Matemática => Sistemas Dinámicos - Teoría del Caos => Mensaje iniciado por: hector en 21/04/2014, 02:08:40 pm



Título: Cuenca de atracción
Publicado por: hector en 21/04/2014, 02:08:40 pm
Muy buenas, antes de formular mi duda al respecto colocare la teoría previa de ta forma que manejemos todos un mismo lenguaje.

Definición 1.  Sea [texx]f:X\rightarrow{X}[/texx] continua ([texx]X[/texx] es un espacio métrico). Un punto fijo [texx]p \in X[/texx] de [texx]f[/texx] se dice atractor, si existe un abierto [texx]U\subset{X}[/texx]
con [texx]p\in U[/texx], tal que, [texx]f^n(x)\rightarrow{p}[/texx], [texx]n\rightarrow{+\infty}[/texx], para todo [texx]x\in U[/texx].


Definición 2. Se llama cuenca de atracción de [texx]p[/texx] a [texx]B=\{x\in X : f^n(x)\rightarrow{p}, cuando n\rightarrow{+\infty}\}[/texx].

Ejercicio: Demostrar [texx]B=\cup_{n\geq{1}}f^{-n}(U)[/texx]


Título: Re: Cuenca de atracción
Publicado por: Carlos Ivorra en 21/04/2014, 02:34:06 pm
Si [texx]x\in B[/texx], existe un [texx]n[/texx] tal que [texx]f^n(x)\in U[/texx], por definición de convergencia, luego [texx]x\in f^{\red -n}[/texx].

Recíprocamente, si [texx]x\in f^{-n_0}[/texx], para un [texx]n[/texx], entonces [texx]f^{n_0}(x)\in U[/texx], luego la sucesión [texx]f^{n_0+m}(x)[/texx] converge a [texx]p[/texx], luego [texx]f^n(x)[/texx] también.


Título: Re: Cuenca de atracción
Publicado por: hector en 21/04/2014, 04:00:32 pm
Gracias Carlos Ivorra.

Saludos,


Título: Re: Cuenca de atracción
Publicado por: hector en 21/04/2014, 11:55:59 pm
De nuevo, solo alguna cosas que aun no veo-

Cita
Si[texx] x\in B[/texx], existe un [texx]n[/texx] tal que [texx]f^n(x)\in U[/texx], por definición de convergencia, luego [texx]x\in f^{-1}[/texx].

En esta linea en vez de ir [texx]x\in f^{-1}[/texx], debe ir [texx]x\in f^{-n}[/texx].

Cuando tu dices por definición de convergencia, si [texx]f^n(x)\rightarrow{p}[/texx], puedo afirmar que [texx]f^n(x)\in U[/texx] ¿Por qué?

Cita
Recíprocamente, si [texx]x\in f^{-n_0}[/texx], para un [texx]n[/texx], entonces [texx]f^{n_0}(x)\in U[/texx], luego la sucesión [texx]f^{n_0+m}(x) [/texx]converge a [texx]p[/texx], luego [texx]f^n(x)[/texx] también.

Básicamente entiendo que [texx]f^{n_0}(x)\in U[/texx] para algún [texx]n_0[/texx] implica que [texx]f^m(f^{n_0}(x))\rightarrow{p}[/texx] es porque si a cualquier elemento de [texx]U[/texx] lo itero entonces este converge a p.

Si no me equivoco lo que hiciste fue [texx]m+n_0=n[/texx], caso contrario podrías aclararme. Muchísimas gracias de antemano.


Título: Re: Cuenca de atracción
Publicado por: Carlos Ivorra en 22/04/2014, 07:30:37 am
En esta linea en vez de ir [texx]x\in f^{-1}[/texx], debe ir [texx]x\in f^{-n}[/texx].

Era una errata.

Cuando tu dices por definición de convergencia, si [texx]f^n(x)\rightarrow{p}[/texx], puedo afirmar que [texx]f^n(x)\in U[/texx] ¿Por qué?

Por la definición de convergencia: una sucesión converge a un punto si, dado cualquier entorno U del punto, todos los términos de la sucesión están en el entorno, a partir de uno dado.

Si no me equivoco lo que hiciste fue [texx]m+n_0=n[/texx], caso contrario podrías aclararme.

Así es. En el fondo la idea es que una sucesión converge a un punto si y sólo si una cualquiera de sus colas converge a ese punto.


Título: Re: Cuenca de atracción
Publicado por: hector en 22/04/2014, 08:59:26 pm
Muchas gracias Carlos Ivorra, ahora si tengo armada la demostración y creo que sin huecos (Gracias a ti)

Saludos..!