Matemática => Sistemas Dinámicos - Teoría del Caos => Mensaje iniciado por: nanelito en 10/12/2013, 07:04:10 pm



Título: Preintegral
Publicado por: nanelito en 10/12/2013, 07:04:10 pm
¿Cómo demuestro que si [texx]E : U \longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] es una función continua no constante en el entorno [texx]U[/texx] tal que [texx]\dot E = 0[/texx] entonces los puntos de equilibrio de [texx]x^{\prime} = f(x)[/texx] que sean mínimos relativos estrictos de [texx]E[/texx] son estables pero no asintóticamente estables??


Título: Re: Preintegral
Publicado por: pierrot en 10/12/2013, 07:43:11 pm
¿Qué significa [texx]\dot{E}[/texx]? ¿Es [texx]\dot{E}(x)=\left<\nabla E(x), f(x)\right>,\forall x\in U[/texx]?


Título: Re: Preintegral
Publicado por: nanelito en 10/12/2013, 07:55:40 pm
Sí... aunque el ejercicio sólo supone que [texx]\lim_{h \to 0}{(E(\phi(h,x))-E(x))/h} = 0[/texx] ([texx]\phi[/texx] el flujo); pero dijo el maestro que para facilitar el ejercicio podíamos suponer [texx]E[/texx] diferenciable, así se tendría lo que escribiste...


Título: Re: Preintegral
Publicado por: pierrot en 10/12/2013, 08:40:37 pm
Sí... aunque el ejercicio sólo supone que [texx]\lim_{h \to 0}{(E(\phi(h,x))-E(x))/h} = 0[/texx] ([texx]\phi[/texx] el flujo); pero dijo el maestro que para facilitar el ejercicio podíamos suponer [texx]E[/texx] diferenciable, así se tendría lo que escribiste...

Ah, de acuerdo. La suposición de que [texx]E[/texx] es diferenciable se podría usar para aplicar el primer teorema de Lyapunov (ya que entonces [texx]E[/texx] sería una función de Lyapunov), pero no es necesario.

Primero que nada, prueba que si [texx]\lim_{h \to 0}{(E(\phi(h,x))-E(x))/h} = 0[/texx] para todo [texx]x\in U[/texx] entonces de hecho [texx]E(\phi(t,x))=E(x)[/texx] para todo [texx]t\in\mathbb{R}[/texx] tal que [texx]\phi(t,x)\in U[/texx], es decir, [texx]E[/texx] es constante sobre las trayectorias de la ecuación.

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Título: Re: Preintegral
Publicado por: nanelito en 11/12/2013, 01:21:04 am
Muchas gracias...


Título: Re: Preintegral
Publicado por: pierrot en 11/12/2013, 02:09:23 am
Muchas gracias...

De nada  ;). Pero recuerda que el ejercicio no está concluido ni mucho menos... Lo anterior fue solo una observación. ¿Puedes terminar?


Título: Re: Preintegral
Publicado por: nanelito en 17/05/2014, 12:42:51 pm
Si... gracias