Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: lindtaylor en 11 Mayo, 2014, 07:38



Título: Sobre un conjunto que no es completo, con una métrica definida en él.
Publicado por: lindtaylor en 11 Mayo, 2014, 07:38
Tengo el siguiente problema y me gustaría ver si al idea está bien.


Considere [texx]E=\left\{x:\mathbb{N}\to\mathbb{R}: \frac{|x(n)|}{\sqrt{n}}\ acotada\ \forall n\in\mathbb{N}\right\}[/texx] dotado de la métrica [texx]d(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{|x(i)-y(i)|}{i^2}[/texx].

a) Sea [texx]B=\left\{\sqrt{i}e_i\right\}_{i=1}^\infty[/texx] (donde [texx]e_i=(0,0,\ldots, 1,0,0,\ldots ) [/texx] sólo en la i-ésima posición) Decida si B es totalmente acotado.
b) Demuestre que E no es completo.

Para (a) Tengo que la sucesión [texx](x_n)_{n\in\mathbb{N}}=(\sqrt{n}e_n)_{n\in\mathbb{N}}[/texx] es de Cauchy, pues con [texx]n\not=m[/texx], [texx] d(x_n,x_m)=\frac{\sqrt{n
}}{n^2}+\frac{\sqrt{m}}{m^2}<\epsilon[/texx] si [texx]n,m[/texx] son suficientemente grandes, luego B es totalmente acotado.

Para (b), tengo que la sucesión anterior es de Cauchy, pero no converge, luego B no es completo.
¿Está bien?
Pd: Creo que para (b) lo que usé no sirve, pues converge a cero...