Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Álvaro_22 en 07/10/2014, 09:29:29 am



Título: Convergencia de series positivas
Publicado por: Álvaro_22 en 07/10/2014, 09:29:29 am
Hola, tengo problemas con estas series, tengo que saber si son convergentes o divergentes. La segunda he probado a hacer infinitésimos y me sale que son convergentes a partir de [texx]a\geq{3}[/texx]. Si me pudieran ayudar les estaría muy agradecido.
(a) [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n!}{n^\sqrt[2]{n}}}[/texx]

(b) [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{log(1+\displaystyle\frac{1}{n^a}})[/texx] dependiendo del parámetro a>0

(c) [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{a^{log(n)}}}[/texx] dependiendo del parámetro a>0.

(d) [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{\sqrt[3]{3n^2 + 8}}{n^a + 1}}[/texx] dependiendo del parámetro a>0.

Muchas gracias :)


Título: Re: Convergencia de series positivas
Publicado por: Luis Fuentes en 07/10/2014, 10:43:39 am
Hola

 (a) Comprueba que el término general no converge a cero. Por tanto la serie diverge.

 (b) Compara por paso al límite (http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_convergente#Criterio_de_comparaci.C3.B3n_por_paso_al_l.C3.ADmite_del_cociente) con [texx]\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^a}[/texx] (esta serie converge si y sólo si [texx]a>1[/texx]).

 (c) Compara de nuevo con la serie armónica y sus generalizaciones.

 (d) Idem.

Saludos.