .
Publicado por: caro en 31/05/2015, 12:52:30 pm
Muchas gracias por las indicaciones.

hola
en el apartado c) el grupo fundamental  no seria el producto libre de dos generadores ?


Título: Re: Proyección canónica como espacio recubridor y grupo fundamentales .
Publicado por: Luis Fuentes en 02/06/2015, 05:33:46 am
Hola

hola
en el apartado c) el grupo fundamental  no seria el producto libre de dos generadores ?

Si; ya lo indiqué aquí:

Si [texx]Y[/texx] está generado por los lazos [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx]

Saludos.