Matemática => Teorema de Fermat => Mensaje iniciado por: mente oscura en 12/09/2014, 05:58:12 am



Título: Prueba del UTF para n=4
Publicado por: mente oscura en 12/09/2014, 05:58:12 am
Hola.

Apartado A) Demostración UTF, para n=4.

[texx]Sean \ A, \ B, \ C \  \in{\mathbb{N}}\ coprimos / A, \ C \ = \ impares; \ B \ = \ par \ / A^2+B^2=C^2[/texx]

(*) Consideremos, como posible:

[texx]A=x^2[/texx]

[texx]B=y^2[/texx]

[texx]C=z^2[/texx]

De forma que:

[texx]x^4+y^4=z^4[/texx]

Según las fórmulas “tradicionales”, para la obtención de “ternas pitagóricas”:

[texx]A=M^2-N^2[/texx]

[texx]B=2MN[/texx]

[texx]C=M^2+N^2[/texx]

Propiedades:

1ª)

[texx]C+B=M^2+N^2+2MN=(M+N)^2[/texx]

[texx]C+B=z^2+y^2=(M+N)^2[/texx]. Por (*)

2ª)

[texx]C-B=M^2+N^2-2MN=(M-N)^2[/texx]

[texx]C-B=z^2-y^2=(M-N)^2[/texx]. Por (*)

Conclusión: obtenemos dos “ternas pitagóricas”, en las que dos de sus elementos son iguales.

[texx]z^2+y^2=(M+N)^2[/texx]

[texx]z^2-y^2=(M-N)^2[/texx]

Consideración: Si demostramos, que no es posible que, dos “ternas pitagóricas”, tengan dos elementos comunes, habremos demostrado la UTF, para n=4.


Apartado B) Demostración de la imposibilidad de que, dos “ternas pitagóricas”, tengan dos elementos comunes:

[texx]Sean \ a, \ b, \ c \  \in{\mathbb{N}} / a, \ c \ = \ impares; \ b \ = \ par \ / a^2+b^2=c^2[/texx].(1)

[texx]Sean \ d, \ b, \ c \  \in{\mathbb{N}} / d, \ c \ = \ impares; \ b \ = \ par \ / c^2+b^2=d^2[/texx].(2)

Consideraciones:

1º)  a, b, c, d, coprimos, por lo que son ternas pitagóricas primitivas.

2º) “c” es el menor impar, que cumple (1) y (2)


Paso 1º)

[texx]a^2+b^2=c^2[/texx]

[texx]a=m^2-n^2[/texx]

[texx]b=2mn[/texx]

[texx]c=m^2+n^2[/texx]


Paso 2º)

[texx]c^2+b^2=d^2[/texx]

[texx]c=u^2-v^2[/texx]

[texx]b=2uv[/texx]

[texx]d=u^2+v^2[/texx]

Por supuesto: “m” y “n” coprimos, al igual que “u” y “v”.


Por Paso 1º) y Paso 2º):

[texx]b=2mn=2uv[/texx]

Voy a descomponer “b” en cuatro factores coprimos: “e”, “f”, “g” y “h”, tal que:

[texx]b=2efgh[/texx]

Y, asignamos, por ejemplo:

[texx]m=ef[/texx]

[texx]n=gh[/texx]

[texx]u=eg[/texx]

[texx]v=fh[/texx]

Siendo: e=mcd(m,u),   f=mcd(m,v),   g=mcd(n,u),  h=mcd(n,v)

Ahora, me basaré en el otro elemento común a las dos ternas: “c”

[texx]c=m^2+n^2=e^2f^2+g^2h^2[/texx]

[texx]c=u^2-v^2=e^2g^2-f^2h^2[/texx]

Por tanto:

[texx]e^2f^2+g^2h^2= e^2g^2-f^2h^2[/texx]

[texx]g^2h^2+f^2h^2= e^2g^2-e^2f^2[/texx]

[texx]h^2(g^2+f^2)=e^2(g^2-f^2)[/texx]

Al ser “h” y “e” coprimos, y, también, [texx]g^2+f^2[/texx] y [texx]g^2-f^2[/texx], (observemos que "g" o "f" han de ser "par", lo que posibilita la coprimalidad), se deduce que:

[texx]h^2=g^2-f^2[/texx]

[texx]e^2=g^2+f^2[/texx]

Con lo cuál, tenemos otras dos ternas pitagóricas con dos elementos comunes, pero:

[texx]c \ > \ g[/texx]

Ya que:

[texx]c=m^2+n^2>n^2=g^2h^2>g^2>g[/texx]

Que no es posible, ya que habíamos considerado “c”, como el menor impar que cumplía las condiciones (1) y (2).

Con lo cual, queda demostrado el “Apartado B)” y, por consiguiente, también el “Apartado A)”, concluyendo la imposibilidad de:

[texx]x^4+y^4=z^4[/texx]
 

Un cordial saludo.


Título: Re: Prueba del UTF para n=4
Publicado por: Luis Fuentes en 12/09/2014, 07:56:19 am
Hola

 Desde mi punto de vista la demostración es correcta.  :aplauso:

Saludos.


Título: Re: Prueba del UTF para n=4
Publicado por: Proyecto en 12/09/2014, 11:01:33 am
Hola mente oscura,

Te felicito. La estrategia me parece brillante y las 2 demostraciones en que sustentas tu prueba simples y bellísimas. ¡¡Sí señor!! :aplauso:


Me gustaría también expresar mi reconocimiento a este foro por mantener un apartado específico referente al Último Teorema de Fermat, cosa que lo hace muy original y atrevido y también a la no numerable paciencia de moderadores como el_manco con todos los que escribimos por aquí. :aplauso:

Un saludo y enhorabuena


Título: Re: Prueba del UTF para n=4
Publicado por: feriva en 12/09/2014, 04:41:30 pm
  :aplauso: :aplauso: :aplauso:

Mi más sincera enhorabuena, menteo scura, es una gran alegría ver un logro como éste; quizá pequeño para algunos, pero para mí es grande (y sobre todo es una alegría ver cómo el_manco, por fin, ha dado su visto bueno en una demostración de este tipo :) )

 Un cordidal saludo.


Título: Re: Prueba del UTF para n=4
Publicado por: mente oscura en 13/09/2014, 10:36:55 pm
Hola.

Muchas gracias, el_manco, Proyecto y feriva.

Me gustaría saber, si se puede publicar, o "quedar fijo" el "hilo", de forma que no se pierda con el paso del tiempo.

Un cordial saludo.


Título: Re: Prueba del UTF para n=4
Publicado por: Luis Fuentes en 14/09/2014, 05:23:10 am
Hola

Me gustaría saber, si se puede publicar, o "quedar fijo" el "hilo", de forma que no se pierda con el paso del tiempo.

En principio nosotros no borramos ningún post, así que en la medida que seamos capaces de mantener este foro vivo (y es nuestra intención) y no nos traicione la tecnología, tu mensaje no se perderá con el paso del tiempo.

Lo he puesto como tema fija para que se vea al principio del subforo del Teorema de Fermat.

Opciones alternativas para su difusión sería:

- Publicarlo en la revista del foro.
- Intentar publicarlo en una revista de matemáticas divulgativa (las revista mas técnicas no lo aceptarían). En ese sentido sería bueno comparar tu prueba con las ya existentes.

Saludos.


Título: Re: Prueba del UTF para n=4
Publicado por: Piockñec en 14/09/2014, 08:39:22 am
Mi más sincera enhorabuena, mente oscura!!! :D


Título: Re: Prueba del UTF para n=4
Publicado por: mente oscura en 16/09/2014, 07:30:47 am
Mi más sincera enhorabuena, mente oscura!!! :D

Gracias.  :D


Título: Re: Prueba del UTF para n=4
Publicado por: robinlambada en 09/12/2015, 04:00:23 pm
¡¡Felicidades mente oscura!!.   :aplauso: :aplauso:

Al otro lado de tu oscura mente encontrastes la luz.

Enhorabuena.


Título: Re: Prueba del UTF para n=4
Publicado por: mente oscura en 11/12/2015, 08:08:50 am
¡¡Felicidades mente oscura!!.   :aplauso: :aplauso:

Al otro lado de tu oscura mente encontrastes la luz.

Enhorabuena.

Gracias robinlambada.  :D


Título: Re: Prueba del UTF para n=4
Publicado por: pierrot en 12/12/2015, 07:42:39 pm
Me alegro de que hayas tenido éxito en tu búsqueda.

Mis más sinceras felicidades  :)


Título: Re: Prueba del UTF para n=4
Publicado por: mente oscura en 22/12/2015, 04:08:01 pm
Me alegro de que hayas tenido éxito en tu búsqueda.

Mis más sinceras felicidades  :)

Gracias, pierrot