Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Álvaro_22 en 07/10/2014, 09:13:26 am



Título: Séries de términos positivos
Publicado por: Álvaro_22 en 07/10/2014, 09:13:26 am
Hola,
tengo dificultades para responder a estas preguntas, si me pudieran ayudar se lo agradecería mucho.

(a)Sea [texx]{a_n}[/texx] una sucesión decreciente de números positivos tal que [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n}<\infty. [/texx] Demuestra que [texx] \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{na_n}=0 }[/texx]

(b) Encuentra los [texx]{a_n}[/texx] positivos con [texx]\displaystyle\sum_{n}{a_n}<\infty[/texx] tal que [texx]na_n[/texx] no tiende a cero.

Muchas gracias :)


Título: Re: Séries de términos positivos
Publicado por: Luis Fuentes en 07/10/2014, 10:21:58 am
Hola

 (a) Si [texx] \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{na_n}\neq 0 }[/texx] existe un [texx]\epsilon>0[/texx] tal que para todo [texx]N[/texx] existe [texx]n>N[/texx] con [texx]na_n>\epsilon[/texx].

 Por otra parte por ser de Cauchy existe un [texx]N_1[/texx] tal que si [texx]n>m\geq N_1[/texx] entonces:

[texx]\displaystyle\sum_{k=m}^na_k<\dfrac{\epsilon}{2}[/texx]

 Tomando [texx]N=3N_1[/texx] existe [texx]n>3N_1[/texx] tal que [texx]na_n>\epsilon[/texx].

 Ahora como [texx]n>[n/2]\geq N_1[/texx]:

[texx]\displaystyle\sum_{k=[n/2]}^na_k<\dfrac{\epsilon}{2}[/texx]

 Pero por otra parte por ser decreciente:

[texx]\displaystyle\sum_{k=[n/2]}^na_k>(n-[n/2]+1)a_n\geq \dfrac{n}{2}a_n>\dfrac{\epsilon}{2}[/texx]

 ¡Contradicción!.

 (b) Por ejemplo:

[texx]a_n=\begin{Bmatrix} \dfrac{1}{n} & \mbox{ si }& n\mbox{ es cuadrado perfecto}\\0 & \mbox{ en otro caso}& \end{matrix}[/texx]

Saludos.