Matemática => Sistemas Dinámicos - Teoría del Caos => Mensaje iniciado por: hector en 20/08/2014, 07:04:21 pm



Título: Ciclos, intervalos y relaciones de recurrencia
Publicado por: hector en 20/08/2014, 07:04:21 pm
Hola a todos,
Sea [texx]f: I\rightarrow{} I[/texx] una función continua. Dados  dos intervalos cerrados (no triviales) [texx]J.K\subset{} I[/texx] se dice que J cubre a K por f si existe[texx] K\subset{} f(J)[/texx], esta relacion es denotada por [texx]J\longrightarrow{ }K[/texx]

a) Demostrar que si [texx]J\longrightarrow{}K[/texx], entonces existe un intervalo cerrado [texx]L \subset{}J[/texx] tal que[texx] f(L) =K
[/texx]
b) demostrar que si [texx]J \longrightarrow{}J[/texx], entonces f tiene un punto fijo

c) demostrar que si [texx]J_0\longrightarrow{} J_1\longrightarrow{} J_2[/texx], entonces existen [texx]L_1\subset{} L_0 \subset{}J_0[/texx] tales que [texx]f(L_0)=J_0[/texx],[texx] f(L_1)\subset{} J_1[/texx] y [texx]f^2(L_1)=J_2[/texx]

d) use induccion Matematica para demostrar que que si [texx]n\geq{2}[/texx] y [texx]J_0 \longrightarrow{}J_1\longrightarrow{} ...\longrightarrow{}J_n[/texx], entonces existen [texx][texx]L_{n-1}\subset{}L_{n-2} \subset{}... \subset{}L_0 J_0[/texx][/texx] tales que : [texx]f(L_0)=J_1[/texx], para todo [texx]1\leq{k}\leq{n-1}[/texx] y cada [texx]1\leq{m}\leq{k}[/texx] se tiene [texx]f^m(L_k)\subset{}J_m[/texx] y [texx]f^{k+1}(L_k)=J_{K+1}[/texx].



Demostración.

He tenido problemas con la parte a, en probar la inclusión contraria [texx]f(L)\supset{}K[/texx]

Con la parte b no hay inconvenientes ya lo tengo probado.

Con la parte c y es donde se centra la pregunta ya que si logro probarlo podre usar inducción para demostrar la parte d

he hecho lo siguiente, [texx]J_1\longrightarrow{J_2}[/texx] existe [texx]L_1 \subset{J_1}[/texx] tal que [texx]f(L_1)=J_2[/texx], como [texx]J_0\longrightarrow{J_1}[/texx] se tiene que [texx]J_1\subset{} f(J_0)[/texx] pero [texx]L_1\subset{J_1}\subset{f(J_0)}[/texx], por tanto [texx]J_0\longrightarrow{L_1}[/texx]. Así, existe [texx]L_0\subset{J_0}[/texx] tal que [texx]f(L_0)=L_1[/texx].

Sin Embargo no logro probar nada (Alguna ayuda)

Por otro lado, creo que existe un error en los enunciados, ya que la parte d es la generalización de la parte c y algunas cosa no coinciden. por ejemplo en la parte c [texx]f(L_0)=J_0[/texx], y en la parte d aparece [texx]f(L_0)=J_1 [/texx].