Matemática => Sistemas Dinámicos - Teoría del Caos => Mensaje iniciado por: Squee en 02/12/2014, 02:17:09 am



Título: Transformar un sistema de ecuaciones diferenciales a un sistema tipo Lorentz
Publicado por: Squee en 02/12/2014, 02:17:09 am
Encontrar las transformaciones que llevan del sistema mecánico
[texx]\dfrac{d a_{1}}{dt} = \omega b_{1} - K a_{1} (1)[/texx]
[texx]\dfrac{d b_{1}}{dt} = - \omega a_{1} - K b_{1} + q_{1} (2)[/texx]
[texx]\dfrac{d \omega}{dt} = -(\nu / I) \omega + (\pi g r / I) a_{1} (3)[/texx]
al sistema de Lorenz con [texx]b = 1[/texx]. Encontrar [texx]r[/texx] y [texx]\omega[/texx] en término de los parámetros del sistema original.
Ayuda: comenzar con los cambios de variables:
[texx]a_{1}' = a_{1} (\pi g r / \nu )[/texx]
[texx]b_{1}' = q_{1} - K b_{1}[/texx]
[texx]t' = K t[/texx]
Uso la ayuda y obtengo:
[texx]\dfrac{d a_{1}'}{ dt'} = \dfrac{\pi g r \nu \omega}{K^{2}} (q_{1} - b'_{1}) - a'_{1}[/texx]
[texx]\dfrac{d b_{1}'}{ dt'} = \dfrac{\omega \nu}{\pi g r} a_{1}' + b_{1}'[/texx]
[texx]\dfrac{d \omega}{ dt'} = \dfrac{\nu}{I K} (a_{1}' - \omega)[/texx]
Ahora efectuó el siguiente cambio de variable:
[texx]t'' = \dfrac{\nu}{I K}[/texx]
Obtengo:
[texx]\dfrac{d \omega}{dt''} = a_{1}' - \omega[/texx]
[texx]\dfrac{da_{1}'}{dt''} = \dfrac{\pi g r I q_{1}}{k} \omega - a_{1} - \dfrac{\pi g r I}{K} b_{1}' \omega[/texx]
[texx]\dfrac{db_{1}'}{dt''} = \dfrac{I K}{\pi g r} \omega a_{1} ' + \dfrac{b_{1}' I K}{\nu}[/texx]

Otro cambio de variable:
[texx]b_{1}'' = \dfrac{\pi g r I}{K} b_{1} '[/texx]
Obtengo:
[texx]\dfrac{d \omega}{dt''} = a_{1}' - \omega[/texx]
[texx]\dfrac{da_{1}'}{dt''} = \dfrac{\pi g r I q_{1}}{k} \omega - a_{1} - b_{1}'' \omega[/texx]
[texx]\dfrac{db_{1}''}{dt''} = I^{2} \omega a_{1} ' + \dfrac{b_{1}'' I K}{\nu}[/texx]
Esto se parece mucho a lo que necesito pero me sobra una [texx]I^{2}[/texx] en la 3ra ecuación, así que realizo el siguiente cambio de variables para removerla:
[texx]a_{1}'' = I a_{1}'[/texx]
[texx]\omega' = I \omega[/texx]
Y me queda:
[texx]\dfrac{d \omega}{dt''} = a_{1}' - \omega[/texx]
[texx]\dfrac{da_{1}'}{dt''} = \dfrac{\pi g r I q_{1}}{k} \omega - a_{1} - b_{1}'' \omega[/texx]
[texx]\dfrac{db_{1}''}{dt''} = \omega a_{1} ' + \dfrac{b_{1}'' I^{2} K}{\nu}[/texx]
Y esto es un sistema tipo Lorenz como el pedido si tomamos:
[texx]x = \omega'[/texx]
[texx]y = a_{1} ''[/texx]
[texx]z = b_{1}''[/texx]
Y esto nos da:
[texx]r = \dfrac{\pi g r q_{1} I}{K}[/texx] y [texx]b = \dfrac{I^{2} K}{\nu}[/texx]


Cuando empece a escribir el mensaje no se me ocurría uno de los cambios de variable, pero escribirlo organizado en la PC me ayudo a verlo.
Ahora, ya que estoy, lo posteo a ver si tiene algún error.