Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: lindtaylor en 16 Junio, 2014, 19:24



Título: Sobre espacio de funciones continuas, relativamente compacto, norma supremo.
Publicado por: lindtaylor en 16 Junio, 2014, 19:24
Considere el espacio de funciones continuas y acotadas sobre el intervalo [texx][0,\infty)[/texx], es decir, [texx]E=BC[0,\infty)[/texx] con la métrica del supremo.
Sea [texx]K=\left\{\psi\in E: |\psi(x)|+|\psi'(x)|<x^ne^{-x},\ para\ algun\ n\in\mathbb{N}, x\in [0,\infty)\right\}[/texx].

a) Si [texx]K_{[0,c]}[/texx] es el conjunto de funciones en [texx]K[/texx] restringidas a [texx][0,c]\subset [0,\infty)[/texx], pruebe que [texx]K_{[0,c]}[/texx] es relativamente compacto en [texx]E[/texx].
b) Demuestre que [texx]K[/texx] es relativamente compacto en [texx]E[/texx]. ¿Y si cambiamos a la norma integral [texx]||\psi(x)||_1=\int_{0}^\infty |\psi(x)|dx[/texx] sigue siendo relativamente compacto?

Algún hint para empezar?
Desde ya gracias.